ในทางคณิตศาสตร์ฟิลด์ปิดจริง (Real Closed Field)คือฟิลด์ ที่มี คุณสมบัติ อันดับแรก (First-Order Properties ) เหมือนกับฟิลด์ของจำนวนจริง (คุณสมบัติอันดับแรก คือคุณสมบัติที่สามารถแสดงได้ด้วยสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์และสัญลักษณ์ทางเลขคณิตโดยที่โดเมนของตัวบ่งปริมาณ ทั้งหมด คือเซต; ดังนั้นจึงไม่อนุญาตให้บ่งปริมาณกับจำนวนธรรมชาติ เซตย่อยของลำดับในฟังก์ชันฯลฯ) ตัวอย่างของฟิลด์ปิดจริง ได้แก่ ฟิลด์ของจำนวนจริง ฟิลด์ของจำนวนพีชคณิต จริง และฟิลด์ของจำนวนไฮเปอร์เรียล (Hyperreal Number ) ที่รวมถึงอนันต์เล็ก (Infinitesimals) ในพีชคณิต ทฤษฎีบทส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงยังคงเป็นจริงเมื่อกำหนดสูตรสำหรับฟิลด์ปิดจริงใดๆ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \forall ,\exists ,\vee ,\land ,\neg ,\to }$${\displaystyle 0,1,+,-,\times ,\div ,=}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\to F}$

ฟิลด์ปิดจริง คือ ฟิลด์Fที่เงื่อนไขสมมูลต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง:

1. Fมีความสมมูลพื้นฐานกับฟิลด์ของจำนวนจริง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มันมีคุณสมบัติอันดับหนึ่งเช่นเดียวกับจำนวนจริง กล่าวคือประโยค ใดๆ ในภาษาอันดับหนึ่งของฟิลด์จะเป็นจริงในF ก็ต่อเมื่อมันเป็นจริงในจำนวนจริง
2. มีลำดับสมบูรณ์บนFที่เปลี่ยนFให้เป็นฟิลด์ที่มีลำดับโดยในลำดับนี้ ทุกองค์ประกอบบวกของFจะมีรากที่สองอยู่ในFและพหุนามดีกรีคี่ ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในF จะมี รากอย่างน้อยหนึ่ง ราก อยู่ในF
3. มีลำดับสมบูรณ์บนFที่เปลี่ยนFให้เป็นฟิลด์ที่มีลำดับ โดยที่ในลำดับนี้ทฤษฎีบทค่ากลาง จะใช้ได้กับพหุ นามทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในF
4. Fเป็นฟิลด์จริงอย่างเป็นทางการ (หมายความว่ามีลำดับสมบูรณ์บนFที่เปลี่ยนFให้เป็นฟิลด์ที่มีลำดับ) โดยที่พหุนามทุกตัวที่มีดีกรีคี่และมีสัมประสิทธิ์อยู่ในF จะมีรากอย่างน้อยหนึ่งรากอยู่ในFและสำหรับทุกองค์ประกอบa ของ F จะ^มี b อยู่ใน F โดยที่a = b²หรือa = ^−b²
5. Fไม่ใช่เซตปิดเชิงพีชคณิตแต่เซตปิดเชิงพีชคณิตของมันคือส่วนขยายจำกัดของF
6. Fไม่ใช่ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต แต่ส่วนขยายของฟิลด์ นั้น เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต${\displaystyle F({\sqrt {-1}}\,)}$
7. มีการจัดลำดับบนFที่ไม่สามารถขยายไปสู่การจัดลำดับบนส่วนขยายพีชคณิต ที่เหมาะสมใดๆ ของFได้
8. Fเป็นฟิลด์จริงเชิงรูปแบบ (formally real field) ที่ไม่มีส่วนขยายพีชคณิตที่เหมาะสม (proper algebraic extension) ใด ๆ ของFที่เป็นฟิลด์จริงเชิงรูปแบบ (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟิลด์นี้เป็นฟิลด์สูงสุดในส่วนปิดเชิงพีชคณิต (algebraic closure) เมื่อพิจารณาจากคุณสมบัติของการเป็นฟิลด์จริงเชิงรูปแบบ)
9. Fเป็นฟิลด์เรียงลำดับแบบo-minimal ที่อ่อน^{[ 1 ]}

ฟิลด์ต่อไปนี้เป็นฟิลด์ปิดจริง ซึ่งสามารถแสดงได้โดยการตรวจสอบคุณสมบัติข้อ 2 ข้างต้น:

• สาขาของจำนวนพีชคณิต จริง ;
• สาขาของจำนวนจริงที่คำนวณได้ ;
• ขอบเขตของจำนวนจริงที่สามารถนิยามได้ ;
• ขอบเขตของจำนวนจริง ;
• ขอบเขตของอนุกรม Puiseuxที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง;
• แหล่งน้ำ เลวี-ซีวิทา ;
• ฟิลด์จำนวนไฮเปอร์เรียล ;
• ฟิลด์จำนวนเหนือจริง ;
• สาขาของจำนวนเหนือจริง (นี่คือคลาสที่ถูกต้องไม่ใช่เซต )

ถ้าFเป็นฟิลด์ที่มีลำดับทฤษฎีบท Artin–Schreierกล่าวว่าFมีส่วนขยายเชิงพีชคณิตที่เรียกว่าการปิดจริงKของFโดยที่Kเป็นฟิลด์ปิดจริงที่มีลำดับเป็นส่วนขยายของลำดับที่กำหนดบนFและมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันของฟิลด์ที่เหมือนกันบนF ^{[ 2 ]} (โปรดทราบว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน ทุก ตัวระหว่างฟิลด์ปิดจริงจะรักษาลำดับ โดยอัตโนมัติ เพราะx  ≤  yก็ต่อเมื่อ ∃ z  : y  =  x  +  z ² ) ตัวอย่างเช่น การปิดจริงของฟิลด์ที่มีลำดับของจำนวนตรรกยะคือฟิลด์ของจำนวนพีชคณิตจริงทฤษฎีบท นี้ ตั้งชื่อตามEmil ArtinและOtto Schreierผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี 1926 ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$

ถ้า ( F , P ) เป็นฟิลด์เรียงลำดับ และEเป็นส่วนขยายกาโลอิสของFแล้วโดยทฤษฎีบทของซอร์นจะมีส่วนขยายฟิลด์เรียงลำดับสูงสุด ( M , Q ) โดยที่M เป็น ฟิลด์ย่อยของEที่มีFและลำดับบนMขยายP Mนี้พร้อมกับลำดับQ ของมัน เรียกว่าการปิดจริงสัมพัทธ์ของ ( F , P ) ในEเราเรียก ( F , P ) ว่าปิดจริงสัมพัทธ์กับEถ้าMเป็นเพียงFเมื่อEเป็นการปิดเชิงพีชคณิตของFการปิดจริงสัมพัทธ์ของFในEก็คือการปิดจริงของFที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้^{[ 3 ]}

ถ้าFเป็นฟิลด์ (ที่ไม่ใช่ฟิลด์เรียงลำดับหรือไม่สามารถเรียงลำดับได้) แล้วFก็ยังคงมีตัวปิดจริง ซึ่งอาจไม่ใช่ฟิลด์อีกต่อไป แต่เป็นเพียงวงแหวนปิดจริงตัวอย่างเช่น ตัวปิดจริงของฟิลด์คือวงแหวน (สำเนาสองชุดสอดคล้องกับการเรียงลำดับสองแบบของ) ในทางกลับกัน ถ้าถือเป็นฟิลด์ย่อยเรียงลำดับของ ตัวปิดจริงของ ก็ คือฟิลด์ อีกครั้ง${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$

ภาษาของฟิลด์ปิดจริงประกอบด้วยสัญลักษณ์สำหรับการดำเนินการบวกและการคูณ ค่าคงที่ 0 และ 1 และความสัมพันธ์ลำดับ≤ (รวมถึงความเท่าเทียมกัน หากไม่ถือว่าเป็นสัญลักษณ์ทางตรรกะ) ใน ภาษานี้ ทฤษฎี (ลำดับที่หนึ่ง) ของฟิลด์ปิดจริงประกอบด้วยประโยคทั้งหมดที่ได้มาจากสัจพจน์ต่อไปนี้: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

• สัจพจน์ของฟิลด์เรียงลำดับ ;
• สัจพจน์ที่กล่าวว่าจำนวนบวกทุกจำนวนมีรากที่สอง
• สำหรับจำนวนคี่ทุกจำนวนสัจพจน์ที่กล่าวว่าพหุนามทุกตัวที่มีดีกรี n จะต้องมีรากอย่างน้อยหนึ่งราก${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

สัจพจน์ทั้งหมดเหล่านี้สามารถแสดงได้ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง (กล่าวคือการกำหนดปริมาณจะครอบคลุมเฉพาะองค์ประกอบของฟิลด์เท่านั้น) โปรดทราบว่าเป็นเพียงเซตของประโยคอันดับหนึ่งทั้งหมดที่เป็นจริงเกี่ยวกับฟิลด์ของจำนวนจริง ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

Tarskiแสดงให้เห็นว่าสมบูรณ์หมายความว่าประโยคใดๆ ก็ตามสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จจากสัจพจน์ข้างต้น นอกจากนี้ยังสามารถตัดสินได้หมายความว่ามีอัลกอริทึมที่จะกำหนดความจริงหรือความเท็จของประโยคดังกล่าวได้ โดยทำได้โดยการแสดงการกำจัดตัวบ่งปริมาณ : มีอัลกอริทึมที่เมื่อกำหนดสูตร ใด ๆซึ่งอาจมีตัวแปรอิสระจะสร้างสูตรที่เทียบเท่ากันโดยไม่มีตัวบ่งปริมาณในตัวแปรอิสระเดียวกัน โดยที่เทียบเท่ากันหมายความว่าสูตรทั้งสองเป็นจริงสำหรับค่าของตัวแปรที่เหมือนกันทุกประการ การพิสูจน์ของ Tarski ใช้การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทของ Sturmเนื่องจากความจริงของสูตรที่ไม่มีตัวบ่งปริมาณโดยไม่มีตัวแปรอิสระสามารถตรวจสอบได้ง่าย จึงทำให้ได้ขั้นตอนการตัดสินใจที่ต้องการ ผลลัพธ์เหล่านี้ได้มาประมาณปี 1930และตีพิมพ์ในปี 1948 ^{[ 4 ]}${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

ทฤษฎีบทTarski–Seidenbergขยายผลลัพธ์นี้ไปสู่ทฤษฎีบทการฉายภาพ ต่อไปนี้ ถ้าRเป็นฟิลด์ปิดจริง สูตรที่มี ตัวแปรอิสระ nตัวจะกำหนดเซตย่อยของR ⁿซึ่งเป็นเซตของจุดที่สอดคล้องกับสูตรนั้น เซตย่อยดังกล่าวเรียกว่าเซตเซมิอัลเจบราอิกเมื่อกำหนดเซตย่อยของตัวแปรk ตัว การฉายภาพจากR ⁿไปยังR ^kคือฟังก์ชันที่แมปทุกn -tuple ไปยังk -tuple ของส่วนประกอบที่สอดคล้องกับเซตย่อยของตัวแปรนั้น ทฤษฎีบทการฉายภาพยืนยันว่าการฉายภาพของเซตเซมิอัลเจบราอิกก็คือเซตเซมิอัลเจบราอิก และมีอัลกอริทึมที่เมื่อกำหนดสูตรที่ปราศจากตัวบ่งปริมาณซึ่งกำหนดเซตเซมิอัลเจบราอิกแล้ว จะสร้างสูตรที่ปราศจากตัวบ่งปริมาณสำหรับการฉายภาพของเซตนั้น

ในความเป็นจริง ทฤษฎีบทการฉายภาพเทียบเท่ากับการกำจัดตัวบ่งปริมาณ เนื่องจากภาพฉายของเซตเซมิแอลจีบราที่กำหนดโดยสูตรp ( x , y )ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle (\exists x)P(x,y),}$

โดยที่xและyแทนเซตของตัวแปรที่ถูกตัดออก และเซตของตัวแปรที่ถูกเก็บไว้ ตามลำดับ

ความสามารถในการตัดสินของทฤษฎีอันดับหนึ่งของจำนวนจริงนั้นขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการและฟังก์ชันพื้นฐานที่พิจารณา (ในที่นี้คือการบวกและการคูณ) อย่างมาก การเพิ่มสัญลักษณ์ฟังก์ชันอื่นๆ เช่น ฟังก์ชันไซน์หรือฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจทำให้ทฤษฎีนั้นไม่สามารถตัดสินได้ โปรดดูทฤษฎีบทของริชาร์ดสันและความสามารถในการตัดสินของทฤษฎีอันดับหนึ่งของจำนวนจริง

ยิ่งไปกว่านั้น ความสมบูรณ์และความสามารถในการตัดสินของทฤษฎีอันดับแรกของจำนวนจริง (โดยใช้การบวกและการคูณ) แตกต่างอย่างสิ้นเชิงกับ ผลลัพธ์ของ เกอเดลและทัวริงเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์และความไม่สามารถตัดสินได้ของทฤษฎีอันดับแรกของจำนวนธรรมชาติ (โดยใช้การบวกและการคูณ) ไม่มีความขัดแย้ง เนื่องจากข้อความ " xเป็นจำนวนเต็ม" ไม่สามารถกำหนดเป็นสูตรอันดับแรกในภาษาได้ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

อัลกอริทึมดั้งเดิมของ Tarski สำหรับการกำจัดตัวบ่งปริมาณมีความซับซ้อนในการคำนวณที่ไม่เป็นพื้นฐาน ซึ่งหมายความว่าไม่มีหอคอยใด

${\displaystyle 2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}}$

สามารถจำกัดเวลาการทำงานของอัลกอริทึมได้หากnคือขนาดของสูตรอินพุตการแยกส่วนเชิงพีชคณิตทรงกระบอกซึ่งแนะนำโดยGeorge E. Collinsนั้นให้ขั้นตอนวิธีที่ใช้งานได้จริงมากกว่า โดยมีความซับซ้อน

${\displaystyle d^{2^{O(n)}}}$

โดยที่nคือจำนวนตัวแปรทั้งหมด (ทั้งตัวแปรอิสระและตัวแปรที่ถูกผูกไว้) dคือผลคูณของดีกรีของพหุนามที่ปรากฏในสูตร และO ( n )คือ สัญกร ณ์ O ขนาดใหญ่

Davenport และ Heintz (1988) พิสูจน์ว่าความซับซ้อนในกรณีที่เลวร้ายที่สุด นี้ เกือบจะเหมาะสมที่สุดสำหรับการกำจัดตัวบ่งปริมาณโดยการสร้างตระกูล สูตร Φ _nที่มีความยาวO ( n )โดยมี ตัวบ่งปริมาณ n ตัวและเกี่ยวข้องกับพหุนามที่มีดีกรีคงที่ ซึ่งสูตรที่ไม่มีตัวบ่งปริมาณใดๆ ที่เทียบเท่ากับΦ _nจะต้องเกี่ยวข้องกับพหุนามที่มีดีกรีและความยาวโดยที่คือสัญกรณ์โอเมก้าขนาดใหญ่สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าทั้งความซับซ้อนของเวลาและความซับซ้อนของพื้นที่ของการกำจัดตัวบ่งปริมาณนั้นเป็นแบบเลขชี้กำลังสองเท่า โดย เนื้อแท้ ${\displaystyle 2^{2^{\โอเมก้า (n)}}}$${\displaystyle 2^{2^{\โอเมก้า (n)}},}$${\displaystyle \Omega (n)}$

สำหรับปัญหาการตัดสินใจ Ben-Or, KozenและReif (1986) อ้างว่าได้พิสูจน์แล้วว่าทฤษฎีของฟิลด์ปิดจริงสามารถตัดสินได้ในปริภูมิเอกซ์โพเนนเชียล และด้วยเหตุนี้จึงใช้เวลาเอกซ์โพเนนเชียลสองเท่า แต่ข้อโต้แย้งของพวกเขา (ในกรณีที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว) โดยทั่วไปถือว่ามีข้อบกพร่อง ดู Renegar (1992) สำหรับการอภิปราย

สำหรับสูตรเชิงการดำรงอยู่โดยแท้จริง นั่นคือสูตรในรูปแบบ

∃ x ₁ , ..., ∃ x _k P ₁ ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0 ∧ ... ∧ P _s ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0,

โดยที่⋈แทน<, >หรือ  =ความซับซ้อนจะต่ำกว่า Basu และRoy (1996) ได้นำเสนออัลกอริทึมที่มีพฤติกรรมดีในการตัดสินความจริงของสูตรการมีอยู่ดังกล่าวด้วยความซับซ้อนของ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ s ^{k +1} d ^{O ( k )}และพื้นที่พหุนาม

ฟิลด์ปิดจริงใดๆ สามารถแปลงเป็นฟิลด์เรียงลำดับได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น คือ สมาชิกที่เป็นบวกจะเป็นกำลังสองของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์นั่นเอง

คุณสมบัติที่สำคัญอย่างยิ่งของจำนวนจริงคือ จำนวนจริงเป็นฟิลด์อาร์คิมีเดียน ซึ่งหมายความว่า สำหรับจำนวนจริงใดๆ จะมีจำนวนเต็มที่มากกว่าจำนวนจริงนั้นในค่าสัมบูรณ์โปรดทราบว่าข้อความนี้ไม่สามารถแสดงได้ในภาษาลำดับที่หนึ่งของฟิลด์เรียงลำดับ เนื่องจากไม่สามารถระบุปริมาณของจำนวนเต็มในภาษานั้นได้

มีฟิลด์ปิดจริงที่ไม่ใช่ฟิลด์อาร์คิมีเดียน อยู่ ด้วย ตัวอย่างเช่น ฟิลด์ของจำนวนไฮเปอร์เรียล ใดๆ ก็ เป็นฟิลด์ปิดจริงและไม่ใช่ฟิลด์อาร์คิมีเดียน ฟิลด์เหล่านี้ประกอบด้วยสมาชิกที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ (ใหญ่กว่าจำนวนเต็มใดๆ) และสมาชิกที่มีขนาดเล็กมาก (เป็นบวกแต่เล็กกว่าจำนวนตรรกยะบวกใดๆ)

สมบัติอาร์คิมีเดียนเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องโคฟินาลิตี้เซตXที่อยู่ในเซตเรียงลำดับFจะเป็นโคฟินาลิตี้ในFก็ต่อเมื่อสำหรับทุกyในFจะมีxในXที่ทำให้y < xกล่าวอีกนัยหนึ่งXเป็นลำดับที่ไม่จำกัดในFโคฟินาลิตี้ของFคือขนาดของเซตโคฟินาลิตี้ที่เล็กที่สุด ซึ่งก็คือขนาดของจำนวนสมาชิกที่เล็กที่สุดที่ทำให้ลำดับไม่จำกัด ตัวอย่างเช่นจำนวนธรรมชาติเป็นโคฟินาลิตี้ในจำนวนจริง และโคฟินาลิตี้ของจำนวนจริงจึงเป็น... ${\displaystyle \aleph _{0}}$

ดังนั้น เราจึงมีค่าคงที่ต่อไปนี้ที่กำหนดลักษณะของฟิลด์ปิดจริงF :

• จำนวนสมาชิกของF
• ความร่วมกันของF

นอกจากนี้ เราอาจเพิ่มเติมได้ว่า

• น้ำหนักของFซึ่งเป็นขนาดขั้นต่ำของเซตย่อยหนาแน่นของF

จำนวนเชิงคาร์ดินัลทั้งสามนี้บอกเราได้มากเกี่ยวกับคุณสมบัติลำดับของฟิลด์ปิดจริงใดๆ แม้ว่าการค้นหาว่าคุณสมบัติเหล่านั้นคืออะไรอาจเป็นเรื่องยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากเราไม่เต็มใจที่จะใช้สมมติฐานความต่อเนื่องแบบทั่วไปนอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติเฉพาะบางอย่างที่อาจเป็นจริงหรือไม่เป็นจริงก็ได้:

• ฟิลด์Fจะสมบูรณ์ ก็ต่อ เมื่อไม่มีฟิลด์เรียงลำดับKใดที่บรรจุF ไว้อย่างถูกต้อง โดยที่Fมีความหนาแน่นในKถ้าโคฟินาลิตี้ของFคือκนั่นหมายความว่าลำดับโคชีที่มีดัชนีเป็นκนั้นลู่เข้าในF
• ฟิลด์เรียงลำดับFมี คุณสมบัติ เซตเอตา η _αสำหรับจำนวนเชิงอันดับα ถ้าสำหรับเซตย่อย LและUสองเซตใดๆของFที่มีจำนวนสมาชิกน้อยกว่าโดยที่ทุกองค์ประกอบของLน้อยกว่าทุกองค์ประกอบของUจะมีองค์ประกอบxในFที่xมากกว่าทุกองค์ประกอบของLและน้อยกว่าทุกองค์ประกอบของUคุณสมบัตินี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับ คุณสมบัติ เชิงทฤษฎีแบบจำลองของการเป็นแบบจำลองอิ่มตัว ฟิลด์ปิดจริงสองฟิลด์ใดๆ จะเป็น η _αก็ต่อเมื่อฟิลด์ทั้งสองนั้นอิ่มตัว และ ยิ่งไปกว่านั้น ฟิลด์ปิดจริง η _αสองฟิลด์ที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากันจะเป็นไอโซมอร์ฟิกเชิงอันดับ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

ลักษณะของฟิลด์ปิดจริงจะง่ายขึ้นมากหากเรายอมรับสมมติฐานความต่อเนื่องแบบทั่วไปถ้าสมมติฐานความต่อเนื่องเป็นจริง ฟิลด์ปิดจริงทั้งหมดที่มีขนาดเท่ากับความต่อเนื่องและมี คุณสมบัติ η ₁จะมีลำดับสมมาตรกัน ฟิลด์Ϝ ที่ไม่ซ้ำกันนี้ สามารถกำหนดได้โดยใช้กำลังพิเศษโดยที่Mคืออุดมคติสูงสุดที่ไม่นำไปสู่ฟิลด์ที่มีลำดับสมมาตร กับ นี่คือ ฟิลด์จำนวนไฮเปอร์เรียลที่ใช้กันมากที่สุดในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานและความเป็นเอกลักษณ์ของมันเทียบเท่ากับสมมติฐานความต่อเนื่อง (แม้ไม่มีสมมติฐานความต่อเนื่อง เราก็มีว่าถ้าขนาดของความต่อเนื่องคือ แล้วเราจะมีฟิลด์η _β ที่ไม่ซ้ำกัน ขนาด) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \aleph _{\beta }}$${\displaystyle \aleph _{\beta }}$

ยิ่งไปกว่านั้น เราไม่จำเป็นต้องใช้พลังพิเศษในการสร้างϜเราสามารถทำได้อย่างสร้างสรรค์มากขึ้นในฐานะฟิลด์ย่อยของอนุกรมที่มี จำนวนพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ ที่นับได้ของฟิลด์ของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมบนกลุ่มอาเบเลียน ที่ หารลงตัวได้ทั้งหมดGซึ่งเป็นกลุ่มη ₁ที่มีขนาด( Alling 1962 ) ${\displaystyle \mathbb {R} [[G]]}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

อย่างไรก็ตาม Ϝไม่ใช่ฟิลด์ที่สมบูรณ์ หากเราหาฟิลด์ที่สมบูรณ์ของมัน เราจะได้ฟิลด์Κที่มีขนาดสมาชิกมากกว่าϜมีขนาดสมาชิกเท่ากับคอนติเนียม ซึ่งตามสมมติฐานคือΚ มีขนาดสมาชิก เท่ากับ Κ และมีϜเป็นฟิลด์ย่อยหนาแน่น มันไม่ใช่อัลตร้าพาวเวอร์ แต่เป็นฟิลด์ไฮเปอร์เรียล ดังนั้นจึงเป็นฟิลด์ที่เหมาะสมสำหรับการใช้งานในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน เราอาจมองได้ว่าเป็นอนาล็อกมิติสูงกว่าของจำนวนจริง โดยมีขนาดสมาชิกเท่ากับ η แทนที่จะเป็น η มีคุณสมบัติโคฟินาลิตี้ เท่ากับη มีคุณสมบัติน้ำหนักเท่ากับη แทนที่จะ เป็น η มีคุณสมบัติ η ₁แทนที่ คุณสมบัติ η ₀ (ซึ่งหมายความว่าระหว่างจำนวนจริงสองจำนวนใดๆ เราสามารถหาจำนวนอื่นได้) ${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

สัจพจน์ของ Tarskiเป็นระบบสัจพจน์สำหรับส่วนลำดับแรก ("พื้นฐาน") ของเรขาคณิตยุคลิดการใช้สัจพจน์เหล่านั้นทำให้สามารถแสดงได้ว่าจุดบนเส้นตรงก่อให้เกิดฟิลด์ปิดจริง R และสามารถแนะนำพิกัดเพื่อให้ระนาบยุคลิดถูกระบุด้วย R ²การใช้ความสามารถในการตัดสินของทฤษฎีฟิลด์ปิดจริง Tarski จึงพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีพื้นฐานของเรขาคณิตยุคลิดมีความสมบูรณ์และสามารถตัดสินได้^{[ 4 ]}

• ฟิลด์เรียงลำดับแบบยุคลิด
• สนามปิด p-adically
• แหวนปิดสนิท

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับสนามปิดจริง

• เซิร์ฟเวอร์เอกสารก่อนตีพิมพ์เรขาคณิตพีชคณิตและเรขาคณิตวิเคราะห์จริง
• เซิร์ฟเวอร์เอกสารฉบับร่างทฤษฎีแบบจำลอง