รากที่สองของ 5

เส้นทแยงมุมของ สี่เหลี่ยมผืนผ้า ขนาด 2 × 1มีความยาวเท่ากับ√5
ความมีเหตุผล	ไร้เหตุผล
ตัวแทน
ทศนิยม	2.23606 79774 99789 69...
รูปแบบพีชคณิต	${\displaystyle {\sqrt {5}}}$
เศษส่วนต่อเนื่อง	${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{{\vphantom {x}} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}$

รากที่สองของ 5ซึ่งเขียนแทนด้วย⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$คือจำนวน จริง บวกที่เมื่อคูณด้วยตัวเองแล้วจะได้จำนวนธรรมชาติ5พร้อมกับ จำนวน คู่ควบ⁠ ⁠${\displaystyle -{\sqrt {5}}}$มันสามารถแก้สมการกำลังสอง⁠ ⁠${\displaystyle x^{2}-5=0}$ ได้ ทำให้มันเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง ซึ่ง เป็นจำนวนพีชคณิตชนิดหนึ่ง⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$เป็นจำนวนอตรรกยะหมายความว่ามันไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้^{[ 1 ]}ตัวเลขสำคัญสี่สิบหลักแรกของการขยายทศนิยม ของมัน คือ:

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 5440... (ลำดับA002163ในOEIS )

ความยาว⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$สามารถสร้างขึ้นได้จากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าหน่วย⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\times 1}$นอกจากนี้ยังปรากฏให้เห็นทั่วไปในเรขาคณิตเชิงเมตริกของรูปทรงที่มีสมมาตรห้าเท่า อัตราส่วนระหว่างเส้นทแยงมุมและด้านของรูป ห้าเหลี่ยมปกติคืออัตราส่วนทองคำ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$

รากที่สองของ 5 เป็นจำนวนอตรรกยะหมายความว่าไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้อย่างแม่นยำโดยที่ n และ n เป็นจำนวนเต็มอย่างไรก็ตามสามารถ${\displaystyle x/y}$ประมาณค่าได้อย่างใกล้เคียงด้วยจำนวนตรรกยะ${\displaystyle x}$ดังกล่าว ${\displaystyle y}$

ค่าประมาณที่ดีเป็นพิเศษคือคำตอบจำนวนเต็มของสมการของเพลล์

${\displaystyle x^{2}-5y^{2}=1\quad {\text{และ}}\quad x^{2}-5y^{2}=-1,}$

ซึ่งสามารถจัดเรียงใหม่ทางพีชคณิตให้อยู่ในรูปแบบได้

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\sqrt {5\pm {\frac {1}{y^{2}}}}}.}$

ตัวอย่างเช่น ค่าประมาณ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle 2={\sqrt {5-1}}}$ซึ่งมีความแม่นยำประมาณ 10% สอดคล้องกับสมการของเพลล์เชิงลบ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle 2^{2}-5\cdot 1^{2}=4-5=-1}$ในทำนองเดียวกัน ค่าประมาณ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\tfrac {9}{4}}={\sqrt {5+{\tfrac {1}{16}}}}=2.25}$ซึ่งมีความแม่นยำภายใน 1% สอดคล้องกับสมการเชิงบวก⁠ ⁠ ค่าประมาณทั้งสองนี้เป็นคำตอบพื้นฐานของแต่ละสมการของเพลล์ตามลำดับ ซึ่ง ${\displaystyle \textstyle 9^{2}-5\cdot 4^{2}=81-80=1}$คำตอบเพิ่มเติมมีความสัมพันธ์ทางพีชคณิตกับ คำตอบ เหล่านี้

สามารถหาคำตอบของสมการของ Pell ทั้งสองสมการได้อย่างเป็นระบบโดยทำตามอัลกอริทึมของยุคลิดส่งผลให้ได้เศษส่วนต่อเนื่องที่เรียบง่ายสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ , ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,\ldots {}]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{{\vphantom {x}} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}.}$

แต่ละขั้นตอนของอั${\displaystyle n}$ลกอริทึมจะสร้างค่าประมาณที่ดีขึ้นซึ่งเป็น${\displaystyle x_{n}/y_{n}}$หนึ่งในค่าลู่เข้า (การประเมินบางส่วน) ของเศษส่วนต่อเนื่องนี้ ค่าเหล่านี้เป็นลำดับของค่าประมาณเชิงตรรกะที่ดีที่สุดสำหรับโดย แต่ละ ค่า${\displaystyle {\sqrt {5}}}$มีความแม่นยำมากกว่าค่าประมาณเชิงตรรกะอื่นๆ ที่มีตัวส่วนเท่ากันหรือเล็กกว่า ค่าเหล่านี้ให้คำตอบทั้งหมดของสมการของ Pell ซึ่งสอดคล้องกับ[ 3 ${\displaystyle \textstyle x_{n}^{2}-5y_{n}^{2}=(-1)^{n}}$^]ค่า^{ลู่เข้า}หลายค่าแรกของเศษส่วนต่อเนื่องคือ: ^{[ 4 ]}

⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$	⁠ ⁠${\displaystyle 0}$	⁠ ⁠${\displaystyle 1}$	⁠ ⁠${\displaystyle 2}$	⁠ ⁠${\displaystyle 3}$	⁠ ⁠${\displaystyle 4}$	⁠ ⁠${\displaystyle 5}$	⁠ ⁠${\displaystyle 6}$	⁠ ⁠${\displaystyle 7}$	⁠ ⁠${\displaystyle 8}$	⁠ ⁠${\displaystyle 9}$	⁠ ⁠${\displaystyle \ldots }$
⁠ ⁠${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {x_{n}}}{\vphantom {t}}}{\boldsymbol {y_{n}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {9}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {38}{17}}}$	${\displaystyle {\frac {161}{72}}}$	${\displaystyle {\frac {682}{305}}}$	${\displaystyle {\frac {2889}{1292}}}$	${\displaystyle {\frac {12238}{5473}}}$	${\displaystyle {\frac {51841}{23184}}}$	${\displaystyle {\frac {219602}{98209}}}$	${\displaystyle \ldots }$

ในขีดจำกัดค่าประมาณเหล่านี้จะลู่เข้าสู่⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$นั่นคือ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }x_{n}/y_{n}={\sqrt {5}}}$ .

หนึ่งในวิธีการที่เก่าแก่ที่สุดในการคำนวณรากที่สองของจำนวน⁠ ⁠${\displaystyle d}$วิธีบาบิโลน [ ^{5 ] เริ่ม}ต้นด้วยการคาดเดาเบื้องต้น⁠ ⁠${\displaystyle x_{0}}$และในแต่ละขั้นตอนจะหาค่าประมาณใหม่โดยการหาค่าเฉลี่ยของค่าประมาณก่อนหน้าและ⁠ ⁠ คูณ ${\displaystyle d}$ด้วยส่วนกลับของมัน⁠ ⁠${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(x_{n}+d/x_{n})}$นี่คือกรณีพิเศษสำหรับฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle f(x)=x^{2}-d}$ของวิธีการของนิวตันในการหารากของฟังก์ชันใดๆ สำหรับการคาดเดาทั่วไป ค่าประมาณจะลู่เข้าแบบกำลังสอง (โดยประมาณจะเพิ่มจำนวนหลักที่ถูกต้องเป็นสองเท่าในแต่ละขั้นตอน) ^{[ 6 ]}

การคาดเดาเบื้องต้นค่อนข้างเป็นไปตามอำเภอใจ แต่เมื่อประมาณค่า⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ด้วยวิธีนี้ มักจะเลือก ⁠ ⁠ [ ${\displaystyle x_{0}=2}$^{7 ] ด้วย}การเลือกนี้ การประมาณค่า ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ครั้งที่ จะเท่ากับ การลู่เข้าครั้งที่ ⁠ ⁠${\displaystyle 2^{n}}$ของเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\frac {2}{1}}&\!\!x_{1}&={\frac {9}{4}}&\!\!x_{2}&={\frac {161}{72}}&\!\!x_{3}&={\frac {51841}{23184}}\\[3mu]&=2.{\color {BrickRed}0},&&=2.2{\color {BrickRed}5},&&\approx 2.236{\color {BrickRed}1},&&\approx 2.23606\,7977{\color {BrickRed}9},&\!\!\ldots ,\end{aligned}}}$

โดยตัวเลขที่แตกต่างจากการขยายทศนิยมของ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$จะถูกเน้นด้วยสีแดง

อัตราส่วนทองคำคือ${\displaystyle \varphi }$ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 1 และ. [ ^{9 ] มี}ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำและคู่ควบพีชคณิตของมันดังที่แสดงในสูตรต่อไปนี้: ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -{\overline {\varphi }}=2\varphi -1=1-2{\overline {\varphi }},\\[5pt]\varphi &={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\overline {\varphi }}+{\sqrt {5}}=-{\frac {1}{~\!{\overline {\varphi }}\!~}}=1-{\overline {\varphi }},\\[5pt]{\overline {\varphi }}&={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi -{\sqrt {5}}=-{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi .\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ จากนั้นตัวเลขในรูปแบบปิดสำหรับตัวเลขฟิโบนาชชี : ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle F(n)={\frac {\varphi ^{n}-{\overline {\varphi }}^{n}}{\sqrt {5}}}.}$$

ผลหารให้${\displaystyle {\sqrt {5}}{\big /}\varphi }$รูปแบบที่น่าสนใจของเศษส่วนต่อเนื่องและเกี่ยวข้องกับอัตราส่วนระหว่างจำนวนฟิโบนาชชีและจำนวนลูคัส : ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}&=1.381966\dots =[1;2,1,1,1,\ldots ]\end{aligned}}}$$

สมการเชิงอนุพันธ์เหล่านี้ใช้จำนวนลูคัสเป็นตัวตั้ง และจำนวนฟิโบนาชชีเป็นตัวส่วน:

$${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},\ldots ,{\frac {L_{n}}{F_{n+1}}},\ldots }$$

ในขีด จำกัด$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}={\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi ,\qquad \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

กล่าวโดยละเอียดแล้ว ค่าลู่เข้าสู่เศษส่วนต่อเนื่องสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ (ดูหัวข้อ § การประมาณเชิงตรรกะด้านบน) คือ:

${\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},\ldots ,{\frac {{\tfrac {1}{2}}L_{3n}}{{\tfrac {1}{2}}F_{3n}}},\ldots .}$

ในทางเรขาคณิตสอดคล้องกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาว1และ2ดังที่เห็นได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังกล่าวสามารถได้มาจากการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสครึ่งหนึ่ง หรือโดยการวางสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่เท่ากันไว้ข้างๆ กัน ซึ่งสามารถใช้ในการแบ่งตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอียงที่มีจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นห้าเท่า ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับพื้นผิวการแบ่งย่อย [ ^{12 ] เมื่อ}รวมกับความสัมพันธ์ทางพีชคณิตระหว่างและสิ่งนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ ทางเรขาคณิต จากสี่เหลี่ยมจัตุรัส และสำหรับการสร้างรูปห้า เหลี่ยมปกติโดยกำหนดด้าน (เนื่องจากอัตราส่วนด้านต่อเส้นทแยงมุมในรูปห้าเหลี่ยมปกติคือ)${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

เนื่องจากหน้าสองด้านที่อยู่ติดกันของลูกบาศก์จะคลี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอัตราส่วน ระหว่างความยาวของ ${\displaystyle 1\mathbin {:} 2}$ขอบลูกบาศก์และระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดยอด หนึ่งไปยังจุดยอดตรงข้าม เมื่อเดินทางผ่าน พื้นผิวลูกบาศก์คือในทางตรงกันข้าม ระยะทางที่สั้นที่สุดเมื่อเดินทางผ่านด้านในของลูกบาศก์จะสอดคล้องกับความยาวของเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ ซึ่งก็คือรากที่สองของสามเท่าของความยาวขอบ^{[ 13 ]}${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีสัดส่วนด้านเป็นส่วนหนึ่งของชุดสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบไดนามิกซึ่งอิงตามสัดส่วน⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ... และสร้างขึ้นตาม ลำดับโดยใช้เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ารากก่อนหน้า โดยเริ่มจากสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 14 ]}สี่เหลี่ยมผืนผ้ารากที่ 5 โดดเด่นเป็นพิเศษตรงที่สามารถแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำสองรูปที่เท่ากัน หรือสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำสองรูปที่มีขนาดต่างกัน[ ^{15 ] นอกจาก}นี้ยังสามารถแยกย่อยเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำสองรูปที่เท่ากัน ซึ่งจุดตัดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งสองนี้ก่อให้เกิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปทรงเหล่านี้แสดงถึงความสัมพันธ์ทางพีชคณิตระหว่าง, ⁠ ⁠และ⁠ ⁠ที่กล่าวถึงข้างต้น ${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {4}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi ^{-1}}$

รากที่สองของ 5 ปรากฏในค่าคงที่ตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้องกับมุมในรูปห้าเหลี่ยมและสิบเหลี่ยมปกติ ซึ่งเมื่อรวมกันแล้วสามารถรวมกับมุมอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องและอธิบายไซน์และโคไซน์ของทุกมุมที่มีขนาดเป็นองศา หารด้วย 3 ลงตัวแต่หารด้วย 15 ไม่ ลงตัว ^{[ 16 ]}ที่ง่ายที่สุดของสิ่งเหล่านี้คือ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1}},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,.\end{aligned}}}$

ดังนั้นการคำนวณค่าของมันจึงมีความสำคัญทางประวัติศาสตร์สำหรับการสร้างตารางตรีโกณมิติเนื่องจากมีความเชื่อมโยงทางเรขาคณิตกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าครึ่งสี่เหลี่ยมและรูปห้าเหลี่ยม จึงปรากฏบ่อยครั้งในสูตรสำหรับคุณสมบัติทางเรขาคณิตของรูปทรงที่ได้มาจากรูปเหล่านั้น เช่น ในสูตรสำหรับปริมาตรของทรงสิบสองเหลี่ยม^{[ 13 ]}${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

ทฤษฎีบทของฮูร์วิต ซ์ เกี่ยวกับการประมาณค่าด้วยไดโอแฟนไทน์กล่าวว่าจำนวนอตรรกยะx ทุกจำนวน สามารถประมาณค่าได้ด้วยจำนวนตรรกยะจำนวนอนันต์ม/nในรูปอย่างง่ายที่สุดในลักษณะที่ว่า

${\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}$

และนั่นเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้ ในแง่ที่ว่าสำหรับค่าคงที่ใดๆ ที่มากกว่าจะมีจำนวนอตรรกยะx บางจำนวน ซึ่งมีการประมาณค่าดังกล่าวเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น^{[ 17 ]}${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

ทฤษฎีบท^{[ 18 ]} ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเรื่องนี้คือทฤษฎีบท ที่ว่าการลู่เข้า สามครั้งที่ต่อเนื่องกันใดๆ⁠พี_ไอ/q _i, ⁠​พี_{ไอ +1}/q _{i +1}, ⁠​พี_{ไอ +2}/q _{i +2}สำหรับจำนวน αอย่างน้อยหนึ่งในอสมการทั้งสามข้อต่อไปนี้จะเป็นจริง :

${\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.}$

และในตัวส่วนนั้นเป็นขอบเขตที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้ เนื่องจากค่าลู่เข้าของอัตราส่วนทองคำทำให้ความแตกต่างทางด้านซ้ายมือใกล้เคียงกับค่าทางด้านขวามือมากพอสมควร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไม่สามารถหาขอบเขตที่แน่นกว่านี้ได้โดยการพิจารณาลำดับของค่าลู่เข้าที่ต่อเนื่องกันสี่ค่าขึ้นไป^{[ 18 ]}${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

อเล็กซานเดอร์ คอร์กินและเยกอร์ อิวาโนวิช โซโลตาริยอฟ พิสูจน์ในปี พ.ศ. 2416 ว่า จำนวนลากรางจ์สองจำนวนแรกคือรากที่สองของ 5 และรากที่สองของ 8ซึ่งต่อมาเป็นแรงบันดาลใจให้งานของอันเดรย์ มาร์คอฟในสิ่งที่ต่อมาเรียกว่าทฤษฎีบทของมาร์คอฟ^{[ 19 ]}

ฟิลด์กำลัง สองสองฟิลด์⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {-5}}~\!{\bigr )}}$ซึ่งเป็นส่วนขยายฟิลด์ของจำนวนตรรกยะและวงแหวนจำนวนเต็มที่เกี่ยวข้อง⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}~\!]}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\sqrt {-5}}~\!]}$ตามลำดับ เป็นตัวอย่างพื้นฐานและได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง

วงแหวนประกอบด้วยตัวเลขในรูปแบบโดยที่aและbเป็นจำนวนเต็มและเป็นจำนวนจินตนาการวงแหวนนี้เป็นตัวอย่างที่ถูกอ้างถึงบ่อยครั้งของโดเมนจำนวนเต็มที่ไม่ใช่โดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน [ 20 ^{]ตัวอย่างเช่น}ตัวเลข 6 มีการแยกตัวประกอบที่ไม่เท่ากันสองแบบภายในวงแหวนนี้:${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$${\displaystyle i{\sqrt {5}}}$${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,}$

ในทางกลับกัน วงแหวน จำนวนเต็มกำลังสอง จริง ของจำนวนเต็มทองคำ ที่ติดกับอัตราส่วนทองคำ ได้รับการ ^{พิสูจน์}แล้วว่าเป็นยูคลิด และด้วยเหตุนี้จึง ^เป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน โดย Dedekind นี่คือวงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์ทองคำ [ 21 ^]${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$

ฟิลด์ นี้ เช่นเดียวกับ ฟิลด์กำลังสองอื่นๆเป็นส่วนขยายแบบอาเบเลียนของจำนวนตรรกยะ ดังนั้น ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-เวเบอร์จึงรับประกันว่ารากที่สองของห้าสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นตรรกยะของรากที่หนึ่ง : ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}],}$

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.\,}$

ณ เดือนมกราคม พ.ศ. 2565 ค่าตัวเลขในเลขฐานสิบของรากที่สองของ 5 ได้รับการคำนวณจนมีจำนวนหลักอย่างน้อย 2.25 ล้านล้านหลัก^{[ 22 ]}

• อัตราส่วนทองคำ
• รากที่สอง
• รากที่สองของ 2
• รากที่สองของ 3
• รากที่สองของ 6
• รากที่สองของ 7
• รากที่สองของ 10