ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ทฤษฎี(หรือเรียกว่าทฤษฎีเชิงรูปธรรม ) คือเซตของประโยคในภาษาเชิงรูปธรรมในสถานการณ์ส่วนใหญ่ระบบการอนุมานแบบนิรนัยจะถูกทำความเข้าใจจากบริบทก่อน ทำให้เกิดระบบเชิงรูปธรรมที่ผสมผสานภาษากับกฎการอนุมานแบบนิรนัย องค์ประกอบของทฤษฎีที่ปิดแบบนิรนัยแล้วเรียกว่าทฤษฎีบทของทฤษฎีนั้น ในระบบการอนุมานแบบนิรนัยหลายระบบ มักจะมีเซตย่อยที่เรียกว่า "เซตของสัจพจน์ " ของทฤษฎีในกรณีนี้ ระบบการอนุมานแบบนิรนัยจะเรียกว่า " ระบบสัจพจน์ " ด้วย ตามคำนิยาม สัจพจน์ทุกข้อเป็นทฤษฎีบทโดยอัตโนมัติทฤษฎีลำดับที่หนึ่งคือเซตของ ประโยค ลำดับที่หนึ่ง (ทฤษฎีบท) ที่ได้มา แบบเวียนซ้ำโดย ใช้ กฎการอนุมานของระบบกับเซตของสัจพจน์ ${\displaystyle \phi \in T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Sigma \subseteq T}$${\displaystyle T}$

ในการกำหนดทฤษฎีเพื่อวัตถุประสงค์พื้นฐาน ต้องใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษ เนื่องจากภาษาทางทฤษฎีเซตทั่วไปอาจไม่เหมาะสม

การสร้างทฤษฎีเริ่มต้นด้วยการระบุคลาสแนวคิด ที่ไม่ว่างเปล่าที่แน่นอน ซึ่งองค์ประกอบของคลาสนี้เรียกว่าข้อความ ข้อความเริ่มต้นเหล่านี้มักเรียกว่าองค์ประกอบพื้นฐานหรือ ข้อความ เบื้องต้นของทฤษฎี เพื่อแยกแยะออกจากข้อความอื่นๆ ที่อาจได้มาจากข้อความเหล่านี้^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

ทฤษฎีคือคลาสแนวคิดที่ประกอบด้วยข้อความพื้นฐานเหล่านี้ ข้อความพื้นฐานที่อยู่ในคลาสนี้เรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของ คลาสนี้ และกล่าวได้ว่าเป็นจริงด้วยวิธีนี้ ทฤษฎีสามารถมองได้ว่าเป็นวิธีการกำหนดเซตย่อยของคลาสนี้ที่มีเฉพาะข้อความที่เป็นจริงเท่านั้น^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

วิธีการทั่วไปในการกำหนดทฤษฎีนี้ระบุว่าความจริงของข้อความพื้นฐานใดๆ ของทฤษฎีนี้จะไม่เป็นที่ทราบได้หากปราศจากการอ้างอิงถึงทฤษฎีอื่น ดังนั้นข้อความพื้นฐานเดียวกันอาจเป็นจริงตามทฤษฎีหนึ่งแต่เป็นเท็จตามทฤษฎีอื่น นี่ชวนให้นึกถึงกรณีในภาษาทั่วไปที่ข้อความเช่น "เขาเป็นคนซื่อสัตย์" ไม่สามารถตัดสินได้ว่าจริงหรือเท็จหากปราศจากการตีความว่า "เขา" คือใคร และในทำนองเดียวกัน "คนซื่อสัตย์" คืออะไรภายใต้ทฤษฎีนี้^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

ทฤษฎีหนึ่งเรียกว่าทฤษฎีย่อยของทฤษฎีอีกทฤษฎีหนึ่งถ้าเป็นเซตย่อยของถ้าเป็นเซตย่อยของแล้วเรียกว่าส่วนขยายหรือทฤษฎีเหนือ กว่าของ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

กล่าวกันว่าทฤษฎีเป็นทฤษฎีแบบนิรนัยก็ต่อเมื่อเป็นคลาสแบบอุปนัยซึ่งหมายความว่าเนื้อหาของทฤษฎีนั้นขึ้นอยู่กับระบบนิรนัยอย่างเป็นทางการ บางอย่าง และข้อความพื้นฐานบางส่วนของทฤษฎีนั้นถือเป็นสัจพจน์ในทฤษฎีแบบนิรนัย ประโยคใดๆ ที่เป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะของสัจพจน์หนึ่งข้อหรือมากกว่านั้น ก็เป็นประโยคของทฤษฎีนั้นด้วย^{[ 1 ]}ในทางที่เป็นทางการมากขึ้น ถ้า เป็น ความสัมพันธ์ผลลัพธ์แบบ Tarski แล้วจะปิดภายใต้(และดังนั้นทฤษฎีบทแต่ละข้อจึงเป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะของสัจพจน์) ก็ต่อเมื่อ สำหรับประโยคทั้งหมดในภาษาของทฤษฎีถ้าแล้วหรือเทียบเท่ากัน ถ้าเป็นเซตย่อยจำกัดของ(อาจเป็นเซตของสัจพจน์ของในกรณีของทฤษฎีที่สามารถกำหนดสัจพจน์ได้แบบจำกัด) และแล้วและ ดังนั้น${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \phi }$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}'\vdash \phi }$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}'}$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$

ทฤษฎีที่สอดคล้องกับโครงสร้างทางไวยากรณ์คือ ทฤษฎีที่ไม่สามารถพิสูจน์ประโยคทุกประโยคในภาษาพื้นฐานได้ (โดยอ้างอิงจากระบบการอนุมาน แบบใดแบบหนึ่ง ซึ่งมักจะชัดเจนจากบริบท) ในระบบการอนุมานแบบใดแบบหนึ่ง (เช่น ตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง) ที่สอดคล้องกับหลักการระเบิด (principle of explosion ) นี่เทียบเท่ากับการที่ต้องไม่มีประโยค φ ใดๆ ที่ทั้ง φ และประโยคปฏิเสธของมันสามารถพิสูจน์ได้จากทฤษฎีนั้น

ทฤษฎีที่สามารถทำให้เป็นจริงได้คือทฤษฎีที่มีแบบจำลองนั่นหมายความว่ามีโครงสร้างMที่สามารถทำให้ทุกประโยคในทฤษฎีเป็นจริงได้ ทฤษฎีที่สามารถทำให้เป็นจริงได้นั้นมีความสอดคล้องกันทางไวยากรณ์ เพราะโครงสร้างที่ทำให้ทฤษฎีเป็นจริงจะทำให้ φ หรือการปฏิเสธของ φ เป็นจริงเพียงหนึ่งเดียว สำหรับแต่ละประโยค φ

บางครั้ง ทฤษฎีที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดให้เป็นทฤษฎีที่สอดคล้องกันทางไวยากรณ์ และบางครั้งก็ถูกกำหนดให้เป็นทฤษฎีที่สามารถทำให้เป็นจริงได้ สำหรับตรรกะลำดับที่หนึ่ง ซึ่งเป็นกรณีที่สำคัญที่สุด ทฤษฎีบทความสมบูรณ์จะสรุปได้ว่าความหมายทั้งสองตรงกัน^{[ 2 ]}ในตรรกะอื่นๆ เช่นตรรกะลำดับที่สองมีทฤษฎีที่สอดคล้องกันทางไวยากรณ์ที่ไม่สามารถทำให้เป็นจริงได้ เช่น ทฤษฎีที่ไม่สอดคล้องกัน แบบ ω

ทฤษฎีที่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์ (หรือเรียกสั้นๆ ว่าทฤษฎีที่สมบูรณ์ ) คือทฤษฎีที่สอดคล้องกันซึ่งสำหรับทุกประโยค φ ในภาษาของมัน φ สามารถพิสูจน์ได้จากหรือ{φ} ไม่สอดคล้องกัน สำหรับทฤษฎีที่ปิดภายใต้ผลลัพธ์เชิงตรรกะ นี่หมายความว่าสำหรับทุกประโยค φ φ หรือการปฏิเสธของมันจะอยู่ในทฤษฎี^{[ 3 ]}ทฤษฎีที่ไม่สมบูรณ์คือทฤษฎีที่สอดคล้องกันที่ไม่สมบูรณ์ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \cup }$

(ดูทฤษฎีที่สอดคล้องกับค่า ωสำหรับแนวคิดเรื่องความสอดคล้องที่ชัดเจนยิ่งขึ้น)

การตีความทฤษฎีคือความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีกับเนื้อหาบางอย่าง เมื่อมี การจับคู่ แบบหลายต่อหนึ่งระหว่างข้อความพื้นฐานบางอย่างของทฤษฎีกับข้อความบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหา หากข้อความพื้นฐานทุกข้อความในทฤษฎีมีคู่ที่สอดคล้องกัน จะเรียกว่าการตีความแบบสมบูรณ์มิเช่นนั้นจะเรียกว่า การตีความแบบ บางส่วน^{[ 4 ]}

แต่ละโครงสร้างมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องหลายทฤษฎีทฤษฎีที่สมบูรณ์ของโครงสร้างAคือเซตของประโยคลำดับที่หนึ่ง ทั้งหมด เหนือลายเซ็นของAที่สอดคล้องกับAโดยใช้สัญลักษณ์ Th( A ) โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีของKซึ่งเป็นคลาสของโครงสร้าง σ คือเซตของประโยค σ ลำดับที่หนึ่งทั้งหมด ที่สอดคล้องกับโครงสร้างทั้งหมดในKและใช้สัญลักษณ์ Th( K ) เห็นได้ชัดว่า Th( A ) = Th({ A }) แนวคิดเหล่านี้สามารถกำหนดได้โดยสัมพันธ์กับตรรกะอื่นๆ ด้วยเช่นกัน

สำหรับโครงสร้าง σ แต่ละโครงสร้างAจะมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องหลายทฤษฎีในลายเซ็นที่ใหญ่กว่า σ' ซึ่งขยาย σ โดยการเพิ่มสัญลักษณ์คงที่ใหม่หนึ่งตัวสำหรับแต่ละองค์ประกอบของโดเมนของA (หากสัญลักษณ์คงที่ใหม่เหล่านี้ตรงกับองค์ประกอบของAที่พวกมันแทน σ' สามารถถือได้ว่าเป็น σ A) ดังนั้นจำนวนสมาชิกของ σ' จึงเป็นจำนวน ที่ มากกว่าระหว่างจำนวนสมาชิกของ σ และจำนวนสมาชิกของA${\displaystyle \cup }$

แผนภาพของA ประกอบด้วยประโยคอะตอมิกหรือ ประโยค อะตอมิกปฏิเสธ σ' ทั้งหมดที่ Aสอดคล้องและใช้สัญลักษณ์ diag _A แทน แผนภาพเชิงบวกของAคือเซตของประโยคอะตอมิก σ' ทั้งหมดที่Aสอดคล้อง ใช้สัญลักษณ์ diag ⁺ _A แทน แผนภาพพื้นฐานของAคือเซต eldiag _Aของ ประโยค σ' ลำดับที่หนึ่ง ทั้งหมด ที่ Aสอดคล้องหรือเทียบเท่ากับทฤษฎีที่สมบูรณ์ (ลำดับที่หนึ่ง) ของการขยาย ตามธรรมชาติ ของAไปยังสัญลักษณ์ σ'

ทฤษฎีลำดับที่หนึ่งคือ เซตของประโยคในภาษาเชิงรูปธรรมลำดับ ที่หนึ่ง${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

มีระบบการพิสูจน์อย่างเป็นทางการมากมายสำหรับตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง ซึ่งรวมถึงระบบการอนุมานแบบฮิลเบิร์ตการอนุมานแบบธรรมชาติแคลคูลัสลำดับวิธีการตารางและวิธีการแก้ปัญหา

สูตรAเป็นผลลัพธ์เชิงไวยากรณ์ของทฤษฎีลำดับที่หนึ่งหากมีการพิสูจน์Aโดยใช้เฉพาะสูตรใน เป็นสัจพจน์ที่ ไม่ใช่ เชิงตรรกะ สูตรA ดัง กล่าวเรียกว่า ทฤษฎีบทของสัญลักษณ์ " " แสดงว่าAเป็นทฤษฎีบทของ ${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}\vdash A}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$

การตีความทฤษฎีอันดับหนึ่งให้ความหมายเชิงอรรถสำหรับสูตรต่างๆ ของทฤษฎีนั้น การตีความจะถือว่าสอดคล้องกับสูตรก็ต่อเมื่อสูตรนั้นเป็นจริงตามการตีความนั้น แบบจำลองของทฤษฎีอันดับหนึ่งคือการตีความที่ทุกสูตรของ ทฤษฎีอันดับหนึ่งนั้น สอดคล้องกับเงื่อนไข ${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$

ทฤษฎีอันดับหนึ่งคือทฤษฎีอันดับหนึ่งที่มีเอกลักษณ์ ถ้าทฤษฎีนั้นประกอบด้วยสัญลักษณ์ความสัมพันธ์เอกลักษณ์ "=" และแบบแผนสัจพจน์การสะท้อนและการแทนที่สำหรับสัญลักษณ์นี้ ${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$

• ทฤษฎีความกะทัดรัด
• ชุดที่สอดคล้องกัน
• ทฤษฎีบทการหักล้าง
• บทพิสูจน์ของลินเดนบอม
• ทฤษฎีบทโลเวนไฮม์-สโกเลม

วิธีโดยตรงในการระบุทฤษฎีคือการกำหนดชุดของสัจพจน์ในภาษาที่เป็นทางการ จากนั้นทฤษฎีจะรวมถึงสัจพจน์เหล่านั้นและผลลัพธ์ที่พิสูจน์ได้ของสัจพจน์เหล่านั้น ทฤษฎีที่ได้มาด้วยวิธีนี้ ได้แก่ZFCและเลขคณิตของพีอาโน

วิธีที่สองในการกำหนดทฤษฎีคือการเริ่มต้นด้วยโครงสร้างและให้ทฤษฎีเป็นเซตของประโยคที่สอดคล้องกับโครงสร้างนั้น วิธีนี้เป็นวิธีการสร้างทฤษฎีที่สมบูรณ์ผ่านเส้นทางความหมาย โดยมีตัวอย่างเช่น เซตของประโยคที่เป็นจริงภายใต้โครงสร้าง ( N , +, ×, 0, 1, =) โดยที่Nคือเซตของจำนวนธรรมชาติ และเซตของประโยคที่เป็นจริงภายใต้โครงสร้าง ( R , +, ×, 0, 1, =) โดยที่Rคือเซตของจำนวนจริง เซตแรกนี้เรียกว่าทฤษฎีเลขคณิตที่แท้จริงซึ่งไม่สามารถเขียนเป็นเซตของผลลัพธ์เชิงตรรกะของ เซตสัจพจน์ ที่นับได้ ใดๆ ได้ ส่วนทฤษฎีของ ( R , +, ×, 0, 1, =) นั้น Tarski ได้แสดงให้เห็นแล้วว่าสามารถตัดสินได้มันคือทฤษฎีของฟิลด์ปิดจริง (ดู เพิ่มเติมใน หัวข้อ การตัดสินได้ของทฤษฎีลำดับที่หนึ่งของจำนวนจริง )

• ระบบสัจพจน์
• สถาบัน (วิทยาการคอมพิวเตอร์)
• ความสามารถในการตีความ
• รายชื่อทฤษฎีอันดับแรก
• ทฤษฎีคณิตศาสตร์

• ฮอดจ์ส, วิลฟรีด (1997). ทฤษฎีแบบจำลองที่สั้นกว่า . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 0-521-58713-1.