ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อน การแม ปแบบกึ่งคอนฟอร์มอล (quasiconformal mapping) คือ โฮมีโอเมอร์ฟิซึม (ที่อนุพันธ์อย่างอ่อน) ระหว่าง โดเมน ระนาบซึ่งในอันดับแรกจะแปลงวงกลมขนาดเล็กไปเป็นวงรีขนาดเล็กที่มีความเยื้อง ศูนย์จำกัด การแมปแบบกึ่งคอนฟอร์มอลเป็นการขยายความของการแมปแบบคอนฟอร์มอลที่อนุญาตให้มีการบิดเบือนมุมในระดับท้องถิ่นอย่างจำกัด การแมปแบบกึ่งคอนฟอร์มอลได้รับการแนะนำโดยGrötzsch (1928)และตั้งชื่อโดยAhlfors (1935 )

โดยสัญชาตญาณ ให้f  : D  → D ′ เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมที่รักษาทิศทางระหว่างเซตเปิดในระนาบ ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องมันจะเป็นK-ควาซิคอนฟอร์มัล ถ้าที่ทุกจุด อนุพันธ์ของมันแปลงวงกลมเป็นวงรีที่มีอัตราส่วนของแกนยาวต่อแกนสั้นอยู่ภายในขอบเขตK 

สมมติให้f  : D  → D ′ โดยที่DและD ′ เป็นสองโดเมนในCมีนิยามที่เทียบเท่ากันหลายแบบ ขึ้นอยู่กับความเรียบของf ที่ต้องการ ถ้า ถือว่า fมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องf จะเป็นควาซิคอนฟอร์มัลก็ ต่อเมื่อมันสอดคล้องกับสมการเบลตรามิ 

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\mu (z){\frac {\partial f}{\partial z}},}$

1

สำหรับค่าเชิงซ้อนบางค่าของμ ที่วัดได้ตามมาตรฐาน Lebesgue ซึ่ง สอดคล้อง กับเงื่อนไขดังกล่าว${\displaystyle \sup |\mu |<1}$( เบอร์ส 1977 )สมการนี้ยอมรับการตีความทางเรขาคณิต กำหนดค่าDด้วยเทนเซอร์เมตริก

${\displaystyle ds^{2}=\โอเมก้า (z)^{2}\left|dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2},}$

โดยที่ Ω( z )  >  0 จากนั้นfจะสอดคล้องกับ ( 1 ) ก็ต่อเมื่อเป็นการแปลงคอนฟอร์มอลจากDที่มีเมตริกนี้ไปยังโดเมนD ′ ที่มีเมตริกยุคลิดมาตรฐาน ฟังก์ชันfจึงเรียกว่าμ-คอน ฟอร์มอ ล โดยทั่วไปแล้ว ความสามารถในการหาอนุพันธ์ต่อเนื่องของfสามารถแทนที่ด้วยเงื่อนไขที่อ่อนกว่าที่ว่าfอยู่ในปริภูมิโซโบเลฟW ^1,2 ( D ) ของฟังก์ชันที่ มีอนุพันธ์กระจายอันดับแรกอยู่ในL ² ( D )ในกรณีนี้fจำเป็นต้องเป็นคำตอบแบบอ่อนของ ( 1 ) เมื่อμเป็นศูนย์เกือบทุกที่ โฮมีโอเมอร์ฟิซึมใดๆ ในW ^1,2 ( D ) ที่เป็นคำตอบแบบอ่อนของ ( 1 ) จะเป็นคอนฟอร์มอล

โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงเมตริกเสริม ให้พิจารณาผลของการดึงกลับภายใต้fของเมตริกยุคลิดปกติ เมตริกที่ได้จะกำหนดโดย

${\displaystyle \left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}\left|dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2}}$

ซึ่งเมื่อเทียบกับเมตริกยุคลิดพื้นหลังแล้ว${\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}$มีค่าไอเกน

${\displaystyle (1+|\mu |)^{2}\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2},\qquad (1-|\mu |)^{2}\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}.}$

ค่าไอเกนแสดงถึงความยาวกำลังสองของแกนเอกและแกนรองของวงรีที่ได้จากการลากกลับตามวงกลมหน่วยในระนาบสัมผัส ตามลำดับ

ดังนั้นการขยายตัวของfที่จุดzจึงถูกกำหนดโดย

${\displaystyle K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}.}$

ค่าสูงสุด (ที่จำเป็น) ของK ( z ) กำหนดโดย

${\displaystyle K=\sup _{z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{\infty }}}}$

และเรียกว่าการขยายของfถ้าfเป็นK -quasiconformal สำหรับK ที่มีค่าจำกัดบางค่า แล้วfก็เป็น quasiconformal ด้วย 

นิยามที่อิงตามแนวคิดของความยาวสุดขั้วมีดังนี้ ถ้ามีK จำนวนจำกัด ซึ่งสำหรับทุกชุดเส้นโค้งΓ ใน Dความยาวสุดขั้วของΓมีค่าไม่เกินKเท่าของความยาวสุดขั้วของ { f  o  γ  :  γ  ∈ Γ } แล้วfจะเป็นK -quasiconformal 

ถ้าK > 1 แล้ว แผนที่x + iy ↦ Kx + iyและx + iy ↦ x + iKyต่างก็เป็นแผนที่กึ่งคอนฟอร์มอลและมีการขยายตัวคงที่K

ถ้าs > −1 แล้วแผนที่${\displaystyle z\mapsto z\,|z|^{s}}$เป็นแบบกึ่งคอนฟอร์มอล (โดยที่zเป็นจำนวนเชิงซ้อน ) และมีการขยายตัวคงที่${\displaystyle \max(1+s,{\frac {1}{1+s}})}$เมื่อs ≠ 0 นี่คือตัวอย่างของโฮมีโอเมอร์ฟิซึมแบบกึ่งคอนฟอร์มัลที่ไม่เรียบ ถ้าs = 0 นี่คือแผนที่เอกลักษณ์ธรรมดา

โฮมีโอเมอร์ฟิซึมจะเป็น 1-ควาซิคอนฟอร์มัลก็ต่อเมื่อมันเป็นคอนฟอร์มัล ถ้าf  : D → D ′ เป็นK- ค วาซิคอนฟอร์มัล และg  : D ′ → D ′′ เป็นK ′ -ควาซิคอนฟอร์มัล แล้วg ของf จะเป็น KK ′-ค วาซิคอนฟอร์มัล อินเวอร์สของโฮมีโอเมอร์ฟิซึม K- ควาซิคอนฟอร์มัล ก็คือK- ควาซิคอนฟอร์มั ล เนื่องจาก แผนที่ K-ควาซิคอนฟอร์มัลยังคงอยู่ภายใต้การประกอบกับแผนที่คอนฟอร์มัล เราจึงสามารถขยายแนวคิดของแผนที่K- ควาซิคอนฟอร์มัลไปยัง พื้นผิวรีมันน์ ทั่วไป ได้ 

ปริภูมิของการแมปแบบ K-quasiconformal จากระนาบเชิงซ้อนไปยังตัวมันเอง ซึ่งแมปจุดที่แตกต่างกันสามจุดไปยังจุดที่กำหนดสามจุดนั้น เป็นปริภูมิกระชับ (compact space)

ทฤษฎีบทการแมปแบบรีมันน์ที่วัดได้ในสองมิติมีความสำคัญอย่างยิ่ง โดย ได้รับการพิสูจน์โดยลาร์ส อาลฟอร์สและลิปแมน เบอร์ส ทฤษฎีบทนี้เป็นการขยาย ทฤษฎีบทการแมป แบบรีมันน์ จากโฮมี โอเมอร์ฟิซึมแบบคอนฟอร์มอลไปสู่โฮมีโอเมอร์ฟิซึมแบบควาซิคอนฟอร์มอล และมีใจความดังนี้ สมมติว่าDเป็นโดเมนที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายในCซึ่งไม่เท่ากับCและสมมติว่าμ  : D → C สามารถวัดได้แบบเลเบสและสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไป นี้${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<1}$จากนั้นจะมีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมแบบกึ่งคอนฟอร์มัลfจากDไปยังดิสก์หน่วยซึ่งอยู่ในปริภูมิโซโบเลฟW ^1,2 ( D ) และสอดคล้องกับสมการเบลตรามีที่สอดคล้องกัน ( 1 ) ในความหมายเชิงการกระจายเช่นเดียวกับทฤษฎีบทการแมปของรีมันน์f นี้ มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงพารามิเตอร์จริง 3 ตัว

เมื่อเร็วๆ นี้ เรขาคณิตกึ่งคอนฟอร์มอลได้รับความสนใจจากสาขาต่างๆ เช่น คณิตศาสตร์ประยุกต์ วิชั่นคอมพิวเตอร์ และภาพทางการแพทย์ เรขาคณิตกึ่งคอนฟอร์มอลเชิงคำนวณได้รับการพัฒนาขึ้น ซึ่งขยายทฤษฎีกึ่งคอนฟอร์มอลไปสู่การตั้งค่าแบบไม่ต่อเนื่อง และพบการประยุกต์ใช้งานที่สำคัญต่างๆ ในการวิเคราะห์ภาพทางการแพทย์ วิชั่นคอมพิวเตอร์ และกราฟิก^{[ 1 ]}

• พิกัดไอโซเทอร์มอล
• แผนที่กึ่งปกติ
• ฟังก์ชันวิเคราะห์เทียม
• พื้นที่ของ Teichmüller
• ตัวบ่งชี้ของ Tissot