ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎีการจำแนกประเภทของเปตรอฟ (หรือที่รู้จักกันในชื่อ การจำแนกประเภทของเปตรอฟ-พิรานี-เพนโรส) อธิบายถึงสมมาตร เชิงพีชคณิตที่เป็นไปได้ ของเทนเซอร์เวล์ณ แต่ละเหตุการณ์ในแมนิโฟลด์ลอเรนซ์

โดยส่วนใหญ่แล้ว การจำแนก ประเภทนี้มักนำไปใช้ในการศึกษาหาคำตอบที่แน่นอนของสมการสนามของไอน์สไตน์แต่ในเชิงทฤษฎีแล้ว การจำแนกประเภทนี้เป็นทฤษฎีบทในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่ใช้ได้กับแมนิโฟลด์แบบลอเรนซ์ใดๆ โดยไม่ขึ้นอยู่กับการตีความทางฟิสิกส์ใดๆ การจำแนกประเภทนี้ถูกค้นพบในปี 1954 โดยAZ PetrovและโดยอิสระโดยFelix Piraniในปี 1957

เราสามารถมองเทนเซอร์อันดับ สี่ เช่นเทนเซอร์เวล์ที่ประเมินค่า ณ เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งว่ากระทำต่อปริภูมิของไบเวกเตอร์ณ เหตุการณ์นั้น เหมือนกับตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อปริภูมิเวกเตอร์:

${\displaystyle X^{ab}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}X^{mn}}$

จากนั้น จึงเป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาปัญหาการหาค่าลักษณะเฉพาะ และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (ซึ่งต่อไปนี้จะเรียกว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะคู่) ที่ทำให้ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X^{ab}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}\,X^{mn}=\lambda \,X^{ab}}$

ในปริภูมิเวลาลอเรนซ์ (สี่มิติ) จะมีปริภูมิหกมิติของไบเวกเตอร์แบบปฏิสมมาตร ณ แต่ละเหตุการณ์ อย่างไรก็ตาม สมมาตรของเทนเซอร์เวล์บ่งชี้ว่าไบเวกเตอร์เฉพาะใดๆ จะต้องอยู่ในเซตย่อยสี่มิติ ดังนั้น เทนเซอร์เวล์ ( ณ เหตุการณ์ที่กำหนด) จึงสามารถมีไบเวกเตอร์เฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นได้ มากที่สุดสี่ ตัว

เวกเตอร์คู่ลักษณะเฉพาะของเทนเซอร์เวล์สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยความซ้ำซ้อนที่ หลากหลาย และความซ้ำซ้อนใดๆ ในบรรดาเวกเตอร์คู่ลักษณะเฉพาะบ่งชี้ถึง สมมาตรเชิงพีชคณิตชนิดหนึ่งของเทนเซอร์เวล์ ณ เหตุการณ์ที่กำหนด ประเภทต่างๆ ของเทนเซอร์เวล์ ( ณ เหตุการณ์ที่กำหนด) สามารถกำหนดได้โดยการแก้สมการลักษณะเฉพาะในกรณีนี้คือสมการกำลังสี่ทั้งหมดข้างต้นเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกันกับทฤษฎีของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นทั่วไป

เวกเตอร์คู่ลักษณะเฉพาะเหล่านี้มีความสัมพันธ์กับเวกเตอร์ศูนย์ บางตัว ในปริภูมิเวลาดั้งเดิม ซึ่งเรียกว่าทิศทางศูนย์หลัก (ที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง) พีชคณิตเชิงเส้นหลายตัว ที่เกี่ยวข้อง ค่อนข้างซับซ้อน (ดูเอกสารอ้างอิงด้านล่าง) แต่ทฤษฎีบทการจำแนกประเภทที่ได้ระบุว่ามีสมมาตรทางพีชคณิตที่เป็นไปได้หกประเภทอย่างแม่นยำ ซึ่งรู้จักกันในชื่อประเภทของเปตรอฟ :

• ประเภทที่ 1 : ทิศทางศูนย์หลักแบบง่ายสี่ทิศทาง
• ประเภทที่ 2 : ทิศทางศูนย์หลักคู่หนึ่งทิศทางและทิศทางศูนย์หลักเดี่ยวสองทิศทาง
• ประเภท D : ทิศทางศูนย์หลักคู่สองทิศทาง
• ประเภท III : หนึ่งทิศทางหลักศูนย์แบบสามเท่าและหนึ่งทิศทางหลักศูนย์แบบง่าย
• ประเภท N : ทิศทางศูนย์หลักสี่เท่าหนึ่งทิศทาง
• ประเภท O : เทนเซอร์เวล์หายไป

ภาพแสดงการเปลี่ยนแปลงที่เป็นไปได้ระหว่างประเภทต่างๆ ของเปตรอฟ ซึ่งอาจตีความได้ว่าประเภทบางประเภทของเปตรอฟนั้น "มีความพิเศษมากกว่า" ประเภทอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ประเภทIซึ่งเป็นประเภททั่วไปที่สุด สามารถเสื่อมสภาพไปเป็นประเภทIIหรือD ได้ ในขณะที่ประเภทIIสามารถเสื่อมสภาพไปเป็นประเภทIII , NหรือDได้

เหตุการณ์ต่าง ๆ ในปริภูมิเวลาที่กำหนดสามารถมีประเภทของเปตรอฟ (Petrov) ที่แตกต่างกันได้ เทนเซอร์เวล์ (Weyl tensor) ที่มีประเภทI (ในบางเหตุการณ์) เรียกว่า เทนเซอร์เวล์ แบบทั่วไปเชิงพีชคณิต (algebraically general ) ส่วนเทนเซอร์เวล์แบบอื่น ๆ ที่มีประเภท I จะเรียกว่าเทนเซอร์เวล์ แบบพิเศษเชิงพีชคณิต ( algebraically special ) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ปริภูมิเวลาประเภทOจะแบนราบเชิง คอนฟอร์มัล (conformally flat )

ในทางปฏิบัติมักใช้รูปแบบ ของ Newman –Penroseในการจำแนกประเภท พิจารณาชุดไบเวกเตอร์ต่อไปนี้ ซึ่งสร้างขึ้นจากเททราดของเวกเตอร์ศูนย์ (โปรดทราบว่าในบางสัญลักษณ์ สัญลักษณ์ l และ n จะสลับกัน):

${\displaystyle U_{ab}=-2l_{[a}{\bar {m}}_{b]}}$

${\displaystyle V_{ab}=2n_{[a}m_{b]}}$

${\displaystyle W_{ab}=2m_{[a}{\bar {m}}_{b]}-2n_{[a}l_{b]}.}$

เทนเซอร์เวล์สามารถแสดงได้ในรูปของการรวมกันของไบเวกเตอร์เหล่านี้ผ่านทาง

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}&=\Psi _{0}U_{ab}U_{cd}\\&\,\,\,+\Psi _{1}(U_{ab}W_{cd}+W_{ab}U_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{2}(V_{ab}U_{cd}+U_{ab}V_{cd}+W_{ab}W_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{3}(V_{ab}W_{cd}+W_{ab}V_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{4}V_{ab}V_{cd}+cc\end{aligned}}}$

โดยที่คือสเกลาร์ของ Weylและ cc คือคอนจูเกตเชิงซ้อน ประเภทของ Petrov ทั้งหกแบบนั้นแตกต่างกันตรงที่สเกลาร์ของ Weyl ตัวใดมีค่าเป็นศูนย์ เงื่อนไขมีดังนี้ ${\displaystyle \{\Psi _{j}\}}$

• ประเภทที่ 1  : ,${\displaystyle \Psi _{0}=0}$
• ประเภทที่ 2  : ,${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=0}$
• ประเภท D  : ,${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$
• ประเภท III  : ,${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=0}$
• ประเภท N  : ,${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=0}$
• กรุ๊ปเลือด O  : .${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$

เมื่อกำหนดเมตริกบนแมนิโฟลด์ลอเรนซ์แล้ว เทนเซอร์เวล์สำหรับเมตริกนี้สามารถคำนวณได้ หากเทนเซอร์เวล์มีความพิเศษทางพีชคณิตที่บางค่าจะมีชุดเงื่อนไขที่มีประโยชน์ ซึ่งค้นพบโดย Lluis (หรือ Louis) Bel และ Robert Debever ^{[ 1 ]}สำหรับการกำหนดประเภท Petrov ที่ได้อย่างแม่นยำ โดย กำหนดให้ส่วนประกอบของเทนเซอร์เวล์ที่เป็น(ถือว่าไม่เป็นศูนย์ กล่าวคือ ไม่ใช่ประเภทO ) เกณฑ์ของ Belสามารถระบุได้ดังนี้: ${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle C_{abcd}}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$จะเป็นประเภทNก็ต่อเมื่อมีเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{d}=0}$

โดยที่ค่าดังกล่าวจะต้องเป็นค่าว่างและมีเอกลักษณ์ (โดยไม่คำนึงถึงการปรับขนาด) ${\displaystyle k}$

• ถ้าไม่ใช่ประเภท Nแล้วจะเป็นประเภทIIIก็ต่อเมื่อมีเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข${\displaystyle C_{abcd}}$${\displaystyle C_{abcd}}$${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=0={^{*}C}_{abcd}\,k^{b}k^{d}}$

โดยที่ค่าดังกล่าวจะต้องเป็นค่าว่างและมีเอกลักษณ์ (โดยไม่คำนึงถึงการปรับขนาด) ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$จะเป็นประเภทIIก็ต่อเมื่อมีเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข${\displaystyle k}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$และ( )${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

โดยที่ค่าดังกล่าวจะต้องเป็นค่าว่างและมีเอกลักษณ์ (โดยไม่คำนึงถึงการปรับขนาด) ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$จะเป็นประเภทDก็ต่อเมื่อมีเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสองตัว ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข${\displaystyle k}$${\displaystyle k'}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$, ( )${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

และ

${\displaystyle C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}}$, ( )${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}}$${\displaystyle \gamma \delta \neq 0}$

เทนเซอร์คู่ของ Weyl ที่ อยู่ที่ ใด${\displaystyle {{}^{*}C__{abcd}}$${\displaystyle p}$

ในความเป็นจริง สำหรับแต่ละเกณฑ์ข้างต้น มีเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันสำหรับเทนเซอร์ Weyl ที่จะมีประเภทนั้น เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันเหล่านี้ระบุไว้ในแง่ของเทนเซอร์คู่และเทนเซอร์คู่ตัวเองของเทนเซอร์ Weyl และไบเวกเตอร์บางตัว และรวบรวมไว้ใน Hall (2004)

เกณฑ์ของเบลมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป โดยการกำหนดชนิดของเปตรอฟของเทนเซอร์เวล์แบบพิเศษทางพีชคณิตจะทำได้โดยการค้นหาเวกเตอร์ศูนย์

ตาม ทฤษฎีสั ม พัทธภาพทั่วไปประเภทเปตรอฟพิเศษทางพีชคณิตต่างๆ มีการตีความทางฟิสิกส์ที่น่าสนใจบางประการ การจัดประเภทดังกล่าวจึงบางครั้งเรียกว่าการจัดประเภทของสนามโน้มถ่วง

บริเวณ ประเภท Dเกี่ยวข้องกับสนามโน้มถ่วงของวัตถุมวลมากที่อยู่โดดเดี่ยว เช่น ดาวฤกษ์ กล่าวโดยละเอียด สนามประเภทDเกิดขึ้นเป็นสนามภายนอกของวัตถุที่มีแรงโน้มถ่วง ซึ่งมีลักษณะเฉพาะอย่างสมบูรณ์โดยมวลและโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุนั้น (วัตถุทั่วไปอาจมีโมเมนต์มัลติโพล ที่สูงกว่าที่ไม่เป็นศูนย์) ทิศทางนัลล์หลักคู่สองทิศทางกำหนด ความสอดคล้องของนัลล์ขาเข้าและขาออก "ในแนวรัศมี" ใกล้กับวัตถุที่เป็นแหล่งกำเนิดของสนาม

เทนเซอร์อิเล็กโทรกราวิติก (หรือเทนเซอร์ไทดัล ) ในบริเวณประเภทDนั้นคล้ายคลึงกับสนามโน้มถ่วงที่อธิบายในแรงโน้มถ่วงแบบนิวตันด้วยศักย์โน้มถ่วงแบบคูลอมบ์ อย่างมาก สนามไทดัลดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะคือแรงดึงในทิศทางหนึ่งและแรงอัดในทิศทางตั้งฉาก ค่าไอเกนมีรูปแบบ (-2,1,1) ตัวอย่างเช่น ยานอวกาศที่โคจรรอบโลกจะประสบกับแรงดึงเล็กน้อยตามรัศมีจากศูนย์กลางของโลก และแรงอัดเล็กน้อยในทิศทางตั้งฉาก เช่นเดียวกับในแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน สนามไทดัลนี้โดยทั่วไปจะลดลงตาม โดยที่คือระยะห่างจากวัตถุ ${\displaystyle O(r^{-3})}$${\displaystyle r}$

หากวัตถุหมุนรอบแกนใดแกน หนึ่ง นอกเหนือจากผลกระทบจากแรงดึงดูดแล้ว ยังจะมี ผลกระทบ จากแรงโน้มถ่วงและสนามแม่เหล็ก ต่างๆ เช่นแรงหมุนต่อการหมุนบนไจโรสโคปที่ผู้สังเกตการณ์พกติดตัว ในสุญญากาศเคอร์ซึ่งเป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของคำตอบสุญญากาศประเภทDส่วนนี้ของสนามจะสลายตัวไปในลักษณะนั้น ${\displaystyle O(r^{-4})}$

บริเวณ ประเภท IIIเกี่ยวข้องกับ รังสีความโน้มถ่วง ตามแนวยาว ชนิดหนึ่ง ในบริเวณดังกล่าว แรงไทดัลมี ผลทำให้เกิด การเฉือนความเป็นไปได้นี้มักถูกละเลย ส่วนหนึ่งเป็นเพราะรังสีความโน้มถ่วงที่เกิดขึ้นในทฤษฎีสนามอ่อนเป็นประเภทNและอีกส่วนหนึ่งเป็นเพราะรังสี ประเภท III สลายตัวแบบ ซึ่งเร็วกว่ารังสี ประเภท N${\displaystyle O(r^{-2})}$

บริเวณ ประเภท Nเกี่ยวข้องกับ การแผ่รังสีแรงโน้มถ่วง ตามขวางซึ่งเป็นประเภทที่นักดาราศาสตร์ตรวจพบด้วยLIGOทิศทางศูนย์หลักสี่เท่าสอดคล้องกับเวกเตอร์คลื่นที่อธิบายทิศทางการแพร่กระจายของรังสีนี้ โดยทั่วไปแล้วจะลดลงตามดังนั้นสนามรังสีระยะไกลจึงเป็นประเภท N${\displaystyle O(r^{-1})}$

บริเวณ ประเภท IIผสมผสานผลกระทบที่กล่าวถึงข้างต้นสำหรับประเภทD , IIIและNเข้าด้วยกันในรูปแบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่ค่อนข้างซับซ้อน

บริเวณ ประเภท Oหรือ บริเวณ ราบเรียบเชิง คอนฟอร์มัล เกี่ยวข้องกับสถานที่ที่เทนเซอร์เวล์ (Weyl tensor) มีค่าเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ ในกรณีนี้ ความโค้งจะเรียกว่าเป็นความโค้งริชชีบริสุทธิ์ในบริเวณราบเรียบเชิงคอนฟอร์มัล ผลกระทบจากแรงโน้มถ่วงใดๆ จะต้องเกิดจากการมีอยู่ของสสารหรือพลังงานสนาม ของสนามที่ไม่ใช่แรงโน้มถ่วง (เช่นสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ) ในแง่หนึ่ง นี่หมายความว่าวัตถุที่อยู่ไกลออกไปไม่ได้ส่งผลกระทบระยะไกลต่อเหตุการณ์ในบริเวณของเรา กล่าวคือ หากมีสนามแรงโน้มถ่วงที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาในบริเวณที่ห่างไกลข่าวสาร นั้น ยังมาไม่ถึงบริเวณราบเรียบเชิงคอนฟอร์มัลของเรา

รังสีโน้มถ่วงที่ปล่อยออกมาจากระบบโดดเดี่ยวโดยทั่วไปจะไม่เป็นรังสีพิเศษทางพีชคณิตทฤษฎีบทการลอกชั้นอธิบายถึงวิธีที่เมื่อเคลื่อนที่ออกไปไกลจากแหล่งกำเนิดรังสี ส่วนประกอบต่างๆ ของสนามรังสีจะ "ลอก" ออกไปจนในที่สุดจะสังเกตเห็นได้เฉพาะรังสีประเภทNในระยะไกล ซึ่งคล้ายกับทฤษฎีบทการลอกชั้นทางแม่เหล็กไฟฟ้า

ในวิธีแก้ปัญหาที่คุ้นเคยกันดีอยู่บ้าง เทนเซอร์ของ Weyl จะมีประเภท Petrov เดียวกันในแต่ละเหตุการณ์:

• เครื่องดูดฝุ่น Kerrเป็นแบบ Type D ทั่วไป
• เครื่องดูดฝุ่น Robinson/Trautmanบางรุ่นเป็นแบบ Type IIIทั่วไป
• ปริภูมิเวลาคลื่น ppเป็นแบบN ทุก ที่
• โมเดลFLRWเป็นแบบ Type O ทุก ที่

โดยทั่วไปแล้วปริภูมิเวลาที่มีสมมาตรทรงกลม ใดๆ จะต้องเป็นประเภทD (หรือO ) ปริภูมิเวลาพิเศษทางพีชคณิตทั้งหมดที่มีเทน เซอร์ความเครียด-พลังงานประเภทต่างๆ นั้นเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ตัวอย่างเช่นผลเฉลยสุญญากาศ ประเภท D ทั้งหมด

บางกลุ่มของคำตอบสามารถจำแนกได้อย่างไม่เปลี่ยนแปลงโดยใช้สมมาตรเชิงพีชคณิตของเทนเซอร์เวล์ ตัวอย่างเช่น กลุ่มของ คำตอบ สุญญากาศไฟฟ้าหรือฝุ่นศูนย์ที่ไม่แบน ราบตามแบบคอนฟอร์มอล ซึ่งยอมรับความสอดคล้องศูนย์ที่ขยายตัวแต่ไม่บิดเบี้ยว คือกลุ่มของปริภูมิเวลาโรบินสัน/ทราอุตมันน์ อย่างแม่นยำ โดยทั่วไปจะเป็นประเภทIIแต่ก็รวมถึงตัวอย่าง ประเภท IIIและประเภทN ด้วย

A. Coley, R. Milson, V. Pravda และ A. Pravdová (2004) ได้พัฒนาการวางนัยทั่วไปของการจำแนกประเภทเชิงพีชคณิตไปยังมิติปริภูมิเวลาใดๆแนวทางของพวกเขาใช้ แนวทาง ฐานเฟรม ว่าง นั่นคือฐานเฟรมที่มีเวกเตอร์ว่างสองตัวคือ และพร้อมกับเวกเตอร์เชิงพื้นที่ ส่วนประกอบฐานเฟรมของเทนเซอร์ Weylถูกจำแนกตามคุณสมบัติการแปลงภายใต้การเพิ่มกำลังแบบลอเรนซ์เฉพาะที่ หากส่วนประกอบ Weyl บางอย่างเป็นศูนย์และ/หรือจะถูกเรียกว่าทิศทางว่างที่สอดคล้องกับ Weyl (WANDs) ในสี่มิติจะเป็น WAND ก็ต่อเมื่อเป็นทิศทางว่างหลักในความหมายที่กำหนดไว้ข้างต้น แนวทางนี้ให้การขยายมิติที่สูงขึ้นอย่างเป็นธรรมชาติของประเภทพีชคณิตต่างๆII , Dเป็นต้น ที่กำหนดไว้ข้างต้น ${\displaystyle d}$${\displaystyle l}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d-2}$${\displaystyle l}$${\displaystyle n}$${\displaystyle l}$

ก่อนหน้านี้ de Smet (2002) ได้กำหนดรูปแบบทั่วไปอีกแบบหนึ่งที่ไม่เทียบเท่ากัน โดยอิงจากแนวทางสปินเนอร์อย่างไรก็ตาม แนวทางของ de Smet นั้นจำกัดอยู่เพียง 5 มิติเท่านั้น

• การจำแนกประเภทของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า
• คำตอบที่แน่นอนในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
• การจำแนกประเภทของเซเกร
• ทฤษฎีการปอกเปลือก
• เทนเซอร์เพลบันสกี
• ทฤษฎีบทโกลด์เบิร์ก-แซคส์