ในวิชาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ปัญหาของออยเลอร์เกี่ยวกับวัตถุสามชิ้นคือการหาคำตอบของการเคลื่อนที่ของอนุภาคหนึ่งที่ถูกกระทำโดยสนามโน้มถ่วงของมวลจุดอีกสองจุดที่ตรึงอยู่กับที่ในอวกาศ นี่เป็นรูปแบบเฉพาะของปัญหาวัตถุสามชิ้นรูปแบบนี้สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำ และให้คำตอบโดยประมาณสำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ในสนามโน้มถ่วงของทรงรีแบบยาวและแบบ แบน ปัญหานี้ตั้งชื่อตามเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ผู้ซึ่งได้กล่าวถึงปัญหานี้ในบันทึกที่ตีพิมพ์ในปี 1760 ต่อมามีการขยายและวิเคราะห์ปัญหาวัตถุสามชิ้นอย่างสำคัญโดยโจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ , โจเซฟ ลิอูวิล ล์, ปิแอร์-ไซมอน ลาปลาซ, คาร์ล กุสตาฟ จาคอบ จาโคบี , อูร์แบง เลอ แวร์ริเยร์ , วิลเลียม โรวัน แฮมิล ตัน , อองรี ปวงกา เร และจอร์จ เดวิด เบิร์คฮอฟฟ์เป็นต้น^{[ 1 ]} ปัญหาสามวัตถุของออยเลอร์เป็นที่รู้จักกันในชื่อต่างๆ เช่นปัญหาศูนย์กลางคงที่สองจุดปัญหาออยเลอร์-จาโคบีและปัญหาเคปเลอร์สองศูนย์กลางคำตอบที่แน่นอนในกรณีสามมิติเต็มรูปแบบสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันวงรีของไวเออร์สตรัส^{[ 2 ]} เพื่อความสะดวก ปัญหานี้อาจแก้ไขได้ด้วยวิธีการเชิงตัวเลข เช่นการอินทิเกรตแบบรันเก-คุตตาของสมการการเคลื่อนที่ พลังงานรวมของอนุภาคที่เคลื่อนที่นั้นอนุรักษ์ไว้ แต่ โมเมนตัม เชิงเส้นและเชิงมุม ของมัน ไม่อนุรักษ์ไว้ เนื่องจากศูนย์กลางคงที่สองจุดสามารถใช้แรงและแรงบิดสุทธิได้ อย่างไรก็ตาม อนุภาคมีปริมาณอนุรักษ์ที่สองซึ่งสอดคล้องกับโมเมนตัมเชิงมุมหรือเวกเตอร์ลาปลาซ-รันเก-เลนซ์เป็นกรณีจำกัด

ปัญหาของออยเลอร์ยังครอบคลุมกรณีที่อนุภาคถูกกระทำโดยแรงศูนย์กลาง ผกผันกำลังสองอื่นๆ เช่นปฏิสัมพันธ์ทางไฟฟ้าสถิตที่อธิบายโดยกฎของคูลอมบ์วิธีแก้ปัญหาแบบคลาสสิกของออยเลอร์ถูกนำมาใช้เพื่อศึกษาพันธะเคมีโดยใช้การประมาณแบบกึ่งคลาสสิก ของระดับพลังงานของอิเล็กตรอนตัวเดียวที่เคลื่อนที่ในสนามของนิวเคลียสอะตอม ^สองตัว เช่น ไอออนไดอะตอมิก HeH ²⁺สิ่งนี้ทำเป็นครั้งแรกโดยWolfgang Pauliในปี 1921 ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาภายใต้Arnold Sommerfeldซึ่งเป็นการศึกษาไอออนแรกของไฮโดรเจนโมเลกุล นั่นคือไอออนไฮโดรเจนโมเลกุล H ⁺ [ ^{3 ]} ระดับพลังงานเหล่านี้สามารถคำนวณได้ด้วยความแม่นยำที่เหมาะสมโดยใช้วิธี Einstein–Brillouin–Kellerซึ่งเป็นพื้นฐานของแบบจำลอง Bohrของไฮโดรเจนอะตอม ด้วย ^{[ 4 ] [ 5 ]}เมื่อไม่นานมานี้ ดังที่อธิบายเพิ่มเติมในเวอร์ชันกลศาสตร์ควอนตัม ได้มีการหาคำตอบเชิงวิเคราะห์สำหรับค่าไอเกน (พลังงาน) ซึ่งถือเป็นการวางนัยทั่วไปของฟังก์ชัน Lambert W

ปัญหาทั่วไปของออยเลอร์มีหลายอย่างที่เป็นที่รู้จัก การวางนัยทั่วไปเหล่านี้จะเพิ่มแรงเชิงเส้นและแรงกำลังสามผกผัน และศูนย์กลางแรงมากถึงห้าจุด กรณีพิเศษของปัญหาทั่วไปเหล่านี้ได้แก่ ปัญหาของดาร์บูซ์^{[ 6 ]}และปัญหาของเวลเด^{[ 7 ]}

ปัญหาของออยเลอร์เกี่ยวกับวัตถุสามชิ้น คือการอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคภายใต้แรงดึงดูดของจุดศูนย์กลางสองจุด ซึ่งแรงดึงดูดนี้จะลดลงตามระยะทางตาม กฎกำลัง สองผกผันเช่นเดียวกับแรงโน้มถ่วงของนิวตันหรือกฎของคูลอมบ์ตัวอย่างของปัญหาของออยเลอร์ ได้แก่อิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ในสนามไฟฟ้าของนิวเคลียส สองตัว เช่นโมเลกุล-ไอออนไฮโดรเจนH++2แรงผกผันกำลังสองทั้งสองไม่จำเป็นต้องมีความแรงเท่ากัน ตัวอย่างเช่น นิวเคลียสทั้งสองอาจมีประจุต่างกันได้ เช่นในไอออนโมเลกุลHeH ²⁺

ในปัญหาวัตถุสามชิ้นของออยเลอร์ เราสมมติว่าจุดศูนย์กลางแรงดึงดูดทั้งสองอยู่กับที่ ซึ่งไม่เป็นจริงอย่างเคร่งครัดในกรณีเช่นH+2แต่โปรตอนจะมีความเร่งน้อยกว่าอิเล็กตรอนมาก อย่างไรก็ตาม ปัญหาของออยเลอร์เกี่ยวกับวัตถุสามชิ้นนั้นใช้ไม่ได้กับดาวเคราะห์ที่เคลื่อนที่อยู่ในสนามโน้มถ่วงของดาวฤกษ์ สองดวง เพราะในกรณีนั้นอย่างน้อยหนึ่งดวงจะมีความเร่งคล้ายกับที่ดาวเคราะห์ได้รับ

ปัญหานี้ได้รับการพิจารณาครั้งแรกโดยLeonhard Eulerซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีคำตอบที่แน่นอนในปี 1760 ^{[ 8 ]} Joseph Louis Lagrangeได้แก้ปัญหาทั่วไปที่ศูนย์กลางออกแรงทั้งเชิงเส้นและแรงผกผันกำลังสอง^{[ 9 ]} Carl Gustav Jacob Jacobiแสดงให้เห็นว่าการหมุนของอนุภาคเกี่ยวกับแกนของศูนย์กลางคงที่ทั้งสองสามารถแยกออกได้ ลดปัญหาสามมิติทั่วไปให้เหลือปัญหาเชิงระนาบ^{[ 10 ]}

ในปี พ.ศ. 2551 Diarmuid Ó Mathúna ได้ตีพิมพ์หนังสือชื่อ "Integrable Systems in Celestial Mechanics" ในหนังสือเล่มนี้ เขาได้นำเสนอวิธีแก้ปัญหาแบบปิดสำหรับทั้งปัญหาจุดศูนย์กลางคงที่สองจุดในระนาบและปัญหาสามมิติ^{[ 11 ]}

ปัญหาของจุดศูนย์กลางคงที่สองจุดนั้นอนุรักษ์พลังงานกล่าวคือ พลังงานรวมเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่พลังงานศักย์กำหนดโดย ${\displaystyle E}$

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}-{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}}$

โดยที่แทนตำแหน่งของอนุภาค และและคือระยะห่างระหว่างอนุภาคกับจุดศูนย์กลางของแรงและ และ คือค่าคงที่ที่วัดความแรงของแรงแรกและแรงที่สองตามลำดับ พลังงานรวมเท่ากับผลรวมของพลังงานศักยภาพนี้กับ พลังงานจลน์ของอนุภาค${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle \mu _{1}}$${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle E={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} )}$

โดยที่และ คือมวลและ โมเมนตัมเชิงเส้นของอนุภาคตามลำดับ ${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {p} }$

ในปัญหาของออยเลอร์ โมเมนตัม เชิงเส้นและโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคจะไม่ถูกอนุรักษ์ เนื่องจากจุดศูนย์กลางแรงทั้งสองทำหน้าที่เสมือนแรงภายนอกที่กระทำต่ออนุภาค ซึ่งอาจทำให้เกิดแรงลัพธ์และแรงบิดสุทธิบนอนุภาคได้ อย่างไรก็ตาม ปัญหาของออยเลอร์ยังมีค่าคงที่ของการเคลื่อนที่อีกค่าหนึ่ง

${\displaystyle C=r_{1}^{2}\,r_{2}^{2}\,{\frac {d\theta _{1}}{dt}}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}+2\,a\left(\mu _{1}\cos \theta _{1}-\mu _{2}\cos \theta _{2}\right),}$

โดยที่คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลางแรงทั้งสองและคือมุมของเส้นที่เชื่อมอนุภาคกับศูนย์กลางแรง เทียบกับเส้นที่เชื่อมศูนย์กลาง ค่าคงที่การเคลื่อนที่ตัวที่สองนี้ถูกระบุโดยET Whittakerในงานของเขาเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์^{[ 12 ]}และถูกขยายไปสู่มิติโดยCoulsonและ Joseph ในปี 1967 ^{[ 13 ]} ในรูปแบบของ Coulson–Joseph ค่าคงที่การเคลื่อนที่เขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle 2\,a}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle B=\mathbf {L} ^{2}+a^{2}p_{n}^{2}+2\,a\,x_{n}\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}-{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right),}$

โดยที่แสดงถึงส่วนประกอบของโมเมนตัมตามแกนที่จุดศูนย์กลางแรงดึงดูดตั้งอยู่^{[หมายเหตุ 1 ]}ค่าคงที่ของการเคลื่อนที่นี้สอดคล้องกับ กำลังสองของ โมเมนตัมเชิงมุมรวมในขีดจำกัดเมื่อจุดศูนย์กลางแรงทั้งสองลู่เข้าสู่จุดเดียว ( ) และเป็นสัดส่วนกับเวกเตอร์ Laplace–Runge–Lenzในขีดจำกัดเมื่อจุดศูนย์กลางจุดหนึ่งเข้าสู่อนันต์ ( ในขณะที่ยังคงมีค่าจำกัด) ${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}}$${\displaystyle a\ลูกศรขวา 0}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle a\rightarrow \infty }$${\displaystyle |x_{n}-a|}$

กรณีพิเศษของปัญหาควอนตัมเชิงกลสามอนุภาคคือไอออนของโมเลกุลไฮโดรเจน H +⁺ วัตถุสองในสามชิ้นเป็นนิวเคลียส และชิ้นที่สามเป็นอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่เร็ว นิวเคลียสทั้งสองหนักกว่าอิเล็กตรอน 1800 เท่า จึงถูกจำลองเป็นศูนย์กลางคงที่ เป็นที่ทราบกันดีว่าสมการคลื่นของชโรดิงเกอร์สามารถแยกได้ในพิกัดทรงรีแบบ ยาว และสามารถแยกออกเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญสองสมการที่เชื่อมโยงกันด้วยค่าไอเกนพลังงานและค่าคงที่การแยก^{[ 14 ]} อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหาจำเป็นต้องใช้การขยายอนุกรมจากชุดฐาน ถึงกระนั้น ผ่านคณิตศาสตร์เชิงทดลองพบว่าค่าไอเกนพลังงานเป็นการวางนัยทั่วไป ทางคณิตศาสตร์ ของฟังก์ชัน Lambert W (ดูฟังก์ชัน Lambert Wและเอกสารอ้างอิงในนั้นสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม) ไอออนโมเลกุลไฮโดรเจนในกรณีของนิวเคลียสที่ถูกยึดสามารถคำนวณได้อย่างสมบูรณ์ภายในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ข้อเท็จจริงที่ว่าวิธีแก้ปัญหานั้นเป็นฟังก์ชันโดยปริยาย นั้น เป็นสิ่งที่เปิดเผยในตัวมันเอง หนึ่งในความสำเร็จของฟิสิกส์เชิงทฤษฎีไม่ได้อยู่ที่เพียงแค่ว่ามันสามารถอธิบายได้ด้วยคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังอยู่ที่ว่าสมการพีชคณิตที่เกี่ยวข้องสามารถถูกจัดการในเชิงสัญลักษณ์ได้จนกระทั่งได้คำตอบเชิงวิเคราะห์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคำตอบในรูปแบบปิด คำตอบประเภทนี้สำหรับกรณีพิเศษของปัญหาวัตถุสามชิ้นแสดงให้เราเห็นถึงความเป็นไปได้ของคำตอบเชิงวิเคราะห์สำหรับปัญหาวัตถุสามชิ้นและหลายชิ้นในเชิงควอนตัม

ในปี ค.ศ. 1911 อดัม ฮิลเตไบเทล ได้ทำการวิเคราะห์อย่างละเอียดถี่ถ้วนเกี่ยวกับการวางนัยทั่วไปที่สามารถหาคำตอบได้ของปัญหาวัตถุสามชิ้นของออยเลอร์ การวางนัยทั่วไปที่ง่ายที่สุดของปัญหาวัตถุสามชิ้นของออยเลอร์คือการเพิ่มจุดศูนย์กลางแรงที่สามไว้ตรงกลางระหว่างจุดศูนย์กลางแรงสองจุดเดิม ซึ่งออกแรงแบบฮุคเชิงเส้น เท่านั้น การวางนัยทั่วไปถัดไปคือการเพิ่มแรงที่เพิ่มขึ้นเชิงเส้นตามระยะทางเข้าไปในกฎแรงผกผันกำลังสอง การวางนัยทั่วไปชุดสุดท้ายคือการเพิ่มจุดศูนย์กลางแรงคงที่สองจุดในตำแหน่งที่เป็นจำนวนจินตนาการโดยมีแรงที่เป็นทั้งเชิงเส้นและกฎแรงผกผัน กำลังสอง พร้อมกับแรงที่ขนานกับแกนของจุดศูนย์กลางจินตนาการและแปรผันตามกำลังสามผกผันของระยะทางไปยังแกนนั้น

คำตอบของปัญหาออยเลอร์ดั้งเดิมเป็นคำตอบโดยประมาณสำหรับการเคลื่อนที่ของอนุภาคในสนามโน้มถ่วงของทรงรีแบบยาว (prolate body) กล่าวคือ ทรงกลมที่ยืดออกไปในทิศทางเดียว เช่น รูปทรงซิการ์ ส่วนคำตอบโดยประมาณที่สอดคล้องกันสำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ในสนามของทรงรีแบบแบน (oblate spheroid) (ทรงกลมที่ถูกบีบอัดในทิศทางเดียว) ได้มาจากการเปลี่ยนตำแหน่งของจุดศูนย์กลางแรงทั้งสองให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนคำตอบของทรงรีแบบแบนมีความสำคัญทางดาราศาสตร์มากกว่า เนื่องจากดาวเคราะห์ ดาวฤกษ์ และกาแล็กซีส่วนใหญ่มีรูปร่างโดยประมาณเป็นทรงรีแบบแบน ส่วนทรงรีแบบยาวนั้นหายากมาก

อนาล็อกของกรณีทรงรีในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปคือหลุมดำเคอร์ [ ^{15 ] ทราบ}กันว่าเส้นทางจีโอเดสิกส์รอบวัตถุนี้สามารถหาปริพันธ์ได้ เนื่องจากการมีอยู่ของค่าคงที่การเคลื่อนที่ตัวที่สี่ (นอกเหนือจากพลังงาน โมเมนตัมเชิงมุม และขนาดของโมเมนตัมสี่มิติ) ซึ่งเรียกว่าค่าคงที่คาร์เตอร์ปัญหาวัตถุสามชิ้นทรงรีของออยเลอร์และหลุมดำเคอร์มีโมเมนต์มวลเดียวกัน และสิ่งนี้เห็นได้ชัดเจนที่สุดหากเมตริกสำหรับหลุมดำเคอร์เขียนในพิกัดเคอร์-ชิลด์

อนาล็อกของกรณีแบนที่เสริมด้วยเทอม Hooke เชิงเส้นคือหลุมดำ Kerr–de Sitterเช่นเดียวกับในกฎของ Hooke เทอมค่าคงที่จักรวาลวิทยาขึ้นอยู่กับระยะทางจากจุดกำเนิดในเชิงเส้น และปริภูมิเวลา Kerr–de Sitter ยังยอมรับค่าคงที่แบบ Carter ที่เป็นกำลังสองของโมเมนตัมด้วย^{[ 16 ]}

ในปัญหาออยเลอร์ดั้งเดิมนั้น สมมติว่าจุดศูนย์กลางแรงทั้งสองที่กระทำต่ออนุภาคอยู่กับที่ในอวกาศ โดยให้จุดศูนย์กลางเหล่านี้อยู่ตาม แนวแกน xที่ ± aและสมมติว่าอนุภาคถูกจำกัดอยู่ในระนาบคงที่ซึ่งประกอบด้วยจุดศูนย์กลางแรงทั้งสองนั้น พลังงานศักย์ของอนุภาคในบริเวณของจุดศูนย์กลางเหล่านี้กำหนดโดย

${\displaystyle V(x,y)={\frac {-\mu _{1}}{\sqrt {\left(xa\right)^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sqrt {\left(x+a\right)^{2}+y^{2}}}}.}$

โดยที่ค่าคงที่สัดส่วน μ และ μ อาจเป็นบวกหรือลบก็ได้ จุดดึงดูดทั้งสองสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นจุดโฟกัสของชุดวงรี หากไม่มีจุดดึงดูดใดจุดหนึ่ง อนุภาคจะเคลื่อนที่บนวงรีวงใดวงหนึ่ง ซึ่งเป็นคำตอบของปัญหาของเคปเลอร์ดังนั้น ตามทฤษฎีบทของบอนเนต์ วงรีเดียวกันนี้จึงเป็นคำตอบของปัญหาของออยเลอร์ด้วย

ขอแนะนำพิกัดเชิงวงรี

${\displaystyle \,x=\,a\cosh \xi \cos \eta ,}$

${\displaystyle \,y=\,a\sinh \xi \sin \eta ,}$

พลังงานศักยภาพสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}V(\xi ,\eta )&={\frac {-\mu _{1}}{a\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}}-{\frac {\mu _{2}}{a\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)}}\\[8pt]&={\frac {-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}{a\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)}},\end{aligned}}}$

และพลังงานจลน์เป็น

${\displaystyle T={\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}\right).}$

นี่คือระบบพลวัตแบบ Liouvilleถ้ากำหนดให้ ξ และ η เป็น φ และ φ ตามลำดับ ดังนั้น ฟังก์ชันYจะเท่ากับ

${\displaystyle \,Y=\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta }$

และฟังก์ชันWเท่ากับ

${\displaystyle W=-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right).}$

การใช้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับระบบไดนามิกของ Liouville ^[ 17 ^{] จะ}ได้

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\xi }}^{2}=E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }$

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\eta }}^{2}=-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }$

โดยการแนะนำพารามิเตอร์uด้วยสูตร

${\displaystyle du={\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}={\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}},}$

ให้ผลลัพธ์เชิงพารามิเตอร์

${\displaystyle u=\int {\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}=\int {\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}}.}$

เนื่องจากอินทิกรัลเหล่านี้เป็นอิน ทิกรัลเชิงวงรีพิกัด ξ และ η จึงสามารถแสดงได้ในรูปฟังก์ชันเชิงวงรีของu

• Hiltebeitel AM (1911). "เกี่ยวกับปัญหาของศูนย์กลางคงที่สองแห่งและการวางนัยทั่วไปบางประการ" American Journal of Mathematics . 33 (1/4): 337– 362. doi : 10.2307/2369997 . JSTOR  2369997 .
• Erikson HA, Hill EL (1949). "หมายเหตุเกี่ยวกับสถานะอิเล็กตรอนเดี่ยวของโมเลกุลไดอะตอมิก". Physical Review . 75 (1): 29– 31. Bibcode : 1949PhRv...75...29E . doi : 10.1103/PhysRev.75.29 .
• Corben HC, Stehle P (1960). กลศาสตร์คลาสสิก . นิวยอร์ก: John Wiley and Sons. หน้า  206–213 . ISBN 978-0-88275-162-7.{{cite book}}:ปัญหาความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
• Howard JE, Wilkerson TD (1995). "ปัญหาของศูนย์กลางคงที่สองจุดและไดโพลจำกัด: การวิเคราะห์แบบรวม" Physical Review A . 52 (6): 4471– 4492. Bibcode : 1995PhRvA..52.4471H . doi : 10.1103/PhysRevA.52.4471 . PMID  9912786 .
• Knudson SK, Palmer IC (1997). "ค่าไอเกนอิเล็กตรอนกึ่งคลาสสิกสำหรับโมเลกุลไดอะตอมิกหนึ่งอิเล็กตรอนที่มีประจุไม่สมมาตร: วิธีทั่วไปและสถานะซิกมา" เคมีฟิสิกส์ 224 ( 1): 1– 18. Bibcode : 1997CP....224....1K . doi : 10.1016/S0301-0104(97)00226-7 .
• José JV, Saletan EJ (1998). พลศาสตร์คลาสสิก: แนวทางร่วมสมัย . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า  298–300 , 378–379 . ISBN 978-0-521-63176-1.
• Nash PL, Lopez-Mobilia R (1999). "การเคลื่อนที่แบบกึ่งวงรีของอิเล็กตรอนในสนามไดโพลไฟฟ้า" Physical Review E . 59 (4): 4614– 4617. Bibcode : 1999PhRvE..59.4614N . doi : 10.1103/PhysRevE.59.4614 .
• Waalkens H, Dullin HR, Richter PH (2004). "ปัญหาของศูนย์กลางคงที่สองจุด: การแตกแขนง การกระทำ โมโนโดรมี" (PDF) . Physica D . 196 ( 3– 4): 265– 310. Bibcode : 2004PhyD..196..265W . doi : 10.1016/j.physd.2004.05.006 .

• หอจดหมายเหตุออยเลอร์