แบบ จำลอง การแพร่กระจาย ของ Ehrenfest (หรือแบบจำลองสุนัข-หมัด ) ได้รับการเสนอโดยTatianaและPaul Ehrenfestเพื่ออธิบายกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์ [ ^{1 ] [ 2 ] แบบ}จำลองนี้พิจารณา อนุภาค Nตัวในภาชนะสองใบ อนุภาคเปลี่ยนภาชนะอย่างอิสระด้วยอัตรา  λหาก กำหนดให้ X ( t ) = iเป็นจำนวนอนุภาคในภาชนะหนึ่ง ณ เวลาtแล้ว มันจะเป็นกระบวนการเกิด-ตายที่มีอัตราการเปลี่ยนผ่าน

• ${\displaystyle q_{i,i-1}=i\,\lambda }$สำหรับi = 1, 2, ..., N
• ${\displaystyle q_{i,i+1}=(Ni\,)\lambda }$สำหรับi = 0, 1, ..., N – 1

และการกระจายสมดุล ${\displaystyle \pi _{i}=2^{-N}{\tbinom {N}{i}}}$

มาร์ค แคคพิสูจน์ในปี 1947 ว่าหากสถานะเริ่มต้นของระบบไม่สมดุลเอนโทรปีจะกำหนดโดย

${\displaystyle H(t)=-\sum _{i}P(X(t)=i)\log \left({\frac {P(X(t)=i)}{\pi _{i}}}\right),}$

มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ( ทฤษฎีบท H ) ซึ่งเป็นผลมาจากการลู่เข้าสู่การกระจายสมดุล

พิจารณาว่าในตอนเริ่มต้น อนุภาคทั้งหมดอยู่ในภาชนะใดภาชนะหนึ่ง คาดว่าเมื่อเวลาผ่านไป จำนวนอนุภาคในภาชนะนี้จะเข้าใกล้และคงที่ใกล้เคียงกับสถานะเริ่มต้น (ภาชนะทั้งสองจะมีจำนวนอนุภาคใกล้เคียงกัน) อย่างไรก็ตาม จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ การกลับไปสู่สถานะเริ่มต้นนั้นเป็นไปได้ (หรือเกือบจะแน่นอน) จากทฤษฎีบทการเกิดซ้ำโดยเฉลี่ย จะเห็นได้ว่าแม้แต่เวลาที่คาดว่าจะกลับไปสู่สถานะเริ่มต้นก็มีค่าจำกัด และมีค่าเท่ากับ. โดยใช้การประมาณของสเตอร์ลิงเราพบว่าหากเราเริ่มต้นที่สมดุล (จำนวนอนุภาคในภาชนะเท่ากัน) เวลาที่คาดว่าจะกลับไปสู่สมดุลจะมีค่าเท่ากับ. ถ้าเราสมมติว่าอนุภาคเปลี่ยนภาชนะในอัตราหนึ่งอนุภาคต่อวินาที ในกรณีเฉพาะของอนุภาคที่เริ่มต้นที่สมดุล การกลับไปสู่สมดุลคาดว่าจะเกิดขึ้นในไม่กี่วินาที ในขณะที่การเริ่มต้นที่การจัดเรียงในภาชนะหนึ่งไปยังอีกภาชนะหนึ่ง การกลับไปสู่สถานะนั้นคาดว่าจะใช้เวลาหลายปี นี่เป็นการสันนิษฐานว่า แม้ในทางทฤษฎีจะเป็นไปได้ แต่การกลับไปสู่สภาวะที่ไม่สมดุลอย่างมากในตอนเริ่มต้นนั้นไม่น่าจะเกิดขึ้นได้ ${\displaystyle N/2}$${\displaystyle 2^{N}}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\pi N/2}}}$${\displaystyle N=100}$${\displaystyle 13}$${\displaystyle 100}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 4\cdot 10^{22}}$

• Paul และ Tatjana Ehrenfest: มาจาก Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem Physikalische Zeitschriftเล่มที่ 8 (1907) , หน้า 311–314. ^{[ 1 ]}
• FP Kelly : แบบจำลอง EhrenfestในReversibility and Stochastic Networks . Wiley, Chichester, 1979. ISBN 0-471-27601-4หน้า 17–20 ^{[ 3 ]}
• เดวิด โอ. ซีกมันด์: แบบจำลองการแพร่กระจายของเอห์เรนเฟสต์ (คณิตศาสตร์) . สารานุกรมบริแทนนิกา . ^{[ 4 ]}

• แหวน Kac
• กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็ค