ความยืดหยุ่นเชิงเส้นเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายถึงการเปลี่ยนแปลง รูปร่าง และการเกิดความเค้น ภายในของวัตถุแข็งภายใต้ เงื่อนไขการรับแรงที่กำหนดไว้ มันเป็นการลดทอนความซับซ้อนของทฤษฎีความยืดหยุ่นแบบไม่เชิงเส้น ที่ทั่วไปกว่า และ เป็น สาขาหนึ่งของกลศาสตร์ต่อเนื่อง

ข้อสมมติฐานพื้นฐานของทฤษฎีความยืดหยุ่นเชิงเส้นคือความเครียดที่เล็กน้อยมาก — หมายถึง การเสียรูปที่ "เล็ก" — และความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างส่วนประกอบของความเค้นและความเครียด — จึงเป็นที่มาของคำว่า "เชิงเส้น" ในชื่อ ทฤษฎีความยืดหยุ่นเชิงเส้นใช้ได้เฉพาะกับสภาวะความเค้นที่ไม่ทำให้เกิดการคืบตัวข้อสมมติฐานเหล่านี้สมเหตุสมผลสำหรับวัสดุทางวิศวกรรมและสถานการณ์การออกแบบทางวิศวกรรมหลายอย่าง ดังนั้น ทฤษฎีความยืดหยุ่นเชิงเส้นจึงถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในการวิเคราะห์โครงสร้าง และการ ออกแบบ ทางวิศวกรรม โดยมักใช้ร่วมกับการวิเคราะห์ด้วยวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์

สมการที่ควบคุม ปัญหาค่าขอบเขตแบบยืดหยุ่นเชิงเส้นนั้นอิงตามสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบเทนเซอร์ สามสมการ สำหรับการสมดุลของโมเมนตัมเชิงเส้นและ ความสัมพันธ์ระหว่างความเครียด และการ กระจัดแบบ อนันต์หก ความสัมพันธ์ ระบบสมการเชิงอนุพันธ์จะสมบูรณ์ด้วยชุดความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างพีชคณิตเชิง เส้น

ใน รูปแบบ เทนเซอร์ โดยตรง ที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกระบบพิกัด สมการควบคุมเหล่านี้คือ: ^{[ 1 ]}

• สมการโมเมนตัมของโคชีซึ่งเป็นการแสดงออกของกฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบการพาความร้อนจะเขียนได้ดังนี้:$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}}$$
• สมการความสัมพันธ์ ระหว่างความเครียดและการกระจัด :$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldสัญลักษณ์ {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldสัญลักษณ์ {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$$
• สมการเชิงโครงสร้างสำหรับวัสดุยืดหยุ่นกฎของฮุกแสดงถึงพฤติกรรมของวัสดุและเชื่อมโยงความเค้นและความเครียดที่ไม่ทราบค่า สมการทั่วไปของกฎของฮุกคือ$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},}$$

โดยที่คือเทนเซอร์ความเค้นของโคชีคือเทนเซอร์ความเครียดอนันต์คือเวกเตอร์การกระจัดคือเทนเซอร์ความแข็งเกร็งอันดับสี่คือแรงกระทำต่อปริมาตรหนึ่งหน่วยคือความหนาแน่นมวล แทนตัว ดำเนินการนาบลาแทนการสลับแถวและคอลัมน์แทน อนุพันธ์ อันดับสองของวัสดุเทียบกับเวลา และคือผลคูณภายในของเทนเซอร์อันดับสองสองตัว (การรวมผลเหนือดัชนีที่ซ้ำกันนั้นถือว่ามีนัยยะ) ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\varepsilon }}}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle {\mathsf {C}}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\nabla }}}$${\displaystyle (\bullet )^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle {\ddot {(\bullet )}}}$${\displaystyle {\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}}$

เมื่อแสดงในแง่ของส่วนประกอบที่เกี่ยวข้องกับ ระบบ พิกัดคาร์ทีเซียน สี่เหลี่ยมผืนผ้า สมการควบคุมของความยืดหยุ่นเชิงเส้นคือ: ^{[ 1 ]}

• สมการการเคลื่อนที่ : โดยที่ตัวห้อยเป็นตัวย่อสำหรับและบ่งชี้ว่าคือเทนเซอร์ความเค้น ของโคชี คือ ความหนาแน่นของแรงภายนอกคือความหนาแน่นของมวล และคือการกระจัด$${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}}$$${\displaystyle {(\bullet )}_{,j}}$${\displaystyle \partial {(\bullet )}/\partial x_{j}}$${\displaystyle \partial _{tt}}$${\displaystyle \partial ^{2}/\partial t^{2}}$${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle u_{i}}$
  นี่คือ สมการ อิสระ 3 สมการที่มีตัวแปรอิสระ 6 ตัว (ความเค้น)
  ในสัญลักษณ์ทางวิศวกรรม พวกมันคือ:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$
• สมการความสัมพันธ์ ระหว่างความเครียดและการกระจัด : โดยที่ σ คือความเครียด สมการเหล่านี้ประกอบด้วย 6 สมการอิสระที่เชื่อมโยงความเครียดและการกระจัด โดยมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าอิสระ 9 ตัว (ความเครียดและการกระจัด)$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})}$$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!}$
  ในสัญลักษณ์ทางวิศวกรรม พวกมันคือ:$${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$
• สม การเชิงโครงสร้างสมการสำหรับกฎของฮุคคือ: โดยที่ คือเทนเซอร์ความแข็ง สมการเหล่านี้เป็นสมการอิสระ 6 สมการที่เชื่อม โยง ความเค้นและความเครียด ข้อกำหนดของความสมมาตรของเทนเซอร์ความเค้นและความเครียดนำไปสู่ความเท่าเทียมกันของค่าคงที่ความยืดหยุ่นหลายค่า ลดจำนวนองค์ประกอบที่แตกต่างกันเหลือ 21 ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}}$$${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}}$

ปัญหาค่าขอบเขตเชิงยืดหยุ่นสถิตสำหรับตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกันและมีคุณสมบัติไอโซโทรปิก คือระบบสมการอิสระ 15 สมการและตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจำนวนเท่ากัน (สมการสมดุล 3 สมการ สมการความสัมพันธ์ระหว่างความเครียดและการกระจัด 6 สมการ และสมการความสัมพันธ์เชิงโครงสร้าง 6 สมการ) โดยการกำหนดเงื่อนไขขอบเขต ปัญหาค่าขอบเขตจะถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์ ในการแก้ระบบสมการนี้ สามารถใช้วิธีการสองวิธีตามเงื่อนไขขอบเขตของปัญหาค่าขอบเขต ได้แก่การกำหนดโดยการกระจัดและการกำหนดโดยความเค้น

ในพิกัดทรงกระบอก ( ) สมการการเคลื่อนที่คือ^{[ 1 ]} ความสัมพันธ์ระหว่างความเครียดและการกระจัดคือ และความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างจะเหมือนกับในพิกัดคาร์ทีเซียน ยกเว้นว่าดัชนี 1, 2, 3 ตอนนี้หมายถึง, , , ตามลำดับ ${\displaystyle r,\theta ,z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle z}$

ในพิกัดทรงกลม ( ) สมการการเคลื่อนที่คือ^{[ 1 ]}${\displaystyle r,\theta ,\phi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$

เทนเซอร์ความเครียดในพิกัดทรงกลมคือ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

ใน ตัวกลาง ไอโซโทรปิกเทนเซอร์ความแข็งเกร็งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความเค้น (ความเค้นภายในที่เกิดขึ้น) และความเครียด (การเสียรูปที่เกิดขึ้น) สำหรับตัวกลางไอโซโทรปิก เทนเซอร์ความแข็งเกร็งไม่มีทิศทางที่เฉพาะเจาะจง แรงที่กระทำจะทำให้เกิดการกระจัดเท่ากัน (เมื่อเทียบกับทิศทางของแรง) ไม่ว่าแรงจะกระทำในทิศทางใดก็ตาม ในกรณีไอโซโทรปิก เทนเซอร์ความแข็งเกร็งอาจเขียนได้ดังนี้: โดยที่คือเดลต้าของโครเนกเกอร์ K คือโมดูลัสปริมาตร (หรือความไม่สามารถอัดได้) และคือโมดูลัสเฉือน (หรือความแข็งแกร่ง) ซึ่งเป็น โมดูลัสความยืดหยุ่นสองค่าหากตัวกลางไม่เป็นเนื้อเดียวกัน แบบจำลองไอโซโทรปิกจะเหมาะสมหากตัวกลางเป็นแบบคงที่แบบเป็นช่วงๆ หรือไม่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างอ่อน ในแบบจำลองเรียบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างมาก จะต้องคำนึงถึงความไม่เป็นไอโซโทรปิกด้วย หากตัวกลางเป็นเนื้อเดียวกันโมดูลัสความยืดหยุ่นจะไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในตัวกลาง สมการเชิงโครงสร้างสามารถเขียนได้ดังนี้: $${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).}$$

นิพจน์นี้แยกความเค้นออกเป็นส่วนสเกลาร์ทางด้านซ้ายซึ่งอาจเกี่ยวข้องกับความดันสเกลาร์ และส่วนที่ไม่มีร่องรอยทางด้านขวาซึ่งอาจเกี่ยวข้องกับแรงเฉือน นิพจน์ที่ง่ายกว่าคือ: ^{[ 3 ] [ 4 ]} โดยที่ λ คือพารามิเตอร์แรกของ Laméเนื่องจากสมการเชิงโครงสร้างเป็นเพียงชุดของสมการเชิงเส้น ความเครียดจึงสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของความเค้นได้ดังนี้: ^{[ 5 ]} ซึ่งก็คือส่วนสเกลาร์ทางด้านซ้ายและส่วนเฉือนที่ไม่มีร่องรอยทางด้านขวา ง่ายกว่านั้นคือ: โดยที่คืออัตราส่วนของปัวซองและคือ โมดูลั ส ของยัง$${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}}$$$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)}$$$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]}$$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle E}$

กลศาสตร์เชิงยืดหยุ่น (Elastostatics) คือการศึกษาความยืดหยุ่นเชิงเส้นภายใต้เงื่อนไขสมดุล ซึ่งแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุที่มีความยืดหยุ่นรวมกันเป็นศูนย์ และการกระจัดไม่ขึ้นอยู่กับเวลา สม การสมดุล จึงเป็นดังนี้ ในสัญลักษณ์ทางวิศวกรรม (โดยที่เทา (tau) คือความเค้นเฉือน ) $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0.}$$

• ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0}$

ในส่วนนี้จะกล่าวถึงเฉพาะกรณีของวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันและมีคุณสมบัติสมมาตรในทุกทิศทางเท่านั้น

ในกรณีนี้ การกระจัดถูกกำหนดไว้ทุกที่ในขอบเขต ในแนวทางนี้ ความเครียดและความเค้นจะถูกตัดออกจากการกำหนดสูตร เหลือเพียงการกระจัดเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่จะต้องหาคำตอบในสมการควบคุม ก่อนอื่น สมการความเครียด-การกระจัดจะถูกแทนที่ลงในสมการเชิงโครงสร้าง (กฎของฮุก) โดยตัดความเครียดออกไปเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่า: การหาอนุพันธ์ (โดยสมมติว่าและมีความสม่ำเสมอในเชิงพื้นที่) จะได้: การแทนค่าลงในสมการสมดุลจะได้: หรือ (แทนที่ดัชนีคู่ (ดัมมี่) (=ผลรวม) k,k ด้วย j,j และสลับดัชนี ij เป็น ji ตามทฤษฎีบทของชวาร์ซ ) โดยที่และเป็นพารามิเตอร์ของลาเมในวิธีนี้ ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่เหลืออยู่เพียงอย่างเดียวคือการกระจัด ดังนั้นจึงเป็นที่มาของชื่อการกำหนดสูตรนี้ สมการควบคุมที่ได้มาด้วยวิธีนี้เรียกว่าสมการอิลาสโตสแตติกซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสมการนาเวียร์-โคชี แบบคงที่ ที่แสดงไว้ด้านล่าง $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).}$$$${\displaystyle \lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0}$$$${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$

เมื่อคำนวณสนามการกระจัดเสร็จแล้ว สามารถนำค่าการกระจัดเหล่านั้นไปแทนในสมการความสัมพันธ์ระหว่างความเครียดและการกระจัด เพื่อหาค่าความเครียด ซึ่งต่อมาจะนำไปใช้ในสมการความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียด

สมการอิลาสโตสแตติกสามารถเขียนได้ดังนี้: $${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.}$$

เมื่อพิจารณาค่าไดเวอร์เจนซ์ของทั้งสองข้างของสมการอิลาสโตสแตติกและสมมติว่าแรงภายนอกมีค่าไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์ (เอกพันธุ์ในโดเมน) ( ) เราจะได้ ${\displaystyle F_{i,i}=0\,\!}$$${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.}$$

เมื่อพิจารณาว่าดัชนีที่รวมกันไม่จำเป็นต้องตรงกัน และอนุพันธ์ย่อยสามารถสลับที่กันได้ จะเห็นได้ว่าพจน์เชิงอนุพันธ์ทั้งสองเหมือนกัน และเราได้ว่า: จากนั้นเราสรุปได้ว่า:$${\displaystyle \alpha ^{2}u_{j,iij}=0}$$$${\displaystyle u_{j,iij}=0.}$$

เมื่อนำตัวดำเนินการลาปลาเซียน มาใช้ กับทั้งสองข้างของสมการอิลาสโตสแตติก และสมมติเพิ่มเติมว่าเราจะได้ ${\displaystyle F_{i,kk}=0\,\!}$$${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.}$$

จากสมการไดเวอร์เจนซ์ พจน์แรกทางซ้ายเป็นศูนย์ (หมายเหตุ: ดัชนีที่รวมกันไม่จำเป็นต้องตรงกัน) และเราได้ว่า: จากนั้นเราสรุปได้ว่า: หรือ ในสัญกรณ์ที่ไม่ ขึ้นกับพิกัด ซึ่งก็คือสมการไบฮาร์มอนิก ใน$${\displaystyle \beta ^{2}u_{i,kkmm}=0}$$$${\displaystyle u_{i,kkmm}=0}$$${\displaystyle \nabla ^{4}\mathbf {u} =0}$${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$

ในกรณีนี้ แรงดึงที่พื้นผิวจะถูกกำหนดไว้ทุกที่บนขอบเขตของพื้นผิว ในแนวทางนี้ ความเครียดและการกระจัดจะถูกตัดออกไป เหลือเพียงความเค้นที่เป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่จะต้องหาคำตอบในสมการควบคุม เมื่อพบสนามความเค้นแล้ว ก็จะหาความเครียดได้โดยใช้สมการเชิงโครงสร้าง

เทนเซอร์ความเค้นมีส่วนประกอบอิสระหกส่วนที่ต้องกำหนด แต่ในสูตรการกระจัดนั้น เวกเตอร์การกระจัดมีเพียงสามส่วนที่ต้องกำหนด ซึ่งหมายความว่าต้องมีการกำหนดข้อจำกัดบางอย่างให้กับเทนเซอร์ความเค้น เพื่อลดจำนวนองศาอิสระเหลือสาม โดยใช้สมการเชิงโครงสร้าง ข้อจำกัดเหล่านี้ได้มาโดยตรงจากข้อจำกัดที่สอดคล้องกันซึ่งต้องมีสำหรับเทนเซอร์ความเครียด ซึ่งมีส่วนประกอบอิสระหกส่วนเช่นกัน ข้อจำกัดของเทนเซอร์ความเครียดสามารถหาได้โดยตรงจากนิยามของเทนเซอร์ความเครียดที่เป็นฟังก์ชันของสนามเวกเตอร์การกระจัด ซึ่งหมายความว่าข้อจำกัดเหล่านี้ไม่ได้นำเสนอแนวคิดหรือข้อมูลใหม่ใดๆ ข้อจำกัดของเทนเซอร์ความเครียดนั้นเข้าใจได้ง่ายที่สุด หากมองภาพตัวกลางยืดหยุ่นเป็นชุดของลูกบาศก์ขนาดเล็กมากในสถานะที่ไม่มีความเครียด หลังจากที่ตัวกลางมีความเครียดแล้ว เทนเซอร์ความเครียดใดๆ ก็ตามจะต้องให้สถานการณ์ที่ลูกบาศก์ที่บิดเบี้ยวเหล่านั้นยังคงสามารถประกอบเข้าด้วยกันได้โดยไม่ทับซ้อนกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับความเครียดที่กำหนด จะต้องมีสนามเวกเตอร์ต่อเนื่อง (การกระจัด) ซึ่งสามารถอนุมานเทนเซอร์ความเครียดได้ ข้อจำกัดเกี่ยวกับเทนเซอร์ความเครียดที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าเป็นเช่นนั้นถูกค้นพบโดยแซงต์ เวแนนท์ และเรียกว่า " สมการความเข้ากันได้ของแซงต์ เวแนนท์ " สมการเหล่านี้มี 81 สมการ โดย 6 สมการเป็นสมการอิสระที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งเชื่อมโยงส่วนประกอบความเครียดต่างๆ เข้าด้วยกัน สมการเหล่านี้แสดงในสัญกรณ์ดัชนีดังนี้: ในสัญกรณ์ทางวิศวกรรม สมการเหล่านี้คือ:$${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}}$$

จากนั้น ความเครียดในสมการนี้จะถูกแสดงในรูปของความเค้นโดยใช้สมการเชิงโครงสร้าง ซึ่งจะให้ข้อจำกัดที่สอดคล้องกันบนเทนเซอร์ความเค้น ข้อจำกัดเหล่านี้บนเทนเซอร์ความเค้นเรียกว่า สมการความเข้ากันได้ของ Beltrami-Michell : ในสถานการณ์พิเศษที่แรงภายนอกเป็นเนื้อเดียวกัน สมการข้างต้นจะลดลงเหลือ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.}$$$${\displaystyle (1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.}$$

เงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับความเข้ากันได้ภายใต้สถานการณ์นี้คือหรือ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}}$${\displaystyle \sigma _{ij,kk\ell \ell }=0}$

ข้อจำกัดเหล่านี้ ร่วมกับสมการสมดุล (หรือสมการการเคลื่อนที่สำหรับพลศาสตร์ของวัสดุยืดหยุ่น) ช่วยให้สามารถคำนวณสนามเทนเซอร์ ความเค้น ได้ เมื่อคำนวณสนามความเค้นจากสมการเหล่านี้แล้ว ก็สามารถหาค่าความเครียดได้จากสมการองค์ประกอบ และสนามการกระจัดได้จากสมการความเครียด-การกระจัด

เทคนิคการแก้ปัญหาอีกวิธีหนึ่งคือการแสดงเทนเซอร์ความเค้นในรูปของฟังก์ชันความเค้นซึ่งจะให้คำตอบของสมการสมดุลโดยอัตโนมัติ จากนั้นฟังก์ชันความเค้นจะเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์เดียวซึ่งสอดคล้องกับสมการความเข้ากันได้

วิธีแก้ปัญหาของทอมสันหรือวิธีแก้ปัญหาของเคลวินเป็นวิธีแก้ปัญหาที่สำคัญที่สุดของสมการนาเวียร์-โคชีหรือสมการอิลาสโตสแตติกสำหรับแรงที่กระทำ ณ จุดหนึ่งในตัวกลางไอโซโทรปิกอนันต์ วิธีแก้ปัญหานี้ค้นพบโดยวิลเลียม ทอมสัน (ต่อมาคือลอร์ดเคลวิน) ในปี 1848 (ทอมสัน 1848) วิธีแก้ปัญหานี้เป็นอนาล็อกของกฎของคูลอมบ์ในไฟฟ้าสถิตการพิสูจน์แสดงอยู่ใน Landau & Lifshitz [ ^{7 ] : §8} โดยกำหนดให้ เป็นอัตราส่วนปัวซอง วิธีแก้ปัญหาสามารถแสดงได้ดังนี้ โดยเป็นเวกเตอร์แรงที่กระทำ ณ จุด และเป็นฟังก์ชันกรีนเทนเซอร์ซึ่งสามารถเขียนในพิกัดคาร์ทีเซียน ได้ ดังนี้: $${\displaystyle a=1-2\nu }$$$${\displaystyle b=2(1-\nu )=a+1}$$${\displaystyle \nu }$$${\displaystyle u_{i}=G_{ik}F_{k}}$$${\displaystyle F_{k}}$${\displaystyle G_{ik}}$$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]}$$

อาจเขียนแบบกระชับได้ดังนี้: และอาจเขียนแบบชัดเจนได้ดังนี้: $${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]}$$$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

ในระบบพิกัดทรงกระบอก ( ) สามารถเขียนได้ดังนี้: โดยที่rคือระยะทางทั้งหมดไปยังจุด ${\displaystyle \rho ,\phi ,z\,\!}$$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}}&0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

การเขียนการกระจัดในพิกัดทรงกระบอกสำหรับแรงจุด ที่ชี้ไปตามแกน z นั้นมีประโยชน์อย่างยิ่ง โดยกำหนดให้ และเป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางและตามลำดับ จะได้: ${\displaystyle F_{z}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle z}$$${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]}$$

จะเห็นได้ว่ามีส่วนประกอบของการกระจัดในทิศทางของแรง ซึ่งจะลดลงตามสัดส่วน 1/ rสำหรับค่า r ที่มาก เช่นเดียวกับกรณีของศักย์ในไฟฟ้าสถิต นอกจากนี้ยังมีส่วนประกอบเพิ่มเติมที่อยู่ในทิศทางของ ρ อีกด้วย

เขียนสมการ Navier-Cauchy ใหม่ในรูปแบบส่วนประกอบ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle (\lambda +\mu )\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\mu \partial _{j}\partial _{j}u_{i}=-F_{i}}$$

แปลงสิ่งนี้ให้อยู่ในโดเมนความถี่ โดยที่อนุพันธ์จะแมปไปยังโดยที่คือเวกเตอร์คลื่น ${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}q_{i}}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle (\lambda +\mu )q_{i}q_{j}u_{j}+\mu |q|^{2}u_{i}=F_{i}}$$

ฟังก์ชันกรีนของแรงต่อการกระจัดในโดเมนความถี่เชิงพื้นที่คือส่วนกลับของฟังก์ชันข้างต้น

${\displaystyle G_{ij}(q)={\frac {1}{\mu }}{\bigg [}{\frac {\delta _{ij}}{|q|^{2}}}-{\frac {1}{b}}{\frac {q_{i}q_{j}}{|q|^{4}}}{\bigg ]}}$

ความเครียดต่อฟังก์ชันของ Green คือ^{[ 9 ]}${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma _{khij}={\frac {1}{4\mu |q|^{2}}}(\delta _{ki}q_{h}q_{j}+\delta _{hi}q_{k}q_{j}+\delta _{kj}q_{h}q_{i}+\delta _{hj}q_{k}q_{i})-{\frac {\lambda +\mu }{\mu (\lambda +2\mu )}}{\frac {q_{i}q_{j}q_{k}q_{h}}{|q|^{4}}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \epsilon _{kh}=\Gamma _{khij}\sigma _{ij}}$

วิธีแก้ปัญหาที่มีประโยชน์อีกวิธีหนึ่งคือแรงจุดที่กระทำบนพื้นผิวของครึ่งพื้นที่อนันต์^{[ 6 ] Boussinesq [ 10 ]}ได้พิสูจน์แรงปกติ และ Cerruti ได้พิสูจน์แรงสัมผัส และมีการพิสูจน์ใน Landau & Lifshitz ^{[ 7 ] : §8} ในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาจะถูกเขียนอีกครั้งในรูปของเทนเซอร์ของ Green ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ที่อนันต์ และส่วนประกอบของเทนเซอร์ความเครียดที่ตั้งฉากกับพื้นผิวจะมีค่าเป็นศูนย์ วิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนในพิกัดคาร์ทีเซียนได้ดังนี้ [โปรดจำไว้ว่า: และ, = อัตราส่วนของ Poisson]: ${\displaystyle a=(1-2\nu )}$${\displaystyle b=2(1-\nu )}$${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}{\frac {br+z}{r+z}}+{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})x^{2}}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})xy}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{2}}}-{\frac {ax}{r+z}}\\{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})yx}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {br+z}{r+z}}+{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})y^{2}}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {yz}{r^{2}}}-{\frac {ay}{r+z}}\\{\frac {zx}{r^{2}}}+{\frac {ax}{r+z}}&{\frac {zy}{r^{2}}}+{\frac {ay}{r+z}}&b+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

• แรงจุดภายในครึ่งพื้นที่ไอโซโทรปิกอนันต์^{[ 11 ]}
• การสัมผัสของวัตถุยืดหยุ่นสองชิ้น: วิธีแก้ปัญหาของเฮิรตซ์ (ดูรหัส Matlab ) ^{[ 12 ]}ดูหน้าเกี่ยวกับกลศาสตร์การสัมผัสด้วย

พลศาสตร์ของวัสดุยืดหยุ่น (Elastodynamics) คือการศึกษาคลื่นยืดหยุ่นและเกี่ยวข้องกับความยืดหยุ่นเชิงเส้นที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลาคลื่นยืดหยุ่น เป็น คลื่นกลชนิดหนึ่งที่แพร่กระจายในวัสดุยืดหยุ่นหรือ วัสดุ หนืดหยุ่นความยืดหยุ่นของวัสดุเป็นตัวให้แรง คืนตัว ของคลื่น เมื่อเกิดขึ้นในพื้นโลกอันเป็นผลจากแผ่นดินไหวหรือการรบกวนอื่นๆ คลื่นยืดหยุ่นมักเรียกว่าคลื่น แผ่นดินไหว

สมการโมเมนตัมเชิงเส้นก็คือสมการสมดุลที่มีพจน์ความเฉื่อยเพิ่มเติมเข้ามา: $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.}$$

หากวัสดุนั้นอยู่ภายใต้กฎของฮุคแบบแอนไอโซโทรปิก (โดยที่เทนเซอร์ความแข็งเกร็งเป็นเนื้อเดียวกันตลอดทั้งวัสดุ) จะได้สมการการกระจัดของอิลาสโตไดนามิกส์ดังนี้ : $${\displaystyle \left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.}$$

หากวัสดุนั้นเป็นไอโซโทรปิกและเป็นเนื้อเดียวกัน จะได้สม การนาเวียร์-โคชี (ทั่วไป หรือชั่วคราว) ดังนี้: $${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{or}}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.}$$

สมการคลื่นอิลาสโตไดนามิกสามารถแสดงได้ดังนี้ โดย ที่ คือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อะคูสติกและคือเดลต้าโครเนกเกอร์ $${\displaystyle \left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}$$$${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}$$${\displaystyle \delta _{kl}}$

ใน ตัวกลาง ไอโซโทรปิกเทนเซอร์ความแข็งจะมีรูปแบบดังนี้ โดยที่ คือโมดูลัสปริมาตร (หรือความไม่สามารถอัดตัวได้) และคือโมดูลัสเฉือน (หรือความแข็งแกร่ง) และ คือ โมดูลัสความยืดหยุ่นสองค่าถ้าวัสดุเป็นเนื้อเดียวกัน (กล่าวคือ เทนเซอร์ความแข็งมีค่าคงที่ตลอดทั้งวัสดุ) ตัวดำเนินการอะคูสติกจะกลายเป็น: $${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})}$$

สำหรับคลื่นระนาบตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ข้างต้นจะกลายเป็นตัวดำเนินการพีชคณิตอะคูสติก : โดยที่ และ คือค่าลักษณะเฉพาะของ ที่ มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะขนานและตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจาย ตามลำดับคลื่นที่เกี่ยวข้องเรียกว่า คลื่นยืดหยุ่น ตามยาวและ คลื่นยืดหยุ่น เฉือนในเอกสารทางด้านแผ่นดินไหววิทยา คลื่นระนาบที่สอดคล้องกันเรียกว่าคลื่น P และคลื่น S (ดูคลื่นแผ่นดินไหว ) $${\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})}$$$${\displaystyle \alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho }$$${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$

การกำจัดการกระจัดและความเครียดออกจากสมการควบคุมนำไปสู่สมการอิลาสโตไดนามิกส์ของ Ignaczak ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

ในกรณีที่มีความสมมาตรในระดับท้องถิ่น สมการนี้จะลดลงเหลือ $${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

ลักษณะสำคัญของสูตรนี้ได้แก่: (1) หลีกเลี่ยงการไล่ระดับของการปฏิบัติตาม แต่แนะนำการไล่ระดับของความหนาแน่นมวล (2) สามารถอนุมานได้จากหลักการแปรผัน (3) มีข้อดีในการจัดการปัญหาค่าเริ่มต้นและค่าขอบเขตของแรงดึง (4) อนุญาตให้จำแนกคลื่นยืดหยุ่นแบบเทนเซอร์ (5) มีการใช้งานที่หลากหลายในปัญหาการแพร่กระจายของคลื่นยืดหยุ่น (6) สามารถขยายไปสู่พลศาสตร์ของของแข็งแบบคลาสสิกหรือไมโครโพลาร์ที่มีสนามปฏิสัมพันธ์ประเภทต่างๆ (เทอร์โมอิลาสติก, รูพรุนที่อิ่มตัวด้วยของเหลว, เพียโซอิเล็กโทรอิลาสติก...) รวมถึงสื่อที่ไม่เป็นเชิงเส้น

สำหรับตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน เทนเซอร์ความแข็งจะมีความซับซ้อนมากขึ้น ความสมมาตรของเทนเซอร์ความเค้นหมายความว่ามีองค์ประกอบของความเค้นที่แตกต่างกันอย่างมากที่สุด 6 องค์ประกอบ ในทำนองเดียวกัน มีองค์ประกอบของเทนเซอร์ความเครียดที่แตกต่างกันอย่างมากที่สุด 6 องค์ประกอบดังนั้น เทนเซอร์ความแข็งลำดับที่สี่จึงอาจเขียนได้ในรูปเมทริกซ์(เทนเซอร์ลำดับที่สอง) สัญกรณ์ Voigtเป็นการแมปมาตรฐานสำหรับดัชนีเทนเซอร์ ${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle \sigma _{ij}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$$${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}$$

ด้วยสัญลักษณ์นี้ เราสามารถเขียนเมทริกซ์ความยืดหยุ่นสำหรับตัวกลางที่มีความยืดหยุ่นเชิงเส้นใดๆ ได้ดังนี้: $${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

ดังที่แสดงไว้ เมทริกซ์มีความสมมาตร ซึ่งเป็นผลมาจากการมีอยู่ของฟังก์ชันความหนาแน่นของพลังงานความเครียดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังนั้น จึงมีองค์ประกอบที่แตกต่างกันอย่างมากที่สุด 21 องค์ประกอบในเมทริกซ์นี้ ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}}$${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$

กรณีพิเศษแบบไอโซโทรปิกมีองค์ประกอบอิสระ 2 ตัว: $${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.}$$

กรณีแอนไอโซโทรปิกที่ง่ายที่สุด คือกรณีสมมาตรแบบลูกบาศก์ มีองค์ประกอบอิสระ 3 ตัว: $${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.}$$

กรณีของไอโซโทรปีตามแนวขวางหรือที่เรียกว่า แอนไอโซโทรปีเชิงขั้ว (โดยมีแกนสมมาตรเพียงแกนเดียว (แกน 3)) มีองค์ประกอบอิสระ 5 ประการ: $${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$