ในทางเรขาคณิตเอพิไซคลอยด์ (เรียกอีกอย่างว่าไฮเปอร์ไซคลอยด์ ) ^{[ 1 ]}คือเส้นโค้งระนาบที่สร้างขึ้นโดยการลากเส้นทางของจุดที่เลือกบนเส้นรอบวงของวงกลม —เรียกว่าเอพิไซเคิล —ซึ่งกลิ้งโดยไม่ลื่นไถลไปรอบวงกลมคงที่ มันเป็น รูเล็ตชนิดหนึ่งโดยเฉพาะ

เอพิไซคลอยด์ที่มีรัศมีเล็ก (R2) เท่ากับ 0 คือวงกลม นี่คือรูปแบบเสื่อมสภาพ

ถ้าวงกลมกลิ้งมีรัศมี${\displaystyle r}$และวงกลมคงที่นั้นมีรัศมี${\displaystyle R=kr}$ดังนั้นสมการพาราเมตริกสำหรับเส้นโค้งสามารถกำหนดได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}}$

หรือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\end{aligned}}}$

สามารถเขียนในรูปแบบที่กระชับยิ่งขึ้นโดยใช้จำนวนเชิงซ้อนได้ดังนี้^{[ 2 ]}

${\displaystyle z(\theta )=r\left((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta }\right)}$

ที่ไหน

• มุม${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$
• วงกลมกลิ้งมีรัศมี${\displaystyle r}$, และ
• วงกลมคงที่นั้นมีรัศมี${\displaystyle kr}$.

สมมติว่าจุดเริ่มต้นอยู่บนวงกลมที่ใหญ่กว่า เมื่อ${\displaystyle k}$เป็นจำนวนเต็มบวก พื้นที่${\displaystyle A}$และความยาวส่วนโค้ง${\displaystyle s}$ของเอพิไซคลอยด์นี้คือ

${\displaystyle A=(k+1)(k+2)\pi r^{2},}$

${\displaystyle s=8(k+1)r.}$

หมายความว่าเอพิไซคลอยด์คือ${\displaystyle {\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}}$มีพื้นที่ใหญ่กว่าวงกลมคงที่เดิม

ถ้า${\displaystyle k}$ถ้า k เป็นจำนวนเต็มบวก เส้นโค้งนั้นจะเป็นเส้นโค้งปิด และมีจุดแหลมk จุด (กล่าวคือ มุมแหลม)

ถ้า${\displaystyle k}$เป็นจำนวนตรรกยะ สมมติว่า${\displaystyle k=p/q}$ถ้าแสดงเป็นเศษส่วนที่ไม่สามารถลดทอนได้เส้นโค้งจะมี${\displaystyle p}$จุดยอดแหลม

นับจำนวนการหมุนของแอนิเมชันเพื่อดูค่าpและq

ถ้า${\displaystyle k}$ถ้า เป็นจำนวนอตรรกยะเส้นโค้งนั้นจะไม่ปิด และจะก่อตัวเป็นเซตย่อยหนาแน่นของพื้นที่ระหว่างวงกลมขนาดใหญ่กับวงกลมที่มีรัศมี${\displaystyle R+2r}$.

ระยะทาง${\displaystyle {\overline {OP}}}$จากจุดเริ่มต้นถึงจุดสิ้นสุด${\displaystyle p}$บนวงกลมเล็กๆ นั้นมีการเปลี่ยนแปลงขึ้นลง

${\displaystyle R\leq {\โอเวอร์ไลน์ {OP}}\leq R+2r}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle R}$= รัศมีของวงกลมขนาดใหญ่และ
• ${\displaystyle 2r}$= เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเล็ก

• ตัวอย่างเอพิไซคลอยด์
• 
  k = 1 ; รูปหัวใจ
• 
  k = 2 ;เนฟรอยด์
• 
  k = 3 ; รูปสามเหลี่ยมคล้ายใบไม้
• 
  k = 4 ; รูปทรงสี่แฉกคล้ายใบไม้
• 
  k = 2.1 = 21/10
• 
  k = 3.8 = 19/5
• 
  k = 5.5 = 11/2
• 
  k = 7.2 = 36/5

เอพิไซคลอยด์เป็น เอพิโทรคอยด์ชนิดพิเศษชนิดหนึ่ง

ไซเคิลที่มีหนึ่งแฉกเรียกว่าคาร์ดิโออิดส่วนไซเคิลที่มีสองแฉกเรียกว่าเนฟรอยด์

เอพิไซคลอยด์และอีโวลูต ของมัน มีความคล้ายคลึงกัน^{[ 3 ]}

สมมติว่าตำแหน่งของ${\displaystyle p}$นี่คือสิ่งที่ต้องแก้ไข${\displaystyle \alpha }$คือมุมจากจุดสัมผัสไปยังจุดที่เคลื่อนที่${\displaystyle p}$, และ${\displaystyle \theta }$คือมุมจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสัมผัส

เนื่องจากไม่มีการเลื่อนระหว่างสองรอบดังนั้น

${\displaystyle \ell _{R}=\ell _{r}}$

ตามนิยามของมุม (ซึ่งคืออัตราส่วนของส่วนโค้งต่อรัศมี) แล้ว

${\displaystyle \ell _{R}=\theta R}$

และ

${\displaystyle \ell _{r}=\alpha r}$.

จากเงื่อนไขทั้งสองนี้ จะได้เอกลักษณ์ดังต่อไปนี้

${\displaystyle \theta R=\alpha r}$.

โดยการคำนวณความสัมพันธ์ระหว่าง${\displaystyle \alpha }$และ${\displaystyle \theta }$ได้รับ ซึ่งคือ

${\displaystyle \alpha ={\frac {R}{r}}\theta }$.

จากรูป ตำแหน่งของจุด${\displaystyle p}$บนวงกลมเล็กๆ นั้นมองเห็นได้อย่างชัดเจน

${\displaystyle x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

${\displaystyle y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

• รายชื่อฟังก์ชันคาบ
• ไซคลอยด์
• ไซโคลกอน
• เฟอเรนต์และเอพิไซเคิล
• เฟืองเอพิไซคลิก
• เอพิโทรคอยด์
• ไฮโปไซคลอยด์
• ไฮโปโทรคอยด์
• ชุดมัลติบร็อต
• รูเล็ต (โค้ง)
• สไปโรกราฟ

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เอพิไซคลอยด์" . แมธเวิลด์ .
• " Epicycloid " โดย Michael Ford, โครงการสาธิต Wolfram , 2007
• โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์ เอฟ. , "เอพิไซคลอยด์" , คลังข้อมูลประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส
• ภาพเคลื่อนไหวแสดงรูปทรงเอพิไซคลอยด์ เพอริไซคลอยด์ และไฮโปไซคลอยด์
• สไปโรกราฟ -- จีโอฟัน
• บันทึกทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้เส้นโค้งเอพิไซคลอยด์กับรูปทรงของฟันเฟือง