การคงค่าลำดับที่หนึ่ง (First-Order HoldหรือFOH ) เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการสร้างสัญญาณที่สุ่มตัวอย่างขึ้นใหม่ในทางปฏิบัติ ซึ่งสามารถทำได้โดย ตัวแปลงสัญญาณดิจิทัลเป็นอนาล็อก (Digital-to-Analog Converterหรือ DAC) ทั่วไป และวงจรอนาล็อกที่เรียกว่าตัวรวมสัญญาณ (Integrator ) สำหรับ FOH สัญญาณจะถูกสร้างขึ้นใหม่เป็นการ ประมาณ เชิงเส้นแบบเป็นช่วงๆของสัญญาณดั้งเดิมที่ถูกสุ่มตัวอย่าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เช่น FOH (หรือที่รู้จักกันทั่วไปว่าการคงค่าลำดับที่ศูนย์ ) มีความจำเป็นเพราะในทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างและการสร้างใหม่ลำดับของอิมพัลส์ Dirac , x ( t ) ซึ่งแทนตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่อง, x ( nT ) จะถูกกรองความถี่ต่ำเพื่อกู้คืนสัญญาณดั้งเดิมที่ถูกสุ่มตัวอย่าง, x ( t ) อย่างไรก็ตาม การส่งออกลำดับของอิมพัลส์ Dirac นั้นไม่สามารถทำได้ในทางปฏิบัติ สามารถสร้างอุปกรณ์โดยใช้ DAC ทั่วไปและวงจรอนาล็อกเชิงเส้นบางส่วนเพื่อสร้างเอาต์พุตเชิงเส้นแบบเป็นช่วงๆ ขึ้นใหม่สำหรับ FOH แบบทำนายหรือแบบหน่วงเวลาได้

แม้ว่านี่จะไม่ใช่สิ่งที่เกิดขึ้นจริงในทางกายภาพ แต่ก็สามารถสร้างผลลัพธ์ที่เหมือนกันได้โดยการใช้ลำดับของอิมพัลส์ Dirac สมมุติx ( t ) กับระบบเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาหรือที่รู้จักกันในชื่อตัวกรองเชิงเส้นที่มีลักษณะดังกล่าว (ซึ่งสำหรับระบบ LTI จะถูกอธิบายอย่างสมบูรณ์โดยการตอบสนองต่ออิมพัลส์ ) เพื่อให้อิมพัลส์อินพุตแต่ละตัวส่งผลให้เกิดฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนที่ถูกต้องในเอาต์พุต

ตัวกรองลำดับที่หนึ่ง (First-order hold) คือ ตัวกรองสมมุติหรือระบบ LTIที่แปลงสัญญาณที่สุ่มตัวอย่างอย่างสมบูรณ์แบบ

${\displaystyle x_{s}(t)\,}$	${\displaystyle =x(t)\ T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\ }$
	${\displaystyle =T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\ }$

ไปยังสัญญาณเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\ }$

ส่งผลให้เกิด การตอบ สนอง ต่อแรงกระตุ้น ที่มีประสิทธิภาพ

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$

ฟังก์ชันสามเหลี่ยมอยู่ที่ไหน${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$

การตอบสนองความถี่ที่มีประสิทธิภาพคือการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่องของการตอบสนองแบบอิมพัลส์

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(f)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\ }$
	${\displaystyle =\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\ }$

ฟังก์ชัน sincที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานนั้นอยู่ที่ไหน${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\ }$

ฟังก์ชันถ่ายโอนการแปลงลาปลาส ของ FOH หาได้จากการแทนค่าs = i 2 π f :

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(s)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}}\right)^{2}\ }$

นี่คือระบบที่ไม่ขึ้นกับเหตุและผลเนื่องจากฟังก์ชันการประมาณค่าเชิงเส้นจะเคลื่อนที่เข้าหาค่าของตัวอย่างถัดไปก่อนที่จะนำตัวอย่างนั้นไปใช้กับตัวกรอง FOH สมมุติ

การคงค่าลำดับแรกแบบหน่วงเวลา (Delayed first-order hold)หรือบางครั้งเรียกว่า การคงค่า ลำดับแรกแบบเป็นเหตุเป็นผล (Causal first-order hold ) นั้นเหมือนกับ FOH ข้างต้นทุกประการ ยกเว้นว่าเอาต์พุตจะถูกหน่วงเวลาไปหนึ่งช่วงเวลาตัวอย่างส่งผลให้ได้สัญญาณเอาต์พุตเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงที่หน่วงเวลา

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {tT-nT}{T}}\right)\ }$

ส่งผลให้เกิด การตอบ สนอง ต่อแรงกระตุ้น ที่มีประสิทธิภาพ

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {tT}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|tT|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|tT|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$

ฟังก์ชันสามเหลี่ยมอยู่ที่ไหน${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$

การตอบสนองความถี่ที่มีประสิทธิภาพคือการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่องของการตอบสนองแบบอิมพัลส์

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(f)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\ }$
	${\displaystyle =e^{-i2\pi fT}\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\ }$

ฟังก์ชันsincอยู่ที่ไหน${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\ }$

ฟังก์ชันถ่ายโอน การแปลง ลาปลาส ของ FOH ที่หน่วงเวลาจะหาได้จากการแทนที่s = i 2 π f :

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(s)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\right)^{2}\ }$

เอาต์พุตที่ล่าช้าทำให้ระบบนี้เป็นระบบเชิงสาเหตุการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของ FOH ที่ล่าช้าจะไม่ตอบสนองก่อนแรงกระตุ้นขาเข้า

การสร้างใหม่เชิงเส้นแบบแบ่งส่วนที่มีความล่าช้าในลักษณะนี้สามารถทำได้จริงทางกายภาพโดยการใช้ตัวกรองดิจิทัลที่มีอัตราขยายH ( z ) = 1 − z ^{− 1}นำเอาต์พุตของตัวกรองดิจิทัลนั้น (ซึ่งก็คือx [ n ] − x [ n − 1]) ไปใช้กับ ตัวแปลงดิจิทัลเป็นอนาล็อกแบบดั้งเดิมในอุดมคติ(ซึ่งมีการคงค่าลำดับศูนย์ โดยธรรมชาติ เป็นแบบจำลอง) และทำการอินทิเกรต (ในเวลาต่อเนื่องH ( s ) = 1/( sT )) เอาต์พุตของ DAC

สุดท้ายนี้การเก็บรักษาลำดับแรกแบบทำนายนั้นแตกต่างออกไปอย่างสิ้นเชิง นี่คือ ระบบ LTI หรือตัวกรองสมมุติฐานเชิง สาเหตุที่แปลงสัญญาณที่สุ่มตัวอย่างอย่างสมบูรณ์แบบ

${\displaystyle x_{s}(t)\,}$	${\displaystyle =x(t)\ T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\ }$
	${\displaystyle =T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\ }$

แปลงเป็นเอาต์พุตเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง โดยใช้ตัวอย่างปัจจุบันและตัวอย่างก่อนหน้าทันทีเพื่อประมาณค่าเชิง เส้น ไปจนถึงตัวอย่างถัดไป เอาต์พุตของตัวกรองดังกล่าวจะเป็น

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,}$	${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(x(nT)+\left(x(nT)-x((n-1)T)\right){\frac {t-nT}{T}}\right)\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\ }$
	${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\left(\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)-\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {3}{2}}\right)+\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}-1\right)\right)\ }$

ส่งผลให้เกิด การตอบ สนอง ต่อแรงกระตุ้น ที่มีประสิทธิภาพ

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,}$	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\left(\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)-\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {3}{2}}\right)+\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}-1\right)\right)\ }$
	${\displaystyle ={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1+{\frac {t}{T}}\right)&{\mbox{if }}0\leq t<T\\{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {t}{T}}\right)&{\mbox{if }}T\leq t<2T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$

โดยที่คือฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าและคือฟังก์ชันสามเหลี่ยม${\displaystyle \mathrm {rect} (x)\ }$${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$

การตอบสนองความถี่ที่มีประสิทธิภาพคือการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่องของการตอบสนองแบบอิมพัลส์

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(f)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =(1+i2\pi fT)\left({\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\ }$
	${\displaystyle =(1+i2\pi fT)e^{-i2\pi fT}\mathrm {sinc} ^{2}(fT))\ }$

ฟังก์ชันsincอยู่ที่ไหน${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\ }$

ฟังก์ชันถ่ายโอน การแปลง ลาปลาส ของ FOH ที่ทำนายได้นั้นหาได้จากการแทนที่s = i 2 π f :

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(s)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =(1+sT)\left({\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\right)^{2}\ }$

นี่คือระบบเชิงสาเหตุการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของ FOH แบบทำนายจะไม่ตอบสนองก่อนแรงกระตุ้นขาเข้า

การสร้างใหม่เชิงเส้นแบบแบ่งส่วนนี้สามารถทำได้จริงทางกายภาพโดยการใช้ตัวกรองดิจิทัลที่มีอัตราขยายH ( z ) = 1 − z ^{− 1}นำเอาต์พุตของตัวกรองดิจิทัลนั้น (ซึ่งก็คือx [ n ] − x [ n − 1]) ไปใช้กับ ตัวแปลงดิจิทัลเป็นอนาล็อกแบบดั้งเดิมในอุดมคติ(ซึ่งมีการคงค่าลำดับศูนย์ โดยธรรมชาติ เป็นแบบจำลอง) และนำเอาต์พุตของ DAC นั้นไปใช้กับตัวกรองอนาล็อกที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนH ( s ) = (1 + sT )/( sT )

• ทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างของ Nyquist–Shannon
• การถือครองลำดับศูนย์
• การแทรกสอดเชิงเส้นสองมิติ

• Sankar, Krishna (2007). "การแทรกสอดแบบ Zero Order Hold และ First Order Hold" . dspLog การประมวลผลสัญญาณสำหรับการสื่อสาร .