ลำดับหุ่นกระบอก

Q: ตัวอย่าง: โฮโมโทปีสัมพัทธ์

ในกรณีพิเศษ [ 1 ] อาจถือว่า X เป็นปริภูมิย่อย A ของ Y ที่มีจุดฐาน y และ f เป็นการรวม ฉัน : เอ ↪ วาย {\displaystyle i:A\hookrightarrow Y} จาก A ไปยัง Y จะได้ลำดับที่แน่นอนใน หมวดหมู่ของปริภูมิจุด :

ในทางคณิตศาสตร์ลำดับPuppeเป็นโครงสร้างของทฤษฎีโฮโมโทปีซึ่งตั้งชื่อตามDieter Puppeลำดับนี้มีสองรูปแบบ ได้แก่ลำดับที่แน่นอนยาวซึ่งสร้างจากไฟเบอร์การแมป ( fibration ) และลำดับร่วมที่แน่นอนยาว ซึ่งสร้างจากกรวยการแมป (ซึ่งเป็นcofibration ) ^{[ 1 ]}โดยสัญชาตญาณ ลำดับ Puppe ช่วยให้เราคิดถึงทฤษฎีโฮโมโลยีใน ฐานะ ฟังก์ชันที่แปลงพื้นที่เป็นลำดับที่แน่นอนยาวของกลุ่ม นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ในฐานะเครื่องมือในการสร้างลำดับที่แน่นอนยาวของกลุ่มโฮโมโทปีสัมพัทธ์

ลำดับหุ่นกระบอกที่แน่นอน

ลำดับของพื้นที่ที่มีจุดและแผนที่ที่มีจุด $\dots \to X_{n+1}\to X_{n}\to X_{n-1}\to \dots$ เรียกว่าแม่นยำหากลำดับที่เหนี่ยวนำ $\dots \to [Z,X_{n+1}]\to [Z,X_{n}]\to [Z,X_{n-1}]\to \dots$ มีความแม่นยำในฐานะลำดับของเซตที่มีจุดกำหนด (โดยถือว่าแกนหลักของแผนที่คือองค์ประกอบเหล่านั้นที่ถูกแมปไปยังจุดฐาน) สำหรับทุกปริภูมิที่มีจุดกำหนด $Z$ .

อนุญาต $f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ เป็นแผนที่ต่อเนื่องระหว่างพื้นที่ที่มีจุดกำหนดและให้ $Mf$ กำหนดให้เป็นเส้นใยการแมป (ซึ่งเป็นคู่ตรงข้ามกับกรวยการแมป ) จากนั้นจะได้ลำดับที่แน่นอน:

Mf\to X\to Y

โดยที่เส้นใยการแมปถูกกำหนดไว้ดังนี้: ^{[ 1 ]}

Mf=\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ และ }}\omega (1)=f(x)\}

โปรดสังเกตว่าช่องว่างของลูป $\โอเมก้า วาย$ ฉีดเข้าไปในเส้นใยแผนที่: $\Omega Y\to Mf$ เนื่องจากประกอบด้วยแผนที่ที่เริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดฐานทั้งคู่ $y_{0}$ จากนั้นจึงสามารถแสดงได้ว่าลำดับข้างต้นขยายไปสู่ลำดับที่ยาวกว่า

\Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y

จากนั้นจึงสามารถทำการสร้างซ้ำเพื่อให้ได้ลำดับ Puppe ที่แม่นยำ

\cdots \to \Omega ^{2}(Mf)\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega (Mf)\to \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y

ลำดับที่แน่นอนมักจะสะดวกกว่าลำดับที่ตรงกันในแอปพลิเคชันเชิงปฏิบัติ ดังที่Joseph J. Rotmanอธิบายไว้: ^{[ 1 ]}

โครงสร้างต่างๆ (ของลำดับโคแอ็กติก) เกี่ยวข้องกับปริภูมิผลหารแทนที่จะเป็นปริภูมิย่อย ดังนั้นแผนที่และโฮโมโทปีทั้งหมดจึงต้องได้รับการตรวจสอบอย่างละเอียดมากขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่ามีความชัดเจนและต่อเนื่อง

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง: โฮโมโทปีสัมพัทธ์

ในกรณีพิเศษ^{[ 1 ]}อาจถือว่าXเป็นปริภูมิย่อยAของYที่มีจุดฐานy และfเป็นการรวม $i:A\hookrightarrow Y$ จากAไปยังYจะได้ลำดับที่แน่นอนในหมวดหมู่ของปริภูมิจุด :

{\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi)\right]\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _{1}(Y)\to \left[S^{0},Mi\right]\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}

ที่ซึ่ง $\pi _{n}$ กลุ่มโฮโมโทปี คือกลุ่มโฮโมโทปี $S^{0}$ คือทรงกลมศูนย์ (กล่าวคือ สองจุด) และ $[U,W]$ แสดงถึงความสมมูลเชิงโฮโมโทปีของแผนที่จากUไปยังWโปรดทราบว่า $\pi _{n+1}(X)=\pi _{1}(\Omega ^{n}X)$ จากนั้นจึงสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า

\left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi)\right]=\left[S^{n},Mi\right]=\pi _{n}(Mi)

เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับกลุ่มโฮโมโทปีสัมพัทธ์ $\pi _{n+1}(Y,A)$ จึงทำให้เกิดลำดับโฮโมโทปีสัมพัทธ์ของคู่ต่างๆ ขึ้น

{\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \pi _{n+1}(Y,A)\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(Y,A)\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}

วัตถุ $\pi _{n}(Y,A)$ เป็นกลุ่มสำหรับ $n\geq 2$ และเป็นกลุ่มอาเบเลียนสำหรับ $n\geq 3$ .

ตัวอย่าง: การเกิดพังผืด

ในกรณีพิเศษ^{[ 1 ]}อาจถือว่าfเป็นไฟเบรชัน $p:E\to B$ จากนั้นไฟเบอร์การแมปMpจะมีคุณสมบัติการยกโฮโมโทปีและเป็นผลให้Mpและไฟเบอร์ $F=p^{-1}(b_{0})$ มีประเภทโฮโมโทปี เดียวกัน ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า แผนที่จากทรงกลมไปยังMpนั้นเป็นโฮโมโทปีกับแผนที่จากทรงกลมไปยังFนั่นคือ

\pi _{n}(Mp)=\left[S^{n},Mp\right]\simeq \left[S^{n},F\right]=\pi _{n}(F).

จากสิ่งนี้ ลำดับของ Puppe จะให้ลำดับโฮโมโทปีของไฟเบรชัน :

{\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(E)\to \pi _{n+1}(B)\to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)\to \pi _{0}(B)\end{aligned}}

ตัวอย่าง: การเกิดพังผืดที่อ่อนแอ

ไฟเบอร์เรชันแบบอ่อนนั้นอ่อนกว่าไฟเบอร์เรชันทั่วไปอย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์หลักข้างต้นยังคงใช้ได้ แม้ว่าการพิสูจน์จะต้องเปลี่ยนแปลงไปก็ตาม ข้อสังเกตที่สำคัญ ซึ่งได้มาจากJean-Pierre Serreคือ เมื่อกำหนดไฟเบอร์เรชันแบบอ่อนแล้ว $p\colon E\to B$ และเส้นใยที่จุดฐานที่กำหนดโดย $F=p^{-1}(b_{0})$ นั่นคือมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

p_{*}\colon \pi _{n}(E,F)\to \pi _{n}(B,b_{0})

.

สามารถใช้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงนี้ในลำดับโฮโมโทปีสัมพัทธ์ข้างต้น เพื่อให้ได้ลำดับโฮโมโทปีของไฟเบรชันแบบอ่อนซึ่งมีรูปแบบเดียวกันกับลำดับไฟเบรชัน แม้ว่าจะมีแผนที่เชื่อมต่อที่แตกต่างกันก็ตาม

ลำดับหุ่น Coexact

อนุญาต $f\colon A\to B$ เป็นแผนที่ต่อเนื่องระหว่างคอมเพล็กซ์ CWและปล่อยให้ $C(f)$ ให้ แทนกรวยการแมปของf (กล่าวคือ โคไฟเบอร์ของการแมปf ) ดังนั้นเราจึงมีลำดับ (โคไฟเบอร์) ดังนี้:

A\to B\to C(f)

.

ตอนนี้เราสามารถก่อตั้งได้แล้ว $\Sigma A$ และ $\Sigma B,$ สารแขวนลอยAและBตามลำดับ และนอกจากนี้ $\Sigma f\colon \Sigma A\to \Sigma B$ (เนื่องจากสามารถมองการระงับ ได้ว่าเป็น ฟังก์ชัน ) ทำให้ได้ลำดับดังนี้:

\Sigma A\to \Sigma B\to C(\Sigma f)

.

โปรดทราบว่าการแขวนลอยช่วยรักษาลำดับของเส้นใยร่วมไว้ได้

จากข้อเท็จจริงอันทรงพลังนี้ เราจึงรู้ว่า $C(\Sigma f)$ เทียบเท่าแบบโฮโมโทปีกับ $\Sigma C(f).$ โดยการยุบตัว $B\subset C(f)$ ในระดับหนึ่ง เราจะมีแผนที่ธรรมชาติ $C(f)\to \Sigma A.$ ดังนั้นเราจึงได้ลำดับดังนี้:

A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f).

เมื่อสร้างลำดับนี้ซ้ำๆ เราจะได้ลำดับ Puppe ที่เกี่ยวข้องกับ $A\to B$ :

A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f)\to \Sigma ^{2}A\to \Sigma ^{2}B\to \Sigma ^{2}C(f)\to \Sigma ^{3}A\to \Sigma ^{3}B\to \Sigma ^{3}C(f)\to \cdots

คุณสมบัติและผลที่ตามมาบางประการ

เป็นแบบฝึกหัดง่ายๆ ในวิชาโทโพโลยีที่จะเห็นว่าทุกๆ สามองค์ประกอบของลำดับ Puppe นั้น มีรูปแบบดังนี้ (โดยไม่นับรวมโฮโมโทปี):

X\to Y\to C(f)

.

โดยคำว่า "ขึ้นอยู่กับโฮโมโทปี" ในที่นี้หมายความว่า องค์ประกอบทั้ง 3 ตัวในลำดับ Puppe จะมีรูปแบบดังกล่าว หากพิจารณาในฐานะวัตถุและมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่โฮโมโทปี

หากตอนนี้มีฟังก์ชันกึ่งแม่นยำเชิงทอพอโลยีแล้ว คุณสมบัติข้างต้นบ่งชี้ว่า หลังจากกระทำกับฟังก์ชันดังกล่าวบนลำดับ Puppe ที่เกี่ยวข้องกับ $A\to B$ จะได้ลำดับที่แน่นอนและยาว

ผลลัพธ์หนึ่งที่เกิดจาก^John Milnor [ ²^]คือ หากเราใช้สัจพจน์ Eilenberg–Steenrodสำหรับทฤษฎีโฮโมโลยีและแทนที่การตัดออกด้วยลำดับที่แน่นอนของไฟเบอร์เรชันแบบอ่อนของคู่ต่างๆ เราจะได้ความคล้ายคลึงกันของโฮโมโทปีของทฤษฎีบท Eilenberg–Steenrodกล่าวคือ มีลำดับของฟังก์ชันที่ไม่ซ้ำกัน $\pi _{n}\colon P\to {\bf {Sets}}$ โดยที่Pคือหมวดหมู่ของคู่จุดทั้งหมดในปริภูมิเชิงทอพอโลยี

หมายเหตุ

เนื่องจากมีการแขวนอยู่ สอง "ประเภท" คือแบบไม่ลดรูปและแบบลดรูปดังนั้นจึงสามารถพิจารณาลำดับ Puppe แบบไม่ลดรูปและแบบลดรูปได้เช่นกัน (อย่างน้อยก็ในกรณีที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ที่มีจุดซึ่งสามารถสร้างการแขวนแบบลดรูปได้)

[ 1 ]

John

ลำดับหุ่นกระบอก