ในทางคณิตศาสตร์เจนัสของลำดับการคูณคือโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากวงแหวนของแมนิโฟลด์ เรียบ และกะทัดรัด โดยเทียบเท่ากับการจำกัดแมนิโฟลด์เรียบด้วยขอบเขต (กล่าวคือ โดยคำนึงถึงโคบอร์ดิซึม ที่เหมาะสม ) ไปยังวงแหวนอื่น ซึ่งโดยปกติ จะเป็น จำนวนตรรกยะที่มีคุณสมบัติว่าสร้างขึ้นจากลำดับของพหุนามในชั้นลักษณะเฉพาะที่เกิดขึ้นเป็นสัมประสิทธิ์ในอนุกรมกำลังเชิง รูปธรรม ที่มีคุณสมบัติการคูณที่ดี

สกุลหนึ่ง${\displaystyle \varphi }$กำหนดหมายเลข${\displaystyle \Phi (X)}$สำหรับแต่ละแมนิโฟลด์Xเช่นนั้น

1. ${\displaystyle \Phi (X\sqcup Y)=\Phi (X)+\Phi (Y)}$(ที่ไหน${\displaystyle \sqcup }$คือการรวมกันที่ไม่ต่อเนื่อง);
2. ${\displaystyle \Phi (X\times Y)=\Phi (X)\Phi (Y)}$;
3. ${\displaystyle \Phi (X)=0}$ ถ้าXเป็นขอบเขตของแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต

แมนิโฟลด์และแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขตอาจจำเป็นต้องมีโครงสร้างเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น อาจมีการวางแนว การหมุน ความซับซ้อนที่เสถียร และอื่นๆ (ดูรายการทฤษฎีโคบอร์ดิซึมสำหรับตัวอย่างเพิ่มเติมอีกมากมาย) ค่า${\displaystyle \Phi (X)}$อยู่ในวงแหวนบางวง ซึ่งมักจะเป็นวงแหวนของจำนวนตรรกยะ แม้ว่าอาจจะเป็นวงแหวนอื่นๆ เช่น${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$หรือวงแหวนของรูปแบบโมดูลาร์

เงื่อนไขเกี่ยวกับ${\displaystyle \Phi }$ สามารถเรียบเรียงใหม่ได้ว่า${\displaystyle \Phi }$เป็นการส่งโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากวงแหวนโคบอร์ดิซึมของแมนิโฟลด์ (ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม) ไปยังวงแหวนอื่น

ตัวอย่าง: ถ้า${\displaystyle \Phi (X)}$หากลายเซ็นของแมนิโฟลด์เชิงทิศทางXเป็นจริงแล้ว${\displaystyle \Phi }$เป็นจีนัสจากแมนิโฟลด์เชิงทิศทางไปยังวงแหวนของจำนวนเต็ม

ลำดับของพหุนาม${\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots }$ในตัวแปร${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$เรียกว่าแบบทวีคูณถ้า

${\displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\cdots )}$

หมายความว่า

${\displaystyle \sum _{j}K_{j}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{j}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}}$

ถ้า${\displaystyle Q(z)}$เป็นอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการในzที่มีพจน์คงที่ 1 เราสามารถกำหนดลำดับการคูณได้

${\displaystyle K=1+K_{1}+K_{2}+\cdots }$

โดย

${\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\cdots }$,

ที่ไหน${\displaystyle p_{k}}$คือฟังก์ชันสมมาตรพื้นฐานลำดับที่kของตัวแปรที่ไม่กำหนด${\displaystyle z_{i}}$(ตัวแปร)${\displaystyle p_{k}}$ในทางปฏิบัติ มักจะเป็นชั้นเรียนแบบปอนทรียาจิน )

สกุล${\displaystyle \Phi }$ของ แมนิโฟลด์ แบบกะทัดรัดเชื่อมต่อเรียบและมีทิศทางที่สอดคล้องกับQนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle \Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )}$

ที่ซึ่ง${\displaystyle p_{k}}$คือชั้นปอนทรีอาจินของXอนุกรมกำลังQเรียกว่าอนุกรมกำลังลักษณะเฉพาะของสกุล${\displaystyle \Phi }$ทฤษฎีบทของเรเน่ ธอมซึ่งกล่าวว่าจำนวนตรรกยะที่ถูกเทนเซอร์ด้วยวงแหวนโคบอร์ดิซึมเป็นพีชคณิตพหุนามในตัวสร้างดีกรี 4k สำหรับจำนวนเต็มบวกkบ่งชี้ว่าสิ่งนี้ให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมQที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะและสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 กับตัวสร้างจากแมนิโฟลด์เชิงทิศทางไปยังจำนวนตรรกยะ

สกุลLคือสกุลของอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ

${\displaystyle {{\sqrt {z}} \over \tanh({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geq 0}{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{k}}{(2k)!}}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\cdots }$

โดยที่ตัวเลข${\displaystyle B_{2k}}$คือค่าของเลขเบอร์นูลลีค่าเริ่มต้นๆ มีดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=1\\L_{1}&={\tfrac {1}{3}}p_{1}\\L_{2}&={\tfrac {1}{45}}\left(7p_{2}-p_{1}^{2}\right)\\L_{3}&={\tfrac {1}{945}}\left(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3}\right)\\L_{4}&={\tfrac {1}{14175}}\left(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

(สำหรับพหุนาม Lเพิ่มเติมโปรดดู^{[ 1 ]}หรือOEIS : A237111  ) ตอนนี้ให้Mเป็นแมนิโฟลด์แบบปิดเรียบที่มีทิศทางของมิติ 4n พร้อมด้วยคลาส Pontrjagin${\displaystyle p_{i}=p_{i}(M)}$ฟรีดริช ฮีร์เซบรุคแสดงให้เห็นว่า จีนัส LของMในมิติ 4n ที่ประเมินบนคลาสพื้นฐานของ${\displaystyle M}$ซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle [M]}$เท่ากับ${\displaystyle \sigma (M)}$ลายเซ็นของM (กล่าวคือ ลายเซ็นของรูปแบบจุดตัดบนกลุ่มโคฮอโมโลยีลำดับที่ 2n ของ M ) :

${\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\ldots ,p_{n}(M)),[M]\rangle }$.

ปัจจุบันทฤษฎีนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีลายเซ็นของฮิร์เซบรุค (หรือบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีดัชนีของฮิร์เซบรุค )

ข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle L_{2}}$แนวคิดที่ ว่า "จำนวนเต็มเสมอสำหรับแมนิโฟลด์เรียบ" นั้น ถูกนำมาใช้โดยจอห์น มิลเนอร์เพื่อยกตัวอย่างแมนิโฟลด์เชิงเส้นแบบแบ่งส่วน (PL) 8 มิติ ที่ไม่มีโครงสร้างเรียบนอกจากนี้ยังสามารถกำหนดจำนวนปอนทรีอาจินสำหรับแมนิโฟลด์ PL ได้ และมิลเนอร์แสดงให้เห็นว่าแมนิโฟลด์ PL ของเขามีค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็มของ${\displaystyle p_{2}}$และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถปรับให้เรียบได้

สกุลท็อดด์ (Todd genus)คือสกุลของอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ

${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i!}}z^{i}}$

กับ${\displaystyle B_{i}}$เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ คือเลขเบอร์นูลลี ค่าเริ่มต้นไม่กี่ค่าคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}Td_{0}&=1\\Td_{1}&={\frac {1}{2}}c_{1}\\Td_{2}&={\frac {1}{12}}\left(c_{2}+c_{1}^{2}\right)\\Td_{3}&={\frac {1}{24}}c_{1}c_{2}\\Td_{4}&={\frac {1}{720}}\left(-c_{1}^{4}+4c_{2}c_{1}^{2}+3c_{2}^{2}+c_{3}c_{1}-c_{4}\right)\end{aligned}}}$

สกุลท็อดด์มีคุณสมบัติพิเศษคือ กำหนดค่า 1 ให้กับปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟทั้งหมด (เช่น${\displaystyle \mathrm {Td} _{n}(\mathbb {CP} ^{n})=1}$และแค่นี้ก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าจีนัสของท็อดด์สอดคล้องกับจีนัสทางเลขคณิตสำหรับวาไร ตี้พีชคณิต เนื่องจากจีนัสทางเลขคณิตมีค่าเท่ากับ 1 สำหรับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน ข้อสังเกตนี้เป็นผลสืบเนื่องมาจาก ทฤษฎีบทของ ฮิร์เซบรุค-รีมันน์-รอคและในความเป็นจริงแล้วเป็นหนึ่งในพัฒนาการสำคัญที่นำไปสู่การกำหนดทฤษฎีบทนั้น

สกุลÂคือสกุลที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมกำลังลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle Q(z)={\frac {{\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}}{\sinh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)}}=1-{\frac {z}{24}}+{\frac {7z^{2}}{5760}}-\cdots }$

(นอกจากนี้ยังมีสกุล A ซึ่งใช้กันน้อยกว่า และเกี่ยวข้องกับชุดลักษณะเฉพาะ)${\displaystyle Q(16z)}$ค่าแรกๆ คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{0}&=1\\{\hat {A}}_{1}&=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}\\{\hat {A}}_{2}&={\tfrac {1}{5760}}\left(-4p_{2}+7p_{1}^{2}\right)\\{\hat {A}}_{3}&={\tfrac {1}{967680}}\left(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3}\right)\\{\hat {A}}_{4}&={\tfrac {1}{464486400}}\left(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

เจนัส Â ของแมนิโฟลด์สปินเป็นจำนวนเต็ม และเป็นจำนวนเต็มคู่หากมิติเป็น 4 มอด 8 (ซึ่งในมิติ 4 หมายถึงทฤษฎีบทของ Rochlin ) – สำหรับแมนิโฟลด์ทั่วไป เจนัส Â ไม่ได้เป็นจำนวนเต็มเสมอไป สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยHirzebruchและArmand Borelผลลัพธ์นี้เป็นแรงบันดาลใจและได้รับการอธิบายในภายหลังโดยทฤษฎีบทดัชนี Atiyah–Singerซึ่งแสดงให้เห็นว่าเจนัส Â ของแมนิโฟลด์สปินเท่ากับดัชนีของตัวดำเนินการ Dirac ของ มัน

โดยการรวมผลลัพธ์ดัชนีนี้เข้ากับสูตรของ Weitzenbockสำหรับ Laplacian ของ Dirac นั้นAndré Lichnerowiczสรุปได้ว่า หากแมนิโฟลด์สปินแบบกะทัดรัดยอมรับเมตริกที่มีความโค้งสเกลาร์ เป็น บวก ยีนัส Â ของมันจะต้องหายไป สิ่งนี้เป็นอุปสรรคต่อความโค้งสเกลาร์ที่เป็นบวกเฉพาะเมื่อมิติเป็นพหุคูณของ 4 เท่านั้น แต่ ต่อมา Nigel Hitchinได้ค้นพบสิ่งที่คล้ายคลึงกัน${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$สิ่งกีดขวางที่มีค่าในมิติ 1 หรือ 2 mod 8 ผลลัพธ์เหล่านี้มีความคมชัดเป็นอย่างมาก อันที่จริงMikhail Gromov , H. Blaine Lawsonและ Stephan Stolz ได้พิสูจน์ในภายหลังว่าสกุล Â และ Hitchin's${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ค่าอนาล็อกที่มีค่าเป็น เป็นอุปสรรคเพียงอย่างเดียวต่อการดำรงอยู่ของเมตริกความโค้งสเกลาร์บวกบนแมนิโฟลด์สปินที่เชื่อมต่ออย่างง่ายที่มีมิติมากกว่าหรือเท่ากับ 5

สกุลหนึ่งเรียกว่าสกุลวงรีถ้าอนุกรมกำลัง${\displaystyle Q(z)=z/f(z)}$ตรงตามเงื่อนไข

${\displaystyle {f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}$

สำหรับค่าคงที่${\displaystyle \delta }$และ${\displaystyle \epsilon }$(เช่นเคยQคืออนุกรมกำลังลักษณะเฉพาะของสกุลนั้น)

นิพจน์ที่ชัดเจนอย่างหนึ่งสำหรับf ( z ) คือ

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{a}}\operatorname {sn} \left(az,{\frac {\sqrt {\epsilon }}{a^{2}}}\right)}$

ที่ไหน

${\displaystyle a={\sqrt {\delta +{\sqrt {\delta ^{2}-\epsilon }}}}}$

และsnคือฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobi

ตัวอย่าง:

• ${\displaystyle \delta =\epsilon =1,f(z)=\tanh(z)}$นี่คือสกุล L
• ${\displaystyle \delta =-{\frac {1}{8}},\epsilon =0,f(z)=2\sinh \left({\frac {1}{2}}z\right)}$นี่คือสกุล Â
• ${\displaystyle \epsilon =\delta ^{2},f(z)={\frac {\tanh({\sqrt {\delta }}z)}{\sqrt {\delta }}}}$นี่เป็นการสรุปทั่วไปของสกุล L

ค่าแรกๆ ของกลุ่มข้อมูลประเภทนี้ ได้แก่:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\delta p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{90}}\left[\left(-4\delta ^{2}+18\epsilon \right)p_{2}+\left(7\delta ^{2}-9\epsilon \right)p_{1}^{2}\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{1890}}\left[\left(16\delta ^{3}+108\delta \epsilon \right)p_{3}+\left(-44\delta ^{3}+18\delta \epsilon \right)p_{2}p_{1}+\left(31\delta ^{3}-27\delta \epsilon \right)p_{1}^{3}\right]}$

ตัวอย่าง (จีนัสวงรีสำหรับระนาบเชิงฉายควอเทอร์เนียน )  :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(HP^{2})&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )p_{2}+(7\delta ^{2}-9\epsilon )p_{1}^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big [}(-4\delta ^{2}+18\epsilon )(7u^{2})+(7\delta ^{2}-9\epsilon )(2u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{HP^{2}}[u^{2}\epsilon ]\\&=\epsilon \int _{HP^{2}}[u^{2}]\\&=\epsilon *1=\epsilon \end{aligned}}}$

ตัวอย่าง (จีนัสวงรีสำหรับระนาบฉายภาพอ็อกโทเนียน หรือระนาบเคย์ลีย์ ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(OP^{2})&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}\left[(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{4}+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})p_{2}^{2}\right]\\&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}{\big [}(-192\delta ^{4}+1728\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(39u^{2})+(208\delta ^{4}-1872\delta ^{2}\epsilon +1512\epsilon ^{2})(6u)^{2}{\big ]}\\&=\int _{OP^{2}}{\big [}\epsilon ^{2}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}\int _{OP^{2}}{\big [}u^{2}{\big ]}\\&=\epsilon ^{2}*1=\epsilon ^{2}\\&=\Phi _{ell}(HP^{2})^{2}\end{aligned}}}$

สกุลวิทเทน (Witten genus)คือสกุลที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมกำลังลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle Q(z)={\frac {z}{\sigma _{L}(z)}}=\exp \left(\sum _{k\geq 2}{2G_{2k}(\tau )z^{2k} \over (2k)!}\right)}$

โดยที่ σ คือฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์สตรัสสำหรับแลตทิซLและGคือพหุคูณของอนุกรมไอเซนสไตน์

จีนัสของวิทเทนของแมนิโฟลด์สปินเรียบแบบกระชับที่มีทิศทางในมิติ 4k ซึ่งมีคลาสพอนทรียาจินแรกเป็นศูนย์ คือรูปแบบโมดูลาร์ที่มีน้ำหนัก 2k โดยมีสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์แบบอินทิกรัล

• ทฤษฎีบทดัชนีอาติยาห์-ซิงเกอร์
• รายชื่อทฤษฎีโคฮอโมโลยี