ใน ทฤษฎี ทางคณิตศาสตร์ของการแปลงแบบคอนฟอร์มอลและ ควาซิคอนฟอร์มอล ความยาวสุดขีดของกลุ่มเส้นโค้งคือการวัดขนาดของเซตที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงแบบคอนฟอร์มอล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่าเป็นเซตเปิดในระนาบเชิงซ้อนและเป็นกลุ่มของเส้นทางในและเป็นการแปลงแบบคอนฟอร์มอล แล้วความยาวสุดขีดของจะเท่ากับความยาวสุดขีดของภาพของภายใต้นอกจากนี้ยังมีการใช้ค่าสัมบูรณ์แบบคอนฟอร์มอลของซึ่งเป็นส่วนกลับของความยาวสุดขีด ข้อเท็จจริงที่ว่าความยาวสุดขีดและค่าสัมบูรณ์แบบคอนฟอร์มอลเป็นค่าคงที่แบบคอนฟอร์มอลของทำให้เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการศึกษาการแปลงแบบคอนฟอร์มอลและควาซิคอนฟอร์มอล นอกจากนี้ยังมีการใช้ความยาวสุดขีดในมิติที่มากกว่าสองและปริภูมิเมตริก อื่นๆ บางส่วน แต่ต่อไปนี้จะกล่าวถึงเฉพาะในมิติสองมิติเป็นหลัก ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle f:D\to D'}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

ในการกำหนดความยาวสุดขั้ว เราจำเป็นต้องแนะนำปริมาณที่เกี่ยวข้องหลายอย่างก่อน ให้เป็นเซตเปิดในระนาบเชิงซ้อน สมมติว่า เป็นชุดของเส้นโค้งที่หาความยาวได้ในถ้า เป็น เส้นโค้งที่วัดได้ แบบบอเรลแล้วสำหรับเส้นโค้งที่หาความยาวได้ใดๆเรากำหนดให้ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|}$

ให้ แทนความยาวของโดยที่แทน องค์ประกอบ ยุคลิดที่มีความยาว (เป็นไปได้ว่า) สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไรกันแน่? ถ้าถูกกำหนดพารามิเตอร์ในช่วงใดช่วงหนึ่งแล้วคือปริพันธ์ของฟังก์ชันที่วัดได้แบบบอเรล เทียบกับมาตรวัดบอเรลบนซึ่ง มาตรวัดของทุกช่วงย่อยคือความยาวของการจำกัดของไปยังกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ปริพันธ์เลเบส-สตีลเจสโดยที่ คือความยาวของการจำกัดของ ไปยัง นอกจากนี้ให้ กำหนด ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle |dz|}$${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$${\displaystyle \gamma :I\to D}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \int _{\gamma }\rho \,|dz|}$${\displaystyle \rho (\gamma (t))}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle J}$${\displaystyle \int _{I}\rho (\gamma (t))\,d{\mathrm {length} }_{\gamma }(t)}$${\displaystyle {\mathrm {length} __{\gamma }(t)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \{s\in I:s\leq t\}}$

${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma )}$

พื้นที่ของถูกกำหนดให้ เป็น${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,}$

และความยาวสุดขั้วของคือ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,}$

โดยที่ supremum อยู่เหนือเส้นโค้งที่วัดได้แบบ Borel ทั้งหมดที่มีถ้าประกอบด้วยเส้นโค้งที่ไม่สามารถหาความยาวได้ และ แทนเซตของเส้นโค้งที่สามารถหาความยาวได้ในแล้ว จะถูกกำหนดให้เป็น ${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$${\displaystyle 0<A(\rho )<\infty }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma _{0}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle EL(\Gamma )}$${\displaystyle EL(\Gamma _{0})}$

คำว่าโมดูลัส (คอนฟอร์มัล)ของหมาย ถึง${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 1/EL(\Gamma )}$

ระยะทางสุดขั้วระหว่างเซตสองเซตคือ ความยาวสุดขั้วของกลุ่มเส้นโค้งในเซตนั้นโดยมีจุดปลายด้านหนึ่งอยู่ในเซตหนึ่ง และจุดปลายอีกด้านหนึ่งอยู่ในอีกเซตหนึ่ง ${\displaystyle D}$${\displaystyle {\overline {D}}}$${\displaystyle D}$

ในส่วนนี้จะแสดงการคำนวณความยาวสุดขั้วในตัวอย่างหลายตัวอย่าง ตัวอย่างสามตัวอย่างแรกนั้นมีประโยชน์ในการประยุกต์ใช้ความยาวสุดขั้ว

กำหนดให้จำนวนบวกบางจำนวนและให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้เป็นเซตของเส้นโค้งที่มีความยาวจำกัดทั้งหมดที่ตัดผ่านรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจากซ้ายไปขวา ในความหมายที่ว่า อยู่บนขอบด้านซ้ายของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และอยู่บนขอบด้านขวา(ลิมิตต้องมีอยู่จริง เพราะเราสมมติว่ามีความยาวจำกัด) ต่อไปนี้เราจะพิสูจน์ว่า ในกรณีนี้ ${\displaystyle w,h>0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R=(0,w)\times (0,h)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \gamma :(0,1)\to R}$${\displaystyle \lim _{t\to 0}\gamma (t)}$${\displaystyle \{0\}\times [0,h]}$${\displaystyle \lim _{t\to 1}\gamma (t)}$${\displaystyle \{w\}\times [0,h]}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle EL(\Gamma )=w/h}$

ขั้นแรก เราอาจพิจารณาซึ่งจะให้และ จากนั้น นิยามของ ว่าเป็นค่าสูงสุดจะให้ ${\displaystyle \rho =1}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A(\rho )=w\,h}$${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )=w}$${\displaystyle EL(\Gamma )}$${\displaystyle EL(\Gamma )\geq w/h}$

อสมการตรงข้ามนั้นไม่ง่ายนัก พิจารณาปริมาณที่วัดได้แบบบอเรลใดๆ ที่มีคุณสมบัติว่า สำหรับให้(โดยที่เรากำลังระบุกับระนาบเชิงซ้อน) แล้วและดังนั้นอสมการหลังนี้อาจเขียนได้เป็น ${\displaystyle \rho :R\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \ell :=L_{\rho }(\Gamma )>0}$${\displaystyle y\in (0,h)}$${\displaystyle \gamma _{y}(t)=i\,y+w\,t}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \gamma _{y}\in \Gamma }$${\displaystyle \ell \leq L_{\rho }(\gamma _{y})}$

${\displaystyle \ell \leq \int _{0}^{1}\rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt.}$

การบูรณาการความไม่เท่าเทียมกันนี้เหนือหมายความว่า ${\displaystyle y\in (0,h)}$

${\displaystyle h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{1}\rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt\,dy}$.

เมื่อเปลี่ยนตัวแปรและใช้ความไม่เท่าเทียมกันของโคชี-ชวาร์ซจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle x=w\,t}$

${\displaystyle h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{w}\rho (x+i\,y)\,dx\,dy\leq {\Bigl (}\int _{R}\rho ^{2}\,dx\,dy\int _{R}\,dx\,dy{\Bigr )}^{1/2}={\bigl (}w\,h\,A(\rho ){\bigr )}^{1/2}}$. ซึ่งทำให้ได้.${\displaystyle \ell ^{2}/A(\rho )\leq w/h}$

ดังนั้น จึงเป็นไปตามที่ต้องการ ${\displaystyle EL(\Gamma )\leq w/h}$

ดังที่การพิสูจน์แสดงให้เห็น ความยาวสุดขั้วของเส้นโค้งนั้นเท่ากับความยาวสุดขั้วของกลุ่มเส้นโค้งที่มีขนาดเล็กกว่ามาก ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \{\gamma _{y}:y\in (0,h)\}}$

ควรชี้ให้เห็นว่าความยาวสุดขีดของกลุ่มเส้นโค้งที่เชื่อมขอบล่างของกับขอบบน ของ นั้นสอดคล้องกับ เงื่อนไขโดยใช้เหตุผลเดียวกัน ดังนั้น. เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกสิ่งนี้ว่าคุณสมบัติทวิภาวะของความยาวสุดขีด และคุณสมบัติทวิภาวะที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นในบริบทของหัวข้อถัดไป สังเกตว่าการหาขอบล่างของโดยทั่วไปจะง่ายกว่าการหาขอบบน เนื่องจากขอบล่างเกี่ยวข้องกับการเลือกค่า ที่เหมาะสมและประมาณค่าในขณะที่ขอบบนเกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ข้อความเกี่ยวกับค่า ที่เป็นไปได้ทั้งหมดด้วยเหตุนี้ คุณสมบัติทวิภาวะจึงมักมีประโยชน์เมื่อสามารถพิสูจน์ได้: เมื่อเรารู้ว่าขอบล่างของจะกลายเป็นขอบบนของ ${\displaystyle \Gamma \,'}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle EL(\Gamma \,')=h/w}$${\displaystyle EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1}$${\displaystyle EL(\Gamma )}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1}$${\displaystyle EL(\Gamma \,')}$${\displaystyle EL(\Gamma )}$

ให้และเป็นรัศมีสองค่าที่สอดคล้องกับเงื่อนไขให้เป็นวงแหวนและให้และเป็นส่วนประกอบขอบเขตสองส่วนของ: และพิจารณาระยะห่างสุดขั้วระหว่างและซึ่งเป็นความยาวสุดขั้วของกลุ่มเส้นโค้งที่เชื่อมต่อ และ${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle 0<r_{1}<r_{2}<\infty }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} :r_{1}<|z|<r_{2}\}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{1}:=\{z:|z|=r_{1}\}}$${\displaystyle C_{2}:=\{z:|z|=r_{2}\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \gamma \subset A}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

เพื่อให้ได้ค่าขอบล่างของ เราจึงใช้ จากนั้น สำหรับทิศทางจากไปยัง${\displaystyle EL(\Gamma )}$${\displaystyle \rho (z)=1/|z|}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle \int _{\gamma }|z|^{-1}\,ds\geq \int _{\gamma }|z|^{-1}\,d|z|=\int _{\gamma }d\log |z|=\log(r_{2}/r_{1}).}$

ในทางกลับกัน

${\displaystyle A(\rho )=\int _{A}|z|^{-2}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{-2}\,r\,dr\,d\theta =2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).}$

เราสรุปได้ว่า

${\displaystyle EL(\Gamma )\geq {\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.}$

ตอนนี้เราจะเห็นว่าอสมการนี้แท้จริงแล้วคือสมการ โดยใช้เหตุผลที่คล้ายกับที่กล่าวไว้ข้างต้นสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า พิจารณาค่าที่วัดได้แบบบอเรลใดๆโดยที่. สำหรับให้แทนเส้นโค้ง. แล้ว ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \ell :=L_{\rho }(\Gamma )>0}$${\displaystyle \theta \in [0,2\,\pi )}$${\displaystyle \gamma _{\theta }:(r_{1},r_{2})\to A}$${\displaystyle \gamma _{\theta }(r)=e^{i\theta }r}$

${\displaystyle \ell \leq \int _{\gamma _{\theta }}\rho \,ds=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\rho (e^{i\theta }r)\,dr.}$

เราทำการอินทิเกรตและใช้ความไม่เท่าเทียมกันของโคชี-ชวาร์ซ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 2\,\pi \,\ell \leq \int _{A}\rho \,dr\,d\theta \leq {\Bigl (}\int _{A}\rho ^{2}\,r\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}{\Bigl (}\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}.}$

การยกกำลังสองให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle 4\,\pi ^{2}\,\ell ^{2}\leq A(\rho )\cdot \,2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).}$

นี่หมายถึงขอบเขตบนเมื่อรวมกับขอบเขตล่างแล้ว จะได้ค่าความยาวสุดขั้วที่แน่นอน: ${\displaystyle EL(\Gamma )\leq (2\,\pi )^{-1}\,\log(r_{2}/r_{1})}$

${\displaystyle EL(\Gamma )={\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.}$

ให้และเป็นดังที่กล่าวมาข้างต้น แต่คราวนี้ให้เป็นกลุ่มของเส้นโค้งทั้งหมดที่พันรอบวงแหวนหนึ่งรอบ โดยแยกออกจากโดยใช้วิธีการข้างต้น การแสดงให้เห็นว่า นั้นไม่ใช่เรื่องยาก ${\displaystyle r_{1},r_{2},C_{1},C_{2},\Gamma }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma ^{*}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle EL(\Gamma ^{*})={\frac {2\pi }{\log(r_{2}/r_{1})}}=EL(\Gamma )^{-1}.}$

นี่แสดงให้เห็นถึงอีกตัวอย่างหนึ่งของภาวะทวิลักษณ์ความยาวสุดขั้ว

ในตัวอย่างข้างต้น ค่าสุดขั้วที่ทำให้ค่าอัตราส่วนสูงสุดและให้ความยาวสุดขั้วนั้นสอดคล้องกับเมตริกแบบแบน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อเมตริกแบบยูคลิด รีมันน์ ของโดเมนระนาบที่สอดคล้องกันถูกปรับขนาดด้วยเมตริกที่ได้จะเป็นแบบแบน ในกรณีของสี่เหลี่ยมผืนผ้า นี่คือเมตริกเดิม แต่สำหรับวงแหวน เมตริกสุดขั้วที่ระบุได้คือเมตริกของทรงกระบอกต่อไปนี้เราจะกล่าวถึงตัวอย่างที่เมตริกสุดขั้วไม่ใช่แบบแบน ระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่มีเมตริกทรงกลมได้มาจากการระบุจุดตรงข้ามบนทรงกลมหน่วยในด้วยเมตริกทรงกลมแบบรีมันน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือผลหารของทรงกลมด้วยแผนที่ให้แทนเซตของเส้นโค้งปิดในระนาบเชิงโปรเจกทีฟนี้ที่ไม่ใช่โฮโมโทปิกศูนย์ (แต่ละเส้นโค้งในได้มาจากการฉายเส้นโค้งบนทรงกลมจากจุด ไปยังจุดตรงข้าม) จากนั้นเมตริกทรงกลมจะเป็นค่าสุดขั้วสำหรับตระกูลเส้นโค้งนี้^{[ 1 ]} (นิยามของความยาวสุดขั้วสามารถขยายไปยังพื้นผิวรีมันน์ได้อย่างง่ายดาย) ดังนั้น ความยาวสุดขั้วคือ. ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle x\mapsto -x}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \pi ^{2}/(2\,\pi )=\pi /2}$

ถ้าเป็นกลุ่มของเส้นทางทั้งหมดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นบวกและผ่านจุดแล้วซึ่งเป็นผลมาจากการพิจารณาตัวอย่างเช่น การเลือก ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle EL(\Gamma )=\infty }$

${\displaystyle \rho (z):={\begin{cases}(-|z-z_{0}|\,\log |z-z_{0}|)^{-1}&|z-z_{0}|<1/2,\\0&|z-z_{0}|\geq 1/2,\end{cases}}}$ซึ่งตรงตามความต้องการและแก้ไขได้ทุกอย่าง${\displaystyle A(\rho )<\infty }$${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

ความยาวสุดขั้วเป็นไปตามคุณสมบัติความเป็นเอกพันธุ์อย่างง่าย ๆ สองสามประการ ประการแรก เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าแล้วยิ่งไปกว่านั้น ข้อสรุปเดียวกันนี้ยังคงใช้ได้หากทุกเส้นโค้งมีเส้นโค้งเป็นเส้นโค้งย่อย (นั่นคือเป็นการจำกัดของให้อยู่ในช่วงย่อยของโดเมน) อสมการอีกอย่างหนึ่งที่บางครั้งมีประโยชน์คือ ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset \Gamma _{2}}$${\displaystyle EL(\Gamma _{1})\geq EL(\Gamma _{2})}$${\displaystyle \gamma _{1}\in \Gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}\in \Gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$

${\displaystyle EL(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq {\bigl (}EL(\Gamma _{1})^{-1}+EL(\Gamma _{2})^{-1}{\bigr )}^{-1}.}$

สิ่งนี้ชัดเจนหากหรือหาก ซึ่งในกรณีนี้ด้านขวามือจะถูกตีความว่าเป็นดังนั้นสมมติว่าไม่ใช่เช่นนั้น และโดยไม่เสียความเป็นทั่วไป สมมติว่าเส้นโค้งทั้งหมดใน สามารถหาความยาวได้ ให้สอดคล้องกับ สำหรับกำหนดให้แล้วและซึ่งพิสูจน์อสมการ ${\displaystyle EL(\Gamma _{1})=0}$${\displaystyle EL(\Gamma _{2})=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}}$${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$${\displaystyle L_{\rho _{j}}(\Gamma _{j})\geq 1}$${\displaystyle j=1,2}$${\displaystyle \rho =\max\{\rho _{1},\rho _{2}\}}$${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq 1}$${\displaystyle A(\rho )=\int \rho ^{2}\,dx\,dy\leq \int (\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2})\,dx\,dy=A(\rho _{1})+A(\rho _{2})}$

ให้เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมแบบคอนฟอร์มอล ( แผนที่โฮโลมอร์ฟิกแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ) ระหว่างโดเมนระนาบ สมมติว่า เป็นเซตของเส้นโค้งในและให้แทนเส้นโค้งภาพภายใต้แล้วข้อความเรื่องความไม่แปรเปลี่ยนแบบคอนฟอร์มอลนี้เป็นเหตุผลหลักที่ทำให้แนวคิดเรื่องความยาวสุดขั้วมีประโยชน์ ${\displaystyle f:D\to D^{*}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Gamma ^{*}:=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma \}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})}$

ต่อไปนี้คือการพิสูจน์ความไม่แปรเปลี่ยนเชิงคอนฟอร์มัล ให้แทนเซตของเส้นโค้ง ที่สามารถหาความยาวเชิงเส้นได้ และให้ ซึ่งเป็นเซตของเส้นโค้งที่หาความยาวเชิงเส้นได้ในสมมติว่าสามารถวัดได้ด้วยบอเรล กำหนด ${\displaystyle \Gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle \Gamma _{0}^{*}=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma _{0}\}}$${\displaystyle \Gamma ^{*}}$${\displaystyle \rho ^{*}:D^{*}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \rho (z)=|f\,'(z)|\,\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}.}$

การเปลี่ยนตัวแปร ทำให้ได้ ${\displaystyle w=f(z)}$

${\displaystyle A(\rho )=\int _{D}\rho (z)^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D}\rho ^{*}(f(z))^{2}\,|f\,'(z)|^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D^{*}}\rho ^{*}(w)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}=A(\rho ^{*}).}$

สมมติว่าสามารถหาความยาวได้ และกำหนดให้. ในทางทฤษฎี เราสามารถใช้การเปลี่ยนตัวแปรอีกครั้งได้: ${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma ^{*}:=f\circ \gamma }$

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\int _{\gamma }\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}\,|f\,'(z)|\,|dz|=\int _{\gamma ^{*}}\rho (w)\,|dw|=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*}).}$

เพื่อเป็นการยืนยัน การคำนวณอย่างเป็นทางการนี้สมมติว่าถูกกำหนดไว้ในช่วงใดช่วงหนึ่งให้ แทนความยาวของการจำกัดของไปยังและให้ถูกกำหนดในทำนองเดียวกันโดยใช้ แทน จากนั้นจะเห็นได้ง่ายว่าและนี่หมายความว่าตามที่ต้องการ ความเท่าเทียมกันข้างต้นให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle I}$${\displaystyle \ell (t)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle I\cap (-\infty ,t]}$${\displaystyle \ell ^{*}(t)}$${\displaystyle \gamma ^{*}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle d\ell ^{*}(t)=|f\,'(\gamma (t))|\,d\ell (t)}$${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*})}$

${\displaystyle EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma _{0}^{*})=EL(\Gamma ^{*}).}$

ถ้าเรารู้ว่าเส้นโค้งแต่ละเส้นในและสามารถเปลี่ยนให้เป็นเส้นตรงได้ นี่จะพิสูจน์ได้ว่าเนื่องจากเราสามารถใช้หลักการข้างต้นโดยแทนที่ ด้วยส่วนกลับของมัน และสลับกับ ได้เช่นกัน เหลือเพียงการจัดการกับเส้นโค้งที่ไม่สามารถเปลี่ยนให้เป็นเส้นตรงได้ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma ^{*}}$${\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma ^{*}}$

ให้แทนเซตของเส้นโค้งที่สามารถหาความยาวได้โดยที่เป็นเส้นโค้งที่ไม่สามารถหาความยาวได้ เราอ้างว่า. จริงๆ แล้ว ให้เลือกโดยที่. จากนั้นการเปลี่ยนตัวแปรดังข้างต้นจะได้ ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle EL({\hat {\Gamma }})=\infty }$${\displaystyle \rho (z)=|f\,'(z)|\,h(|f(z)|)}$${\displaystyle h(r)={\bigl (}r\,\log(r+2){\bigr )}^{-1}}$

${\displaystyle A(\rho )=\int _{D^{*}}h(|w|)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }(r\,\log(r+2))^{-2}\,r\,dr\,d\theta <\infty .}$

สำหรับและสิ่งที่ บรรจุอยู่ในนั้นเราจึงมี ${\displaystyle \gamma \in {\hat {\Gamma }}}$${\displaystyle r\in (0,\infty )}$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle \{z:|z|<r\}}$

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )\geq \inf\{h(s):s\in [0,r]\}\,\mathrm {length} (f\circ \gamma )=\infty }$.

ในทางกลับกัน สมมติว่าเป็นเช่นนั้น โดยที่ไม่มีขอบเขต กำหนดให้แล้ว จะมีค่าอย่างน้อยเท่ากับความยาวของเส้นโค้ง (จากช่วงในไปยัง) เนื่องจากจึงสรุปได้ว่าดังนั้น. ${\displaystyle \gamma \in {\hat {\Gamma }}}$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle H(t):=\int _{0}^{t}h(s)\,ds}$${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )}$${\displaystyle t\mapsto H(|f\circ \gamma (t)|)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }H(t)=\infty }$${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$${\displaystyle EL({\hat {\Gamma }})=\infty }$

จากการใช้ผลลัพธ์ในส่วนก่อนหน้าเราจะได้ว่า

${\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma _{0}\cup {\hat {\Gamma }})\geq EL(\Gamma _{0})}$.

เราได้เห็นไปแล้วว่าดังนั้นอสมการผกผันเป็นจริงโดยสมมาตร และด้วยเหตุนี้จึงพิสูจน์ได้ว่าความไม่แปรเปลี่ยนตามคอนฟอร์มอลเกิดขึ้นจริง ${\displaystyle EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma ^{*})}$${\displaystyle EL(\Gamma )\geq EL(\Gamma ^{*})}$

จากการคำนวณ ระยะ ทาง สุดขั้วในวงแหวนและความไม่แปรเปลี่ยนเชิงคอนฟอร์มัล สรุปได้ว่าวงแหวน(โดยที่) ไม่สมมาตรเชิงคอนฟอร์มัลกับวงแหวนถ้า${\displaystyle \{z:r<|z|<R\}}$${\displaystyle 0\leq r<R\leq \infty }$${\displaystyle \{w:r^{*}<|w|<R^{*}\}}$${\displaystyle {\frac {R}{r}}\neq {\frac {R^{*}}{r^{*}}}}$

แนวคิดเรื่องความยาวสุดขั้วนั้นเหมาะสมกับการศึกษาปัญหาต่างๆ ในมิติ 3 ขึ้นไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการแมปแบบ กึ่งคอนฟอ ร์มัล

สมมติว่า เป็น กราฟบาง กราฟ และเป็นชุดของเส้นทางในมีความยาวสุดขั้วสองรูปแบบในการตั้งค่านี้ ในการกำหนดความยาวสุดขั้วของขอบซึ่งเดิมทีแนะนำโดยRJ Duffin [ ^{2 ] ให้}พิจารณาฟังก์ชันความยาว -ของเส้นทางถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของเหนือขอบทั้งหมดในเส้นทาง โดยนับรวมความซ้ำซ้อน " พื้นที่ " ถูกกำหนดเป็นความยาวสุดขั้วของจะถูกกำหนดเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ถ้าถูกตีความว่าเป็นเครือข่ายตัวต้านทานโดยที่แต่ละขอบมีความต้านทานหนึ่งหน่วยความต้านทานประสิทธิผลระหว่างสองชุดของจุดยอดก็คือความยาวสุดขั้วของขอบของชุดของเส้นทางที่มีจุดปลายหนึ่งอยู่ในชุดหนึ่งและจุดปลายอีกจุดหนึ่งอยู่ในอีกชุดหนึ่ง ดังนั้น ความยาวสุดขั้วแบบไม่ต่อเนื่องจึงมีประโยชน์สำหรับการประมาณค่าในทฤษฎีศักย์ แบบไม่ ต่อ เนื่อง${\displaystyle G=(V,E)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho :E\to [0,\infty )}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho (e)}$${\displaystyle A(\rho )}$${\displaystyle \sum _{e\in E}\rho (e)^{2}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$

แนวคิดอีกประการหนึ่งของความยาวสุดขั้วแบบไม่ต่อเนื่องที่เหมาะสมในบริบทอื่น ๆ คือความยาวสุดขั้วของจุดยอดโดยที่พื้นที่คือและความยาวของเส้นทางคือผลรวมของเหนือจุดยอดที่เส้นทางนั้นไปเยือน โดยมีจำนวนครั้งของการผ่านจุดยอดเหล่านั้น ${\displaystyle \rho :V\to [0,\infty )}$${\displaystyle A(\rho ):=\sum _{v\in V}\rho (v)^{2}}$${\displaystyle \rho (v)}$