ทฤษฎี${\displaystyle {\mathcal {S}}}$เป็นทฤษฎีย่อยของทฤษฎีหนึ่ง${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ถ้า${\displaystyle {\mathcal {S}}}$เป็นส่วนย่อยของ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. ถ้า${\displaystyle {\mathcal {T}}}$เป็นส่วนย่อยของ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$แล้ว${\displaystyle {\mathcal {S}}}$เรียกว่าส่วนขยายหรือทฤษฎีขั้นสูงของ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

ทฤษฎีหนึ่งๆ จะเรียกว่าเป็นทฤษฎีแบบนิรนัยถ้า...${\displaystyle {\mathcal {T}}}$เป็นคลาสอุปนัยซึ่งหมายความว่าเนื้อหาของคลาสนี้ขึ้นอยู่กับระบบการอนุมานเชิงรูปแบบและข้อความพื้นฐานบางส่วนถือเป็นสัจพจน์ในทฤษฎีการอนุมาน ประโยคใดๆ ที่เป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะของสัจพจน์หนึ่งข้อหรือมากกว่านั้น ก็เป็นประโยคของทฤษฎีนั้นด้วย^{[ 1 ]}อย่างเป็นทางการมากขึ้น ถ้า${\displaystyle \vdash }$ถ้าเป็น ความสัมพันธ์ผลลัพธ์แบบ Tarski แล้ว${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ปิดภายใต้${\displaystyle \vdash }$(และดังนั้นทฤษฎีบทแต่ละข้อจึงเป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะของสัจพจน์) ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกประโยค${\displaystyle \phi }$ในภาษาของทฤษฎี${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, ถ้า${\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \phi }$, แล้ว${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$หรือในทำนองเดียวกัน ถ้า${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$เป็นเซตย่อยจำกัดของ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$(อาจจะเป็นชุดของสัจพจน์ของ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ในกรณีของทฤษฎีที่สามารถกำหนดสัจพจน์ได้แบบจำกัด) และ${\displaystyle {\mathcal {T}}'\vdash \phi }$, แล้ว${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}'}$และด้วยเหตุนี้${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$.

ทฤษฎีที่สอดคล้องกับโครงสร้างทางไวยากรณ์คือ ทฤษฎีที่ไม่สามารถพิสูจน์ประโยคทุกประโยคในภาษาพื้นฐานได้ (โดยอ้างอิงจากระบบการอนุมาน แบบใดแบบหนึ่ง ซึ่งมักจะชัดเจนจากบริบท) ในระบบการอนุมานแบบใดแบบหนึ่ง (เช่น ตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง) ที่สอดคล้องกับหลักการระเบิด (principle of explosion ) นี่เทียบเท่ากับการที่ต้องไม่มีประโยค φ ใดๆ ที่ทั้ง φ และประโยคปฏิเสธของมันสามารถพิสูจน์ได้จากทฤษฎีนั้น

ทฤษฎีที่สามารถทำให้เป็นจริงได้คือทฤษฎีที่มีแบบจำลองนั่นหมายความว่ามีโครงสร้างMที่สามารถทำให้ทุกประโยคในทฤษฎีเป็นจริงได้ ทฤษฎีที่สามารถทำให้เป็นจริงได้นั้นมีความสอดคล้องกันทางไวยากรณ์ เพราะโครงสร้างที่ทำให้ทฤษฎีเป็นจริงจะทำให้ φ หรือการปฏิเสธของ φ เป็นจริงเพียงหนึ่งเดียว สำหรับแต่ละประโยค φ

บางครั้ง ทฤษฎีที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดให้เป็นทฤษฎีที่สอดคล้องกันทางไวยากรณ์ และบางครั้งก็ถูกกำหนดให้เป็นทฤษฎีที่สามารถทำให้เป็นจริงได้ สำหรับตรรกะลำดับที่หนึ่ง ซึ่งเป็นกรณีที่สำคัญที่สุด ทฤษฎีบทความสมบูรณ์จะสรุปได้ว่าความหมายทั้งสองตรงกัน^{[ 2 ]}ในตรรกะอื่นๆ เช่นตรรกะลำดับที่สองมีทฤษฎีที่สอดคล้องกันทางไวยากรณ์ที่ไม่สามารถทำให้เป็นจริงได้ เช่น ทฤษฎีที่ไม่สอดคล้องกัน แบบω

ทฤษฎีที่สมบูรณ์และสอดคล้องกัน (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าทฤษฎีที่สมบูรณ์ ) คือทฤษฎีที่สอดคล้องกัน${\displaystyle {\mathcal {T}}}$โดยที่สำหรับทุกประโยค φ ในภาษาของมัน φ สามารถพิสูจน์ได้จาก${\displaystyle {\mathcal {T}}}$หรือ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \cup }${φ} ไม่สอดคล้องกัน สำหรับทฤษฎีที่ปิดภายใต้ผลลัพธ์เชิงตรรกะ หมายความว่าสำหรับทุกประโยค φ จะต้องมี φ หรือการปฏิเสธของ φ อยู่ในทฤษฎี^{[ 3 ]}ทฤษฎีที่ไม่สมบูรณ์คือทฤษฎีที่สอดคล้องกันแต่ไม่สมบูรณ์

(ดูทฤษฎีที่สอดคล้องกับค่า ωสำหรับแนวคิดเรื่องความสอดคล้องที่ชัดเจนยิ่งขึ้น)

การตีความทฤษฎีคือความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีกับเนื้อหาบางอย่าง เมื่อมี การจับคู่ แบบหลายต่อหนึ่งระหว่างข้อความพื้นฐานบางอย่างของทฤษฎีกับข้อความบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหา หากข้อความพื้นฐานทุกข้อความในทฤษฎีมีคู่ที่สอดคล้องกัน จะเรียกว่าการตีความแบบสมบูรณ์มิเช่นนั้นจะเรียกว่า การตีความแบบ บางส่วน^{[ 4 ]}

แต่ละโครงสร้างมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องหลายทฤษฎีทฤษฎีที่สมบูรณ์ของโครงสร้างAคือเซตของประโยคลำดับที่หนึ่ง ทั้งหมด เหนือลายเซ็นของAที่สอดคล้องกับAโดยใช้สัญลักษณ์ Th( A ) โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีของKซึ่งเป็นคลาสของโครงสร้าง σ คือเซตของประโยค σ ลำดับที่หนึ่งทั้งหมด ที่สอดคล้องกับโครงสร้างทั้งหมดในKและใช้สัญลักษณ์ Th( K ) เห็นได้ชัดว่า Th( A ) = Th({ A }) แนวคิดเหล่านี้สามารถกำหนดได้โดยสัมพันธ์กับตรรกะอื่นๆ ด้วยเช่นกัน

สำหรับโครงสร้าง σ แต่ละโครงสร้างAจะมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องหลายทฤษฎีในลายเซ็นที่ใหญ่กว่า σ' ซึ่งขยาย σ โดยการเพิ่มสัญลักษณ์ค่าคงที่ใหม่หนึ่งตัวสำหรับแต่ละองค์ประกอบของโดเมนของA (หากสัญลักษณ์ค่าคงที่ใหม่เหล่านี้ตรงกับองค์ประกอบของAที่พวกมันแทน σ' สามารถถือได้ว่าเป็น σ)${\displaystyle \cup }$ก.) ดังนั้น จำนวนสมาชิกของ σ' จึงเป็นจำนวนที่มากกว่าระหว่างจำนวนสมาชิกของ σ และจำนวนสมาชิกของA

แผนภาพของA ประกอบด้วยประโยคอะตอมิกหรือ ประโยค อะตอมิกปฏิเสธ σ' ทั้งหมดที่ Aสอดคล้องและใช้สัญลักษณ์ diag แทน แผนภาพเชิงบวกของAคือเซตของประโยคอะตอมิก σ' ทั้งหมดที่Aสอดคล้อง ใช้สัญลักษณ์ diag ⁺ แทน แผนภาพพื้นฐานของAคือเซต eldiag ของ ประโยค σ' ลำดับที่หนึ่ง ทั้งหมด ที่ Aสอดคล้องหรือเทียบเท่ากับทฤษฎีที่สมบูรณ์ (ลำดับที่หนึ่ง) ของการขยาย ตามธรรมชาติ ของAไปยังสัญลักษณ์ σ'

มีระบบการพิสูจน์อย่างเป็นทางการมากมายสำหรับตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง ซึ่งรวมถึงระบบการอนุมานแบบฮิลเบิร์ตการอนุมานแบบธรรมชาติแคลคูลัสลำดับวิธีการตารางและวิธีการแก้ปัญหา

สูตรAเป็นผลสืบเนื่องทางไวยากรณ์จาก ทฤษฎีลำดับที่หนึ่ง${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$หากมีการหาค่าAโดยใช้สูตรเพียงอย่างเดียวใน${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$ในรูปของสัจพจน์ที่ไม่ใช่เชิงตรรกะ สูตรA ดัง กล่าวเรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบท${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$สัญลักษณ์ "${\displaystyle {\mathcal {QS}}\vdash A}$" บ่งชี้ว่าAเป็นทฤษฎีบทของ${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$.

การตีความทฤษฎีอันดับหนึ่งให้ความหมายเชิงความหมายสำหรับสูตรของทฤษฎีนั้น การตีความจะถือว่าสอดคล้องกับสูตรก็ต่อเมื่อสูตรนั้นเป็นจริงตามการตีความนั้น แบบจำลองของทฤษฎีอันดับหนึ่ง${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$เป็นการตีความที่สูตรทุกสูตรของ${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$รู้สึกพึงพอใจ

ทฤษฎีอันดับแรก${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$เป็นทฤษฎีอันดับแรกที่มีเอกลักษณ์ ถ้า${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$รวมถึงสัญลักษณ์ความสัมพันธ์เอกลักษณ์ "=" และแผนผังสัจพจน์การสะท้อนและการแทนที่สำหรับสัญลักษณ์นี้

• ทฤษฎีความกะทัดรัด
• ชุดที่สอดคล้องกัน
• ทฤษฎีบทการหักล้าง
• บทพิสูจน์ของลินเดนบอม
• ทฤษฎีบทโลเวนไฮม์-สโกเลม