ในทางคณิตศาสตร์อิฐออยเลอร์ (Euler brick ) ซึ่งตั้งชื่อตามเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler ) คือทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ มีความยาวของ ขอบและเส้นทแยงมุมของหน้าแต่ละด้านเป็นจำนวนเต็มอิฐออยเลอร์แบบดั้งเดิม (Primitive Euler brick) คืออิฐออยเลอร์ ที่มีความยาวของขอบเป็น จำนวน เฉพาะสัมพัทธ์อิฐออยเลอร์แบบสมบูรณ์ (Perfect Euler brick)คืออิฐที่มีเส้นทแยงมุมในอวกาศเป็นจำนวนเต็มด้วย แต่ยังไม่พบอิฐแบบนั้น

นิยามของอิฐออยเลอร์ในเชิงเรขาคณิตเทียบเท่ากับคำตอบของระบบสมการไดโอแฟนไทน์ ต่อไปนี้ :

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}}$

โดยที่a , b , cคือขอบ และd , e , fคือเส้นทแยงมุม

• ถ้า( a , b , c )เป็นคำตอบแล้ว( ka , kb , kc )ก็เป็นคำตอบสำหรับk ใดๆ ด้วยเช่นกัน ดังนั้น คำตอบในจำนวนตรรกยะทั้งหมดจึงเป็นการปรับขนาดของคำตอบจำนวนเต็ม เมื่อกำหนดอิฐออยเลอร์ที่มีความยาวขอบ( a , b , c )สามสิ่ง( bc , ac , ab )ก็ประกอบเป็นอิฐออยเลอร์เช่นกัน^{[ 1 ] :หน้า 106}

• อิฐออยเลอร์ แบบดั้งเดิม จะ มีขอบเพียงหนึ่งด้านและเส้นทแยงมุมของหน้าสองด้านที่เป็นเลขคี่

• ขอบอย่างน้อยสองขอบของอิฐออยเลอร์สามารถหารด้วย 3 ได้ลงตัว^{[ 1 ] :หน้า 106}

• ขอบอย่างน้อยสองขอบของอิฐออยเลอร์สามารถหารด้วย 4 ได้ลงตัว^{[ 1 ] :หน้า 106}

• ขอบอย่างน้อยหนึ่งด้านของอิฐออยเลอร์หารด้วย 11 ลงตัว^{[ 1 ] :หน้า 106}

The smallest Euler brick, discovered by Paul Halcke in 1719, has edges (a, b, c) = (44, 117, 240) and face diagonals (d, e, f ) = (125, 244, 267).^[2] Some other small primitive solutions, given as edges (a, b, c) — face diagonals (d, e, f), are below:

(	85,	132,	720	) — (	157,	725,	732	)
(	140,	480,	693	) — (	500,	707,	843	)
(	160,	231,	792	) — (	281,	808,	825	)
(	187,	1020,	1584	) — (	1037,	1595,	1884	)
(	195,	748,	6336	) — (	773,	6339,	6380	)
(	240,	252,	275	) — (	348,	365,	373	)
(	429,	880,	2340	) — (	979,	2379,	2500	)
(	495,	4888,	8160	) — (	4913,	8175,	9512	)
(	528,	5796,	6325	) — (	5820,	6347,	8579	)

Euler found at least two parametric solutions to the problem, but neither gives all solutions.^[3]

An infinitude of Euler bricks can be generated with Saunderson's^[4]parametric formula. Let (u, v, w) be a Pythagorean triple (that is, u² + v² = w².) Then^[1]:105 the edges

${\displaystyle a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw}$

give face diagonals

${\displaystyle d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2}).}$

There are many Euler bricks which are not parametrized as above, for instance the Euler brick with edges (a, b, c) = (240, 252, 275) and face diagonals (d, e, f ) = (348, 365, 373).

A perfect cuboid (also called a perfect Euler brick or perfect box) is an Euler brick whose space diagonal also has integer length. In other words, the following equation is added to the system of Diophantine equations defining an Euler brick:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},}$

where g is the space diagonal. As of March 2020, no example of a perfect cuboid had been found and no one has proven that none exist.^[5]

จากการค้นหาข้อมูลด้วยคอมพิวเตอร์อย่างละเอียดถี่ถ้วน พบว่า หากมีทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่สมบูรณ์แบบอยู่จริง

• ขอบคี่ต้องมากกว่า 2.5 × 10 ¹³ , ^{[ 6 ]}
• ขอบที่เล็กที่สุดต้องมีขนาดใหญ่กว่า5 × 10 ¹¹ , ^{[ 6 ]}และ
• เส้นทแยงมุมของพื้นที่ต้องมากกว่า 9 × ^{10 15 [ 7} ]

ข้อเท็จจริงบางประการเกี่ยวกับคุณสมบัติที่ต้องเป็นไปตาม ลูกบาศก์สมบูรณ์แบบ ดั้งเดิมหากมีอยู่จริง เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว โดยอิงจากเลขคณิตโมดูลาร์ : ^{[ 8 ]}

• ขอบด้านหนึ่ง เส้นทแยงมุมของหน้าสองเส้น และเส้นทแยงมุมของช่องว่างต้องเป็นจำนวนคี่ ขอบด้านหนึ่งและเส้นทแยงมุมของหน้าที่เหลือต้องหารด้วย 4 ลงตัว และขอบที่เหลือต้องหารด้วย 16 ลงตัว
• ขอบสองด้านต้องมีความยาวหารด้วย 3 ลงตัว และอย่างน้อยหนึ่งในขอบเหล่านั้นต้องมีความยาวหารด้วย 9 ลงตัว
• ด้านใดด้านหนึ่งต้องมีความยาวหารด้วย 5 ลงตัว
• ด้านใดด้านหนึ่งต้องมีความยาวหารด้วย 7 ลงตัว
• ด้านใดด้านหนึ่งต้องมีความยาวหารด้วย 11 ลงตัว
• ด้านใดด้านหนึ่งต้องมีความยาวหารด้วย 19 ลงตัว
• ด้านใดด้านหนึ่งหรือเส้นทแยงมุมของช่องว่างจะต้องหารด้วย 13 ลงตัว
• ขอบด้านใดด้านหนึ่ง เส้นทแยงมุมของหน้า หรือเส้นทแยงมุมของช่องว่าง ต้องหารด้วย 17 ลงตัว
• ด้านใดด้านหนึ่ง เส้นทแยงมุมของหน้า หรือเส้นทแยงมุมของช่องว่าง ต้องหารด้วย 29 ลงตัว
• ด้านใดด้านหนึ่ง เส้นทแยงมุมของหน้า หรือเส้นทแยงมุมของช่องว่าง ต้องหารด้วย 37 ลงตัว

นอกจากนี้:

• เส้นทแยงมุมของปริภูมิไม่ใช่ทั้งกำลังของจำนวนเฉพาะหรือผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวน [ ^{9 ] :หน้า 579}
• เส้นทแยงมุมของพื้นที่สามารถบรรจุตัวหารเฉพาะที่สอดคล้องกับ 1 มอดูล 4 เท่านั้น^{[ 9 ] :หน้า 566 [ 10 ]}

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับทรงลูกบาศก์สามข้อ เป็นข้อเสนอ ทางคณิตศาสตร์สามข้อที่อ้างว่าพหุนาม เอก ตัวแปรสามตัวที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์จำนวนเต็มหลายตัวนั้นไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ข้อสันนิษฐานเหล่านี้เกี่ยวข้องกับปัญหาทรงลูกบาศก์สมบูรณ์^{[ 12 ] [ 13 ]}แม้ว่าจะไม่เทียบเท่ากับปัญหาทรงลูกบาศก์สมบูรณ์ แต่ถ้าข้อสันนิษฐานทั้งสามข้อนี้เป็นจริงทั้งหมด ก็จะไม่มีทรงลูกบาศก์สมบูรณ์อยู่จริง ข้อสันนิษฐานเหล่านี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์หรือหักล้าง

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก 1. สำหรับจำนวนเต็ม บวกสองจำนวนใดๆ ที่เป็นจำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์กัน${\displaystyle a\neq u}$พหุนามดีกรีแปด

${\displaystyle P_{au}(t)=t^{8}+6\,(u^{2}-a^{2})\,t^{6}+(a^{4}-4\,a^{2}\,u^{2}+u^{4})\,t^{4}-6\,a^{2}\,u^{2}\,(u^{2}-a^{2})\,t^{2}+u^{4}\,a^{4}}$

1

ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้บนวงแหวนของจำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากข้อที่ 2 สำหรับจำนวนเต็มบวกสองจำนวนใดๆ ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน${\displaystyle p\neq q}$พหุนามดีกรีสิบ

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{pq}(t)={}&t^{10}+(2q^{2}+p^{2})(3q^{2}-2p^{2})t^{8}\\[4pt]&{}+(q^{8}+10p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}-14p^{6}q^{2}+p^{8})t^{6}\\[4pt]&{}-p^{2}q^{2}(q^{8 }-14p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}+10p^{6}\,q^{2}+p^{8})t^{4}\\[4pt]&{}-p^{6}\,q^{6}\,(q^{2}+2\,p^{2})\,(-2\,q^{2}+3\,p^{2})\,t^{2}\\[4pt]&{}-q^{10}\,p^{10}\end{aligned}}}$

2

ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้บนวงแหวนของจำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก 3. สำหรับจำนวนเต็มบวกสามจำนวนใดๆ ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle u}$โดยที่ไม่มีเงื่อนไขใดๆ

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\text{1)}}\qquad a=b;\qquad \qquad &{\text{3)}}\qquad b\,u=a^{2};\qquad \qquad &{\text{5)}}\qquad a=u;\\{\text{2)}}\qquad a=b=u;\qquad \qquad &{\text{4)}}\qquad a\,u=b^{2};\qquad \qquad &{\text{6)}}\qquad b=u\end{array}}}$

3

เป็นไปตามเงื่อนไข พหุนามดีกรีที่สิบสอง

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{abu}(t)={}&t^{12}+(6u^{2}-2a^{2}-2b^{2})t^{10}\\&{}+(u^{4}+b^{4}+a^{4}+4a^{2}u^{2}+4b^{2}u^{2}-12b^{2}a^{2})t^{8}\\&{}+(6a^{4}u^{2}+6u^{2}b^{4}-8a^{2}b^{2}u^{2}-2u^{4}a^{2}-2u^{4}b^{2}-2a^{4}b^{2}-2b^{4}a^{2})t^{6}\\&{}+(4u^{2}b^{4}a^{2}+4a^{4}u^{2}b^{2}-12u^{4}a^{2}b^{2}+u^{4}a^{4}+u^{4}b^{4}+a^{4}b^{4})t^{4}\\&{}+(6a^{4}u^{2}b^{4}-2u^{4}a^{4}b^{2}-2u^{4}a^{2}b^{4})t^{2}+u^{4}a^{4}b^{4}.\end{aligned}}}$

4

ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้บนวงแหวนของจำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เกือบสมบูรณ์แบบจะมีด้านยาว 6 ใน 7 ด้านเป็นจำนวนตรรกยะ ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากดังกล่าวสามารถแบ่งออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่ทรงสี่เหลี่ยม มุมฉาก ตัวทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากขอบและทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากหน้า^{[ 14 ]} ในกรณีของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากตัว เส้นทแยงมุมของตัว (ช่องว่าง) gเป็นจำนวนอตรรกยะ สำหรับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากขอบ ด้านใดด้านหนึ่งa , b , cเป็นจำนวนอตรรกยะ ส่วนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากหน้า เส้นทแยงมุมของหน้าด้านใดด้านหนึ่งd , e , fเป็นจำนวนอตรรกยะ

โดยทั่วไปแล้วลูกบาศก์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าจะเรียกว่าลูกบาศก์ออยเลอร์เพื่อเป็นเกียรติแก่เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ผู้ซึ่งได้กล่าวถึงลูกบาศก์ประเภทนี้^{[ 15 ]}เขายังตระหนักถึงลูกบาศก์ด้าน และได้ยกตัวอย่าง (104, 153, 672) ^{[ 16 ]}ความยาวขอบลูกบาศก์สามจำนวนเต็มและความยาวเส้นทแยงมุมสามจำนวนเต็มของลูกบาศก์ด้าน สามารถตีความได้ว่าเป็นความยาวขอบของทรงสี่หน้าเฮโรเนียนซึ่งเป็นออร์โธสคีมของชลาฟลี เช่นกัน มีลูกบาศก์ด้านจำนวนอนันต์ และมีออร์โธสคีมเฮโรเนียนจำนวนอนันต์^{[ 17 ]}

คำตอบที่เล็กที่สุดสำหรับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากเกือบสมบูรณ์แบบแต่ละประเภท ซึ่งกำหนดโดยขอบ เส้นทแยงมุมของหน้า และเส้นทแยงมุมของพื้นที่( a , b , c , d , e , f , g )มีดังต่อไปนี้:

• ทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ของร่างกาย : (44, 117, 240, 125, 244, 267, √ 73225 )
• ขอบทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ : (520, 576, √ 618849 , 776, 943, 975, 1105)
• หน้าทรงลูกบาศก์ : (104, 153, 672, 185, 680, √ 474993 , 697)

ข้อมูล ณ เดือนกรกฎาคมพ.ศ. 2563 มีการค้นพบทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์จำนวน 167,043 ชิ้นที่มีขอบจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดน้อยกว่า 200,000,000,027: ​​61,042 เป็นทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ออยเลอร์ (ตัว) 16,612 เป็นทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ขอบที่มี ความยาวขอบ เป็นจำนวนเชิงซ้อน 32,286 เป็นทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ขอบ และ 57,103 เป็นทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์หน้า^{[ 18 ]}

ข้อมูล ณ เดือนธันวาคม2560 การค้นหาอย่างละเอียดได้นับจำนวนคิวบอยด์ขอบและหน้าทั้งหมดที่มีเส้นทแยงมุมของพื้นที่จำนวนเต็มที่เล็กที่สุดน้อยกว่า 1,125,899,906,842,624: 194,652 เป็นคิวบอยด์ขอบ และ 350,778 เป็นคิวบอยด์หน้า^{[ 7 ]}

ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานสมบูรณ์คือทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบ เส้นทแยงมุมของหน้า และเส้นทแยงมุมของตัวเป็นจำนวนเต็ม แต่ไม่จำเป็นต้องมีมุมฉากทั้งหมด ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากสมบูรณ์เป็นกรณีพิเศษของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานสมบูรณ์ ในปี 2552 มีการแสดงให้เห็นว่ามีทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานสมบูรณ์หลายสิบรูป^{[ 19 ]}ซึ่งเป็นการตอบคำถามที่ยังเปิดอยู่ของRichard Guyทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานสมบูรณ์บางรูปมีหน้าสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองหน้า ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานสมบูรณ์ที่เล็กที่สุดมีขอบ 271, 106 และ 103 เส้นทแยงมุมหน้าสั้น 101, 266 และ 255 เส้นทแยงมุมหน้ายาว 183, 312 และ 323 และเส้นทแยงมุมของตัว 374, 300, 278 และ 272

ในปี 2022 Aubrey de Greyได้ตีพิมพ์^{[ 20 ]} การสำรวจรูป ทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าหน้าจั่วสมบูรณ์แบบซึ่งเขาเรียกว่า "ฐานรอง" รูปทรงเหล่านี้เป็นรูปทรงหกเหลี่ยมที่มีหน้าสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองหน้าที่มีอัตราส่วนด้านเท่ากันและหน้าสี่หน้าที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วดังนั้น เช่นเดียวกับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากเกือบสมบูรณ์แบบและทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานสมบูรณ์แบบ ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากสมบูรณ์แบบจะเป็นกรณีพิเศษของฐานรองสมบูรณ์แบบ ฐานรองสมบูรณ์แบบมีอยู่จริง แต่หายากกว่าทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานสมบูรณ์แบบหรือทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากเกือบสมบูรณ์แบบมากสำหรับขนาดที่กำหนด ในบทความต่อมา^{[ 21 ]} de Grey, Philip Gibbs และ Louie Helm ได้ต่อยอดจากผลการค้นพบนี้เพื่อสำรวจคลาสของเส้นโค้งวงรีที่สอดคล้องกับฐานรองสมบูรณ์แบบ ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากเกือบสมบูรณ์แบบ และการสรุปทั่วไปอื่นๆ ของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากสมบูรณ์แบบ ด้วยวิธีนี้ พวกเขาได้เพิ่มช่วงที่สามารถค้นหาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากสมบูรณ์แบบได้ด้วยวิธีการคำนวณอย่างมาก พวกเขายังแสดงให้เห็นว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนจำนวนมากไม่สามารถสร้างหน้าของทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์สมบูรณ์ได้ โดยการระบุตระกูลเส้นโค้งวงรีหลายตระกูลที่ต้องมีอันดับเป็นบวกหากมีทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์สมบูรณ์อยู่จริง พอลเซนและเวสต์แสดงให้เห็นโดยอิสระ^{[ 22 ]}ว่าทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์สมบูรณ์ต้องสอดคล้องกับเส้นโค้งวงรีจำนวนที่สอดคล้องกันที่มีอันดับอย่างน้อย 2

• สี่เหลี่ยมพีทาโกเรียน