รากที่สองของ 8คือจำนวน จริง บวกที่เมื่อคูณด้วยตัวเองแล้วได้ผลลัพธ์เป็น8โดยจะเรียกให้ถูกต้องกว่านั้นคือรากที่สองหลักของ 8เพื่อแยกแยะออกจากจำนวนลบที่มีคุณสมบัติเดียวกัน จำนวนนี้ปรากฏในบริบททางเรขาคณิตและทฤษฎีจำนวนมากมาย รวมถึงในปรัชญาคลาสสิกและสัทศาสตร์ดนตรี มันคือจำนวนลากรางจ์ลำดับที่สองในการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ ปรากฏในเมโนของเพลโตในฐานะความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เป็นสองเท่าของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 2 และเป็นอัตราส่วนที่ใช้ในระบบการปรับขนาดท่อลมของออร์แกนของโยฮันน์ ก็อตต์ลอบ เทิฟเฟอร์

สามารถเขียนในรูป รากที่สอง ได้เป็น และในรูปเลขยกกำลังได้เป็น ซึ่งก็คือสองเท่าของรากที่สองของ 2 พอดีซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะที่นักคณิตศาสตร์ James Kyle อธิบายว่า "น่าสนใจเป็นพิเศษ" ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\textstyle {\sqrt {8}}}$${\textstyle 8^{\frac {1}{2}}}$

เป็นจำนวนพีชคณิตอตรรกยะตัวเลข สำคัญ 60 หลักแรกของการขยายทศนิยมมีดังนี้:

2.82842 71247 46190 09760 33774 48419 39615 71393 43750 75389 61463 5335... . ^{[ 3 ]}

ค่าประมาณเชิงตรรกะที่สะดวกสำหรับรากที่สองของ 8 คือ⁠17/6( ≈ 2.8333) มีความแม่นยำภายในประมาณ 0.17% การประมาณเชิงตรรกะ82/29( ≈2.8276) มีข้อผิดพลาดน้อยกว่า 0.03% และการประมาณเชิงตรรกะ99/35( ≈2.82857142857...) มีข้อผิดพลาด 0.000144

เนื่องจากรากที่สองของ 8 เป็นเศษส่วนต่อเนื่องแบบคาบ เราจึงสามารถแทนรากที่สองของ 8 ด้วยรูปแบบจำนวนเต็มที่ซ้ำกันอย่างง่ายๆ ได้ดังนี้:

${\displaystyle {\sqrt {8}}}$

= [2; 1, 4, 1, 4, ...]

เนื่องจากรากที่สองของเก้าเป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นรากที่สองของแปดจึงเป็นจำนวนอตรรกยะที่มากที่สุดที่เป็นรากที่สองของจำนวนเต็มหลักเดียว

สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์ระบุลำดับของตัวเลขทศนิยมของรากที่สองของ 8 ที่ A010466 ^{[ 3 ]}

ปริมาณทางเรขาคณิตที่ในปัจจุบันเรียกว่ารากที่สองของแปดนั้น มีการอ้างอิงโดยปริยายใน บทสนทนา เมโนของเพลโต ในบทสนทนา นั้นโสกราตีสแสดงให้เห็นว่าด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เป็นสองเท่าของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 2 คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม โสกราตีสใช้การสาธิตนี้เพื่อโต้แย้งวิธีการตั้งคำถามและการระลึกความจำของเขาโดยการสอบถามทาสที่ไม่รู้เรขาคณิต^{[ 4 ]}

โสกราตีสเริ่มต้นบทสนทนาที่มีอิทธิพลมากที่สุดบทหนึ่งในปรัชญาตะวันตกเกี่ยวกับการโต้แย้งเรื่องความรู้ที่มีมาแต่กำเนิดโดยการวาดรูปทรงเรขาคณิตบนพื้น โสกราตีสแสดงให้เห็นว่าทาสไม่รู้ในตอนแรกว่าความยาวด้านต้องยาวเท่าใดจึงจะทำให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 2 ฟุตเป็นสองเท่า ทาสเดาในตอนแรกว่าด้านเดิมต้องยาวเป็นสองเท่า (4 ฟุต) และเมื่อพิสูจน์แล้วว่ามากเกินไป จึงเดาว่าต้องเป็น 3 ฟุต ซึ่งก็ยังมากเกินไป และทาสก็ไม่รู้คำตอบ^{[ 5 ] : 84c} จากนั้นโสกราตีสจึงเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกสามรูปเข้าไปในสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม เพื่อสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ขึ้นสี่เท่า เขาลากเส้นทแยงมุมสี่เส้นที่แบ่งครึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กแต่ละรูป ผ่านการซักถาม โสกราตีสนำทาสไปสู่การค้นพบว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดจากเส้นทแยงมุมเหล่านี้มีพื้นที่แปดตารางฟุต ซึ่งเป็นสองเท่าของเดิม เขาอ้างว่าทาสได้ "ฟื้นคืนมาเอง" ความรู้ที่เขารู้มาตั้งแต่ก่อนเกิด โดยไม่ได้รับการสอน^{[ 5 ] : 86a}

นักปรัชญาเพลโต Malcolm S. Brown ตีความการเปลี่ยนแปลงของโสกราตีสจากการถามความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดแปดฟุตไปเป็นการขอให้เด็กทาสระบุเส้นตรงนั้นว่าเป็นการยอมรับว่าเด็กชายไม่สามารถเข้าใจแนวคิดของรากที่สองของ 8 ได้^{[ 6 ]}ในขณะที่ Adam Weiler Gur Arye โต้แย้งว่าบทเรียนนี้มีจุดประสงค์ตั้งแต่แรกเริ่มเพื่อสาธิตการสร้างทางเรขาคณิตโดยอิงจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำให้ค่าตัวเลขที่แน่นอนเป็นเรื่องบังเอิญ^{[ 4 ]}

ในทฤษฎีการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์รากที่สองของ 8 คือจำนวนลากรางจ์ลำดับ ที่สอง ซึ่งแสดงถึงค่าคงที่การประมาณค่าที่เหมาะสมที่สุดสำหรับจำนวนอตรรกยะที่เทียบเท่ากับรากที่สองของ 2 หลังจากที่ไม่รวมกลุ่มอัตราส่วนทองคำ^{[ 7 ]} ดังที่ Steven R. Finchได้อธิบายไว้ในหนังสือ Mathematical Constants ของเขา ว่า "ระดับความยากของการประมาณค่าถัดไปจะกำหนดโดย λ(ξ) = √8 สำหรับ ξ ทั้งหมดที่เทียบเท่ากับค่าคงที่พีทาโกรัส √2 นั่นคือ มีตัวส่วนย่อยที่เป็น 2 ทั้งหมดในที่สุด" กล่าวอีกนัยหนึ่ง หลังจากไม่รวมจำนวนที่เทียบเท่ากับอัตราส่วนทองคำแล้ว ระดับความยากของการประมาณค่าถัดไปจะแสดงด้วยค่าคงที่ รากที่สองของ 8 ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับจำนวนที่เทียบเท่ากับ √2 และมีตัวส่วนย่อยที่เป็นเศษส่วนต่อเนื่องที่เป็น 2 ทั้งหมดในที่สุด

หลักฐานที่ว่าจำนวนลากรางจ์สองจำนวนแรกคือรากที่สองของ 5และรากที่สองของ 8 ได้รับการตีพิมพ์โดยAleksandr KorkinและYegor Ivanovich Zolotaryov ในปี พ.ศ. 2416 ผลลัพธ์นี้ต่อมาเป็นแรงบันดาลใจให้ Andrey Markovได้ทำการวิจัยเกี่ยวกับสิ่งที่ต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทของ Markov ^{[ 8 ]}

ในการเพิ่มประสิทธิภาพทางเรขาคณิต แบบคลาสสิ ก รากที่สองของ 8 ก็คือ "ความยาวของบันไดที่ยาวที่สุด (แข็ง) ที่สามารถวางในแนวนอนรอบมุมฉากในทางเดินที่มีความกว้างหนึ่งหน่วย" ^{[ 3 ]}

ในการปรับขนาดท่อลมออร์แกนรากที่สองของแปดใช้เพื่ออธิบายระบบการปรับขนาดมาตรฐานที่คิดค้นโดยJohann Gottlob Töpfer Töpfer สรุปว่าพื้นที่หน้าตัดของท่อออร์แกน แทนที่จะเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ควรแปรผันทางเรขาคณิตจากอ็อกเทฟหนึ่งไปยังอีกอ็อกเทฟหนึ่ง การเลือกค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอัตราส่วน 1:2 และ 1:4 ต่ออ็อกเทฟจะให้ค่าอัตราส่วนพื้นที่ ซึ่ง สอดคล้องกับเส้นผ่านศูนย์กลางท่อที่ลดลงครึ่งหนึ่งทุกๆ 16 ช่วงเซมิโทน Töpfer พบว่า Normalmensurนี้ทำให้ได้ปริมาตรและโทนเสียงที่ค่อนข้างสม่ำเสมอทั่วทั้งแป้นคีย์บอร์ดออร์แกน^{[ 9 ]}${\displaystyle 1:{\sqrt {8}}}$

• รากที่สองของ 5
• รากที่สองของ 6
• รากที่สองของ 7
• รากที่สองของ 10