ในเรขาคณิตระนาบคือปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงกล่าวคือ เซตย่อยของปริภูมิเชิงเส้นตรงซึ่งเป็นปริภูมิเชิงเส้นตรงเช่นกัน^{[ 1 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในกรณีที่ปริภูมิแม่เป็นปริภูมิยุคลิดระนาบคือปริภูมิย่อยยุคลิดซึ่งสืบทอดแนวคิดเรื่องระยะทางจากปริภูมิแม่

ใน ปริภูมิ nมิติจะมี ระนาบ kมิติสำหรับแต่ละมิติkตั้งแต่ 0 ถึงnส่วนระนาบที่มีมิติต่ำกว่าปริภูมิแม่หนึ่งมิติ( n − 1)มิติ เรียกว่าระนาบไฮเปอร์

พื้นผิวเรียบในระนาบ (ปริภูมิสองมิติ) คือจุดเส้นและระนาบนั้นเอง ส่วนพื้นผิวเรียบในปริภูมิสามมิติคือ จุด เส้น ระนาบ และปริภูมินั้นเอง นิยามของพื้นผิวเรียบนี้ไม่รวมถึงเส้นโค้ง ที่ไม่เป็นเส้นตรงและ พื้นผิวที่ไม่เป็นระนาบซึ่งเป็นปริภูมิย่อยที่มีแนวคิดเรื่องระยะทางแตกต่างกัน คือความยาวส่วนโค้งและความยาวทางเรขาคณิตตามลำดับ

ในพีชคณิตเชิงเส้น ระนาบ (Flats) เกิดขึ้น ในฐานะที่เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของเซตคำตอบของ ระบบสมการ เชิง เส้น

ระนาบแบน (flat) เป็นทั้งแมนิโฟลด์และวาไรตีเชิงพีชคณิตและบางครั้งเรียกว่าแมนิโฟลด์เชิงเส้นหรือวาไรตีเชิงเส้นเพื่อแยกแยะออกจากแมนิโฟลด์หรือวาไรตีอื่นๆ

พื้นผิวเรียบสามารถอธิบายได้ด้วยระบบสมการเชิงเส้นตัวอย่างเช่น เส้นตรงในปริภูมิสองมิติสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้นเดียวที่เกี่ยวข้องกับxและy :

${\displaystyle 3x+5y=8.}$

ในปริภูมิสามมิติ สมการเชิงเส้นเดี่ยวที่มีตัวแปรx , yและzจะกำหนดระนาบ ในขณะที่สมการเชิงเส้นสองสมการสามารถใช้เพื่ออธิบายเส้นตรงได้ โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นใน ตัวแปร nตัวจะอธิบายระนาบหลายมิติ และระบบสมการเชิงเส้นจะอธิบายจุดตัดของระนาบหลายมิติเหล่านั้น สมมติว่าสมการมีความสอดคล้องกันและเป็นอิสระเชิงเส้นระบบ สมการ k สมการจะ อธิบาย ระนาบที่มีมิติn − k

พื้นราบสามารถอธิบายได้ด้วยระบบสมการเชิงเส้นแบบพาราเมตริก ส่วนเส้นตรงสามารถอธิบายได้ด้วยสมการที่มีพารามิเตอร์ หนึ่งตัว :

${\displaystyle x=2+3t,\;\;\;\;y=-1+t\;\;\;\;z={\frac {3}{2}}-4t}$

ในขณะที่การอธิบายเครื่องบินจะต้องใช้พารามิเตอร์สองตัว:

${\displaystyle x=5+2t_{1}-3t_{2},\;\;\;\;y=-4+t_{1}+2t_{2}\;\;\;\;z=5t_{1}-3t_{2}.\,\!}$

โดยทั่วไป การกำหนดพารามิเตอร์ของระนาบที่มีมิติkจะต้องใช้ พารามิเตอร์ k ตัวเช่น t 1 …, t

จุดตัดของแฟลตจะเป็นแฟลตหรือเซตว่าง อย่าง ใด อย่างหนึ่ง

ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นจากระนาบหนึ่งขนานกับเส้นตรงบางเส้นจากระนาบอีกระนาบหนึ่ง แสดงว่าระนาบทั้งสองนั้นขนานกันระนาบขนานสองระนาบที่มีมิติเท่ากันจะทับกันหรือไม่ตัดกัน และสามารถอธิบายได้ด้วยระบบสมการเชิงเส้นสองระบบซึ่งแตกต่างกันเฉพาะด้านขวามือเท่านั้น

ถ้าระนาบไม่ตัดกัน และไม่มีเส้นใดจากระนาบแรกขนานกับเส้นจากระนาบที่สอง ระนาบเหล่านั้นจะเป็นระนาบเฉียงซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของมิติของระนาบทั้งสองน้อยกว่ามิติของพื้นที่โดยรอบ

สำหรับระนาบสองระนาบที่มีมิติk และk จะมีระนาบที่เล็กที่สุดซึ่งบรรจุระนาบทั้งสองนั้น โดยมีมิติไม่เกินk + k + 1ถ้าระนาบสองระนาบตัดกัน มิติของระนาบที่บรรจุระนาบนั้นจะเท่ากับk + k ลบด้วยมิติของระนาบที่ตัดกัน

การดำเนินการทั้งสองนี้ (เรียกว่าการรวมและการเชื่อม ) ทำให้เซตของระนาบทั้งหมดในปริภูมิยูคลิดnมิติกลายเป็นแลตทิซและสามารถสร้างพิกัดเชิงระบบสำหรับระนาบในมิติใดๆ ก็ได้ ซึ่งนำไปสู่พิกัดกราสส์มันน์หรือพิกัดกราสส์มันน์คู่ ตัวอย่างเช่น เส้นตรงในปริภูมิสามมิติถูกกำหนดโดยจุดสองจุดที่แตกต่างกันหรือโดยระนาบสองระนาบที่แตกต่างกัน

อย่างไรก็ตาม โครงข่ายของระนาบทั้งหมดไม่ใช่โครงข่ายแบบกระจายถ้าเส้นตรงสองเส้นℓ และℓ ตัดกันℓ ∩ ℓ จะเป็นจุด ถ้าpเป็นจุดที่ไม่ได้อยู่บนระนาบเดียวกัน(ℓ ∩ ℓ ) + p = (ℓ + p ) ∩ (ℓ + p )ซึ่งทั้งสองแทนเส้นตรง แต่เมื่อℓ และℓ ขนานกันคุณสมบัติการกระจาย นี้ จะใช้ไม่ได้ ทำให้pอยู่ทางด้านซ้ายมือ และมีเส้นขนานที่สามอยู่ทางด้านขวามือ

ข้อเท็จจริงที่กล่าวมาข้างต้นไม่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างที่เป็นปริภูมิยูคลิด (กล่าวคือ เกี่ยวข้องกับ ระยะทางยูคลิด ) และถูกต้องในปริภูมิเชิงเส้น ใดๆ ในปริภูมิยูคลิด:

• นั่นคือระยะห่างระหว่างระนาบกับจุด (ดูตัวอย่างเช่นระยะห่างจากจุดถึงระนาบและระยะห่างจากจุดถึงเส้นตรง )
• ระยะห่างระหว่างระนาบสองระนาบจะมีค่าเท่ากับ 0 ถ้าระนาบทั้งสองตัดกัน (ดูตัวอย่างเช่นระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น (ในระนาบเดียวกัน) และเส้นเฉียง § ระยะห่าง )
• มุม ระหว่าง ระนาบสองระนาบนั้นอยู่ในช่วง[0, π/2] ซึ่งอยู่ ระหว่าง 0 กับมุมฉาก (ดูตัวอย่างเช่นมุมไดเฮดรัล (ระหว่างระนาบสองระนาบ) ดูเพิ่มเติมที่ มุมระหว่างระนาบ )

• แมทรอยด์
• ระนาบเดียวกัน
• ไอโซเมตรี

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ไฮเปอร์เพลน" . แมธเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "แบนราบ" . แมธเวิลด์ .