แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถทำนาย การลุกลาม ของโรคติดเชื้อเพื่อแสดงผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นจากการระบาด (รวมถึงในพืช ) และช่วยให้ข้อมูลสำหรับ การแทรกแซง ด้านสาธารณสุขและสุขภาพพืช แบบจำลองใช้สมมติฐานพื้นฐานหรือสถิติที่รวบรวมไว้ร่วมกับคณิตศาสตร์เพื่อหาค่าพารามิเตอร์สำหรับโรคติดเชื้อต่างๆ และใช้ค่าพารามิเตอร์เหล่านั้นในการคำนวณผลกระทบของการแทรกแซงต่างๆ เช่น โครงการ ฉีดวัคซีน หมู่ การสร้างแบบจำลองสามารถช่วยตัดสินใจได้ว่าควรหลีกเลี่ยงการแทรกแซงใดบ้างและควรทดลองการแทรกแซงใดบ้าง หรือสามารถทำนายรูปแบบการเติบโตในอนาคต เป็นต้น

การสร้างแบบจำลองโรคติดเชื้อเป็นเครื่องมือที่ใช้ในการศึกษาถึงกลไกการแพร่กระจายของโรค ทำนายแนวโน้มการระบาดในอนาคต และประเมินกลยุทธ์ในการควบคุมการระบาด^{[ 1 ]}

นักวิทยาศาสตร์คนแรกที่พยายามหาปริมาณสาเหตุการตาย อย่างเป็นระบบ คือJohn GrauntในหนังสือNatural and Political Observations made upon the Bills of Mortalityในปี 1662 บิลที่เขาศึกษานั้นเป็นรายการตัวเลขและสาเหตุการตายที่ตีพิมพ์รายสัปดาห์ การวิเคราะห์สาเหตุการตายโดย Graunt ถือเป็นจุดเริ่มต้นของ "ทฤษฎีความเสี่ยงที่แข่งขันกัน" ซึ่งตามที่ Daley และ Gani ^{[ 1 ]} กล่าวไว้ ว่าเป็น "ทฤษฎีที่ได้รับการยอมรับอย่างดีในหมู่นักระบาดวิทยาสมัยใหม่"

งานวิจัยเรื่อง การสร้างแบบ จำลองทางคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับการ แพร่กระจายของโรคที่เก่าแก่ที่สุดนั้น ดำเนินการโดยแดเนียล เบอร์นูลลี ในปี ค.ศ. 1760 เบอร์นูลลีซึ่งได้รับการฝึกฝนมาในฐานะแพทย์ ได้สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อสนับสนุนการฉีดวัคซีนป้องกันไข้ทรพิษ[ ^{2 ] การ}คำนวณจากแบบจำลองนี้แสดงให้เห็นว่าการฉีดวัคซีนป้องกันไข้ทรพิษอย่างทั่วถึงจะเพิ่มอายุขัยจาก 26 ปี 7 เดือน เป็น 29 ปี 9 เดือน^{[ 3 ]}งานของแดเนียล เบอร์นูลลี นำไปสู่ความเข้าใจสมัยใหม่เกี่ยวกับทฤษฎีเชื้อโรค^{[ 4 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 วิลเลียม ฮาเมอร์^{[ 5 ]}และโรนัลด์ รอสส์^{[ 6 ]} ได้นำ กฎของการกระทำมวลมาใช้เพื่ออธิบายพฤติกรรมการระบาด

ในช่วงทศวรรษ 1920 ได้มีการเกิดขึ้นของแบบจำลองแบบแบ่งส่วนแบบจำลองการระบาดของ Kermack–McKendrick (1927) และแบบจำลองการระบาดของ Reed–Frost (1928) ต่างก็อธิบายความสัมพันธ์ระหว่าง บุคคล ที่อ่อนแอติดเชื้อ และมีภูมิคุ้มกันในประชากร แบบจำลองการระบาดของ Kermack–McKendrick ประสบความสำเร็จในการทำนายพฤติกรรมของการระบาดที่คล้ายคลึงกับที่สังเกตได้ในการระบาดที่บันทึกไว้หลายครั้ง^{[ 7 ]}

เมื่อเร็วๆ นี้ มีการใช้ แบบจำลองตัวแทน (ABMs) แทนแบบจำลองแบบแบ่งส่วนที่ ง่ายกว่า ^{[ 8 ]}ตัวอย่างเช่น มีการใช้ ABMs ทางระบาดวิทยาเพื่อแจ้งข้อมูลเกี่ยวกับการแทรกแซงด้านสาธารณสุข (ที่ไม่ใช่ยา) เพื่อต่อต้านการแพร่กระจายของSARS-CoV-2 [ ^{9 ] แม้ว่า} ABMs ทางระบาดวิทยาจะมีความซับซ้อนและต้องการพลังการคำนวณสูง แต่ก็ถูกวิพากษ์วิจารณ์ว่าทำให้ง่ายเกินไปและมีข้อสมมติฐานที่ไม่สมจริง^{[ 10 ] [ 11 ]}อย่างไรก็ตาม แบบจำลองเหล่านี้สามารถเป็นประโยชน์ในการแจ้งข้อมูลการตัดสินใจเกี่ยวกับมาตรการบรรเทาและปราบปรามในกรณีที่ ABMs ได้รับการปรับเทียบอย่างแม่นยำ^{[ 12 ]}

แบบจำลองจะดีได้ก็ต่อเมื่อสมมติฐานที่ใช้เป็นพื้นฐานนั้นดี หากแบบจำลองทำนายผลลัพธ์ที่ไม่สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่สังเกตได้ แม้ว่าคณิตศาสตร์จะถูกต้อง สมมติฐานเริ่มต้นจะต้องเปลี่ยนแปลงเพื่อให้แบบจำลองมีประโยชน์^{[ 13 ]}

• การกระจายอายุแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าและคงที่ กล่าวคือ ทุกคนในประชากรมีชีวิตอยู่จนถึงอายุLแล้วจึงเสียชีวิต และในแต่ละช่วงอายุ (จนถึงL ) จะมีจำนวนคนในประชากรเท่ากัน รูปแบบนี้มักเหมาะสมสำหรับประเทศที่พัฒนาแล้วซึ่งมีอัตราการเสียชีวิตของทารกต่ำและประชากรส่วนใหญ่มีอายุยืนยาวตามอายุคาดเฉลี่ย
• การผสมผสานของประชากรอย่างเป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ บุคคลในประชากรที่กำลังศึกษาจะรวมกลุ่มและติดต่อกันแบบสุ่ม และไม่ได้ผสมผสานกันเป็นส่วนใหญ่ในกลุ่มย่อยที่เล็กกว่า ข้อสมมติฐานนี้ไม่ค่อยได้รับการพิสูจน์ เนื่องจากโครงสร้างทางสังคมนั้นแพร่หลาย ตัวอย่างเช่น คนส่วนใหญ่ในลอนดอนจะติดต่อกับชาวลอนดอนด้วยกันเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น ภายในลอนดอนเองก็ยังมีกลุ่มย่อยที่เล็กกว่า เช่น ชุมชนชาวตุรกี หรือวัยรุ่น (เพื่อยกตัวอย่างเพียงสองกลุ่ม) ที่ผสมผสานกันมากกว่าคนนอกกลุ่ม อย่างไรก็ตาม การผสมผสานอย่างเป็นเนื้อเดียวกันเป็นข้อสมมติฐานมาตรฐานเพื่อให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ทำได้ง่ายขึ้น

คำอธิบายทั่วไปเกี่ยวกับการเติบโตของโรคระบาดระบุว่า 1 คนติดเชื้อ 2 คน 2 คนนั้นติดเชื้อ 4 คน และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป โดยจำนวนผู้ติดเชื้อจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าในแต่ละรุ่น เปรียบได้กับเกมไล่จับที่ 1 คนไล่จับ 2 คน 2 คนนั้นไล่จับอีก 4 คนที่ไม่เคยถูกไล่จับ และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป เมื่อเกมนี้ดำเนินไป มันจะยิ่งดุเดือดมากขึ้นเรื่อยๆ เพราะคนที่ถูกไล่จับจะวิ่งผ่านคนที่ถูกไล่จับไปก่อนหน้านี้เพื่อตามล่าคนที่ยังไม่เคยถูกไล่จับ ดังนั้นแบบจำลองของโรคระบาดนี้จึงนำไปสู่เส้นโค้งที่เติบโตแบบทวีคูณจนกระทั่งลดลงเหลือศูนย์เมื่อประชากรทั้งหมดติดเชื้อ กล่าวคือไม่มีภูมิคุ้มกันหมู่และไม่มีจุดสูงสุดและมีการลดลงอย่างค่อยเป็นค่อยไปเหมือนที่เกิดขึ้นจริง^{[ 19 ]}

การระบาดสามารถจำลองได้เป็นการแพร่กระจายของโรคผ่านเครือข่ายการติดต่อระหว่างผู้คน เครือข่ายดังกล่าวสามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้ด้วยกราฟและเรียกว่าเครือข่ายการติดต่อ^{[ 20 ]}โหนดแต่ละโหนดในเครือข่ายการติดต่อเป็นตัวแทนของแต่ละบุคคล และลิงก์ (ขอบ) แต่ละอันระหว่างโหนดคู่หนึ่งแสดงถึงการติดต่อระหว่างกัน ลิงก์ในเครือข่ายการติดต่ออาจใช้เพื่อส่งต่อโรคระหว่างบุคคล และแต่ละโรคมีพลวัต ของตัวเอง บนเครือข่ายการติดต่อ การรวมกันของพลวัตของโรคภายใต้อิทธิพลของการแทรกแซง หากมี บนเครือข่ายการติดต่อ สามารถจำลองได้ด้วยเครือข่ายอื่นที่เรียกว่าเครือข่ายการส่งต่อ ในเครือข่ายการส่งต่อ ลิงก์ทั้งหมดมีหน้าที่ในการส่งต่อโรค หากเครือข่ายดังกล่าวเป็นเครือข่ายแบบต้นไม้ในระดับท้องถิ่น หมายความว่าบริเวณใกล้เคียงในระดับท้องถิ่นใด ๆ ในเครือข่ายดังกล่าวมีรูปแบบเป็นต้นไม้การสืบพันธุ์ขั้นพื้นฐานสามารถเขียนได้ในแง่ของระดับส่วนเกินเฉลี่ยของเครือข่ายการส่งต่อดังนี้:

$${\displaystyle R_{0}={\frac {\langle k^{2}\rangle }{\langle k\rangle }}-1,}$$

ที่ไหน${\displaystyle {\langle k\rangle }}$คือค่าเฉลี่ยระดับ (mean-degree) ของเครือข่าย และ${\displaystyle {\langle k^{2}\rangle }}$เป็นโมเมนต์ ที่สอง ของการกระจายระดับ เครือข่ายการส่งผ่าน อย่างไรก็ตาม การค้นหาเครือข่ายการส่งผ่านจากเครือข่ายการติดต่อและพลวัตของโรคไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป^{[ 21 ]}ตัวอย่างเช่น หากเครือข่ายการติดต่อสามารถประมาณได้ด้วยกราฟ Erdős–Rényiที่มีการกระจายระดับแบบปัวซงและพารามิเตอร์การแพร่กระจายของโรคถูกกำหนดไว้ในตัวอย่างข้างต้น เช่น${\displaystyle \beta }$คืออัตราการแพร่เชื้อต่อคน และโรคนี้มีระยะเวลาแพร่เชื้อเฉลี่ยอยู่ที่${\displaystyle {\dfrac {1}{\gamma }}}$ดังนั้นค่าดัชนีการแพร่พันธุ์พื้นฐานคือ${\displaystyle R_{0}={\dfrac {\beta }{\gamma }}{\langle k\rangle }}$^{[ 22 ] [ 23 ]}ตั้งแต่ ${\displaystyle {\langle k^{2}\rangle }-{\langle k\rangle }^{2}={\langle k\rangle }}$สำหรับการแจกแจงแบบปัวซง

จำนวนการแพร่พันธุ์พื้นฐาน (แสดงด้วยR ) เป็นตัววัดว่าโรคสามารถแพร่กระจายได้มากน้อยเพียงใด เป็นจำนวนเฉลี่ยของคนที่ผู้ติดเชื้อหนึ่งคนจะแพร่เชื้อให้ตลอดระยะเวลาการติดเชื้อ ปริมาณนี้จะกำหนดว่าการติดเชื้อจะเพิ่มขึ้นแบบน้อยกว่าเลขชี้กำลัง หายไป หรือคงที่: ถ้าR > 1 โดยเฉลี่ยแล้วแต่ละคนจะแพร่เชื้อให้คนอื่นมากกว่าหนึ่งคน ดังนั้นโรคจะแพร่กระจาย ถ้าR < 1 โดยเฉลี่ยแล้วแต่ละคนจะแพร่เชื้อให้คนอื่นน้อยกว่าหนึ่งคน ดังนั้นโรคจะหายไป และถ้าR = 1 โดยเฉลี่ยแล้วแต่ละคนจะแพร่เชื้อให้คนอื่นเพียงหนึ่งคนเท่านั้น ดังนั้นโรคจะกลายเป็นโรคประจำถิ่น:มันจะแพร่กระจายไปทั่วประชากร แต่จะไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลง^{[ 24 ]}

โรคติดเชื้อจะถูกเรียกว่าเป็นโรคประจำถิ่นเมื่อสามารถคงอยู่ในประชากรได้โดยไม่ต้องอาศัยปัจจัยภายนอก หมายความว่าโดยเฉลี่ยแล้ว ผู้ติดเชื้อแต่ละคนจะแพร่เชื้อไปยัง คนอื่นอีกหนึ่งคน พอดี (หากมากกว่านี้ จำนวนผู้ติดเชื้อจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วและกลายเป็นโรคระบาดหากน้อยกว่านี้ โรคก็จะค่อยๆ หายไป) ในทางคณิตศาสตร์แล้ว เขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle \ R_{0}S\ =1.}$

ค่าการแพร่พันธุ์พื้นฐาน ( R₀ ของโรค โดยสมมติว่าทุกคนมีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อ คูณด้วยสัดส่วนของประชากรที่มีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อจริง ( S ) จะต้องเท่ากับหนึ่ง (เนื่องจากผู้ที่ไม่มีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อจะไม่ถูกนำมาคำนวณ เพราะพวกเขาไม่สามารถติดเชื้อได้) โปรดสังเกตว่าความสัมพันธ์นี้หมายความว่า สำหรับโรคที่จะอยู่ในสภาวะคงที่แบบโรคระบาด ค่าการแพร่พันธุ์พื้นฐานยิ่งสูง สัดส่วนของประชากรที่มีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อจะต้องยิ่งต่ำลง และในทางกลับกัน อย่างไรก็ตาม สูตรนี้มีข้อจำกัดเกี่ยวกับสัดส่วนความเสี่ยงต่อการติดเชื้อ เช่น ถ้าR₀ เท่ากับ หมายความว่า S จะต้องเท่ากับ 2 แต่สัดส่วนนี้เกินขนาดของประชากร

สมมติให้การกระจายอายุเป็นแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าและคงที่ และให้ช่วงอายุของการติดเชื้อมีการกระจายแบบเดียวกันสำหรับแต่ละปีเกิด ให้ค่าเฉลี่ยอายุของการติดเชื้อเป็นAตัวอย่างเช่น เมื่อบุคคลที่อายุน้อยกว่าAมีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อ และบุคคลที่อายุมากกว่าAมีภูมิคุ้มกัน (หรือแพร่เชื้อได้) จากนั้นสามารถแสดงได้โดยใช้เหตุผลอย่างง่ายว่า สัดส่วนของประชากรที่มีความเสี่ยงต่อการติดเชื้อนั้นกำหนดโดย:

${\displaystyle S={\frac {A}{L}}.}$

เราขอย้ำอีกครั้งว่าLคืออายุที่ในแบบจำลองนี้สันนิษฐานว่าแต่ละบุคคลจะเสียชีวิต แต่คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของสภาวะสมดุลประจำถิ่นสามารถจัดเรียงใหม่ได้ดังนี้:

${\displaystyle S={\frac {1}{R_{0}}}.}$

ดังนั้น เนื่องจากคุณสมบัติการถ่ายทอด :

${\displaystyle {\frac {1}{R_{0}}}={\frac {A}{L}}\Rightarrow R_{0}={\frac {L}{A}}.}$

วิธีนี้ช่วยให้สามารถประมาณค่าพารามิเตอร์R ได้อย่างง่ายดาย โดยใช้ข้อมูลที่หาได้ง่าย

สำหรับประชากรที่มีการกระจายอายุแบบเลขชี้กำลัง

${\displaystyle R_{0}=1+{\frac {L}{A}}.}$

วิธีนี้ช่วยให้สามารถคำนวณค่าดัชนีการแพร่พันธุ์พื้นฐานของโรคได้ โดยกำหนดค่าAและLในการกระจายตัวของประชากรทั้งสองประเภท

แบบจำลองแบบแบ่งส่วนได้รับการกำหนดสูตรเป็นลูกโซ่ Markov [ ^{25 ] แบบ}จำลองแบบแบ่งส่วนคลาสสิกในระบาดวิทยาคือแบบจำลอง SIR ซึ่งสามารถใช้เป็นแบบจำลองง่ายๆ สำหรับการจำลองการระบาด แบบจำลองแบบแบ่งส่วนประเภทอื่นๆ อีกหลายประเภทก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน

แบบจำลอง SIR

ในปี ค.ศ. 1927 ดับเบิลยู.โอ. เคอร์แม็ค และ เอ.จี. แม็คเคนดริก ได้สร้างแบบจำลองขึ้น โดยพิจารณาประชากรคงที่ที่มีเพียงสามส่วน ได้แก่ ผู้ที่อ่อนแอต่อโรค${\displaystyle S(t)}$; ติดเชื้อแล้ว,${\displaystyle I(t)}$และฟื้นตัวแล้ว${\displaystyle R(t)}$ช่องที่ใช้สำหรับโมเดลนี้ประกอบด้วยสามคลาส: ^{[ 26 ]}

• ${\displaystyle S(t)}$หรือกลุ่มประชากรที่มีความเสี่ยงต่อการติดโรค
• ${\displaystyle I(t)}$หมายถึงบุคคลในประชากรที่ติดเชื้อโรคและสามารถแพร่เชื้อไปยังบุคคลที่อยู่ในกลุ่มเสี่ยงได้
• ${\displaystyle R(t)}$เป็นกลุ่มที่ใช้สำหรับบุคคลในประชากรที่เคยติดเชื้อและหายจากโรคแล้ว ไม่ว่าจะด้วยการฉีดวัคซีนหรือเสียชีวิต บุคคลในกลุ่มนี้จะไม่สามารถติดเชื้อซ้ำหรือแพร่เชื้อไปยังผู้อื่นได้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จำเป็นต้องบูรณา การข้อมูลปริมาณที่เพิ่มขึ้นซึ่งสร้างขึ้นเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์ระหว่างโฮสต์และเชื้อโรคการศึกษาเชิงทฤษฎีมากมายเกี่ยวกับพลวัตของประชากรโครงสร้าง และวิวัฒนาการของโรคติดเชื้อในพืชและสัตว์ รวมถึงมนุษย์ เกี่ยวข้องกับปัญหานี้^{[ 27 ]}

หัวข้อการวิจัยได้แก่:

• การเปลี่ยนแปลงแอนติเจน
• เครือข่ายระบาดวิทยา
• วิวัฒนาการและการแพร่กระจายของความต้านทาน
• ภูมิคุ้มกันวิทยา -ระบาดวิทยา
• พลวัตภายในโฮสต์
• การระบาดใหญ่
• พันธุศาสตร์ประชากรของเชื้อก่อโรค
• การคงอยู่ของเชื้อโรคภายในโฮสต์
• พลวัตเชิงวิวัฒนาการ
• บทบาทและการระบุแหล่งสะสมเชื้อโรค
• บทบาทของปัจจัยทางพันธุกรรมของโฮสต์
• ระบาดวิทยาเชิงพื้นที่
• เครื่องมือและนวัตกรรมทางสถิติและคณิตศาสตร์
• โครงสร้างและปฏิสัมพันธ์ของสายพันธุ์ (ทางชีววิทยา)
• การแพร่กระจาย การระบาด และการควบคุมการติดเชื้อ
• ความรุนแรง

หากสัดส่วนของประชากรที่มีภูมิคุ้มกันเกิน ระดับ ภูมิคุ้มกันหมู่สำหรับโรคนั้น โรคก็จะไม่สามารถคงอยู่ในประชากรได้อีกต่อไปและการแพร่กระจายก็จะยุติลง^{[ 28 ]}ดังนั้น โรคสามารถถูกกำจัดออกจากประชากรได้หากมีบุคคลที่มีภูมิคุ้มกันมากพอเนื่องจากการฉีดวัคซีนหรือการฟื้นตัวจากการสัมผัสกับโรคก่อนหน้านี้ ตัวอย่างเช่นการกำจัดโรคไข้ทรพิษ โดยมีผู้ป่วยสายพันธุ์ป่ารายสุดท้ายในปี 1977 และการรับรองการกำจัดการแพร่กระจายในท้องถิ่นของ ไวรัสโปลิโอสายพันธุ์ป่า 2 ใน 3 ชนิด(ชนิดที่ 2 ในปี 2015 หลังจากรายงานผู้ป่วยรายสุดท้ายในปี 1999 และชนิดที่ 3 ในปี 2019 หลังจากรายงานผู้ป่วยรายสุดท้ายในปี 2012) ^{[ 29 ]}

ระดับภูมิคุ้มกันหมู่จะใช้สัญลักษณ์qโปรดจำไว้ว่า สำหรับสภาวะที่เสถียร:

${\displaystyle R_{0}\cdot S=1.}$

ในทางกลับกัน

${\displaystyle R_{0}={\frac {N}{S}}={\frac {\mu N\operatorname {E} (T_{L})}{\mu N\operatorname {E} [\min(T_{L},T_{S})]}}={\frac {\operatorname {E} (T_{L})}{\operatorname {E} [\min(T_{L},T_{S})]}},}$

ซึ่งโดยประมาณคือ:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {\operatorname {E} } (T_{L})}{\operatorname {\operatorname {E} } (T_{S})}}=1+{\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {\beta N}{v}}.}$

Sจะเท่ากับ (1  − q ) เนื่องจากqคือสัดส่วนของประชากรที่มีภูมิคุ้มกัน และq + Sต้องเท่ากับหนึ่ง (เนื่องจากในแบบจำลองที่ง่ายขึ้นนี้ ทุกคนจะเป็นได้ทั้งผู้ที่อ่อนแอต่อโรคหรือมีภูมิคุ้มกัน) ดังนั้น:   

${\displaystyle {\begin{aligned}&R_{0}\cdot (1-q)=1,\\[6pt]&1-q={\frac {1}{R_{0}}},\\[6pt]&q=1-{\frac {1}{R_{0}}}.\end{aligned}}}$

โปรดจำไว้ว่านี่คือระดับเกณฑ์ การยุติการแพร่ระบาดจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อสัดส่วนของผู้ที่มีภูมิคุ้มกันเกินระดับนี้เนื่องจากโครงการฉีดวัคซีนหมู่เท่านั้น

เราได้คำนวณค่าเกณฑ์การสร้างภูมิคุ้มกันที่สำคัญ (ระบุด้วยq ) แล้ว ซึ่งเป็นสัดส่วนขั้นต่ำของประชากรที่ต้องได้รับการสร้างภูมิคุ้มกันตั้งแต่แรกเกิด (หรือใกล้เคียงกับเวลาเกิด) เพื่อให้เชื้อโรคหมดไปจากประชากร

${\displaystyle q_{c}=1-{\frac {1}{R_{0}}}.}$

เนื่องจากสัดส่วนของขนาดประชากรสุดท้ายpที่ไม่เคยติดเชื้อ สามารถกำหนดได้ดังนี้:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }S(t)=e^{-\int _{0}^{\infty }\lambda (t)\,dt}=1-p.}$

เพราะฉะนั้น,

${\displaystyle p=1-e^{-\int _{0}^{\infty }\beta I(t)\,dt}=1-e^{-R_{0}p}.}$

การแก้ปัญหาสำหรับ${\displaystyle R_{0}}$เราจึงได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle R_{0}={\frac {-\ln(1-p)}{p}}.}$

แบบจำลองมีข้อได้เปรียบในการตรวจสอบผลลัพธ์หลายอย่างพร้อมกัน แทนที่จะทำการคาดการณ์เพียงครั้งเดียว แบบจำลองแสดงให้เห็นถึงความน่าเชื่อถือในวงกว้างในการระบาดใหญ่ในอดีต เช่นSARS , SARS-CoV-2 [ ^{30 ] ไข้หวัด}หมู , MERSและอีโบลา^{[ 31 ]}