ในทางสถิติการแพร่กระจายของความไม่แน่นอนคือ ผลกระทบของความไม่แน่นอนของตัวแปรต่อความไม่แน่นอนของฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรเหล่านั้น เมื่อตัวแปรเป็นค่าที่ได้จากการวัดเชิงทดลอง ตัวแปรเหล่านั้นจะมีความไม่แน่นอนเนื่องจากข้อจำกัดในการวัด (เช่นความแม่นยำ ของเครื่องมือ ) ซึ่งจะแพร่กระจายออกไปเนื่องจากการรวมกันของตัวแปรในฟังก์ชัน

ความไม่แน่นอนu สามารถแสดง ได้หลายวิธี อาจกำหนดโดยความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์Δxความไม่แน่นอนยังสามารถกำหนดโดยความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์(Δx ) / xซึ่งมักเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ โดยทั่วไปแล้ว ความไม่แน่นอนของปริมาณจะถูกวัดในรูปของ ค่าเบี่ยง เบนมาตรฐานσซึ่งเป็นราก ที่สองบวก ของ ความแปรปรวน ค่าของปริมาณและ ความคลาดเคลื่อนจะแสดงเป็นช่วงx ± uอย่างไรก็ตาม วิธีทั่วไปที่สุดในการกำหนดลักษณะความไม่แน่นอนคือการระบุการกระจาย ความน่าจะเป็น หาก ทราบ การกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรหรือสามารถสมมติได้ ในทางทฤษฎีแล้วเป็นไปได้ที่จะหาค่าสถิติใดๆ ของการกระจายนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปได้ที่จะหาขอบเขตความเชื่อมั่นเพื่ออธิบายบริเวณที่อาจพบค่าที่แท้จริงของตัวแปรได้ ตัวอย่างเช่น ช่วงความเชื่อมั่น 68% สำหรับตัวแปรหนึ่งมิติที่อยู่ในกลุ่มการแจกแจงแบบปกติ จะอยู่ ห่างจากค่ากลางxประมาณ ± หนึ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานσซึ่งหมายความว่า บริเวณx ± σจะครอบคลุมค่าที่แท้จริงในประมาณ 68% ของกรณี

หากความไม่แน่นอนมีความสัมพันธ์กันจะต้องคำนึงถึงความแปรปรวน ร่วมด้วย ความสัมพันธ์อาจเกิดขึ้นจากสองแหล่งที่มาที่แตกต่างกัน ประการแรก ข้อผิดพลาดในการวัดอาจมีความสัมพันธ์กัน ประการที่สอง เมื่อค่าพื้นฐานมีความสัมพันธ์กันในประชากรความไม่แน่นอนในค่าเฉลี่ยของกลุ่มจะมีความสัมพันธ์กัน^{[ 1 ]}

ในบริบททั่วไปที่ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นปรับเปลี่ยนพารามิเตอร์ที่ไม่แน่นอน (มีความสัมพันธ์กันหรือไม่) เครื่องมือมาตรฐานในการแพร่กระจายความไม่แน่นอนและอนุมานการกระจายความน่าจะเป็น/สถิติของปริมาณที่เกิดขึ้นคือเทคนิคการสุ่มตัวอย่างจากตระกูลวิธี Monte Carlo ^{[ 2 ]}สำหรับชุดข้อมูลขนาดใหญ่มากหรือฟังก์ชันที่ซับซ้อน การคำนวณการแพร่กระจายข้อผิดพลาดอาจมีค่าใช้จ่ายสูงมาก ดังนั้นแบบจำลองตัวแทน^{[ 3 ]}หรือกลยุทธ์การคำนวณแบบขนาน^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}อาจมีความจำเป็น

ในบางกรณี การคำนวณการแพร่กระจายความไม่แน่นอนสามารถทำได้โดยใช้ขั้นตอนทางพีชคณิตแบบง่ายๆ ตัวอย่างบางส่วนของสถานการณ์เหล่านี้จะอธิบายไว้ด้านล่าง

อนุญาต${\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}$เป็นเซตของ ฟังก์ชัน mฟังก์ชัน ซึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นของ${\displaystyle n}$ตัวแปร${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ด้วยสัมประสิทธิ์การรวมกัน${\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}$: $${\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},}$$ หรือในรูปแบบเมทริกซ์ $${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {A} \mathbf {x} .}$$

นอกจากนี้ ให้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของx = ( x , ..., x )แทนด้วย${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$และให้ค่าเฉลี่ยแทนด้วย${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\mu }}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=\operatorname {E} [(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]&={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \begin{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \otimes }$คือผลิตภัณฑ์ภายนอก

จากนั้น เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$ของfกำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{f}&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\right]=\operatorname {E} \left[\mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes \mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right]\\[1ex]&=\mathbf {A} \operatorname {E} \left[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldสัญลักษณ์ {\mu }})\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldสัญลักษณ์ {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

ในสัญลักษณ์ส่วนประกอบ สมการ $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$$ อ่าน $${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma __{kl}^{x}A_{jl}.}$$

นี่คือสูตรทั่วไปที่สุดสำหรับการแพร่กระจายของข้อผิดพลาดจากชุดตัวแปรหนึ่งไปยังอีกชุดหนึ่ง เมื่อข้อผิดพลาดบนxไม่มีความสัมพันธ์กัน สูตรทั่วไปจะลดรูปเหลือเพียง $${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}$คือค่าความแปรปรวนขององค์ประกอบที่k ของเวกเตอร์ xโปรดทราบว่าถึงแม้ข้อผิดพลาดบนxอาจไม่สัมพันธ์กัน แต่ข้อผิดพลาดบนfโดยทั่วไปจะสัมพันธ์กัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แม้ว่า${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$เป็นเมทริกซ์แนวทแยง${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$โดยทั่วไปแล้วจะเป็นเมทริกซ์เต็มรูปแบบ

รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันค่าสเกลาร์fนั้นค่อนข้างเรียบง่ายกว่า (ในที่นี้aคือเวกเตอร์แถว ): $${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}$$

แต่ละพจน์ความแปรปรวนร่วม${\displaystyle \sigma _{ij}}$สามารถแสดงได้ในรูปของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์${\displaystyle \rho _{ij}}$โดย${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$ดังนั้นนิพจน์ทางเลือกสำหรับความแปรปรวนของfคือ $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

ในกรณีที่ตัวแปรในxไม่มีความสัมพันธ์กัน สมการนี้จะง่ายขึ้นไปอีก $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}$$

ในกรณีง่ายๆ ที่สัมประสิทธิ์และความแปรปรวนเหมือนกัน เราพบว่า $${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}$$

สำหรับค่าเฉลี่ยเลขคณิต${\displaystyle a=1/n}$ผลลัพธ์ที่ได้คือค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย : $${\displaystyle \sigma _{f}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$$

เมื่อfเป็นเซตของการรวมแบบไม่เชิงเส้นของตัวแปรxการแพร่กระจายช่วงสามารถทำได้เพื่อคำนวณช่วงที่มีค่าที่สอดคล้องกันทั้งหมดสำหรับตัวแปร ในแนวทางเชิงความน่าจะเป็น ฟังก์ชันf มักจะต้องทำให้เป็นเชิงเส้นโดยการประมาณค่าด้วยการขยาย อนุกรมเทย์เลอร์อันดับแรกแม้ว่าในบางกรณีจะสามารถหาสูตรที่แน่นอนได้ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ เช่นเดียวกับกรณีของความแปรปรวนที่แน่นอนของผลคูณ^{[ 7 ]}การขยายอนุกรมเทย์เลอร์จะเป็นดังนี้: $${\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}$หมายถึงอนุพันธ์ย่อยของf เทียบกับ ตัวแปรที่ iโดยประเมินค่าที่ค่าเฉลี่ยของส่วนประกอบทั้งหมดของเวกเตอร์xหรือในสัญกรณ์เมทริกซ์ $${\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}$$ โดยที่ J คือเมทริกซ์จาโคเบียนเนื่องจาก f ⁰เป็นค่าคงที่ จึงไม่มีส่วนทำให้เกิดข้อผิดพลาดบน f ดังนั้น การแพร่กระจายของข้อผิดพลาดจึงเป็นไปตามกรณีเชิงเส้นข้างต้น แต่แทนที่สัมประสิทธิ์เชิงเส้นA และA ด้วยอนุพันธ์ย่อย${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}$และ${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$ในสัญลักษณ์เมทริกซ์^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}$$

กล่าวคือ เมทริกซ์จาโคเบียนของฟังก์ชันจะถูกใช้เพื่อแปลงแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของตัวแปร โปรดสังเกตว่านี่เทียบเท่ากับนิพจน์เมทริกซ์สำหรับกรณีเชิงเส้นที่มี${\displaystyle \mathrm {J=A} }$.

ตารางนี้แสดงค่าความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของฟังก์ชันอย่างง่ายของตัวแปรจริง${\displaystyle A,B}$โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},}$ความแปรปรวนร่วม${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},}$และความสัมพันธ์${\displaystyle \rho _{AB}.}$สัมประสิทธิ์ค่าจริง${\displaystyle a}$และ${\displaystyle b}$ถือว่าทราบค่าแน่นอน (แบบกำหนดได้) กล่าวคือ${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0.}$

ในคอลัมน์ด้านขวาของตาราง${\displaystyle A}$และ${\displaystyle B}$คือค่าคาดหวังและ${\displaystyle f}$คือค่าของฟังก์ชันที่คำนวณได้จากค่าเหล่านั้น

การทำงาน	ความแปรปรวน	ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน
${\displaystyle f=aA\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}=|a|\sigma _{A}}$
${\displaystyle f=A+B}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=A-B}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA+bB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA-bB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=AB}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[ 15 ] [ 16 ]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{B}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}$[ 17 ]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${\displaystyle f={\frac {A}{A+B}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx {\frac {f^{2}}{\left(A+B\right)^{2}}}\left({\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}\right)}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{\frac {f}{A+B}}\right|{\sqrt {{\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f=aA^{b}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\ln(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}}$[ 18 ]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|}$
${\displaystyle f=a\log _{10}(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}}$[ 18 ]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|}$
${\displaystyle f=ae^{bA}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}}$[ 19 ]	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|\left(b\sigma _{A}\right)\right|}$
${\displaystyle f=a^{bA}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|b\ln(a)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\sin(bA)}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\cos \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=a\tan \left(bA\right)\,}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right|}$
${\displaystyle f=A^{B}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}}$
${\displaystyle f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}}$	${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}$	${\displaystyle \sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}}$

สำหรับตัวแปรที่ไม่สัมพันธ์กัน (${\displaystyle \rho _{AB}=0}$,${\displaystyle \sigma _{AB}=0}$นิพจน์สำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อนกว่าสามารถหาได้โดยการรวมฟังก์ชันที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น การคูณซ้ำๆ โดยสมมติว่าไม่มีความสัมพันธ์กัน จะได้ $${\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}$$

สำหรับกรณีนี้${\displaystyle f=AB}$นอกจากนี้ เรายังมีนิพจน์ของ Goodman ^{[ 7 ]}สำหรับความแปรปรวนที่แน่นอน: สำหรับกรณีที่ไม่มีความสัมพันธ์กันคือ $${\displaystyle \operatorname {V} [XY]=\operatorname {E} [X]^{2}\operatorname {V} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\operatorname {V} [X]+\operatorname {V} [X]\operatorname {V} [Y],}$$ และด้วยเหตุนี้เราจึงมี $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}.}$$ พจน์สุดท้ายแสดงถึงการแก้ไขเล็กน้อยจากสูตรปกติ ดังที่เห็นได้จากการหารทั้งสองข้างด้วย${\displaystyle f^{2}=A^{2}B^{2}}$. $${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}=\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{A}\sigma _{B}}{AB}}\right)^{2}.}$$

• Bevington, Philip R.; Robinson, D. Keith (2002), การลดข้อมูลและการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดสำหรับวิทยาศาสตร์กายภาพ (  ฉบับที่ 3), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
• Fornasini, Paolo (2008), ความไม่แน่นอนในการวัดทางฟิสิกส์: บทนำสู่การวิเคราะห์ข้อมูลในห้องปฏิบัติการฟิสิกส์ , Springer, หน้า 161, ISBN 978-0-387-78649-0
• เมเยอร์, ​​สจวร์ต แอล. (1975), การวิเคราะห์ข้อมูลสำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร , ไวลีย์, ISBN 978-0-471-59995-1
• Peralta, M. (2012), การแพร่กระจายของข้อผิดพลาด: วิธีการทำนายข้อผิดพลาดในการวัดทางคณิตศาสตร์ , CreateSpace
• Rouaud, M. (2013), ความน่าจะเป็น สถิติ และการประมาณค่า: การแพร่กระจายของความไม่แน่นอนในการวัดเชิงทดลอง (PDF) (ฉบับ ย่อ)
• เทย์เลอร์, เจ.อาร์. (1997), บทนำสู่การวิเคราะห์ข้อผิดพลาด: การศึกษาความไม่แน่นอนในการวัดทางกายภาพ (  ฉบับที่ 2), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยวิทยาศาสตร์
• Wang, CM; Iyer, Hari K. (2005-09-07). "เกี่ยวกับการแก้ไขลำดับที่สูงกว่าสำหรับการแพร่กระจายความไม่แน่นอน" Metrologia . 42 (5): 406– 410. Bibcode : 2005Metro..42..406W . doi : 10.1088/0026-1394/42/5/011 . ISSN 0026-1394 . S2CID 122841691 .  

• เครื่องคำนวณความไม่แน่นอนสร้างงบประมาณความไม่แน่นอนที่พร้อมใช้งานตามมาตรฐาน ISO 17025 โดยไม่ต้องใช้สเปรดชีตหรือกล่องดำ
• การอภิปรายอย่างละเอียดเกี่ยวกับการวัดและการแพร่กระจายของความไม่แน่นอนโดยอธิบายถึงประโยชน์ของการใช้สูตรการแพร่กระจายข้อผิดพลาดและการจำลองมอนเตคาร์โลแทนการคำนวณความสำคัญแบบง่ายๆ
• GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement) คือ คู่มือการแสดงค่าความไม่แน่นอนในการวัด
• EPFL บทนำเกี่ยวกับการแพร่กระจายข้อผิดพลาดการหาที่มา ความหมาย และตัวอย่างของ Cy = Fx Cx Fx'
• แพ็กเกจความไม่แน่นอนคือโปรแกรม/ไลบรารีสำหรับการคำนวณที่มีความไม่แน่นอน (และค่าความสัมพันธ์ของข้อผิดพลาด) อย่างโปร่งใส
• แพ็กเกจ soerpเป็นโปรแกรม/ไลบรารี Python สำหรับการคำนวณอันดับสองแบบโปร่งใส โดยคำนึงถึงความไม่แน่นอน (และความสัมพันธ์ของข้อผิดพลาด) ด้วย
• คณะกรรมการร่วมว่าด้วยแนวทางการวัด (2011). JCGM 102: การประเมินข้อมูลการวัด - ภาคผนวก 2 ของ "คู่มือการแสดงความไม่แน่นอนในการวัด" - การขยายไปสู่ปริมาณผลลัพธ์จำนวนใดๆ (PDF) (รายงานทางเทคนิค). JCGM . สืบค้นเมื่อ13 กุมภาพันธ์ 2013 .