สมการดัฟฟิง (หรือออสซิลเลเตอร์ดั ฟฟิง ) ซึ่งตั้งชื่อตามจอร์จ ดัฟฟิง (ค.ศ. 1861–1944) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองแบบไม่เชิงเส้นใช้ในการจำลองออสซิลเลเตอร์แบบหน่วงและแบบขับเคลื่อน บางชนิด สมการนี้กำหนดโดย โดย ที่ฟังก์ชัน (ที่ไม่ทราบค่า) คือการกระจัด ณ เวลาt คือ อนุพันธ์อันดับแรกของเทียบกับเวลา นั่นคือความเร็วและคือ อนุพันธ์อันดับสองของ เทียบกับเวลานั่น คือ ความเร่ง ตัวเลขและเป็นค่าคงที่ที่กำหนดไว้ $${\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t),}$$${\displaystyle x=x(t)}$${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\ddot {x}}}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \delta ,}$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle \beta ,}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega }$

สมการนี้อธิบายการเคลื่อนที่ของออสซิลเลเตอร์แบบหน่วงที่มี ศักยภาพซับซ้อนกว่าการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (ซึ่งสอดคล้องกับกรณี) ในเชิงฟิสิกส์ สมการนี้ใช้จำลองตัวอย่างเช่นลูกตุ้มยืดหยุ่น ที่มี ความแข็งของสปริงไม่เป็นไปตามกฎของฮุกอย่าง แม่นยำ${\displaystyle \beta =\เดลต้า =0}$

สมการดัฟฟิงเป็นตัวอย่างของระบบพลวัตที่แสดงพฤติกรรมอลวนยิ่งไปกว่านั้น ระบบดัฟฟิงยังแสดงปรากฏการณ์การสั่นพ้องแบบกระโดดในกราฟการตอบสนองความถี่ ซึ่งเป็น พฤติกรรม ฮิสเทอรีซิสความถี่ชนิดหนึ่ง

พารามิเตอร์ในสมการข้างต้นมีดังนี้:

• ${\displaystyle \delta }$ควบคุมปริมาณการหน่วง
• ${\displaystyle \alpha }$ควบคุมความแข็ง เชิง เส้น
• ${\displaystyle \beta }$ควบคุมปริมาณความไม่เป็นเชิงเส้นในแรงคืนตัว หากสมการของดัฟฟิงอธิบายถึงออสซิเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่าง ง่ายที่มีการหน่วงและถูกขับเคลื่อน${\displaystyle \beta =0,}$
• ${\displaystyle \gamma }$คือแอมพลิจูดของแรงขับเคลื่อนแบบเป็นคาบ หากระบบไม่มีแรงขับเคลื่อน และ${\displaystyle \gamma =0}$
• ${\displaystyle \omega }$คือความถี่เชิงมุมของแรงขับเคลื่อนแบบเป็นคาบ

สมการดัฟฟิงสามารถมองได้ว่าเป็นการอธิบายการสั่นของมวลที่ติดอยู่กับสปริง แบบไม่เชิงเส้น และตัวหน่วงแบบเชิงเส้น แรงคืนตัวที่เกิดจากสปริงแบบไม่เชิงเส้นนั้นคือ${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}.}$

เมื่อและสปริงเรียกว่าสปริงแข็งในทางกลับกัน สำหรับมันคือสปริงอ่อน (ยังคงอยู่กับ) ดังนั้น คำคุณศัพท์แข็งและอ่อนจึงถูกใช้โดยสัมพันธ์กับสมการดัฟฟิงโดยทั่วไป ขึ้นอยู่กับค่าของ(และ) ^{[ 1 ]}${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \beta <0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

จำนวนพารามิเตอร์ในสมการ Duffing สามารถลดลงได้สองตัวผ่านการปรับขนาด (ตามทฤษฎีบท Buckingham π ) เช่น การเดินทางและเวลาสามารถปรับขนาดได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}และสมมติว่าเป็นค่าบวก (การปรับขนาดอื่นๆ เป็นไปได้สำหรับช่วงพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน หรือสำหรับการเน้นที่แตกต่างกันในปัญหาที่ศึกษา) จากนั้น: ^{[ 3 ]} โดยที่ ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \tau =t{\sqrt {\alpha }}}$${\displaystyle y=x\alpha /\gamma ,}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle {\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau ),}$$

• ${\displaystyle \eta ={\frac {\delta }{2{\sqrt {\alpha }}}},}$
• ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2}}{\alpha ^{3}}},}$และ
• ${\displaystyle \sigma ={\frac {\omega }{\sqrt {\alpha }}}.}$

จุดแสดงถึงการหาอนุพันธ์ของเทียบกับซึ่งแสดงให้เห็นว่าคำตอบของสมการดัฟฟิงแบบมีแรงกระทำและแบบหน่วง สามารถอธิบายได้ในรูปของพารามิเตอร์สามตัว ( , , และ) และเงื่อนไขเริ่มต้น สองเงื่อนไข (เช่น สำหรับและ) ${\displaystyle y(\tau )}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle y(t_{0})}$${\displaystyle {\dot {y}}(t_{0})}$

โดยทั่วไป สมการดัฟฟิงไม่มีคำตอบเชิงสัญลักษณ์ที่แน่นอน อย่างไรก็ตาม มีวิธีการประมาณหลายวิธีที่ใช้ได้ผลดี:

• การขยายอนุกรมฟูริเยร์อาจให้สมการการเคลื่อนที่ด้วยความแม่นยำตามอำเภอใจ
• เทอม นี้ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าเทอมดัฟฟิงสามารถประมาณได้ว่ามีขนาดเล็ก และระบบสามารถถือได้ว่าเป็นตัวสั่นฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่ถูกรบกวน${\displaystyle x^{3}}$
• วิธีการ ของฟรอเบนิอุสให้ผลลัพธ์ที่ซับซ้อนแต่สามารถนำไปใช้ได้จริง
• สามารถใช้วิธีการคำนวณเชิงตัวเลขต่างๆ ได้เช่นวิธีของออยเลอร์และวิธีของรันเก-คุตตา
• วิธีการวิเคราะห์โฮโมโทปี (HAM) ได้รับการรายงานสำหรับการหาคำตอบโดยประมาณของสมการดัฟฟิง แม้แต่ในกรณีที่มีความไม่เป็นเชิงเส้นสูง^{[ 4 ] [ 5 ]}

ในกรณีพิเศษของ สมการ Duffing ที่ไม่มีการลดทอน ( ) และไม่มีแรงขับ ( ) สามารถหาคำตอบที่แน่นอนได้โดยใช้ฟังก์ชันวงรีของ Jacobi ^{[ 6 ]}${\displaystyle \delta =0}$${\displaystyle \gamma =0}$

การคูณสมการ Duffing ที่ไม่หน่วงและไม่มีแรงกระทำกับจะได้: ^{[ 7 ]} โดยที่Hเป็นค่าคงที่ ค่าของHถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้นและ${\displaystyle \gamma =\delta =0,}$${\displaystyle {\dot {x}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H,\end{aligned}}}$$${\displaystyle x(0)}$${\displaystyle {\dot {x}}(0).}$

การแทนที่ในHแสดงให้เห็นว่าระบบเป็นแบบแฮมิลโทเนียน : ${\displaystyle y={\dot {x}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},\qquad {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[1ex]\Longrightarrow {}&H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}.\end{aligned}}}$$

เมื่อทั้งและเป็นบวก คำตอบจะมีขอบเขต: ^{[ 7 ]} โดยที่แฮมิลโทเนียนHเป็นบวก ขอบเขตนี้บน มาจากการตัด เทอมที่มี ออกไป การรวมเทอมนี้ทำให้ได้ขอบเขตที่เล็กลงแต่ซับซ้อนมากขึ้น โดยการแก้สมการกำลังสองสำหรับ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle |x|\leq {\sqrt {2H/\alpha }}\qquad {\text{ and }}\qquad |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle (\beta /4)x^{4}+(\alpha /2)x^{2}-H=0}$${\displaystyle x^{2}}$

ในทำนองเดียวกัน ตัวสั่นแบบหน่วงจะลู่เข้าทั่วโลกโดยวิธีฟังก์ชัน Lyapunov ^{[ 8 ]} เนื่องจากสำหรับการหน่วง หากไม่มีแรงบังคับ ตัวสั่น Duffing แบบหน่วงจะไปสิ้นสุดที่จุดสมดุลที่เสถียร (จุดใดจุดหนึ่ง) จุดสมดุลที่เสถียรและไม่เสถียรอยู่ที่ถ้าจุดสมดุลที่เสถียรอยู่ที่ถ้าและจุดสมดุลที่เสถียรอยู่ที่และ$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \delta \geq 0}$${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}=0.}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle x=0.}$${\displaystyle \alpha <0}$${\displaystyle \beta >0}$${\textstyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}}$${\textstyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}.}$

ระบบสั่นแบบดัฟฟิงที่ถูกบังคับซึ่งมีคุณสมบัติไม่เชิงเส้นกำลังสามนั้น อธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญต่อไปนี้: $${\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).}$$

การตอบสนองความถี่ของออสซิลเลเตอร์นี้อธิบายแอมพลิจูด ของการตอบสนองสถานะคงที่ของสมการ (เช่น) ที่ความถี่การกระตุ้น ที่กำหนด สำหรับออสซิลเลเตอร์เชิงเส้นที่มีการตอบสนองความถี่จะเป็นเชิงเส้นเช่นกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับสัมประสิทธิ์ลูกบาศก์ที่ไม่เป็นศูนย์การตอบสนองความถี่จะกลายเป็นไม่เชิงเส้น ขึ้นอยู่กับประเภทของความไม่เชิงเส้น ออสซิลเลเตอร์ Duffing สามารถแสดงการตอบสนองความถี่แบบแข็งตัว อ่อนตัว หรือแบบผสมแข็งตัว-อ่อนตัวได้ อย่างไรก็ตาม การใช้วิธีการวิเคราะห์โฮโมโทปีหรือสมดุลฮาร์มอนิกสามารถหาอนุพันธ์สมการการตอบสนองความถี่ได้ในรูปแบบต่อไปนี้: ^{[ 9 ] [ 5 ]}${\displaystyle z}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \omega .}$${\displaystyle \beta =0,}$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle \left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\tfrac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}.}$$

สำหรับพารามิเตอร์ของสมการดัฟฟิง สมการพีชคณิตข้างต้นจะให้ค่าแอมพลิจูดการสั่นในสภาวะคงที่ที่ความถี่กระตุ้นที่กำหนด ${\displaystyle z}$

• 
  การตอบสนองความถี่เป็นฟังก์ชันของสมการดัฟฟิง โดยมีและการหน่วงส่วนที่เป็นเส้นประของการตอบสนองความถี่นั้นไม่เสถียร^{[ 3 ]}${\displaystyle z/\gamma }$${\displaystyle \omega /{\sqrt {\alpha }}}$${\displaystyle \alpha =\gamma =1}$${\displaystyle \delta =0.1}$
• 
  กราฟเดียวกันนี้แสดงในรูปแบบแผนภาพ 3 มิติ โดยแสดงค่าที่เปลี่ยนแปลงไปตามแกนแยกต่างหาก${\displaystyle \beta }$

เราสามารถหาค่า ได้โดยใช้กราฟ โดยพิจารณาจุดตัดของเส้นโค้งสองเส้นในระนาบ: สำหรับค่า คงที่เส้นโค้งที่สองจะเป็นไฮเปอร์โบลาคงที่ในควาดรันต์แรก เส้นโค้งแรกเป็นพาราโบลาที่มีรูปร่างและจุดยอดอยู่ที่ตำแหน่งถ้าเรากำหนดค่า คงที่และเปลี่ยนแปลงค่า จุดยอดของพาราโบลาจะเคลื่อนที่ไปตามเส้นตรง ${\displaystyle z^{2}}$${\displaystyle (z^{2},y)}$$${\displaystyle {\begin{cases}y=\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\\[1ex]y={\dfrac {\gamma ^{2}}{z^{2}}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \alpha ,\delta ,\gamma }$${\textstyle y={\tfrac {9}{16}}\beta ^{2}(z^{2})^{2}}$${\textstyle ({\tfrac {4}{3\beta }}(\omega ^{2}-\alpha ),\delta ^{2}\omega ^{2})}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \omega }$${\textstyle y={\tfrac {3}{4}}\beta \delta ^{2}(z^{2})+\delta ^{2}\alpha }$

จากภาพกราฟิก เราจะเห็นว่าถ้าเป็นจำนวนบวกขนาดใหญ่ เมื่อ เปลี่ยนแปลงไป พาราโบลาจะตัดกับไฮเปอร์โบลาที่จุดหนึ่ง จากนั้นสามจุด และสุดท้ายที่จุดเดียวอีกครั้ง ในทำนองเดียวกัน เราสามารถวิเคราะห์กรณีที่ เป็นจำนวนลบขนาดใหญ่ ได้เช่นกัน${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \beta }$

สำหรับช่วงค่าพารามิเตอร์บางช่วงในสมการดัฟฟิง การตอบสนองความถี่อาจไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียวของความถี่บังคับ อีกต่อไป สำหรับออสซิลเลเตอร์สปริงแข็งตัว ( และค่าบวกที่มากพอ) การตอบสนองความถี่จะยื่นไปทางด้านความถี่สูง และไปทางด้านความถี่ต่ำสำหรับออสซิลเลเตอร์สปริงอ่อนตัว ( และ) ด้านที่ยื่นออกมาด้านล่างนั้นไม่เสถียร – กล่าวคือส่วนที่เป็นเส้นประในรูปของการตอบสนองความถี่ – และไม่สามารถคงอยู่ได้เป็นเวลานาน ดังนั้นจึงเกิดปรากฏการณ์การกระโดดขึ้น: ${\displaystyle \omega .}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >\beta _{c+}>0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta <\beta _{c-}<0}$

• เมื่อความถี่เชิงมุมเพิ่มขึ้นอย่างช้าๆ (โดยที่พารามิเตอร์อื่นๆ คงที่) แอมพลิจูด การตอบสนอง จะลดลงอย่างกะทันหันที่จุด A ไปยังจุด B${\displaystyle \omega }$${\displaystyle z}$
• ถ้าความถี่ลดลงอย่างช้าๆ ที่จุด C แอมพลิจูดจะกระโดดขึ้นไปที่จุด D จากนั้นจะตามส่วนบนของกราฟการตอบสนองความถี่${\displaystyle \omega }$

การกระโดด A–B และ C–D ไม่ตรงกัน ดังนั้นระบบจึงแสดงฮิสเทอรีซิสขึ้นอยู่กับทิศทางการกวาดความถี่^{[ 9 ]}

การวิเคราะห์ข้างต้นถือว่าการตอบสนองความถี่พื้นฐานมีความสำคัญ (จำเป็นสำหรับการสร้างสมดุลฮาร์มอนิก) และการตอบสนองความถี่ที่สูงกว่านั้นไม่สำคัญ สมมติฐานนี้ไม่เป็นจริงเมื่อแรงกระทำมีความแรงมากพอ ฮาร์มอนิกลำดับสูงกว่าไม่สามารถละเลยได้ และพลวัตจะกลายเป็นความโกลาหล มีการเปลี่ยนผ่านไปสู่ความโกลาหลได้หลายแบบ ซึ่งส่วนใหญ่มักเกิดจากการเพิ่มคาบเป็นสองเท่าอย่างต่อเนื่อง^{[ 10 ]}

ร่องรอยแห่งเวลาและภาพแสดงระยะต่างๆ

การแกว่งคาบที่ 1${\displaystyle \gamma =0.20}$

การแกว่งคาบ 2 ที่${\displaystyle \gamma =0.28}$

การแกว่งคาบ 4 ที่${\displaystyle \gamma =0.29}$

การแกว่งคาบ 5 ที่${\displaystyle \gamma =0.37}$

ความวุ่นวายที่${\displaystyle \gamma =0.50}$

การแกว่งคาบ 2 ที่${\displaystyle \gamma =0.65}$

ตัวอย่างทั่วไปของอนุกรมเวลาและภาพเฟสของสมการดัฟฟิง ซึ่งแสดงการปรากฏของซับฮาร์โมนิกผ่านการแยกสาขาแบบทวีคูณคาบเวลา – รวมถึงพฤติกรรมอลวน – แสดงอยู่ในรูปด้านล่าง แอมพลิจูดของแรงกระทำเพิ่มขึ้นจากเป็นพารามิเตอร์อื่นๆ มีค่าเป็น, ,และเงื่อนไขเริ่มต้นคือและ จุดสี แดงในภาพเฟสอยู่ที่เวลาซึ่งเป็นจำนวนเต็มเท่าของคาบเวลา^{[ 11 ]}${\displaystyle \gamma =0.20}$${\displaystyle \gamma =0.65}$${\displaystyle \alpha =-1}$${\displaystyle \beta =+1}$${\displaystyle \delta =0.3}$${\displaystyle \omega =1.2}$${\displaystyle x(0)=1}$${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T=2\pi /\omega }$

• ออสซิลเลเตอร์ดัฟฟิง บน Scholarpedia
• หน้า MathWorld
• Pchelintsev, AN; Ahmad, S. (2020). "การแก้สมการ Duffing โดยวิธีอนุกรมกำลัง" (PDF) . ธุรกรรมของ TSTU . 26 (1): 118– 123.
• วิดีโอแสดงส่วนออสซิลเลเตอร์ของดัฟฟิงและปวงกาเร