สมการที่ง่ายที่สุดสำหรับพาราโบลาคือ $${\displaystyle y=x^{2}}$$

สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ (อย่างง่ายๆ) โดยใช้พารามิเตอร์อิสระtและตั้งค่า $${\displaystyle x=t,y=t^{2}\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

โดยทั่วไปแล้ว เส้นโค้งใดๆ ที่กำหนดโดยสมการที่ชัดเจน $${\displaystyle y=f(x)}$$

สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ (อย่างง่ายๆ) โดยใช้พารามิเตอร์อิสระtและตั้งค่า $${\displaystyle x=t,y=f(t)\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้นคือดังต่อไปนี้ พิจารณาวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งอธิบายได้ด้วยสมการธรรมดา (คาร์ทีเซียน) $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$$

สมการนี้สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ดังนี้: $${\displaystyle (x,y)=(\cos(t),\;\sin(t))\quad {\text{ สำหรับ }}0\leq t<2\pi .}$$

สมการคาร์ทีเซียนช่วยให้ตรวจสอบว่าจุดอยู่บนวงกลมหรือไม่ได้ง่ายขึ้น ในขณะที่สมการพาราเมตริกช่วยให้กำหนดจุดบนกราฟได้ง่ายกว่า

ในบางบริบท สมการพาราเมตริกที่เกี่ยวข้องเฉพาะฟังก์ชันตรรกยะ (นั่นคือเศษส่วนของพหุนาม สองตัว ) จะเป็นที่นิยมมากกว่า หากมีอยู่ ในกรณีของวงกลมการกำหนดพาราเมตริกด้วยฟังก์ชันตรรกยะ ดังกล่าว ก็คือ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[6pt]y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

ด้วยสมการพาราเมตริกทั้งสองนี้ จุด(−1, 0)ไม่ได้ถูกแทนด้วย ค่า จริงของtแต่ถูกแทนด้วยลิมิตของxและyเมื่อtมีค่าเข้าสู่∞

วงรีในตำแหน่งมาตรฐาน (จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด แกนเอกอยู่ตาม แนวแกน x ) ที่มีแกนกึ่งหลักaและbสามารถแสดงได้ในรูปแบบพาราเมตริก ดังนี้$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos t\\y&=b\,\sin t\,.\end{aligned}}}$$

วงรีในตำแหน่งทั่วไปสามารถแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}x={}&&X_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&-b\,\sin t\,\sin \varphi \\y={}&&Y_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+b\,\sin t\,\cos \varphi \end{alignedat}}}$$

เมื่อค่าพารามิเตอร์tเปลี่ยนแปลงจาก0ถึง2π โดยที่( Xc Yc คือจุดศูนย์กลางของวงรี และφคือมุมระหว่างแกนx กับ แกนเอกของวงรี

การกำหนดพารามิเตอร์ทั้งสองแบบสามารถทำให้สมเหตุสมผลได้โดยใช้สูตรครึ่งมุมแทนเจนต์และการตั้งค่า${\textstyle \tan {\frac {t}{2}}=u\,.}$

เส้นโค้งลิสซาจูส์คล้ายกับวงรี แต่ไซนูซอยด์ใน แกน xและy ไม่ได้อยู่ในเฟสเดียวกัน ในตำแหน่งมาตรฐาน เส้นโค้งลิสซาจูส์จะมีค่าดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos(k_{x}t)\\y&=b\,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}}$$ โดยที่k และk เป็นค่าคงที่ที่อธิบายจำนวนกลีบของรูปทรง

ไฮเปอร์โบลาเปิดทิศตะวันออก-ตะวันตกสามารถแสดงได้ในรูปแบบพาราเมตริกโดย

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\,,\end{aligned}}}$$

หรืออย่างมีเหตุผล

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

ไฮเปอร์โบลาเปิดทิศเหนือ-ใต้สามารถแสดงได้ในรูปแบบพาราเมตริกดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b\tan t+h\\y&=a\sec t+k\,,\end{aligned}}}$$

หรืออย่างมีเหตุผล

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+h\\y&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

ในสูตรทั้งหมดนี้( h , k )คือพิกัดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลาaคือความยาวของแกนกึ่งเอก และbคือความยาวของแกนกึ่งรอง โปรดสังเกตว่าในรูปแบบตรรกยะของสูตรเหล่านี้ จุด( −a , 0)และ(0, −a )ตามลำดับ ไม่ได้แทนด้วยค่าจริงของtแต่เป็นลิมิตของxและyเมื่อtเข้าสู่∞

เส้นไฮโปโทรคอยด์คือเส้นโค้งที่เกิดจากจุดที่ติดอยู่บนวงกลมรัศมีrกลิ้งไปรอบๆ ด้านในของวงกลมคงที่รัศมีR โดยที่จุดนั้นอยู่ห่าง จากจุดศูนย์กลางของวงกลมด้านในเป็นระยะd

• 
  ไฮโปโทรคอยด์ซึ่งr = d
• 
  ไฮโปโทรคอยด์ที่มีR = 5 , r = 3 , d = 5

สมการพาราเมตริกสำหรับไฮโปโทรคอยด์มีดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta )&=(Rr)\cos \theta +d\cos \left({Rr \over r}\theta \right)\\y(\theta )&=(Rr)\sin \theta -d\sin \left({Rr \over r}\theta \right)\,.\end{aligned}}}$$

ตัวอย่างบางส่วน:

• 
  R = 6 r = 4 d = 1
• 
  R = 7 r = 4 d = 1
• 
  R = 8 r = 3 d = 2
• 
  R = 7 r = 4 d = 2
• 
  R = 15 r = 14 d = 1

สมการพาราเมตริกมีความสะดวกสำหรับการอธิบายเส้นโค้งในปริภูมิที่มีมิติสูง ตัวอย่างเช่น:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}}$$

อธิบายถึงเส้นโค้งสามมิติ หรือเกลียว (helix )ที่มีรัศมีaและเพิ่มขึ้น2πb หน่วย ต่อรอบ สมการใน ระนาบจะเหมือนกับสมการของวงกลม นิพจน์เช่นข้างต้นมักเขียนเป็น

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=(x(t),y(t),z(t))\\&=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,,\end{aligned}}}$$

โดยที่rคือเวกเตอร์สามมิติ

ทอรัสที่มีรัศมีใหญ่Rและรัศมีเล็กrสามารถกำหนดได้โดยใช้พารามิเตอร์ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\y&=\sin(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\z&=r\sin(u)\,.\end{aligned}}}$$

โดยที่พารามิเตอร์ทั้งสองtและu มี ค่าอยู่ระหว่าง0ถึง2π

• 
  R = 2 , r = 1/2

เมื่อค่า uเปลี่ยนแปลงจาก0ถึง2πจุดบนพื้นผิวจะเคลื่อนที่ไปตามวงกลมสั้นๆ ที่ผ่านรูในทรงโดนัท และเมื่อค่า tเปลี่ยนแปลงจาก0ถึง2πจุดบนพื้นผิวจะเคลื่อนที่ไปตามวงกลมยาวๆ รอบรูในทรงโดนัท

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงที่ผ่านจุดนั้น${\displaystyle \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}$และขนานกับเวกเตอร์${\displaystyle a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}}$คือ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$

ในจลนศาสตร์เส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุในอวกาศมักถูกอธิบายด้วยเส้นโค้งพาราเมตริก โดยที่พิกัดเชิงพื้นที่แต่ละพิกัดขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์อิสระ (โดยปกติคือเวลา) อย่างชัดเจน เมื่อใช้ในลักษณะนี้ ชุดสมการพาราเมตริกสำหรับพิกัดของวัตถุจะรวมกันเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์สำหรับตำแหน่ง เส้นโค้งพาราเมตริกดังกล่าวสามารถอินทิเก รต และหาอนุพันธ์ได้ทีละพจน์ ดังนั้น หากตำแหน่งของอนุภาคถูกอธิบายด้วยพาราเมตริกดังนี้ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))\,,}$$

จากนั้นจึงสามารถหา ความเร็ว ได้ดังนี้$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&=\mathbf {r} '(t)\\&=(x'(t),y'(t),z'(t))\,,\end{aligned}}}$$

และการเร่งความเร็ว ของ มัน $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {r} ''(t)\\&=(x''(t),y''(t),z''(t))\,.\end{aligned}}}$$

การใช้งานสมการพาราเมตริกที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือในสาขาการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAD) ^{[ 8 ]}ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาการแสดงสามแบบต่อไปนี้ ซึ่งทั้งหมดนี้มักใช้เพื่ออธิบาย เส้น โค้งระนาบ

พิมพ์	รูปร่าง	ตัวอย่าง	คำอธิบาย
ชัดเจน	${\displaystyle y=f(x)\,\!}$	${\displaystyle y=mx+b\,\!}$	เส้น
โดยนัย	${\displaystyle f(x,y)=0\,\!}$	${\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}$	วงกลม
พาราเมตริก	${\displaystyle x={\frac {g(t)}{w(t)}};\,\!}$${\displaystyle y={\frac {h(t)}{w(t)}}}$	${\displaystyle x=a_{0}+a_{1}t;\,\!}$${\displaystyle y=b_{0}+b_{1}t\,\!}$	เส้น
		${\displaystyle x=a+r\,\cos t;\,\!}$${\displaystyle y=b+r\,\sin t\,\!}$	วงกลม

แต่ละรูปแบบการแสดงผลมีข้อดีและข้อเสียสำหรับการใช้งานในโปรแกรม CAD

การแสดงผลแบบชัดแจ้งอาจซับซ้อนมาก หรืออาจไม่มีอยู่เลย นอกจากนี้ยังทำงานได้ไม่ดีภายใต้การแปลงทางเรขาคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่งภายใต้การหมุน ในทางกลับกัน เนื่องจากสมการพาราเมตริกและสมการโดยนัยสามารถอนุมานได้ง่ายจากการแสดงผลแบบชัดแจ้ง ดังนั้นเมื่อมีการแสดงผลแบบชัดแจ้งที่เรียบง่ายอยู่ การแสดงผลแบบชัดแจ้งนั้นจึงมีข้อดีของการแสดงผลแบบอื่นทั้งสองแบบ

การแสดงผลโดยนัยอาจทำให้การสร้างจุดบนเส้นโค้งทำได้ยาก และแม้กระทั่งการตัดสินใจว่ามีจุดจริงอยู่หรือไม่ ในทางกลับกัน การแสดงผลโดยนัยนั้นเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการตัดสินใจว่าจุดที่กำหนดอยู่บนเส้นโค้งหรือไม่ หรืออยู่ภายในหรือภายนอกเส้นโค้งปิด

การตัดสินใจดังกล่าวอาจทำได้ยากด้วยการแสดงแบบพาราเมตริก แต่การแสดงแบบพาราเมตริกเหมาะสมที่สุดสำหรับการสร้างจุดบนเส้นโค้งและสำหรับการพล็อตเส้นโค้ง^{[ 9 ]}

ปัญหามากมายในเรขาคณิตจำนวนเต็มสามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการพาราเมตริก ตัวอย่างคลาสสิกของวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวคือ การกำหนดพาราเมตริกของ สามเหลี่ยมมุมฉากของยุคลิดซึ่งความยาวด้านa , bและด้านตรงข้ามมุมฉากcเป็น จำนวนเต็มที่ไม่มี ตัวหารร่วมกันเนื่องจากaและbไม่ใช่จำนวนคู่ทั้งคู่ (มิฉะนั้น a , bและcจะไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์) เราจึงสามารถสลับค่า a และ b เพื่อให้ได้ค่าคู่ และการกำหนดพาราเมตริกจะเป็นดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2mn\\b&=m^{2}-n^{2}\\c&=m^{2}+n^{2}\,,\end{aligned}}}$$

โดยที่พารามิเตอร์mและnเป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวหารร่วม และต้องไม่เป็นจำนวนคี่ทั้งคู่

โดยการคูณ a , bและcด้วยจำนวนเต็มบวกใดๆ จะได้พารามิเตอร์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดที่มีด้านทั้งสามยาวเป็นจำนวนเต็ม