พิจารณาความสอดคล้องเชิงเวลาที่สร้างขึ้นโดยสนามเวกเตอร์หน่วยเชิง เวลา X ซึ่งเราควรคิดว่ามันเป็นตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อย เชิงเส้นอันดับหนึ่ง จากนั้นส่วนประกอบของสนามเวกเตอร์ของเราจะเป็นฟังก์ชันสเกลาร์ที่กำหนดในสัญกรณ์เทนเซอร์โดยการเขียน โดยที่ f เป็นฟังก์ชันเรียบใดๆเวกเตอร์ความเร่งคืออนุพันธ์ร่วมแปรเราสามารถเขียนส่วนประกอบของมันในสัญกรณ์เทนเซอร์ได้ดังนี้:${\displaystyle {\vec {X}}f=f_{,a}\,X^{a}}$${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {X}}^{a}={X^{a}}_{;b}X^{b}}$

ต่อไป เมื่อใช้สังเกตว่าสมการ:${\displaystyle {X_{b}}{X^{b}}=-1}$

${\displaystyle \left({\dot {X}}^{a}\,X_{b}+{X^{a}}_{;b}\right)\,X^{b}={X^{a}}_{;b}\,X^{b}-{\dot {X}}^{a}=0}$

หมายความว่าพจน์ในวงเล็บด้านซ้ายคือส่วนขวางของความสัมพันธ์เชิงตั้งฉากนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อ X เป็นเวกเตอร์หน่วยไทม์ ไลค์ ของ แมนิโฟลด์ ลอเรนซ์ เท่านั้น ใช้ไม่ได้ในบริบททั่วไปมากกว่านี้ เขียนว่า:${\displaystyle {X^{a}}_{;b}}$

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

สำหรับเทนเซอร์การฉายภาพที่ฉายเทนเซอร์ไปยังส่วนขวางของเทนเซอร์นั้น ตัวอย่างเช่น ส่วนขวางของเวกเตอร์คือส่วนที่ตั้งฉากกับx เทนเซอร์นี้สามารถมองได้ว่าเป็นเทนเซอร์เมตริกของไฮเปอร์เซอร์เฟซที่มีเวกเตอร์สัมผัสตั้งฉากกับ x ดังนั้น เราจึงได้แสดงให้เห็นว่า:${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{m;n}}$

ต่อไป เราจะแยกส่วนประกอบนี้ออกเป็นส่วนสมมาตรและส่วนปฏิสมมาตร:

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}=\theta _{ab}+\omega _{ab}}$

ที่นี่:

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

เรียกอีกอย่างว่าเทนเซอร์การขยายตัวและเทนเซอร์ความหมุนตามลำดับ

เนื่องจากเทนเซอร์เหล่านี้อยู่ใน องค์ประกอบ ระนาบเชิง พื้นที่ ที่ตั้งฉากกับเราจึงอาจมองว่าพวกมันเป็น เทนเซอร์อันดับสอง สามมิติซึ่งสามารถแสดงได้อย่างเข้มงวดมากขึ้นโดยใช้แนวคิดของอนุพันธ์เฟอร์มิดังนั้นเราจึงสามารถแยกเทนเซอร์การขยายตัวออกเป็นส่วนที่ไม่มีร่องรอยบวกกับส่วนที่มีร่องรอยการเขียนร่องรอยเป็นเราจะได้:${\displaystyle {\vec {X}}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{ab}=\sigma _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

เนื่องจากเทนเซอร์ความหมุนเป็นเมทริกซ์ปฏิสมมาตร ส่วนประกอบในแนวทแยงจึงเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีร่องรอยโดยอัตโนมัติ (และเราสามารถแทนที่ด้วย เวกเตอร์สามมิติได้แม้ว่าเราจะไม่ทำเช่นนั้นก็ตาม) ดังนั้น ตอนนี้เราจึงได้:

${\displaystyle X_{a;b}=\sigma _{ab}+\omega _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

นี่คือการแยกส่วนทางจลนศาสตร์ ที่ต้องการ ในกรณีของ ความสอดคล้อง ทางธรณีวิทยา แบบไทม์ไลค์ พจน์สุดท้ายจะหายไปโดยสมบูรณ์

สเกลาร์การขยายตัว เทนเซอร์เฉือน ( ) และเทนเซอร์ความหมุนของความสอดคล้องทางธรณีวิทยาแบบไทม์ไลค์มีความหมายเชิงสัญชาตญาณดังต่อไปนี้:${\displaystyle \sigma _{ab}}$

1. ค่าสเกลาร์การขยายตัวแสดงถึงอัตราส่วนเชิงเศษส่วนที่ปริมาตรของกลุ่มอนุภาคทดสอบทรงกลมขนาดเล็กเปลี่ยนแปลงไปเมื่อเทียบกับเวลาที่แท้จริงของอนุภาคที่อยู่ใจกลางกลุ่มอนุภาค
2. เทนเซอร์เฉือนแสดงถึงแนวโน้มที่ทรงกลมเริ่มต้นจะบิดเบี้ยวกลายเป็นรูปทรงรี
3. เทนเซอร์ความหมุนแสดงถึงแนวโน้มการหมุนของทรงกลมเริ่มต้น โดยความหมุนจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเส้นโลกในความสอดคล้องกันตั้งฉากกับพื้นผิวเชิงพื้นที่ในทุก ๆระนาบของปริภูมิเวลา ซึ่งในกรณีนี้ สำหรับแผนภูมิพิกัดที่เหมาะสม แต่ละระนาบสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นพื้นผิวของ 'เวลาคงที่'

โปรดดูเอกสารอ้างอิงและลิงก์ด้านล่างเพื่อสนับสนุนข้อกล่าวอ้างเหล่านี้

จากเอกลักษณ์ของริชชี (ซึ่งมักใช้เป็นนิยามของเทนเซอร์รีมันน์ ) เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle X_{a;bn}-X_{a;nb}=R_{ambn}\,X^{m}}$

โดยการแทนค่าการแยกส่วนทางจลนศาสตร์ลงในฝั่งซ้าย เราสามารถสร้างความสัมพันธ์ระหว่างเทนเซอร์ความโค้งและพฤติกรรมทางจลนศาสตร์ของความสอดคล้องตามเวลา (ไม่ว่าจะเป็นเส้นทางจีโอเดสิกหรือไม่ก็ตาม) ความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถนำไปใช้ได้สองวิธี ซึ่งทั้งสองวิธีมีความสำคัญมาก:

1. โดยหลักการแล้ว เราสามารถกำหนดเทนเซอร์ความโค้งของปริภูมิเวลาได้จากการทดลอง โดยอาศัยการสังเกตพฤติกรรมทางจลนศาสตร์ของเส้นทางเวลาใดๆ (ไม่ว่าจะเป็นเส้นทางจีโอเดสิกหรือไม่ก็ตาม) อย่างละเอียด
2. เราสามารถหาสมการวิวัฒนาการสำหรับส่วนประกอบของการแยกส่วนทางจลนศาสตร์ ( สเกลาร์ การขยายตัว เทนเซอร์เฉือนและเทนเซอร์ความหมุน ) ซึ่งแสดงให้เห็นถึงการเชื่อมโยงความโค้ง โดยตรง ได้

ตามคำขวัญอันโด่งดังของจอห์น อาร์ชิบัลด์ วีลเลอร์ :

กาลอวกาศบอกสสารว่าจะเคลื่อนที่อย่างไร สสารบอกกาลอวกาศว่าจะโค้งงออย่างไร

ตอนนี้เราได้เห็นวิธีการวัดปริมาณส่วนแรกของข้อความยืนยันนี้อย่างแม่นยำแล้วสมการสนามของไอน์สไตน์จะวัดปริมาณส่วนที่สอง

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตามการแยกส่วนแบบเบลของเทนเซอร์รีมันน์ โดยพิจารณาจากสนามเวกเตอร์หน่วยเวลาของเราเทนเซอร์อิเล็กโทรกราวิติก (หรือเทนเซอร์ไทด์ ) ถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

ปัจจุบันเอกลักษณ์ของ Ricci ประกอบด้วย:

${\displaystyle \left(X_{a:bn}-X_{a:nb}\right)\,X^{n}=E[{\vec {X}}]_{ab}}$

เมื่อแทนค่าการแยกส่วนทางจลศาสตร์ลงไป เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}E[{\vec {X}}]_{ab}&={\frac {2}{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{3}}\right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\dot {\sigma }}_{mn}-{\dot {X}}_{(m;n)}\right)-{\dot {X}}_{a}\,{\dot {X}}_{b}\\\end{aligned}}}$

ในที่นี้ เครื่องหมายจุดเหนือตัวอักษรหมายถึงการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาที่แท้จริงโดยนับตามความสอดคล้องเชิงเวลาของเรา (กล่าวคือ เราหาอนุพันธ์ร่วมแปรเทียบกับสนามเวกเตอร์ X) นี่อาจถือได้ว่าเป็นคำอธิบายว่าเราสามารถกำหนดเทนเซอร์น้ำขึ้นน้ำลงจากข้อมูลการสังเกตความสอดคล้องเชิงเวลาเพียงครั้งเดียว ได้อย่างไร

ในส่วนนี้ เราจะหันมาพิจารณาปัญหาเกี่ยวกับการได้มาซึ่งสมการวิวัฒนาการ (หรือที่เรียกว่าสมการการแพร่กระจายหรือสูตรการแพร่กระจาย )

จะเป็นการสะดวกที่จะเขียนเวกเตอร์ความเร่งในรูปแบบและกำหนดค่าดังนี้:${\displaystyle {\dot {X}}^{a}=W^{a}}$

${\displaystyle J_{ab}=X_{a:b}={\frac {\theta }{3}}\,h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

จากเอกลักษณ์ของริชชีสำหรับเทนเซอร์น้ำขึ้นน้ำลง เราจะได้ว่า:

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=J_{an;b}\,X^{n}-E[{\vec {X}}]_{ab}}$

แต่:

${\displaystyle \left(J_{an}\,X^{n}\right)_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{an}\,{X^{n}}_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{am}\,{J^{m}}_{b}}$

ดังนั้นเราจึงมี:

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-J_{am}\,{J^{m}}_{b}-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+W_{a;b}}$

โดยการแทนค่านิยามของและพิจารณาส่วนแนวทแยง ส่วนสมมาตรไร้ร่องรอย และส่วนปฏิสมมาตรของสมการนี้ตามลำดับ เราจะได้สมการวิวัฒนาการที่ต้องการสำหรับสเกลาร์การขยายตัว เทนเซอร์เฉือน และเทนเซอร์ความหมุน${\displaystyle J_{ab}}$

พิจารณากรณีที่ง่ายกว่าก่อน คือกรณีที่เวกเตอร์ความเร่งเป็นศูนย์ จากนั้น (โดยสังเกตว่าเทนเซอร์การฉายภาพสามารถใช้เพื่อลดดัชนีของปริมาณเชิงพื้นที่ล้วนๆ ได้) เราจะได้:

${\displaystyle J_{am}\,{J^{m}}_{b}={\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}+{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

หรือ

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-{\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}-{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}}$

โดยใช้พีชคณิตเชิงเส้นพื้นฐาน สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่า ถ้าและ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นสมมาตรและปฏิสมมาตรสามมิติ ตามลำดับ แล้วจะสมมาตร ในขณะที่จะปฏิสมมาตร ดังนั้นโดยการลดดัชนีลง การรวมกันที่สอดคล้องกันในวงเล็บข้างต้นจะเป็นสมมาตรและปฏิสมมาตรตามลำดับ ดังนั้น การหาเทรซจะได้สมการของ Raychaudhuri (สำหรับจีโอเดสิกแบบไทม์ไลค์):${\displaystyle \Sigma ,\Omega }$${\displaystyle \Sigma ^{2}+\Omega ^{2}}$${\displaystyle \Sigma \,\Omega +\Omega \,\Sigma }$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega ^{2}-\sigma ^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}$

การนำส่วนสมมาตรที่ไม่มีร่องรอยมาใช้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle {\dot {\sigma }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\sigma _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}}\,h_{ab}}$

และเมื่อนำส่วนที่ไม่สมมาตรมาใช้จะได้:

${\displaystyle {\dot {\omega }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\omega _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

ที่นี่:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

เป็นค่าคงที่กำลังสองซึ่งไม่เคยเป็นลบ ดังนั้นจึงเป็นค่าคงที่จริงที่กำหนดไว้อย่างดี ร่องรอยของเทนเซอร์น้ำขึ้นน้ำลงสามารถเขียนได้ดังนี้:${\displaystyle \sigma ,\omega }$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

บางครั้งเรียกปริมาณนี้ว่า สเกลา ร์เรย์ชาวธุรีและแน่นอนว่ามันจะมีค่าเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ในกรณีของคำตอบที่เป็นสุญญากาศ

• ความสอดคล้อง (แมนิโฟลด์)
• การขยายตัวสเกลาร์
• เทนเซอร์การขยายตัว
• เทนเซอร์เฉือน
• เทนเซอร์ความหมุน
• สมการเรย์เชาดูรี