เมตริกเคอร์หรือเรขาคณิตเคอร์อธิบายเรขาคณิตของปริภูมิเวลา ว่าง เปล่ารอบหลุมดำ ไร้ ประจุที่มีสมมาตร ตามแกนหมุนและมี ขอบฟ้าเหตุการณ์กึ่งทรง กลม เมตริกเคอร์เป็นคำตอบที่แน่นอนของสมการสนามของไอน์สไตน์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สมการเหล่านี้มีความไม่เป็นเชิงเส้น สูงมาก ซึ่งทำให้การหาคำตอบที่แน่นอนเป็นเรื่องยากมาก

เมตริกเคอร์เป็นการขยายทั่วไปของเมตริกชวาร์ซชิลด์ไปยังวัตถุหมุน ซึ่งค้นพบโดยคาร์ล ชวาร์ซชิลด์ ในปี 1915 โดยเมตริก ชวา ร์ซชิลด์ อธิบายเรขาคณิตของปริภูมิเวลาโดยรอบวัตถุที่ไม่มีประจุ สมมาตรทรงกลม และไม่หมุนเมตริกไรส์เนอร์-นอร์ดสตรอม ซึ่งเป็นคำตอบที่สอดคล้องกันสำหรับ วัตถุที่มีประจุ ทรงกลม และไม่หมุนถูกค้นพบในเวลาต่อมาไม่นาน (1916-1918) อย่างไรก็ตาม คำตอบที่แน่นอนสำหรับหลุมดำที่ไม่มีประจุและหมุนได้ ซึ่งก็คือเมตริกเคอร์ ยังคงไม่ได้รับการแก้ไขจนกระทั่งปี 1963 เมื่อ รอย เคอร์ค้นพบ^{[ 1 ] [ 2 ] : 69–81}การขยายตามธรรมชาติไปยังหลุมดำที่มีประจุและหมุนได้ ซึ่งก็คือเมตริกเคอร์-นิวแมนถูกค้นพบในเวลาต่อมาไม่นานในปี 1965 คำตอบที่เกี่ยวข้องทั้งสี่นี้สามารถสรุปได้ด้วยตารางต่อไปนี้ โดยที่Q แทน ประจุไฟฟ้าของวัตถุและJแทนโมเมนตัมเชิงมุม ของการหมุน :

	ไม่หมุน ( J = 0 )	การหมุน ( Jใดๆ )
ไม่มีประจุ ( Q = 0 )	ชวาร์ซชิลด์ (1915)	เคอร์ (1963)
คิดค่าบริการ ( คำถามใดๆ )	ไรส์เนอร์–นอร์ดสตรอม (1916–1918)	เคอร์-นิวแมน (1965)

ตามเมตริกของเคอร์ วัตถุที่หมุนควรแสดงปรากฏการณ์การดึงเฟรม (หรือที่เรียกว่าการหมุนควงของเลนส์-เธอร์ริง ) ซึ่งเป็นการทำนายที่โดดเด่นของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป การวัดปรากฏการณ์การดึงเฟรมครั้งแรกเกิดขึ้นในปี 2011 โดย การทดลอง Gravity Probe Bโดยคร่าวๆ แล้ว ปรากฏการณ์นี้ทำนายว่าวัตถุที่เข้าใกล้กับมวลที่หมุนจะถูกดึงดูดให้มีส่วนร่วมในการหมุนนั้น ไม่ใช่เพราะแรงหรือแรงบิดใดๆ ที่สามารถรับรู้ได้ แต่เป็นเพราะความโค้งของกาลอวกาศที่หมุนวนซึ่งเกี่ยวข้องกับวัตถุที่หมุน ในกรณีของหลุมดำที่หมุน ในระยะทางที่ใกล้พอ วัตถุทั้งหมด แม้แต่แสง ก็ ต้องหมุนไปพร้อมกับหลุมดำ บริเวณที่เกิดปรากฏการณ์นี้เรียกว่า เออร์โกสเฟียร์

แสงจากแหล่งกำเนิดที่อยู่ไกลสามารถเดินทางรอบขอบฟ้าเหตุการณ์ได้หลายครั้ง (หากอยู่ใกล้พอ) ทำให้เกิดภาพหลายภาพของวัตถุเดียวกันสำหรับผู้ดูที่อยู่ไกล ระยะห่างตั้งฉากที่ปรากฏระหว่างภาพจะลดลงตามปัจจัยe ^{2 π} (ประมาณ 500) อย่างไรก็ตาม หลุมดำที่หมุนเร็วจะมีระยะห่างระหว่างภาพหลายภาพน้อยกว่า^{[ 3 ] [ 4 ]}

หลุมดำที่หมุนได้มีพื้นผิวที่เมตริกดูเหมือนจะมีจุดเอกฐาน ที่เห็นได้ ชัด ขนาดและรูปร่างของพื้นผิวเหล่านี้ขึ้นอยู่กับมวลและโมเมนตัมเชิงมุมของหลุมดำ พื้นผิวด้านนอกล้อมรอบเออร์โกสเฟียร์และมีรูปร่างคล้ายทรงกลมแบน พื้นผิวด้านในเป็นขอบเขตเหตุการณ์ วัตถุที่ผ่านเข้าไปในส่วนภายในของขอบเขตนี้จะไม่สามารถติดต่อกับโลกภายนอกขอบเขตนั้นได้อีกต่อไป อย่างไรก็ตาม พื้นผิวทั้งสองไม่ใช่จุดเอกฐานที่แท้จริง เนื่องจากจุดเอกฐานที่เห็นได้ชัดของพวกมันสามารถถูกกำจัดได้ในระบบพิกัด อื่น สถานการณ์ที่คล้ายกันเกิดขึ้นเมื่อพิจารณาเมตริก Schwarzschild ซึ่งดูเหมือนจะส่งผลให้เกิดจุดเอกฐานที่⁠${\displaystyle r=r_{\text{s}}}$แบ่งพื้นที่ด้านบนและด้านล่าง${\displaystyle r_{\text{s}}}$แบ่งออกเป็นสองส่วนที่ไม่เชื่อมต่อกัน โดยใช้การแปลงพิกัดที่แตกต่างกัน เราสามารถเชื่อมโยงส่วนภายนอกที่ขยายออกไปกับส่วนภายในได้ (ดูเมตริก Schwarzschild §  ภาวะเอกฐานและหลุมดำ ) – การแปลงพิกัดดังกล่าวจะขจัดภาวะเอกฐานที่เห็นได้ชัด ณ จุดที่พื้นผิวด้านในและด้านนอกมาบรรจบกัน วัตถุที่อยู่ระหว่างสองพื้นผิวนี้จะต้องหมุนไปพร้อมกับหลุมดำที่กำลังหมุน ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น คุณสมบัตินี้ในทางทฤษฎีสามารถนำมาใช้เพื่อดึงพลังงานจากหลุมดำที่กำลังหมุนได้ จนถึงพลังงานมวลไม่แปรเปลี่ยน ของ มัน ${\displaystyle Mc^{2}}$⁠ .

การทดลอง LIGO ที่ตรวจพบคลื่นความโน้มถ่วงเป็นครั้งแรก ซึ่งประกาศในปี 2016 ยังให้การสังเกตโดยตรงครั้งแรก ของ หลุมดำเคอร์คู่หนึ่ง อีกด้วย ^{[ 5 ]}

เมตริก Kerr มักแสดงในสองรูปแบบ คือ รูปแบบ Boyer–Lindquist และรูปแบบ Kerr–Schild สามารถหาได้ง่ายจากเมตริก Schwarzschild โดยใช้อัลกอริทึม Newman–Janis ^{[ 6 ]}โดย ใช้ รูปแบบ Newman–Penrose (หรือที่รู้จักกันในชื่อรูปแบบสัมประสิทธิ์การหมุน) ^{[ 7 ]}สมการ Ernst [ ^{8 ] หรือการ แปลง}พิกัดทรงรี^{[ 9 ]}

พิกัดโบเยอร์-ลินด์ควิสต์

เมตริกเคอร์อธิบายเรขาคณิตของปริภูมิเวลาในบริเวณใกล้เคียงกับมวล${\displaystyle M}$หมุนด้วยโมเมนตัมเชิงมุม${\displaystyle J}$[ ^{10 ]}เมตริก (หรือเทียบเท่ากับ^{องค์ประกอบ}เส้นสำหรับเวลาที่เหมาะสม ) ในพิกัด Boyer–Lindquistคือ ^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=-c^{2}d\tau ^{2}\\&=-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}r}{\Sigma }}\right)c^{2}dt^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {r_{\text{s}}ra^{2}}{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \ d\phi ^{2}-{\frac {2r_{\text{s}}ra\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}c\,dt\,d\phi \end{aligned}}}$

1

โดยที่พิกัด⁠${\displaystyle r,\theta ,\phi }$⁠ คือ พิกัดทรงรีแบนมาตรฐานซึ่งเทียบเท่ากับพิกัดคาร์ทีเซียน ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi }$

2

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi }$

3

${\displaystyle z=r\cos \theta ,}$

4

ที่ไหน${\displaystyle r_{\text{s}}}$รัศมีชวาร์ซชิลด์

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

5

และโดยสรุปแล้ว มาตราส่วนความยาวจะเป็นดังนี้${\displaystyle a,\Sigma }$และ​​${\displaystyle \Delta }$ได้รับการแนะนำในฐานะ

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}},}$

6

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,}$

7

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\text{s}}r+a^{2}.}$

8

คุณลักษณะสำคัญที่ควรสังเกตในตัวชี้วัดข้างต้นคือพจน์ร่วม (cross-term )${\displaystyle dt\,d\phi }$ซึ่งหมายความว่ามีการเชื่อมโยงระหว่างเวลาและการเคลื่อนที่ในระนาบการหมุน ซึ่งจะหายไปเมื่อโมเมนตัมเชิงมุมของหลุมดำเข้าใกล้ศูนย์

ในขีดจำกัดที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพซึ่ง⁠${\displaystyle M}$(หรือเทียบเท่ากัน )${\displaystyle r_{\text{s}}}$เมื่อ ) เข้าใกล้ศูนย์ เมตริกเคอร์จะกลายเป็นเมตริกเชิงตั้งฉากสำหรับพิกัดทรงรีแบน

${\displaystyle g\mathop {\longrightarrow } _{M\to 0}-c^{2}dt^{2}+{\frac {\Sigma }{r^{2}+a^{2}}}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

9

พิกัดเคอร์-ชิลด์

เมตริก Kerr สามารถแสดงในรูปแบบ "Kerr–Schild"โดยใช้ชุดพิกัดคาร์ทีเซียน เฉพาะ ดังต่อไปนี้^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}โซลูชันเหล่านี้ได้รับการเสนอโดยKerrและSchildในปี 1965

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

10

${\displaystyle f={\frac {2GMr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}}$

11

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

12

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

13

โปรดสังเกตว่าkเป็นเวกเตอร์หน่วย 3 มิติทำให้เวกเตอร์ 4 มิติเป็นเวกเตอร์ศูนย์เมื่อเทียบกับทั้งgและη ^{[ 18} ] ในที่นี้Mคือมวลคงที่ของวัตถุที่หมุนηคือเทนเซอร์มินคอฟสกีและaคือพารามิเตอร์การหมุนคงที่ของวัตถุที่หมุน เป็นที่เข้าใจได้ว่าเวก^{เตอร์} ⁠${\displaystyle {\vec {a}}}$มีทิศทางตามแกน z บวก ปริมาณ rไม่ใช่รัศมี แต่ถูกกำหนดโดยปริยายโดย

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}=1}$

14

โปรดสังเกตว่าปริมาณrจะกลายเป็นรัศมีR ตามปกติ

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

เมื่อพารามิเตอร์การหมุน⁠${\displaystyle a}$เข้าใกล้ ศูนย์ในรูปแบบการแก้ปัญหานี้ จะเลือกหน่วยเพื่อให้ความเร็วแสงเป็นหนึ่ง (${\displaystyle c=1}$ที่ระยะห่างมากจากแหล่งกำเนิด ( R ≫ a ) สมการเหล่านี้จะลดรูปเป็นเมตริกชวาร์ซชิลด์ในรูปแบบเอ็ดดิงตัน-ฟิงเคิลสไตน์

ในรูปแบบ Kerr–Schild ของเมตริก Kerr ดีเทอร์มิแนนต์ของเทนเซอร์เมตริกมีค่าเท่ากับลบหนึ่งทุกที่ แม้กระทั่งใกล้แหล่งกำเนิด^{[ 19 ]}

หากพลังงานการหมุนทั้งหมด⁠${\displaystyle E_{\rm {rot}}=c^{2}\left(M-M_{\rm {irr}}\right)}$มวลของหลุมดำถูกสกัดออกมา เช่น ด้วยกระบวนการเพนโรส [ ^{21 ] [ 22 ]}มวลที่เหลืออยู่จะไม่สามารถหดตัวลงต่ำกว่ามวลที่ไม่สามารถลดทอนได้ ดังนั้น หากหลุมดำหมุนด้วยส^ปิน${\displaystyle a=M}$เทียบเท่ามวลรวมทั้งหมด${\displaystyle M}$สูง กว่า ด้วยปัจจัย${\displaystyle {\sqrt {2}}}$เมื่อเปรียบเทียบกับหลุมดำ Schwarzschild ที่สอดคล้องกันซึ่ง${\displaystyle M}$เท่ากับ​​${\displaystyle M_{\text{irr}}}$สาเหตุที่เป็นเช่นนั้นก็ เพราะว่าในการทำให้วัตถุที่อยู่นิ่งหมุนได้ จำเป็นต้องใช้พลังงานกับระบบ เนื่องจากความสมดุลระหว่างมวลและพลังงานพลังงานนี้จึงมีมวลเทียบเท่าด้วย ซึ่งจะเพิ่มเข้าไปในมวลและพลังงานรวมของระบบ${\displaystyle M}$⁠ .

มวลรวมเทียบเท่า${\displaystyle M}$มวลที่ก่อให้เกิดแรงโน้มถ่วงของวัตถุ (รวมถึงพลังงานการหมุน ) และมวลที่ไม่สามารถลดทอนได้${\displaystyle M_{\text{irr}}}$⁠เกี่ยวข้องโดย ^{[ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle 2M_{\rm {irr}}^{2}=M^{2}+{\sqrt {M^{4}-J^{2}c^{2}/G^{2}}}\Longrightarrow M^{2}=M_{\rm {irr}}^{2}+{\frac {J^{2}c^{2}}{4M_{\rm {irr}}^{2}G^{2}}}.}$

เนื่องจากการตรวจสอบเมตริกเคอร์โดยตรงยังเกี่ยวข้องกับการคำนวณที่ยุ่งยาก จึงต้องใช้ส่วนประกอบคอนทราแวเรียนต์${\displaystyle g^{ik}}$⁠ของเทนเซอร์เมตริกในพิกัด Boyer–Lindquist แสดงไว้ด้านล่างในนิพจน์สำหรับกำลังสองของตัวดำเนินการสี่เกรเดียนต์ : ^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}&=-{\frac {1}{c^{2}\Delta }}\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {r_{\text{s}}ra^{2}}{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\\&-{\frac {2r_{\text{s}}ra}{c\Sigma \Delta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial {t}}}+{\frac {1}{\Delta \sin ^{2}\theta }}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}r}{\Sigma }}\right)\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{2}\\&+{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}+{\frac {1}{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)^{2}\end{aligned}}}$

15

เมตริก Kerr สามารถเขียนใหม่ได้ ( 1 ) ในรูปแบบต่อไปนี้:

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(g_{tt}-{\frac {g_{t\phi }^{2}}{g_{\phi \phi }}}\right)dt^{2}+g_{\mathrm {rr} }dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }\left(d\phi +{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}dt\right)^{2}.}$

16

เมตริกนี้เทียบเท่ากับกรอบอ้างอิงร่วมหมุนที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม Ω ซึ่งขึ้นอยู่กับทั้งรัศมีrและละติจูดร่วมθโดยที่ Ω เรียกว่าขอบฟ้าคิลลิง (Killing horizon ) 

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{\text{s}}rac}{\Sigma \left(r^{2}+a^{2}\right)+r_{\text{s}}ra^{2}\sin ^{2}\theta }}.}$

17

ดังนั้น กรอบอ้างอิงเฉื่อยจึงถูกดึงดูดโดยมวลกลางที่หมุนเพื่อเข้าร่วมในการหมุนของมวลกลางนั้น ซึ่งเรียกว่าการลากกรอบ และได้รับการทดสอบในเชิงทดลองแล้ว^{[ 25 ]} ในเชิงคุณภาพ การลากกรอบสามารถมองได้ว่าเป็นอนาล็อกของแรงโน้มถ่วงของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า “นักสเก็ตน้ำแข็ง” ที่โคจรอยู่เหนือเส้นศูนย์สูตรและหยุดนิ่งในเชิงการหมุนเมื่อเทียบกับดวงดาว ยื่นแขนออกไป แขนที่ยื่นไปทางหลุมดำจะถูกบิดไปในทิศทางการหมุน แขนที่ยื่นออกไปจากหลุมดำจะถูกบิดไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการหมุน ดังนั้นเธอจะถูกเร่งความเร็วในการหมุนในทิศทางตรงกันข้ามกับหลุมดำ นี่เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับสิ่งที่เกิดขึ้นในประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน หากเธอกำลังหมุนด้วยความเร็วที่แน่นอนอยู่แล้วเมื่อเธอยื่นแขนออกไป ผลกระทบจากความเฉื่อยและผลกระทบจากการลากกรอบจะสมดุลกัน และการหมุนของเธอจะไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากหลักการสมดุลแรงโน้มถ่วงจึงไม่สามารถแยกแยะได้จากแรงเฉื่อยในระดับท้องถิ่น ดังนั้นอัตราการหมุนนี้ ซึ่งเมื่อเธอยื่นแขนออกไปแล้วไม่มีอะไรเกิดขึ้น จึงเป็นจุดอ้างอิงในระดับท้องถิ่นสำหรับการไม่หมุน กรอบอ้างอิงนี้หมุนเมื่อเทียบกับดาวฤกษ์ที่อยู่กับที่ และหมุนสวนทางกับหลุมดำ อุปมาอุปไมยที่เหมาะสมคือ ระบบ เฟืองดาวเคราะห์ โดยที่หลุมดำเป็นเฟืองดวงอาทิตย์ นักสเก็ตน้ำแข็งเป็นเฟืองดาวเคราะห์ และจักรวาลภายนอกเป็นเฟืองวงแหวน สิ่งนี้สามารถตีความได้ผ่าน หลักการของมัคด้วยเช่นกัน

มีพื้นผิวสำคัญหลายแห่งในเมตริกเคอร์ ( 1 ) พื้นผิวภายในสอดคล้องกับขอบฟ้าเหตุการณ์ที่คล้ายกับที่สังเกตได้ในเมตริกชวาร์ซชิลด์ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อส่วนประกอบเชิงรัศมีล้วนๆg ของเมตริกเข้าสู่อนันต์ การแก้สมการกำลังสอง⁠ 1 / g ⁠ = 0จะได้คำตอบดังนี้:

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}}}}{2}}}$

ซึ่งในหน่วยธรรมชาติ (ที่ให้⁠${\displaystyle G=M=c=1}$)สามารถลดรูปได้เป็น:

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}}}}$

ในขณะที่ในเมตริก Schwarzschild ขอบฟ้าเหตุการณ์เป็นจุดที่ส่วนประกอบเชิงเวลาล้วนๆg ของเมตริกเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ แต่ในเมตริก Kerr นั้น เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นที่ระยะทางที่แตกต่างกัน การแก้สมการกำลังสองg = 0จะได้คำตอบดังนี้:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

หรือในหน่วยธรรมชาติ:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

เนื่องจากพจน์ cos²θ ^ในรากที่สอง พื้นผิวด้านนอกนี้จึงมีลักษณะคล้ายทรงกลมแบนที่สัมผัสกับพื้นผิวด้านในที่ขั้วของแกนหมุน ซึ่งละติจูดร่วมθ เท่ากับ 0 หรือπพื้นที่ระหว่างสองพื้นผิวนี้เรียกว่าเออร์โกสเฟียร์ ภายในปริมาตรนี้ ส่วนประกอบเชิงเวลาล้วนๆg มีค่าเป็นลบ กล่าวคือ ทำหน้าที่เหมือนส่วนประกอบเชิงพื้นที่ล้วนๆ ดังนั้น อนุภาคภายในเออร์โกสเฟียร์นี้จะต้องหมุนไปพร้อมกับมวลภายใน หากต้องการคงลักษณะคล้ายเวลาไว้ อนุภาคที่เคลื่อนที่จะมีเวลาที่ แท้จริงเป็น บวกตามเส้นทางของมันในปริภูมิเวลา อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ภายในเออร์โกสเฟียร์ ซึ่งg มีค่าเป็นลบ เว้นแต่ว่าอนุภาคจะหมุนไปพร้อมกับมวลภายใน ${\displaystyle M}$ด้วยความเร็วเชิงมุมอย่างน้อย⁠ ${\displaystyle \Omega }$ดังนั้นจึงไม่มีอนุภาคใดสามารถเคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้ามกับการหมุนของมวลศูนย์กลางภายในเออร์โกสเฟียร์ได้

เช่นเดียวกับขอบฟ้าเหตุการณ์ในเมตริก Schwarzschild ความผิดปกติที่ปรากฏที่r เกิดจากการเลือกพิกัด (กล่าวคือ เป็นความผิดปกติทางพิกัด ) ในความเป็นจริง ปริภูมิเวลาสามารถต่อเนื่องได้อย่างราบรื่นผ่านความผิดปกตินี้โดยการเลือกพิกัดที่เหมาะสม ในทางกลับกัน ขอบนอกของเออร์โกสเฟียร์ที่r นั้นไม่มีความผิดปกติในตัวเองแม้ในพิกัด Kerr เนื่องจากค่าที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle dt\ d\phi }$เทอม .

โดยทั่วไปแล้วหลุมดำจะถูกล้อมรอบด้วยพื้นผิวที่เรียกว่าขอบฟ้าเหตุการณ์ ซึ่งตั้งอยู่ที่รัศมีชวาร์ซชิลด์สำหรับหลุมดำที่ไม่หมุน โดยที่ความเร็วหลุดพ้นจะเท่ากับความเร็วแสง ภายในพื้นผิวนี้ ไม่มีผู้สังเกตการณ์/อนุภาคใดสามารถรักษารัศมีคงที่ได้ มันจะถูกบังคับให้ตกลงไปด้านใน ดังนั้นบางครั้งจึงเรียกว่า ขีด จำกัดสถิต

หลุมดำที่หมุนอยู่มีขีดจำกัดสถิตเดียวกันที่ขอบฟ้าเหตุการณ์ แต่มีพื้นผิวเพิ่มเติมอยู่นอกขอบฟ้าเหตุการณ์ที่เรียกว่า "พื้นผิวเออร์โก" ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle (r-M)^{2}=M^{2}-J^{2}\cos ^{2}\theta }$

ในระบบพิกัดบอยเยอร์-ลินด์ควิสต์สามารถอธิบายได้อย่างเข้าใจง่ายว่าเป็นทรงกลมที่ "ความเร็วในการหมุนของพื้นที่โดยรอบ" ถูกดึงไปพร้อมกับความเร็วของแสง ภายในทรงกลมนี้ แรงดึงจะมากกว่าความเร็วของแสง และผู้สังเกตการณ์/อนุภาคใดๆ จะถูกบังคับให้หมุนไปพร้อมกัน

บริเวณนอกขอบฟ้าเหตุการณ์แต่ภายในพื้นผิวที่ความเร็วในการหมุนเท่ากับความเร็วแสง เรียกว่าเออร์โกสเฟียร์ (มาจากภาษากรีกergonซึ่งหมายถึงงาน ) อนุภาคที่ตกลงมาภายในเออร์โกสเฟียร์จะถูกบังคับให้หมุนเร็วขึ้นและได้รับพลังงานเพิ่มขึ้น เนื่องจากพวกมันยังอยู่นอกขอบฟ้าเหตุการณ์ พวกมันจึงอาจหลุดออกจากหลุมดำได้ กระบวนการโดยรวมคือ หลุมดำที่หมุนอยู่จะปล่อยอนุภาคพลังงานสูงออกมาโดยแลกกับพลังงานทั้งหมดของตัวมันเอง ความเป็นไปได้ในการสกัดพลังงานสปินจากหลุมดำที่หมุนอยู่ได้รับการเสนอครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์โรเจอร์ เพนโรสในปี 1969 และจึงเรียกว่ากระบวนการเพนโรส หลุมดำที่หมุนอยู่ทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์เป็นแหล่งพลังงานที่มีศักยภาพจำนวนมากและถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายปรากฏการณ์พลังงานสูง เช่นการระเบิดรังสีแกมมา

เรขาคณิตของเคอร์แสดงคุณลักษณะที่น่าสนใจหลายประการ: การขยายเชิงวิเคราะห์สูงสุดประกอบด้วยลำดับของบริเวณภายนอกที่แบนราบในเชิงอะซิมโทติก ซึ่งแต่ละบริเวณเกี่ยวข้องกับ เออร์โกสเฟียร์พื้นผิวขีดจำกัดคงที่ ขอบฟ้าเหตุการณ์ ขอบ ฟ้าโคชีเส้นโค้งไทม์ไลค์ปิดและเอกภาวะความโค้ง รูปวงแหวน สมการจี โอเดสิกสามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำในรูปแบบปิด นอกจากสนามเวกเตอร์คิลลิง สองสนาม (ซึ่งสอดคล้องกับการเลื่อนเวลาและสมมาตรตามแกน ) เรขาคณิตของเคอร์ยังยอมรับ เทนเซอร์คิลลิงที่น่าทึ่งอีกด้วยมีคอนกรุเอนซ์ศูนย์หลักคู่หนึ่ง (หนึ่งขาเข้าและหนึ่งขาออก ) เทนเซอร์เวล์มีความพิเศษทางพีชคณิตในความเป็นจริงมันมีประเภทเปตรอฟD

โปรดทราบว่าเรขาคณิตเคอร์ภายในไม่เสถียรเมื่อพิจารณาถึงการรบกวนในบริเวณภายใน ความไม่เสถียรนี้หมายความว่าถึงแม้เมตริกเคอร์จะสมมาตรตามแกน แต่หลุมดำที่สร้างขึ้นจากการยุบตัวเนื่องจากแรงโน้มถ่วงอาจไม่เป็นเช่นนั้น^{[ 13 ]}ความไม่เสถียรนี้ยังหมายความว่าคุณสมบัติหลายอย่างของเรขาคณิตเคอร์ที่อธิบายไว้ข้างต้นอาจไม่ปรากฏอยู่ภายในหลุมดำดังกล่าว^{[ 27 ] [ 28 ]}

พื้นผิวที่แสงสามารถโคจรรอบหลุมดำได้เรียกว่าทรงกลมโฟตอน คำตอบของเคอร์มีทรงกลมโฟตอน จำนวนอนันต์ ซึ่งอยู่ระหว่างทรงกลมภายในและทรงกลมภายนอก ในคำตอบของชวาร์ซชิลด์ที่ไม่หมุน โดยที่⁠${\displaystyle a=0}$ทรงกลมโฟตอนด้านในและด้านนอกจะเสื่อมสภาพลง จนเหลือเพียงทรงกลมโฟตอนเดียวที่รัศมีเดียว ยิ่งหลุมดำหมุนมากเท่าไร ทรงกลมโฟตอนด้านในและด้านนอกก็จะยิ่งอยู่ห่างกันมากขึ้นเท่านั้น ลำแสงที่เดินทางในทิศทางตรงกันข้ามกับการหมุนของหลุมดำจะโคจรเป็นวงกลมรอบหลุมดำที่ทรงกลมโฟตอนด้านนอก ลำแสงที่เดินทางในทิศทางเดียวกับการหมุนของหลุมดำจะโคจรเป็นวงกลมรอบทรงกลมโฟตอนด้านใน เส้นทางโคจรที่มีโมเมนตัมเชิงมุมตั้งฉากกับแกนการหมุนของหลุมดำจะโคจรบนทรงกลมโฟตอนระหว่างสองขั้วนี้ เนื่องจากกาลอวกาศกำลังหมุน วงโคจรดังกล่าวจึงแสดงการหมุนควง เนื่องจากมีการเปลี่ยนแปลงใน${\displaystyle \phi }$ตัวแปร หลังจากเสร็จสิ้นหนึ่ง ช่วงเวลาใน${\displaystyle \theta }$ตัวแปร​

สมการวิถีโคจร

สมการการเคลื่อนที่ของอนุภาคทดสอบในปริภูมิเวลาเคอร์ถูกควบคุมโดยค่าคงที่การเคลื่อนที่ สี่ ค่า^{[ 29 ]}ค่าแรกคือมวลไม่แปรผัน${\displaystyle \mu }$ของอนุภาคทดสอบ ซึ่งกำหนดโดยความสัมพันธ์ $${\displaystyle -\mu ^{2}=p^{\alpha }g_{\alpha \beta }p^{\beta },}$$ ที่ไหน​${\displaystyle p^{\alpha }}$คือโมเมนตัมสี่มิติของอนุภาค นอกจากนี้ ยังมีค่าคงที่ของการเคลื่อนที่สองค่าที่กำหนดโดยสมมาตรการเลื่อนและการหมุนของปริภูมิเวลาเคอร์ ซึ่งก็คือพลังงาน${\displaystyle E}$และองค์ประกอบของโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรที่ขนานกับการหมุนของหลุมดำ${\displaystyle L_{z}}$⁠ . ^{[ 21 ] [ 30 ]}$${\displaystyle E=-p_{t},}$$และ $${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$$

โดยใช้ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบีแบรนดอน คาร์เตอร์ได้แสดงให้เห็นว่ามีค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ตัวที่สี่อยู่${\displaystyle Q}$[ 29 ^]ปัจจุบันเรียกว่าค่าคงที่ของคาร์เตอร์^{เกี่ยวข้อง}กับโมเมนตัมเชิงมุมรวมของอนุภาคและกำหนด ^โดย$${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}\right).}$$

เนื่องจากมีค่าคงที่การเคลื่อนที่สี่ค่า (ที่เป็นอิสระต่อกัน) สำหรับองศาอิสระ สมการการเคลื่อนที่สำหรับอนุภาคทดสอบในปริภูมิเวลาเคอร์จึงสามารถหาปริพันธ์ได้

เมื่อใช้ค่าคงที่การเคลื่อนที่เหล่านี้ สมการวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคทดสอบสามารถเขียนได้ (โดยใช้หน่วยธรรมชาติของ⁠)${\displaystyle G=M=c=1}$) , ^{[ 29 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma {\frac {dr}{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {R(r)}}\\\Sigma {\frac {d\theta }{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {\Theta (\theta )}}\\\Sigma {\frac {d\phi }{d\lambda }}&=-\left(aE-{\frac {L_{z}}{\sin ^{2}\theta }}\right)+{\frac {a}{\Delta }}P(r)\\\Sigma {\frac {dt}{d\lambda }}&=-a\left(aE\sin ^{2}\theta -L_{z}\right)+{\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }}P(r)\end{aligned}}}$$ กับ

• ${\displaystyle \Theta (\theta )=Q-\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$
• ${\displaystyle P(r)=E\left(r^{2}+a^{2}\right)-aL_{z}}$
• ${\displaystyle R(r)=P(r)^{2}-\Delta \left(\mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Q\right)}$

ที่ไหน​${\displaystyle \lambda }$เป็นพารามิเตอร์เชิงเส้นตรงที่${\displaystyle {\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}=p^{\alpha }}$โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ${\displaystyle \mu >0}$พารามิเตอร์เชิงเส้น${\displaystyle \lambda }$เกี่ยวข้องกับเวลาที่เหมาะสม${\displaystyle \tau }$ผ่านทาง​${\displaystyle \lambda =\tau /\mu }$⁠ .

เนื่องจากผลของการลากเฟรมทำให้ผู้สังเกตการณ์ที่มีโมเมนตัมเชิงมุมเป็นศูนย์ (ZAMO) หมุนไปในทิศทางเดียวกับความเร็วเชิงมุม${\displaystyle \Omega }$ซึ่งกำหนดโดยอ้างอิงจากเวลาพิกัดของผู้ทำบัญชี${\displaystyle t}$[ ³¹ ]ความเร็วท้องถิ่น^​​${\displaystyle v}$วัดค่า ⁠ของอนุภาคทดสอบเทียบกับโพรบที่หมุนไปในทิศทางเดียวกัน ⁠${\displaystyle \Omega }$การยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงระหว่าง ZAMO ที่ตำแหน่งคงที่${\displaystyle r}$และผู้สังเกตการณ์ที่อยู่กับที่ซึ่งอยู่ห่างไกลจากมวลนั้นคือ $${\displaystyle {\frac {t}{\tau }}={\sqrt {\frac {\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta }{\Delta \ \Sigma }}}.}$$ ในพิกัดคาร์ทีเซียนเคอร์-ชิลด์ สมการสำหรับโฟตอนคือ^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\ddot {x}}+i{\ddot {y}}=4iMa{\frac {r}{\Sigma ^{2}}}W\left[{\dot {x}}+i{\dot {y}}-{\frac {x+iy}{r}}{\dot {r}}\right]-M(x+iy)\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C-a^{2}W^{2}}{r\Sigma ^{2}}}}$$$${\displaystyle {\ddot {z}}=-Mz\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C}{r\Sigma ^{2}}}}$$ ที่ไหน​${\displaystyle C}$⁠คล้ายคลึงกับค่าคงที่ของคาร์เตอร์และ ⁠${\displaystyle W}$เป็นปริมาณที่มี ประโยชน์$${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\left(aE\sin {\theta }-{\frac {L_{z}}{\sin {\theta }}}\right)^{2}}$$$${\displaystyle W={\dot {t}}-a\sin ^{2}{\theta }{\dot {\phi }}}$$

ถ้าเราตั้งค่า⁠${\displaystyle a=0}$เส้นทางเรขาคณิตของ Schwarzschildได้รับการบูรณะแล้ว

กลุ่มไอโซเมตรีของเมตริกเคอร์เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มปวงกาเร สิบมิติ ซึ่งรับเอาโลคัสสองมิติของเอกภาวะมาไว้ที่ตัวเอง มันรักษาการเลื่อนเวลา (หนึ่งมิติ) และการหมุนรอบแกนการหมุนของมัน (หนึ่งมิติ) ดังนั้นจึงมีสองมิติ เช่นเดียวกับกลุ่มปวงกาเร มันมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสี่ส่วน ได้แก่ ส่วนประกอบของเอกลักษณ์ ส่วนประกอบที่ย้อนกลับเวลาและลองจิจูด ส่วนประกอบที่สะท้อนผ่านระนาบเส้นศูนย์สูตร และส่วนประกอบที่ทำทั้งสองอย่าง ไอโซเมตรีเหล่านี้ถูกเข้ารหัสในเวกเตอร์คิลลิงแบบไทม์ไลค์และอะซิมุทัล

ในทางฟิสิกส์ สมมาตรมักเกี่ยวข้องกับค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ที่อนุรักษ์ไว้ ตามทฤษฎีบทของ Noetherดังแสดงข้างต้น สมการจีโอเดสิกมีปริมาณที่อนุรักษ์ไว้สี่อย่าง โดยหนึ่งในนั้นมาจากนิยามของจีโอเดสิก และอีกสองอย่างเกิดจากสมมาตรการเลื่อนและการหมุนตามเวลาของเรขาคณิต Kerr ปริมาณที่อนุรักษ์ไว้อย่างที่สี่ไม่ได้เกิดจากสมมาตรในความหมายมาตรฐาน และมักเรียกว่าสมมาตรที่ซ่อนอยู่ สมมาตรนี้ถูกเข้ารหัสไว้ในเทนเซอร์ Killing ซึ่งปริมาณที่อนุรักษ์ไว้เป็นกำลังสองของโมเมนตัม

ตำแหน่งของขอบฟ้าเหตุการณ์ถูกกำหนดโดยรากที่ใหญ่กว่าของ⁠${\displaystyle \Delta =0}$เมื่อ​​${\displaystyle r_{\text{s}}/2<a}$(เช่น​${\displaystyle GM^{2}<Jc}$)ไม่มีคำตอบ (ค่าจริง) สำหรับสมการนี้ และไม่มีขอบฟ้าเหตุการณ์ เมื่อไม่มีขอบฟ้าเหตุการณ์ที่จะซ่อนมันจากส่วนที่เหลือของจักรวาล หลุมดำจึงหยุดเป็นหลุมดำและจะกลายเป็นเอกภาวะเปลือยแทน ^{[ 33 ]}

แม้ว่าคำตอบของ Kerr จะดูเหมือนมีเอกลักษณ์ที่รากของ⁠${\displaystyle \Delta =0}$สิ่งเหล่านี้คือจุดเอกฐานของพิกัด และด้วยการเลือกพิกัดใหม่ที่เหมาะสม วิธีแก้ปัญหาของเคอร์สามารถขยายได้อย่างราบรื่นผ่านค่าต่างๆของ${\displaystyle r}$สอดคล้องกับรากเหล่านี้ รากที่ใหญ่กว่าจะกำหนดตำแหน่งของขอบฟ้าเหตุการณ์ และรากที่เล็กกว่าจะกำหนดตำแหน่งของขอบฟ้าโคชีเส้นโค้ง (ที่มุ่งไปในอนาคต เหมือนเวลา) สามารถเริ่มต้นจากภายนอกและผ่านขอบฟ้าเหตุการณ์ได้ เมื่อผ่านขอบฟ้าเหตุการณ์แล้ว ⁠${\displaystyle r}$⁠พิกัดตอนนี้ทำหน้าที่เหมือนพิกัดเวลา ดังนั้นจึงต้องลดลงจนกว่าเส้นโค้งจะผ่านขอบฟ้าโคชี ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}

เมตริกเคอร์ ซึ่งอธิบายเรขาคณิตของปริภูมิเวลาโดยรอบหลุมดำที่หมุนอยู่ สามารถขยายออกไปไกลกว่าขอบฟ้าเหตุการณ์ชั้นในได้ ในระบบพิกัดโบเยอร์-ลินด์ควิสต์${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$ขอบฟ้าชั้นในนี้ตั้งอยู่ที่

${\displaystyle r_{-}=M-{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}.}$

เมื่อข้ามเส้นขอบฟ้าด้านในนี้ พิกัดรัศมี${\displaystyle r}$มีแนวโน้มลดลงอย่างต่อเนื่อง จนอาจติดลบได้

เรขาคณิตของเคอร์เป็นตัวอย่างเฉพาะของคำตอบสุญญากาศแบบสมมาตรตามแกนที่อยู่กับที่ สำหรับสมการสนามของไอน์สไตน์ตระกูลของคำตอบสุญญากาศแบบสมมาตรตามแกนที่อยู่กับที่ทั้งหมดสำหรับสมการสนามของไอน์สไตน์เรียกว่าสุญญากาศของเอิร์นสต์

โซลูชันของเคอร์ยังเกี่ยวข้องกับโซลูชันที่ไม่ใช่สุญญากาศต่างๆ ที่จำลองหลุมดำ ตัวอย่างเช่น แบบจำลอง สุญญากาศไฟฟ้าของเคอร์-นิวแมนจำลองหลุมดำ (ที่หมุนได้) ที่มีประจุไฟฟ้า ในขณะที่ แบบจำลอง ฝุ่นศูนย์ของเคอร์-ไวด์ยาจำลองหลุมดำ (ที่หมุนได้) ที่มีรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าตกลงมา

กรณีพิเศษ${\displaystyle a=0}$การแปลงเมตริกของเคอร์ให้ผลลัพธ์เป็นเมตริกของชวาร์ซชิลด์ ซึ่งจำลองหลุมดำที่ไม่หมุน ซึ่ง อยู่นิ่งและสมมาตรทรงกลมในพิกัดชวาร์ซชิลด์ (ในกรณีนี้ โมเมนต์ของเกอรอคทั้งหมด ยกเว้นมวล จะเป็นศูนย์)

ภายในของเรขาคณิตแบบเคอร์ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือบางส่วนของมันมีสมมาตร เฉพาะที่ กับสุญญากาศ CPW ของจันดราเซการ์-เฟอร์รารีซึ่งเป็นตัวอย่างของ แบบ จำลองคลื่นระนาบที่ชนกันนี่เป็นสิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษ เพราะโครงสร้างโดยรวมของโซลูชัน CPW นี้แตกต่างจากเรขาคณิตแบบเคอร์อย่างมาก และในทางทฤษฎี นักทดลองสามารถหวังที่จะศึกษาเรขาคณิตของ (ส่วนนอกของ) ภายในเคอร์ได้โดยการจัดให้มีการชนกันของคลื่นระนาบความโน้มถ่วง ที่เหมาะสมสอง คลื่น

สุญญากาศ Ernst ที่แบนราบในเชิงอะซิมโทติกแต่ละอันสามารถระบุลักษณะได้โดยการให้ลำดับอนันต์ของโมเมนต์มัลติโพล เชิงสัมพัทธภาพ โดยสองตัวแรกสามารถตีความได้ว่าเป็นมวลและโมเมนตัมเชิงมุมของแหล่งกำเนิดสนาม มีสูตรทางเลือกของโมเมนต์มัลติโพลเชิงสัมพัทธภาพที่เสนอโดย Hansen, Thorne และ Geroch ซึ่งปรากฏว่าสอดคล้องกัน โมเมนต์มัลติโพลเชิงสัมพัทธภาพของเรขาคณิต Kerr ถูกคำนวณโดย Hansen ซึ่งปรากฏว่ามีค่าเป็น

${\displaystyle M_{n}=M[ia]^{n}}$

ดังนั้น กรณีพิเศษของสุญญากาศ Schwarzschild ( ⁠${\displaystyle a=0}$)ทำให้เกิด "แหล่งกำเนิดจุด โมโนโพล " ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ^{[ a ]}

โมเมนต์มัลติโพลของ Weylเกิดขึ้นจากการพิจารณาฟังก์ชันเมตริกบางอย่าง (ซึ่งสอดคล้องกับศักย์โน้มถ่วงแบบนิวตันอย่างเป็นทางการ) ซึ่งปรากฏในแผนภูมิ Weyl–Papapetrou สำหรับตระกูล Ernst ของคำตอบสุญญากาศแบบสมมาตรตามแกนทั้งหมดโดยใช้โมเมนต์มัลติโพล สเกลาร์แบบยุคลิดมาตรฐาน โมเมนต์เหล่านี้แตกต่างจากโมเมนต์ที่คำนวณโดย Hansen ข้างต้น ในแง่หนึ่ง โมเมนต์ของ Weyl เป็นเพียง (ทางอ้อม) ที่แสดงลักษณะ "การกระจายมวล" ของแหล่งกำเนิดที่แยกตัว และพบว่าขึ้นอยู่กับ โมเมนต์สัมพัทธ ภาพลำดับคู่ เท่านั้น ในกรณีของคำตอบที่สมมาตรตามระนาบเส้นศูนย์สูตร โมเมนต์ ของ Weyl ลำดับคี่จะหายไป สำหรับคำตอบสุญญากาศของ Kerr โมเมนต์ของ Weyl สองสามตัวแรกจะได้รับจาก

${\displaystyle a_{0}=M,\qquad a_{1}=0,\qquad a_{2}=M\left({\frac {M^{2}}{3}}-a^{2}\right).}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราพบว่าสุญญากาศ Schwarzschild มีโมเมนต์ Weyl อันดับสองที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า "โมโนโพล Weyl" คือ คำตอบ ของสุญญากาศ Chazy–Curzonไม่ใช่คำตอบของสุญญากาศ Schwarzschild ซึ่งเกิดขึ้นจากศักยภาพแบบนิวตันของแท่ง บาง ที่ มีความหนาแน่นสม่ำเสมอและมีความยาวจำกัด

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแบบสนามอ่อน การใช้มัลติโพลอีกประเภทหนึ่งในการจัดการแหล่งกำเนิดเดี่ยวๆ นั้นสะดวกกว่า โดยมัลติโพลประเภทนี้จะขยายแนวคิดของโมเมนต์เวล์ (Weyl moments) ไปสู่โมเมนต์มัลติโพลมวลและโมเมนต์มัลติโพลโมเมนตัมซึ่งบ่งบอกถึงการกระจายตัวของมวลและโมเมนตัมของแหล่งกำเนิดตามลำดับ ปริมาณเหล่านี้เป็นปริมาณที่มีดัชนีหลายตัว โดยส่วนที่สมมาตรและไม่สมมาตรอย่างเหมาะสมสามารถเชื่อมโยงกับส่วนจริงและส่วนจินตนาการของโมเมนต์สัมพัทธภาพสำหรับทฤษฎีไม่เชิงเส้นแบบสมบูรณ์ได้ในลักษณะที่ค่อนข้างซับซ้อน

Perez และ Moreschi ได้เสนอแนวคิดทางเลือกเกี่ยวกับ "โซลูชันโมโนโพล" โดยขยายเททราด NP มาตรฐานของสุญญากาศ Ernst ในรูปกำลังของ⁠${\displaystyle r}$(พิกัดรัศมีในแผนภูมิ Weyl–Papapetrou) ตามสูตรนี้:

• แหล่งกำเนิดโมโนโพลมวลโดดเดี่ยวที่มีโมเมนตัมเชิงมุมเป็นศูนย์ คือตระกูล สุญญากาศ Schwarzschild (พารามิเตอร์เดียว)
• แหล่งกำเนิดโมโนโพลมวลแยกเดี่ยวที่มีโมเมนตัมเชิงมุมรัศมี คือตระกูล สุญญากาศ Taub–NUT (สองพารามิเตอร์; ไม่แบนราบอย่างสมบูรณ์ในเชิงอะซิมโทติก)
• แหล่งกำเนิดโมโนโพลมวลแยกเดี่ยวที่มีโมเมนตัมเชิงมุมตามแกน คือตระกูล สุญญากาศเคอร์ (สองพารามิเตอร์)

ในแง่นี้ สุญญากาศของเคอร์จึงเป็นคำตอบสุญญากาศแบบสมมาตรตามแกนที่มีลักษณะแบนราบในระยะอนันต์ที่ง่ายที่สุดในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

เรขาคณิตของเคอร์มักถูกใช้เป็นแบบจำลองของหลุมดำที่หมุนแต่หากถือว่าคำตอบนั้นใช้ได้เฉพาะภายนอกบริเวณที่กะทัดรัดบางแห่ง (ภายใต้ข้อจำกัดบางประการ) โดยหลักการแล้ว มันควรจะสามารถใช้เป็นคำตอบภายนอกเพื่อจำลองสนามโน้มถ่วงรอบวัตถุมวลมากที่หมุนได้นอกเหนือจากหลุมดำ เช่นดาวนิวตรอนหรือโลก ซึ่งได้ผลดีมากสำหรับกรณีที่ไม่หมุน โดยที่สุญญากาศภายนอกของชวาร์ซชิลด์สามารถจับคู่กับของเหลวภายในของชวาร์ซชิลด์และที่จริงแล้ว สามารถจับคู่กับคำตอบ ของของเหลวสมบูรณ์แบบสมมาตรทรงกลมแบบคง ที่ทั่วไป ได้ อย่างไรก็ตาม ปัญหาของการค้นหาของเหลวสมบูรณ์แบบภายในที่หมุนได้ซึ่งสามารถจับคู่กับภายนอกของเคอร์ หรือที่จริงแล้วกับคำตอบของสุญญากาศภายนอกที่แบนราบในเชิงอะซิมโทติกใดๆ นั้นพิสูจน์แล้วว่ายากมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งของเหลวของวาลควิสต์ซึ่งครั้งหนึ่งเคยคิดว่าเป็นตัวเลือกที่สามารถจับคู่กับภายนอกของเคอร์ได้ ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่าไม่สามารถจับคู่ได้เช่นนั้น ในปัจจุบัน ดูเหมือนว่าจะมีเพียงคำตอบโดยประมาณที่จำลองลูกบอลของไหลที่หมุนช้าๆ เท่านั้นที่ทราบ (สิ่งเหล่านี้เป็นอะนาล็อกเชิงสัมพัทธภาพของลูกบอลทรงรีแบนที่มีมวลและโมเมนตัมเชิงมุมไม่เป็นศูนย์ แต่มีโมเมนต์มัลติโพลที่สูงกว่าเป็นศูนย์) อย่างไรก็ตาม ภายนอกของจาน Neugebauer–Meinel ซึ่ง เป็นคำตอบที่แม่นยำของฝุ่นที่จำลองจานบางที่หมุนได้นั้น ในกรณีจำกัดจะเข้าใกล้⁠${\displaystyle GM^{2}=cJ}$เรขาคณิตของเคอร์ โซลูชันดิสก์บางทางกายภาพที่ได้มาจากการระบุส่วนต่างๆ ของปริภูมิเวลาเคอร์ก็เป็นที่รู้จักเช่นกัน^{[ 38 ]}

• เมตริกชวาร์ซชิลด์
• เมตริกเดอ ซิตเตอร์-ชวาร์ซชิลด์
• เมตริกเคอร์-นิวแมน
• เมตริกเคอร์-นิวแมน-เดอ-ซิทเทอร์
• เมตริกไรส์เนอร์-นอร์ดสตรอม
• เมตริกฮาร์ทเล-ธอร์น
• สปินฟลิป
• หลุมดำหมุน

• Wiltshire, David L.; Visser, Matt; Scott, Susan M. , บรรณาธิการ (2009). ปริภูมิเวลาเคอร์: หลุมดำหมุนในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป . เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-88512-6.
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). คำตอบที่แน่นอนของสมการสนามของไอน์สไตน์เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0-521-46136-8.
• ไมเนล, ไรน์ฮาร์ด ; อันซอร์ก, มาร์คัส; ไคลน์วัคเตอร์, แอนเดรียส; นอยเกบาวเออร์, เกอร์โนต์; เปตรอฟ, เดวิด (2008) ตัวเลขสัมพัทธภาพของความสมดุล เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ไอเอสบีเอ็น 978-0-521-86383-4.
• O'Neill, Barrett (1995). เรขาคณิตของหลุมดำเคอร์ . เวลส์ลีย์, แมสซาชูเซตส์: AK Peters. ISBN 978-1-56881-019-5.
• D'Inverno, Ray (1992). การแนะนำทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์แคลเรนดอน. ISBN 978-0-19-859686-8.โปรดดูบทที่ 19สำหรับบทนำที่อ่านง่ายในระดับปริญญาตรีขั้นสูง
• Chandrasekhar, S. (1992). ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของหลุมดำ . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์แคลเรนดอน. ISBN 978-0-19-850370-5.โปรดดูบทที่ 6-10สำหรับการศึกษาอย่างละเอียดในระดับบัณฑิตศึกษาขั้นสูง
• Griffiths, JB (1991). คลื่นระนาบชนกันในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-853209-5.โปรดดูบทที่ 13สำหรับแบบจำลอง CPW ของ Chandrasekhar/Ferrari
• แอดเลอร์, โรนัลด์; บาซิน, มอริซ; ชิฟเฟอร์, เมนาเฮม (1975). บทนำสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์. ISBN 978-0-07-000423-8.ดูบทที่ 7
• เพนโรส อาร์. (1968) เอ็ด ซี. เดอ วิตต์ และ เจ. วีลเลอร์ (เอ็ด.) แบทเทิล เรนคอนเตรส . WA เบนจามิน นิวยอร์ก พี 222.
• Perez, Alejandro; Moreschi, Osvaldo M. (2000). "การระบุลักษณะของคำตอบที่แม่นยำจากแนวคิดทางฟิสิกส์เชิงอะซิมโทติก" arXiv : gr-qc/0012100v1 .การวิเคราะห์ลักษณะเฉพาะของสารละลายสุญญากาศมาตรฐานสามกลุ่มตามที่กล่าวไว้ข้างต้น
• Sotiriou, Thomas P.; Apostolatos, Theocharis A. (2004). "การแก้ไขและความคิดเห็นเกี่ยวกับโมเมนต์มัลติโพลของปริภูมิเวลาอิเล็กโทรสุญญากาศแบบสมมาตรตามแกน" Class. Quantum Grav . 21 (24): 5727– 5733. arXiv : gr-qc/0407064 . Bibcode : 2004CQGra..21.5727S . doi : 10.1088/0264-9381/21/24/003 . S2CID 16858122 . ให้ค่าโมเมนต์มัลติโพลเชิงสัมพัทธภาพสำหรับสุญญากาศของ Ernst (รวมถึงโมเมนต์มัลติโพลเชิงสัมพัทธภาพทางแม่เหล็กไฟฟ้าและแรงโน้มถ่วงสำหรับการวางนัยทั่วไปของประจุ)
• Carter, B. (1971). "หลุมดำสมมาตรตามแกนมีอิสระเพียงสององศา". Physical Review Letters . 26 (6): 331– 333. Bibcode : 1971PhRvL..26..331C . doi : 10.1103/PhysRevLett.26.331 .
• Wald, RM (1984). ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป . ชิคาโก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก. หน้า312–324 . ISBN  978-0-226-87032-8.
• Kerr, RP; Schild, A. (2009). "การตีพิมพ์ซ้ำของ: คลาสใหม่ของคำตอบสุญญากาศของสมการสนามของไอน์สไตน์" สัมพัทธภาพทั่วไปและแรงโน้มถ่วง 41 ( 10): 2485– 2499. Bibcode : 2009GReGr..41.2485K . doi : 10.1007/s10714-009-0857-z . S2CID 361088 . 
• Krasiński, Andrzej; Verdaguer, Enric; Kerr, Roy Patrick (2009). "หมายเหตุบรรณาธิการถึง: RP Kerr และ A. Schild, คลาสใหม่ของคำตอบสุญญากาศของสมการสนามของไอน์สไตน์" . สัมพัทธภาพทั่วไปและแรงโน้มถ่วง . 41 (10): 2469– 2484. Bibcode : 2009GReGr..41.2469K . doi : 10.1007/s10714-009-0856-0 ."...  บันทึกนี้มีจุดประสงค์เพื่อเป็นแนวทางสำหรับผู้อ่านที่ต้องการตรวจสอบรายละเอียดทั้งหมด [ของการพิสูจน์คำตอบของเคอร์]  ..."