สมมติว่า${\displaystyle X_{t}}$อธิบายตำแหน่ง ณ เวลา${\displaystyle t}$ของอนุภาคที่เปลี่ยนแปลงไปตามกระบวนการแพร่กระจาย $${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}.}$$ให้อนุภาคมี "ต้นทุน" ในอัตราที่กำหนด${\displaystyle f(X_{s},s)}$ณ สถานที่${\displaystyle X_{s}}$ในเวลานั้น${\displaystyle s}$ปล่อยให้เกิดค่าใช้จ่ายสุดท้าย ณ เวลาดังกล่าว${\displaystyle T}$ของ${\displaystyle \psi (X_{T})}$.

นอกจากนี้ ให้ปล่อยให้อนุภาคสลายตัวไป หากอนุภาคอยู่ที่ตำแหน่งนั้น${\displaystyle X_{s}}$ในเวลานั้น${\displaystyle s}$จากนั้นมันจะสลายตัวไปตามอัตรา${\displaystyle V(X_{s},s)}$หลังจากอนุภาคสลายตัวไปแล้ว ค่าใช้จ่ายในอนาคตทั้งหมดจะเป็นศูนย์

แล้ว${\displaystyle u(x,t)}$คือต้นทุนที่คาดว่าจะเกิดขึ้น หากอนุภาคเริ่มต้นที่${\displaystyle (t,X_{t}=x).}$

สมมติว่า${\displaystyle u(x,t)}$สอดคล้องกับสมการอนุพันธ์ย่อย:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-Vu+f=0}$

ด้วยอาการขั้นสุดท้าย$${\displaystyle u(x,T)=\psi (x).}$$นอกจากนี้ อนุญาตให้${\displaystyle X_{t}}$เป็นกระบวนการสุ่มตามที่กำหนดไว้ข้างต้น

อนุญาต${\displaystyle g(t,s)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{r},r)dr}}$อนุพันธ์ของมันเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

${\displaystyle dg(t,s)=-V(X_{s},s)g(t,s)\,ds.}$

จงนิยามกระบวนการสุ่ม:

${\displaystyle Y_{s}=g(t,s)u(X_{s},s)+\int _{t}^{s}g(t,\tau )f(X_{\tau },\tau )\,d\tau }$

สำหรับ${\displaystyle s\in [t,T]}$ในช่วงเวลาสำคัญ:

${\displaystyle Y_{t}=u(X_{t},t),\quad Y_{T}=g(t,T)\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}g(t,\tau )f(X_{\tau },\tau )\,d\tau .}$

ถ้า${\displaystyle Y_{s}}$ถ้าเป็นมาร์ติงเกลเราก็จะมี

${\displaystyle u(x,t)=\mathbb {E} [Y_{T}\mid Y_{t}=u(x,t)]=\mathbb {E} [Y_{T}\mid X_{t}=x]}$

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการแสดงให้เห็น ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องพิสูจน์${\displaystyle Y_{s}}$เป็นมาร์ติงเกล

เราสันนิษฐานว่า${\displaystyle X_{s}}$ตาม SDE

${\displaystyle dX_{s}=\mu (X_{s},s)\,ds+\sigma (X_{s},s)\,dW_{s}.}$

ตามทฤษฎีบทของอิโตะ :

${\displaystyle du(X_{s},s)=\left({\frac {\partial u}{\partial s}}+\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)ds+\sigma {\frac {\partial u}{\partial x}}dW_{s}.}$

แยกแยะ${\displaystyle Y_{s}}$:

${\displaystyle dY_{s}=d\left[g(t,s)u(X_{s},s)\right]+g(t,s)f(X_{s},s)\,ds.}$

ขยาย${\displaystyle d[gu]}$:

${\displaystyle d[gu]=g\,du+u\,dg+\underbrace {d[g,u]} _{=0}.}$

ทดแทน${\displaystyle dg=-Vg\,ds}$และ${\displaystyle du}$:

${\displaystyle d[gu]=g\left({\frac {\partial u}{\partial s}}+\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)ds}$

${\displaystyle \qquad \quad +\;g\sigma {\frac {\partial u}{\partial x}}\,dW_{s}\;-\;Vgu\,ds.}$

เพิ่มพจน์อินทิกรัล:

${\displaystyle dY_{s}=\left[g\left({\frac {\partial u}{\partial s}}+\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)-Vgu+gf\right]ds+g\sigma {\frac {\partial u}{\partial x}}dW_{s}.}$

สำหรับ${\displaystyle Y_{s}}$เพื่อให้เป็นมาร์ติงเกล เทอมการเคลื่อนตัวต้องหายไป:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}+\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-Vu+f=0.}$

• หลักฐานข้างต้นที่แสดงว่าวิธีแก้ปัญหาต้องมีรูปแบบที่กำหนดนั้นโดยพื้นฐานแล้วคือหลักฐานของ^{[ 3 ]}โดยมีการปรับเปลี่ยนเพื่ออธิบาย${\displaystyle f(x,t)}$.
• สูตรค่าคาดหวังข้างต้นยังใช้ได้กับ การแพร่กระจายแบบ Itô ในมิติ Nด้วย สมการอนุพันธ์ย่อยที่สอดคล้องกันสำหรับ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{N}\times [0,T]\to \mathbb {R} }$กลายเป็น: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-r(x,t)\,u=f(x,t),}$$ที่ไหน,$${\displaystyle \gamma _{ij}(x,t)=\sum _{k=1}^{N}\sigma _{ik}(x,t)\sigma _{jk}(x,t),}$$เช่น${\displaystyle \gamma =\sigma \sigma ^{\mathrm {T} }}$, ที่ไหน${\displaystyle \sigma ^{\mathrm {T} }}$หมายถึงการสลับตำแหน่งของ${\displaystyle \sigma }$.
• กล่าวโดยสรุปคือ การปล่อยให้${\displaystyle A}$เป็นตัวสร้างขนาดเล็กมากของกระบวนการแพร่กระจาย$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+Au-r(x,t)\,u=f(x,t).}$$
• จากนั้นจึงสามารถประมาณค่าที่คาดหวังได้โดยใช้ วิธี มอนเตคาร์โลหรือวิธีควาซีมอนเตคาร์โล

ในด้านการเงินเชิงปริมาณสูตร Feynman–Kac ใช้ในการคำนวณคำตอบของสมการ Black–Scholes อย่างมีประสิทธิภาพ เพื่อ กำหนด ราคาออปชั่นในหุ้น^{[ 6 ]}และ ราคา พันธบัตรแบบไม่มีคูปองในแบบจำลองโครงสร้างระยะเวลาแบบเชิงเส้น

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาราคาหุ้น${\displaystyle S_{t}}$กำลังเกิดการเคลื่อนที่แบบบราวน์ทางเรขาคณิต $${\displaystyle dS_{t}=\left(r_{t}dt+\sigma _{t}dW_{t}\right)S_{t}}$$ ที่ไหน${\displaystyle r_{t}}$คืออัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง และ${\displaystyle \sigma _{t}}$คือความผันผวน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ตามทฤษฎีบทของอิโตะ $${\displaystyle d\ln S_{t}=\left(r_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}\right)dt+\sigma _{t}\,dW_{t}.}$$ ทีนี้ลองพิจารณาออปชั่นซื้อแบบยุโรปบน${\displaystyle S_{t}}$หมดอายุ ณ เวลา${\displaystyle T}$ด้วยการประท้วง${\displaystyle K}$เมื่อหมดอายุแล้วจะมีมูลค่า${\displaystyle (X_{T}-K)^{+}.}$จากนั้น ราคาออปชั่นแบบไร้ความเสี่ยง ณ เวลาดังกล่าว${\displaystyle t}$และราคาหุ้น${\displaystyle x}$, เป็น $${\displaystyle u(x,t)=\operatorname {E} \left[e^{-\int _{t}^{T}r_{s}ds}(S_{T}-K)^{+}|\ln S_{t}=\ln x\right].}$$ เมื่อแทนค่าลงในสูตรของ Feynman–Kac เราจะได้สมการ Black–Scholes: $${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u+Au-r_{t}u=0\\u(x,T)=(x-K)^{+}\end{cases}}}$$ ที่ไหน ${\textstyle A=(r_{t}-\sigma _{t}^{2}/2)\partial _{\ln x}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}\partial _{\ln x}^{2}=r_{t}x\partial _{x}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}x^{2}\partial _{x}^{2}.}$ โดยทั่วไปแล้ว ให้พิจารณาตัวเลือกที่หมดอายุ ณ เวลา ...${\displaystyle T}$พร้อมผลตอบแทน${\displaystyle g(S_{T})}$การคำนวณแบบเดียวกันแสดงให้เห็นว่าราคาของมัน${\displaystyle u(x,t)}$พอใจ $${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u+Au-r_{t}u=0\\u(x,T)=g(x).\end{cases}}}$$ ตัวเลือกอื่นๆ เช่นออปชั่นแบบอเมริกันไม่มีวันหมดอายุที่แน่นอนออปชั่นบางประเภทมีมูลค่า ณ วันหมดอายุที่กำหนดโดยราคาหุ้นในอดีตตัวอย่างเช่นออปชั่นเฉลี่ยมีผลตอบแทนที่ไม่ได้กำหนดโดยราคาหุ้นอ้างอิง ณ วันหมดอายุ แต่กำหนดโดยราคาหุ้นอ้างอิงเฉลี่ยในช่วงเวลาที่กำหนดไว้ล่วงหน้า สำหรับกรณีเหล่านี้ สูตรของ Feynman–Kac ไม่สามารถนำมาใช้ได้โดยตรง

ในเคมีควอนตัมใช้เพื่อแก้สมการชโรดิงเกอร์ด้วยวิธีมอนเตคาร์โลแบบแพร่กระจาย บริสุทธิ์ ^{[ 7 ]}