ในสาขาคณิตศาสตร์วิเคราะห์แผนที่กึ่งปกติ (quasiregular maps)คือกลุ่มของแผนที่ต่อเนื่องระหว่างปริภูมิยุคลิดR ⁿที่มีมิติเดียวกัน หรือโดยทั่วไปแล้วระหว่างแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ (Riemannian manifolds)ที่มีมิติเดียวกัน ซึ่งมีคุณสมบัติพื้นฐานบางอย่างร่วมกับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกของตัวแปรเชิงซ้อนหนึ่งตัว

ทฤษฎีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก (= ฟังก์ชันวิเคราะห์ ) ของตัวแปรเชิงซ้อนตัวเดียว เป็นหนึ่งในส่วนที่สวยงามและมีประโยชน์ที่สุดของคณิตศาสตร์ทั้งหมด

ข้อเสียประการหนึ่งของทฤษฎีนี้คือมันจัดการเฉพาะแผนที่ระหว่างปริภูมิสองมิติ ( พื้นผิวรีมันน์ ) เท่านั้น ทฤษฎีของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวมีลักษณะที่แตกต่างออกไป ส่วนใหญ่เป็นเพราะฟังก์ชันวิเคราะห์ของตัวแปรหลายตัวไม่ใช่แบบคอนฟอร์มอล แผนที่คอนฟอร์มอลสามารถกำหนดได้ระหว่างปริภูมิยุคลิดที่มีมิติใดๆ แต่เมื่อมิติมากกว่า 2 กลุ่มของแผนที่นี้จะมีขนาดเล็กมาก: ประกอบด้วยการแปลงโม เบียส เท่านั้น นี่เป็นทฤษฎีบทของโจเซฟ ลิอูวิลล์การผ่อนคลายข้อสมมติเรื่องความเรียบไม่ได้ช่วยอะไร ดังที่ยูริ เรเชตนยัคพิสูจน์ ไว้ ^{[ 1 ]}

สิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงความจำเป็นในการค้นหาการขยายความของคุณสมบัติความสอดคล้อง ซึ่งจะทำให้ได้แผนที่ประเภทต่างๆ ที่หลากหลายและน่าสนใจในมิติที่สูงขึ้น

แผนที่อนุพันธ์fจากบริเวณDในR ⁿไปยังR ⁿเรียกว่าK-กึ่งปกติ ถ้าความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริงที่ทุกจุดในD :

${\displaystyle \|Df(x)\|^{n}\leq K|J_{f}(x)|}$.

ในที่นี้K  ≥  1 เป็นค่าคงที่, J คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียน , Dfคืออนุพันธ์ ซึ่งก็คือแผนที่เชิงเส้นที่กำหนดโดยเมทริกซ์จาโคเบียนและ ||·|| คือนอร์ม ปกติ (แบบยุคลิด) ของเมทริกซ์

การพัฒนาทฤษฎีของแผนที่ดังกล่าวแสดงให้เห็นว่า การจำกัดตัวเองอยู่เฉพาะแผนที่ที่หาอนุพันธ์ได้ในความหมายแบบคลาสสิกนั้นไม่สมเหตุสมผล และว่ากลุ่มแผนที่ที่ "ถูกต้อง" ประกอบด้วยแผนที่ต่อเนื่องในปริภูมิโซโบเลฟW ^{1, n}ซึ่งอนุพันธ์ย่อยในความหมายของการกระจายมี กำลัง n ที่สามารถหาผลรวมได้ในระดับท้องถิ่น และเป็นไปตามอสมการข้างต้นเกือบทุกที่นี่คือคำจำกัดความอย่างเป็นทางการของ แผนที่ K-กึ่งปกติ แผนที่เรียกว่ากึ่งปกติถ้าเป็นK- กึ่งปกติที่มีค่า Kบางค่า แผนที่คงที่ถูกยกเว้นจากกลุ่มแผนที่กึ่งปกติ

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับแผนที่กึ่งปกติได้รับการพิสูจน์โดย Reshetnyak: ^{[ 2 ]}

แผนที่กึ่งปกติเป็นแบบเปิดและไม่ต่อเนื่อง

นี่หมายความว่าภาพของเซตเปิดเป็นเซตเปิด และภาพผกผันของจุดประกอบด้วยจุดโดดเดี่ยว ในมิติ 2 คุณสมบัติทั้งสองนี้ให้ลักษณะเฉพาะทางโทโพโลยีของกลุ่มฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ไม่คงที่: แผนที่แบบเปิดและแบบไม่ต่อเนื่องต่อเนื่องทุกแผนที่จากโดเมนระนาบไปยังระนาบสามารถประกอบล่วงหน้าด้วยโฮมีโอเมอร์ฟิซึมได้ โดยที่ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ นี่คือทฤษฎีบทของSimion Stoilov

ทฤษฎีบทของ Reshetnyak บ่งชี้ว่าผลลัพธ์ทางทอพอโลยีบริสุทธิ์ทั้งหมดเกี่ยวกับฟังก์ชันวิเคราะห์ (เช่นหลักการค่าสัมบูรณ์สูงสุดทฤษฎีบทของ Rouchéเป็นต้น) สามารถขยายไปสู่แผนที่กึ่งปกติได้

แผนที่กึ่งปกติแบบฉีด (Injective quasiregular maps) เรียกว่า แผนที่กึ่งคอนฟอร์มอล (quasiconformal map) ตัวอย่างง่ายๆ ของแผนที่กึ่งปกติแบบไม่ฉีด (Non-injective quasiregular map) แสดงอยู่ในพิกัดทรงกระบอกในปริภูมิ 3 มิติ โดยใช้สูตร

${\displaystyle (r,\theta ,z)\mapsto (r,2\theta ,z)}$

แผนที่นี้เป็นแบบ 2-กึ่งปกติ มันเรียบทุกที่ยกเว้น แกน zข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งคือแผนที่กึ่งปกติเรียบทั้งหมดเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่ ที่น่าทึ่งยิ่งกว่านั้นคือโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่กึ่งปกติทุกตัวR ⁿ  → R ⁿโดยที่n ≥ 3 เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม (นี่คือทฤษฎีบทของ Vladimir Zorich ^{[ 2 ]} )   

นี่คือเหตุผลว่าทำไมในนิยามของแผนที่กึ่งปกติ จึงไม่สมเหตุสมผลที่จะจำกัดตัวเองอยู่เฉพาะแผนที่เรียบ: แผนที่กึ่งปกติเรียบทั้งหมดจากR ⁿไปยังตัวมันเองล้วนเป็นแผนที่กึ่งคอนฟอร์มัล

ทฤษฎีบทจำนวนมากเกี่ยวกับคุณสมบัติทางเรขาคณิตของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกของตัวแปรเชิงซ้อนหนึ่งตัวได้รับการขยายไปสู่แผนที่กึ่งปกติ การขยายเหล่านี้มักไม่ใช่เรื่องง่ายเลย

บางทีผลลัพธ์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในลักษณะนี้คือการขยายทฤษฎีบทของ Picardซึ่งเป็นผลมาจาก Seppo Rickman: ^{[ 3 ]}

แผนที่ K-quasiregular R ⁿ → R ⁿสามารถละเว้นเซตจำกัดได้มากที่สุดเพียงเซตเดียว  

เมื่อn  =  2 เซตที่ถูกละเว้นนี้สามารถมีจุดได้มากที่สุดหนึ่งจุด (นี่เป็นการขยายทฤษฎีบทของ Picard อย่างง่าย) แต่เมื่อn  >  2 เซตที่ถูกละเว้นสามารถมีจุดได้มากกว่าหนึ่งจุด และสามารถประมาณจำนวนสมาชิกของเซตได้จากข้างต้นโดยพิจารณาจากnและK ในความเป็นจริง เซตจำกัดใดๆ ก็สามารถถูกละเว้นได้ ดังที่ David Drasinและ Pekka Pankka ได้แสดงไว้^{[ 4 ]} 

ถ้าfเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์แล้ว log | f |จะเป็นฟังก์ชันย่อยฮาร์มอนิกและเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกเมื่ออยู่ห่างจากจุดศูนย์ของfข้อเท็จจริงที่สอดคล้องกันสำหรับแผนที่กึ่งปกติคือ log | f | สอดคล้องกับ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยไม่เชิงเส้นแบบวงรีบางสมการการค้นพบของ Reshetnyak นี้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาทฤษฎีศักย์ไม่เชิงเส้นซึ่งพิจารณาสมการประเภทนี้เช่นเดียวกับที่ทฤษฎีศักย์ ทั่วไป พิจารณาฟังก์ชันฮาร์มอนิกและฟังก์ชันย่อยฮาร์มอนิก  

• ยูริ เรเชตเนียก
• วลาดิมีร์ โซริช