ในพลศาสตร์ของไหลการไหลแบบ Fanno (ตั้งชื่อตามวิศวกรชาวอิตาลีGino Girolamo Fanno ) คือ การไหลแบบ อะเดียแบติก ผ่านท่อที่มีพื้นที่คงที่ โดย คำนึงถึงผลของแรงเสียดทาน^{[ 1 ]} ผลกระทบของ การอัดตัวมักถูกนำมาพิจารณา แม้ว่าแบบจำลองการไหลแบบ Fanno จะใช้ได้กับการไหลที่ไม่สามารถอัดตัว ได้เช่นกัน สำหรับแบบจำลองนี้ พื้นที่ของท่อยังคงที่ การไหลถือว่าคงที่และเป็นมิติเดียว และไม่มีมวลเพิ่มเข้าไปในท่อ แบบจำลองการไหลแบบ Fanno ถือเป็นกระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้เนื่องจาก ผลของความหนืด แรงเสียด ทานหนืดทำให้คุณสมบัติของการไหลเปลี่ยนแปลงไปตามท่อ ผลของแรงเสียดทานถูกจำลองเป็นแรงเฉือนที่ผนังซึ่งกระทำต่อของเหลวที่มีคุณสมบัติสม่ำเสมอในทุกหน้าตัดของท่อ

สำหรับกระแสลมที่มีเลขมัค ต้นทาง มากกว่า 1.0 ในท่อที่ยาวเพียงพอ จะเกิดการลดความเร็วและอาจเกิดการอุดตันได้ ในทางกลับกัน สำหรับกระแสลมที่มีเลขมัคต้นทางน้อยกว่า 1.0 จะเกิดการเร่งความเร็วและอาจเกิดการอุดตันในท่อที่ยาวเพียงพอได้ สามารถแสดงได้ว่าสำหรับกระแสลมของก๊าซที่สมบูรณ์แบบ ทางความร้อน เอนโทรปีสูงสุดจะเกิดขึ้นที่M  = 1.0

แบบจำลองการไหลแบบฟานโนเริ่มต้นด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ที่เชื่อมโยงการเปลี่ยนแปลงของเลขมัคกับความยาวของท่อdM/dxส่วนประกอบอื่นๆ ในสมการเชิงอนุพันธ์ ได้แก่อัตราส่วนความจุความร้อน γ ค่า สัมประสิทธิ์ แรง เสียดทาน ของฟานโนfและเส้นผ่านศูนย์กลางไฮดรอลิกD _h :

${\displaystyle \ {\frac {dM^{2}}{M^{2}}}={\frac {\gamma M^{2}}{1-M^{2}}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right){\frac {4f}{D_{h}}}dx}$

หากสมมติว่าค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของ Fanning มีค่าคงที่ตลอดผนังท่อ สมการเชิงอนุพันธ์จะสามารถแก้ไขได้ง่าย^{[ 2 ] [ 3 ]} อย่างไรก็ตาม ต้องจำไว้ว่าค่าของสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของ Fanning อาจหาได้ยากสำหรับ ความเร็วการไหล เหนือเสียงและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความเร็ว สูงมากความสัมพันธ์ที่ได้แสดงไว้ด้านล่าง โดยที่L*คือความยาวท่อที่ต้องการเพื่อปิดกั้นการไหลโดยสมมติว่าเลข Mach ต้นน้ำเป็นความเร็วเหนือเสียง ด้านซ้ายมือมักเรียกว่าพารามิเตอร์ Fanno

${\displaystyle \ {\frac {4fL^{*}}{D_{h}}}=\left({\frac {1-M^{2}}{\gamma M^{2}}}\right)+\left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)\ln \left[{\frac {M^{2}}{\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\right]}$

สิ่งที่สำคัญไม่แพ้กันสำหรับแบบจำลองการไหลของฟานโนคือ อัตราส่วนไร้มิติของการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีต่อความจุความร้อนที่ความดันคงที่ c _p

${\displaystyle \ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[M^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left(\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\right]\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]\right)^{\frac {-(\gamma +1)}{2\gamma }}\right]}$

สมการข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปของอัตราส่วนอุณหภูมิสถิตต่ออุณหภูมิหยุดนิ่ง ซึ่งสำหรับก๊าซที่สมบูรณ์แบบทางความร้อน จะเท่ากับอัตราส่วนเอนทาลปีไร้มิติH :

${\displaystyle \ H={\frac {h}{h_{0}}}={\frac {c_{p}T}{c_{p}T_{0}}}={\frac {T}{T_{0}}}}$

${\displaystyle \ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {1}{H}}-1\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {2}{\gamma -1}}\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {\gamma +1}{2}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left(H\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]}$

สมการข้างต้นสามารถใช้ในการพล็อตเส้นฟานโน (Fanno line) ซึ่งแสดงถึงตำแหน่งของสถานะต่างๆ สำหรับเงื่อนไขการไหลแบบฟานโนที่กำหนดบน แผนภาพ H - ΔSในแผนภาพ เส้นฟานโนจะมีค่าเอนโทรปีสูงสุดที่H  = 0.833 และการไหลจะอุดตัน ตามกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์เอนโทรปีจะต้องเพิ่มขึ้นเสมอสำหรับการไหลแบบฟานโน ซึ่งหมายความว่าการไหลแบบซับโซนิกที่เข้าสู่ท่อที่มีแรงเสียดทานจะมีค่าเลขมัค (Mach number) เพิ่มขึ้นจนกระทั่งการไหลอุดตัน ในทางกลับกัน ค่าเลขมัคของการไหลแบบซูเปอร์โซนิกจะลดลงจนกระทั่งการไหลอุดตัน แต่ละจุดบนเส้นฟานโนจะสอดคล้องกับค่าเลขมัคที่แตกต่างกัน และการเคลื่อนที่ไปสู่การไหลที่อุดตันจะแสดงอยู่ในแผนภาพ

เส้นฟานโนกำหนดสถานะที่เป็นไปได้ของก๊าซเมื่ออัตราการไหลของมวลและเอนทาลปีรวมคงที่ แต่โมเมนตัมเปลี่ยนแปลง จุดแต่ละจุดบนเส้นฟานโนจะมีค่าโมเมนตัมที่แตกต่างกัน และการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเกิดจากผลของแรงเสียดทาน^{[ 4 ]}

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ พื้นที่และอัตราการไหลของมวลในท่อจะคงที่สำหรับการไหลแบบแฟนโน นอกจากนี้อุณหภูมิสภาวะหยุดนิ่งก็คงที่เช่นกัน ความสัมพันธ์เหล่านี้แสดงไว้ด้านล่าง โดยสัญลักษณ์ * แทนตำแหน่งคอคอดที่อาจเกิดการอุดตันได้ คุณสมบัติสภาวะหยุดนิ่งจะมีเลข 0 กำกับอยู่

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=A^{*}={\mbox{ค่าคงที่}}\\T_{0}&=T_{0}^{*}={\mbox{ค่าคงที่}}\\{\dot {m}}&={\dot {m}}^{*}={\mbox{ค่าคงที่}}\end{aligned}}}$

นอกจากนี้ ยังสามารถพัฒนาและแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่ออธิบายอัตราส่วนของคุณสมบัติการไหลแบบฟานโนเทียบกับค่า ณ ตำแหน่งที่เกิดการอุดตันได้ อัตราส่วนของความดัน ความหนาแน่น อุณหภูมิ ความเร็ว และความดันสภาวะหยุดนิ่งแสดงไว้ด้านล่างตามลำดับ โดยแสดงในรูปแบบกราฟพร้อมกับพารามิเตอร์ฟานโน

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{p^{*}}}&={\frac {1}{M}}{\frac {1}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}}\\{\frac {\rho }{\rho ^{*}}}&={\frac {1}{M}}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&={\frac {1}{\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\\{\frac {V}{V^{*}}}&=M{\frac {1}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}}\\{\frac {p_{0}}{p_{0}^{*}}}&={\frac {1}{M}}\left[\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma +1}{2\left(\gamma -1\right)}}\end{aligned}}}$

แบบจำลองการไหลแบบ Fanno มักใช้ในการออกแบบและการวิเคราะห์หัวฉีด ในหัวฉีด บริเวณที่แคบลงหรือกว้างออกจะจำลองด้วยการไหลแบบไอเซนโทรปิก ในขณะที่ส่วนพื้นที่คงที่หลังจากนั้นจะจำลองด้วยการไหลแบบ Fanno สำหรับเงื่อนไขต้นน้ำที่กำหนด ณ จุดที่ 1 ดังแสดงในรูปที่ 3 และ 4 สามารถคำนวณเพื่อหาเลขมัคที่ทางออกของหัวฉีดและตำแหน่งของคลื่นกระแทกปกติในท่อพื้นที่คงที่ได้ จุดที่ 2 คือคอของหัวฉีด โดยที่M  = 1 ถ้าการไหลถูกอุดตัน จุดที่ 3 คือปลายของหัวฉีดซึ่งการไหลเปลี่ยนจากไอเซนโทรปิกเป็น Fanno ด้วยความดันเริ่มต้นที่สูงพอ การไหลเหนือเสียงสามารถคงอยู่ได้ตลอดท่อพื้นที่คงที่ คล้ายกับประสิทธิภาพที่ต้องการของอุโมงค์ลมเหนือ เสียงแบบเป่าลม อย่างไรก็ตาม รูปเหล่านี้แสดงคลื่นกระแทกก่อนที่มันจะเคลื่อนที่ผ่านท่อทั้งหมด หากมีคลื่นกระแทกอยู่ การไหลจะเปลี่ยนจากส่วนความเร็วเหนือเสียงของเส้นฟานโนไปสู่ส่วนความเร็วต่ำกว่าเสียงก่อนที่จะเคลื่อนที่ต่อไปยังM  = 1 การเคลื่อนที่ในรูปที่ 4 จะเป็นการเคลื่อนที่จากซ้ายไปขวาเสมอ เพื่อให้เป็นไปตามกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์

แบบจำลองการไหลแบบ Fanno ยังถูกนำมาใช้ร่วมกับ แบบจำลอง การไหลแบบ Rayleigh อย่างกว้างขวาง แบบจำลองทั้งสองนี้ตัดกันที่จุดต่างๆ บนแผนภาพเอนทาลปี-เอนโทรปี และแผนภาพเลขมัค-เอนโทรปี ซึ่งมีความหมายสำหรับการใช้งานหลายอย่าง อย่างไรก็ตาม ค่าเอนโทรปีสำหรับแต่ละแบบจำลองจะไม่เท่ากันที่สถานะความเร็วเสียง การเปลี่ยนแปลงของเอนโทรปีเป็น 0 ที่M  = 1 สำหรับแต่ละแบบจำลอง แต่ข้อความก่อนหน้านี้หมายความว่าการเปลี่ยนแปลงของเอนโทรปีจากจุดใดๆ จุดเดียวกันไปยังจุดความเร็วเสียงนั้นแตกต่างกันสำหรับแบบจำลองการไหลแบบ Fanno และ Rayleigh หากกำหนดค่าเริ่มต้นของs _iและM _iแล้ว จะสามารถกำหนดสมการใหม่สำหรับเอนโทรปีไร้มิติเทียบกับเลขมัคสำหรับแต่ละแบบจำลองได้ สมการเหล่านี้แสดงไว้ด้านล่างสำหรับการไหลแบบ Fanno และ Rayleigh ตามลำดับ

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta S_{F}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]\\\Delta S_{R}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{2}\left({\frac {1+\gamma M_{i}^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]\end{aligned}}}$

รูปที่ 5 แสดงเส้น Fanno และ Rayleigh ที่ตัดกันสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นs _i  = 0 และM _i  = 3 จุดตัดคำนวณได้จากการเทียบสมการเอนโทรปีไร้มิติใหม่เข้าด้วยกัน ส่งผลให้ได้ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้

${\displaystyle \ \left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}\right)\left[{\frac {M_{i}^{2}}{\left(1+\gamma M_{i}^{2}\right)^{2}}}\right]=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\left[{\frac {M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\right]}$

จุดตัดเกิดขึ้นที่เลขมัคเริ่มต้นที่กำหนดและ ค่าหลัง คลื่นกระแทกปกติสำหรับรูปที่ 5 ค่าเหล่านี้คือM  = 3 และ 0.4752 ซึ่งสามารถหาได้จากตารางคลื่นกระแทกปกติที่ระบุไว้ในตำราการไหลแบบอัดได้ส่วนใหญ่ การไหลที่กำหนดโดยมีพื้นที่หน้าตัดท่อคงที่สามารถสลับระหว่างแบบจำลอง Fanno และ Rayleigh ได้ที่จุดเหล่านี้

• การไหลของเรย์ลี
• อัตราการฉีดมวล
• กระบวนการไอเซนโทรปิก
• การไหลแบบไอโซเทอร์มอล
• พลศาสตร์ของก๊าซ
• การไหลแบบอัดได้
• การไหลที่ถูกปิดกั้น
• เอนทาลปี
• เอนโทรปี
• การไหลของหัวฉีดไอเซนโทรปิก

• เครื่องคำนวณการไหลแบบ Fanno ของอะเดียแบติกและไอโซเทอร์มอลของมหาวิทยาลัย Purdue
• เครื่องคำนวณการไหลของแฟนโน (Fanno flow) ของมหาวิทยาลัยเคนตักกี้
• มอริซ ดับเบิลยู. ดาวนีย์, จีโน ฟานโน