สี่เหลี่ยมผืนผ้าไดนามิกคือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ( สี่เหลี่ยมผืนผ้า ) ที่มีสมมาตรไดนามิกซึ่งในกรณีนี้หมายความว่าอัตราส่วนด้าน (ความกว้างหารด้วยความสูง) เป็นค่าที่โดดเด่นในสมมาตรไดนามิกซึ่งเป็นระบบสัดส่วนและวิธีการออกแบบตามธรรมชาติที่อธิบายไว้ในหนังสือของJay Hambidge สี่เหลี่ยมผืนผ้าไดนามิกเหล่านี้เริ่มต้นด้วย สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งขยายออก (โดยใช้ชุดของส่วนโค้งและจุดตัด) เพื่อสร้างรูปทรงที่ต้องการ ซึ่งอาจเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ (1 : 1.618...) สี่เหลี่ยมผืนผ้า 2:3 สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองเท่า (1:2) หรือสี่เหลี่ยมผืนผ้าราก (1: √ φ , 1: √ 2 , 1: √ 3 , 1: √ 5 , เป็นต้น) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

สี่เหลี่ยมผืนผ้ารากคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่อัตราส่วนของด้านที่ยาวกว่าต่อด้านที่สั้นกว่าเป็นรากที่สองของจำนวนเต็มเช่น√2 , √3เป็นต้น^{[ 2 ]}

สี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ 2 (ACDK ในรูปที่ 10) สร้างขึ้นโดยการต่อด้านตรงข้ามสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้มีความยาวเท่ากับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ 3 สร้างขึ้นโดยการต่อด้านที่ยาวกว่าสองด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ 2 ให้มีความยาวเท่ากับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ 2 สี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ต่อเนื่องกันแต่ละอันสร้างขึ้นโดยการต่อด้านที่ยาวกว่าของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากให้มีความยาวเท่ากับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้านั้น^{[ 4 ]}

• เมื่อสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากNถูกแบ่งออกเป็น สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ากันทุกประการจำนวน N รูปโดยการแบ่งขอบที่ยาวกว่าออกเป็นNส่วน รูปทรงที่ได้จะยังคงรักษาอัตราส่วนรากN ไว้ (ดังที่แสดงไว้ข้างต้น) ^{[ 5 ]}

• สี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ 3 เรียกอีกอย่างว่า^ซิกซ์ตัน [ ^{6 ]}และด้านสั้นและด้านยาวของมันมีสัดส่วนเท่ากับด้านและเส้นผ่านศูนย์กลางสั้น (ความสูง) ของรูปหกเหลี่ยม^{[ 7 ]}

• เนื่องจาก 2 เป็นรากที่สองของ 4 ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ 4 จึงมีสัดส่วน 1:2 ซึ่งหมายความว่าเทียบเท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปวางเคียงข้างกัน^{[ 7 ]}
• สี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ 5 เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำ (φ) ด้านที่ยาวกว่าเท่ากับหนึ่งบวกสองเท่าของ 1/φ (0.618...) ^{[ 7 ]}

สี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ φ เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบไดนามิก แต่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมผืนผ้าราก เส้นทแยงมุมของมันเท่ากับ φ คูณด้วยความยาวด้านที่สั้นกว่า ถ้าสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ φ ถูกแบ่งด้วยเส้นทแยงมุม ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมเคปเลอร์สอง รูป ที่เท่ากัน ทุกประการ

เจย์ แฮมบิดจ์ในฐานะส่วนหนึ่งของทฤษฎีสมมาตรแบบไดนามิกของเขา ได้รวมสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากไว้ในสิ่งที่เขาเรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบไดนามิกซึ่งมี อัตราส่วนเป็นเศษส่วน อตรรกยะและเศษส่วน เรขาคณิต เช่นอัตราส่วนทองคำหรือรากที่สอง แฮมบิดจ์แยกความแตกต่างระหว่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้กับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีสัดส่วนตรรกยะ ซึ่งเขาเรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบคงที่ [ ^{3 ] ตาม} ที่เขากล่าว สี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ 2, 3, 4 และ 5 มักพบในศิลปะ วัตถุ และสถาปัตยกรรมแบบโกธิกและกรีกและโรมันคลาสสิก ในขณะที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนด้านมากกว่ารากที่ 5 นั้นแทบจะไม่พบในการออกแบบของมนุษย์^{[ 4 ]}

ตามที่Matila Ghyka กล่าวไว้ สี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบไดนามิกของ Hambidge

สามารถสร้างการแบ่งย่อยและการผสมผสานแบบฮาร์มอนิก (สอดคล้องกัน สัมพันธ์กันด้วยสมมาตร) ที่หลากหลายและน่าพอใจที่สุดได้ โดยกระบวนการที่ง่ายมาก [...] คือการวาดเส้นทแยงมุมและเส้นตั้งฉากภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เลือกจากจุดยอดที่เหลือสองจุด (จึงแบ่งพื้นผิวออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าผกผันและกโนมอน) และวาดเครือข่ายของเส้นขนานและเส้นตั้งฉากกับด้านและเส้นทแยงมุมใดๆ ก็ได้ ซึ่งจะสร้างพื้นผิวที่สัมพันธ์กันโดยอัตโนมัติด้วยสัดส่วนลักษณะเฉพาะของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเริ่มต้น และยังหลีกเลี่ยง (โดยอัตโนมัติอีกครั้ง) การผสมผสานของธีมที่เป็นปฏิปักษ์กัน เช่น√2 และ√3 หรือ √5 ในทางตรงกันข้าม√5และ Φ ไม่ใช่สิ่งที่เป็นปฏิปักษ์กัน แต่สอดคล้องกันเช่นเดียวกับ√Φ , Φ2 ^{เป็นต้น[ 3 ]}

ตามที่Wolfgang von Wersin กล่าวไว้ ในหนังสือ The Book of Rectangles, Spatial Law and Gestures of The Orthogons Described (1956) ชุดของออร์โธกอน พิเศษ 12 แบบ (จากภาษากรีกορθος , orthos , "เส้นตรง" ^{[ 9 ]}และγονια , gonia , "มุม"; "รูปมุมฉาก" ซึ่งผลที่ตามมาคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 10 ]} ) ได้ถูกนำมาใช้ในอดีตโดยศิลปิน สถาปนิก และนักเขียนอักษรวิจิตร เพื่อเป็นแนวทางในการจัดวางและการปฏิสัมพันธ์ขององค์ประกอบต่างๆ ในการออกแบบ^{[ 3 ] [ 11 ]} ออร์โธกอนเหล่านี้คือ: ^{[ 12 ]}

• สี่เหลี่ยมจัตุรัส (1:1 หรือ 1: √ 1 )
• เส้นทแยงมุม (1: √ 2 )
• เฮกตันหรือซิกตัน (1: √ 3 )
• ดอพเพลควอดราต (1:2 หรือ 1: √ 4 )
• เฮมิโอเลียน (2:3)
• ออรอน ( สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ , 1: φ )
• ครึ่งเหลี่ยม (2: √ 5 )
• เพนตัน (1: √ φ )
• ไทรออน ( √ 3 :2)
• รูปสี่เหลี่ยม (1:½(1+ √ 2 ))
• ไบออรอน (φ:2)
• ไบเพนตัน (1:2 √ 5-2 √ 5 )

หนังสือของ Wolfgang von Wersin ประกอบด้วยสำเนาข้อความพิเศษจากปี 1558 ( ยุคเรเนสซองส์ ) พร้อมแผนภาพของออร์โธกอน 7 ใน 12 รูป และคำเชิญชวนจากข้อความให้ใส่ใจอย่างระมัดระวัง เนื่องจากสถาปนิก "โบราณ" เชื่อว่า "ไม่มีสิ่งใดเหนือกว่าสัดส่วนเหล่านี้" ในฐานะ "สิ่งที่เป็นนามธรรมที่บริสุทธิ์ที่สุด" ^{[ 13 ]}

เมื่อรวมออร์โธกอนทั้ง 12 รูปเข้าด้วยกัน จะได้เป็นหน่วยเดียว คือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่พัฒนาเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสคู่^{[ 14 ]}

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตั้งฉากที่ได้รับความนิยมมากที่สุดอาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ทองคำ หรือ ที่เรียกว่า ออรอนซึ่งได้มาจากการลากเส้นทแยงมุมจากจุดกึ่งกลางของด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปยังจุดยอดตรงข้ามจุดใดจุดหนึ่ง จนกระทั่งเส้นทแยงมุมนั้นตรงกับจุดกึ่งกลางของด้านนั้น

รูปตั้งฉากทั้งสี่นี้เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าฮาร์มอนิก ได้แก่ สี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวทแยงหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่สองซึ่งเกิดจากการฉายเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่เหลี่ยมผืนผ้าหกสิบหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่สามซึ่งเกิดจากการฉายเส้นทแยงมุมของเส้นทแยงมุม สี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองเท่าหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่สองซึ่งเกิดจากการฉายเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า หกสิบ และ สี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่สองซึ่งเกิดจากการฉายเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองเท่า (หรือโดยการฉายเส้นทแยงมุมทั้งสองที่ลากจากจุดกึ่งกลางของด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปยังจุดยอดตรงข้าม 180°)

รูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนที่สุดสองรูปได้แก่เพนตอน (penton) ซึ่งมีสัดส่วน 1: √φสัมพันธ์กับส่วนของพีระมิดทองคำ ด้านที่ยาวกว่าของไบ เพนตอน (bipenton)เท่ากับด้านที่สั้นกว่าคูณด้วย2√5 - 2√5หรือ และด้านที่ยาวกว่าของไบออรอน (biauron) เท่ากับ √5 - 1หรือ2 /φ คูณกับด้านที่สั้นกว่า ${\textstyle 2{\sqrt {\phi ^{2}+1}}/\phi ^{2}}$

รูปสี่เหลี่ยมจตุรัสมีความสัมพันธ์กับรูปทแยงมุมตรงที่ด้านยาวของมันเกิดจากการลากเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งในสี่ส่วน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีความสูงเท่ากับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและมีความกว้างเท่ากับด้านข้าง ส่วนรูปครึ่งเหลี่ยมมีด้านยาวเป็นครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ 5 และเกิดจากการลากเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสครึ่งหนึ่งจนกระทั่งตั้งฉากกับจุดกำเนิด

นอกจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองเท่าแล้ว รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคงที่อีกรูปเดียวที่รวมอยู่ในรายการคือรูปครึ่งวงกลม (hemiolion ) ซึ่งเกิดจากการฉายมุม 90° หรือ 180° ของด้านครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

มิติของออร์โธกอนมีความสัมพันธ์กันและสัมพันธ์กับออร์โธกอนโดยรวม ด้วยเหตุนี้ การใช้ออร์โธกอนเป็นแม่แบบหรือโครงสร้างพื้นฐานจึงเป็นที่น่าสนใจสำหรับศิลปิน สถาปนิก และนักออกแบบ^{[ 15 ]}

รูปตั้งฉาก (Orthogon) เริ่มต้นด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเสมอ ไม่ว่าจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใดก็ตาม เมื่อสร้างรูปตั้งฉากแต่ละรูปเสร็จแล้ว จะมีการกำหนดขนาดที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติม (เล็ก กลาง ใหญ่) จากนั้นสามารถใช้ขนาดเหล่านี้เป็นแนวทางในการออกแบบ (เช่น งานจิตรกรรม สถาปัตยกรรม เครื่องปั้นดินเผา เฟอร์นิเจอร์ การเขียนพู่กัน รถยนต์ ฯลฯ)

หนังสือของ Wersin มีคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับการสร้าง Orthogon แต่ละอัน^{[ 16 ]} จากนั้นจึงนำการวัดที่ได้มาไปใช้ในการออกแบบ ผลงานศิลปะของGiorgio Morandiเป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าการวัดขนาดต่างๆ (ที่ได้มาจาก Orthogon) สามารถสร้างความกลมกลืนทางสายตาได้อย่างไร

การใช้มิติที่สัมพันธ์กับรูปตั้งฉากเป็นระบบโครงสร้างพื้นฐาน (หรือแม่แบบสำหรับการออกแบบ) ช่วยให้มั่นใจได้ว่าส่วนต่างๆ จะสัมพันธ์กับการออกแบบโดยรวม มาร์คัสวิทรูเวียสโพลลิโอ ในหนังสือเล่มที่สามของ " De Architectura " (ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ "หนังสือสถาปัตยกรรมสิบเล่ม") อธิบายไว้ว่า:

"ดังนั้น เนื่องจากธรรมชาติได้ออกแบบร่างกายมนุษย์ให้ส่วนต่างๆ มีสัดส่วนที่เหมาะสมกับโครงสร้างโดยรวมแล้ว จึงดูเหมือนว่าคนโบราณมีเหตุผลที่ดีในการกำหนดกฎเกณฑ์ว่า ในอาคารที่สมบูรณ์แบบ ส่วนต่างๆ ของร่างกายจะต้องมีความสัมพันธ์สมมาตรอย่างแม่นยำกับโครงสร้างโดยรวมทั้งหมด ดังนั้น ในขณะที่ถ่ายทอดการจัดวางที่เหมาะสมสำหรับอาคารทุกประเภทให้แก่เรา พวกเขาจึงระมัดระวังเป็นพิเศษในกรณีของวิหารของเทพเจ้า ซึ่งเป็นอาคารที่ความดีและความชั่วโดยทั่วไปจะคงอยู่ตลอดไป"

ภาพวาด Vitruvian Manของเลโอนาร์โดเป็นตัวอย่างของแนวคิดเรื่องส่วนต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับงานโดยรวม^{[ 17 ]}

• เฮเมนเวย์, ปรียา; สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์, ค่า Phi ในศิลปะ ธรรมชาติ และวิทยาศาสตร์; 2005, สำนักพิมพ์สเตอร์ลิง จำกัด, นิวยอร์ก, นิวยอร์ก