ในปี ค.ศ. 1551 โดมิงโก เดอ โซโตเป็นคนแรกที่ระบุว่าวัตถุที่ตกอย่างอิสระจะมีความเร่งสม่ำเสมอ และความเร่งนี้เกิดจากมวลของโลก^{[ 3 ]}แนวคิดสำคัญทางฟิสิกส์นี้มีความสำคัญต่อการศึกษาแรงโน้มถ่วงในภายหลังโดยกาลิเลโอและนิวตัน กาลิเลโอให้เครดิตเดอ โซโตว่าเป็นแรงบันดาลใจและแหล่งที่มาของการศึกษาของเขา แต่ไอแซค นิวตัน แม้จะเคยอ่านงานของกาลิเลโอ กาลิเลอี ก็ไม่เคยกล่าวถึงเขา ในศตวรรษที่ 20 ปิแอร์ ดูเฮมให้เครดิตเขาในความสำเร็จที่สำคัญในด้านพลศาสตร์และมองว่างานของเขาเป็นผู้บุกเบิกกลศาสตร์สมัยใหม่^{[ 4 ] [ 5 ]}

ตามเรื่องเล่าที่อาจจะไม่เป็นความจริง ในช่วงปี ค.ศ. 1589–1592 กาลิเลโอได้ปล่อยวัตถุสองชิ้นที่มีมวลไม่เท่ากันจากหอเอนเมืองปิซาเนื่องจากความเร็วในการตกเช่นนั้น จึงเป็นที่น่าสงสัยว่ากาลิเลโอจะสามารถได้ข้อมูลอะไรมากมายจากการทดลองนี้ การสังเกตการณ์วัตถุตกส่วนใหญ่ของเขาแท้จริงแล้วเป็นการสังเกตการณ์วัตถุที่กลิ้งลงมาตามทางลาด ซึ่งทำให้การเคลื่อนที่ช้าลงมากพอที่เขาจะสามารถวัดช่วงเวลาได้ด้วยนาฬิกาน้ำและชีพจรของเขาเอง (นาฬิกาจับเวลายังไม่ถูกประดิษฐ์ขึ้นในเวลานั้น) เขาทำการทดลองนี้ซ้ำ "หนึ่งร้อยครั้งเต็ม" จนกระทั่งเขาได้ "ความแม่นยำที่ความคลาดเคลื่อนระหว่างการสังเกตการณ์สองครั้งไม่เกินหนึ่งในสิบของจังหวะชีพจร" ในช่วงปี ค.ศ. 1589–1592 กาลิเลโอได้เขียนDe Motu Antiquioraซึ่งเป็นต้นฉบับที่ยังไม่ได้รับการตีพิมพ์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุตก

นี่คือกรณี "ตามตำรา" ของการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของวัตถุที่ตกลงมาจากระยะทางสั้นๆ ใกล้กับพื้นผิวของดาวเคราะห์ มันเป็นการประมาณที่ดีในอากาศ ตราบใดที่แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อวัตถุมีค่ามากกว่าแรงต้านอากาศมาก หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ความเร็วของวัตถุมีค่าน้อยกว่าความเร็วปลาย (ดูด้านล่าง) เสมอ

${\displaystyle v(t)=v_{0}-gt\,}$และ

${\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2},}$

ที่ไหน

${\displaystyle v_{0}\,}$คือส่วนประกอบแนวตั้งเริ่มต้นของความเร็ว (เมตร/วินาที)

${\displaystyle v(t)\,}$คือส่วนประกอบแนวตั้งของความเร็ว ณ จุดนั้น${\displaystyle t\,}$(เมตร/วินาที)

${\displaystyle y_{0}\,}$คือระดับความสูงเริ่มต้น (เมตร)

${\displaystyle y(t)\,}$ระดับความสูงอยู่ที่${\displaystyle t\,}$(ม.)

${\displaystyle t\,}$คือเวลาที่ผ่านไป (วินาที)

${\displaystyle g\,}$คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (9.81 m/s² ^ใกล้พื้นผิวโลก)

ถ้าความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์ ระยะทางที่ตกลงมาจากตำแหน่งเริ่มต้นจะเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของเวลาที่ผ่านไป:

${\displaystyle v(t)=-gt}$และ${\displaystyle y_{0}-y(t)={\frac {1}{2}}gt^{2}.}$

ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากผลรวมของจำนวนคี่เท่ากับกำลังสองสมบูรณ์ระยะทางที่ตกลงมาในช่วงเวลาต่อเนื่องจึงเพิ่มขึ้นตามจำนวนคี่ คำอธิบายพฤติกรรมของวัตถุที่ตกลงมานี้มาจากกาลิเลโอ^{[ 8 ]}

กรณีนี้ใช้ได้กับนักกระโดดร่ม นักโดดร่ม หรือวัตถุที่มีมวลใดๆ ก็ตาม${\displaystyle m}$และพื้นที่หน้าตัด${\textstyle A,}$ด้วยเลขเรย์โนลด์${\textstyle Re}$สูงกว่าเลขเรย์โนลด์วิกฤตมาก ทำให้แรงต้านอากาศแปรผันตรงกับกำลังสองของความเร็วในการตก${\textstyle v}$,

มันมีสมการการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งในระบอบของนิวตัน

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\tfrac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}$

ที่ไหน${\displaystyle \rho }$ความหนาแน่นของ อากาศ และ${\displaystyle C_{\คณิตศาสตร์ {D} }}$คือค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านซึ่งถือว่าคงที่ (${\textstyle Re>1000}$(อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วจะขึ้นอยู่กับเลขเรย์โนลด์)

สมมติว่าวัตถุตกลงมาจากจุดหยุดนิ่ง และความหนาแน่นของอากาศไม่เปลี่ยนแปลงตามระดับความสูง (ก๊าซในอุดมคติ?)${\textstyle 1/\rho =RT/p}$) คำตอบคือ:

${\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}$

โดยที่ความเร็วปลายกำหนดโดย

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}}\,.}$

สามารถนำความเร็วของวัตถุเทียบกับเวลามาทำการอินทิเกรตในช่วงเวลา เพื่อหาตำแหน่งในแนวดิ่งที่เป็นฟังก์ชันของเวลาได้:

${\displaystyle y=y_{0}+{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).}$

เมื่อใช้ค่า ความเร็วปลายของมนุษย์ที่ 56 เมตร/วินาที จะพบว่าหลังจาก 10 วินาที เขาจะตกลงมาได้ 348 เมตร และมีความเร็วปลาย 94% และหลังจาก 12 วินาที เขาจะตกลงมาได้ 455 เมตร และมีความเร็วปลาย 97% สนามโน้มถ่วงขึ้นอยู่กับตำแหน่ง (แนวตั้ง) g(y): เมื่อ${\textstyle y_{0}\ll R,}$${\textstyle g/g_{o}=1-2y_{0}/R.}$ลดลงอย่างเป็นเส้นตรงตามความสูง ความสูงน้อยเมื่อเทียบกับรัศมีของโลก${\textstyle R=}$6379  กม.

อย่างไรก็ตาม เมื่อไม่สามารถถือว่าความหนาแน่นของอากาศคงที่ได้ เช่น ในกรณีของวัตถุที่ตกลงมาจากที่สูง สมการการเคลื่อนที่ก็จะยากต่อการแก้ด้วยวิธีวิเคราะห์มากขึ้น และโดยปกติแล้วจำเป็นต้องใช้การจำลองเชิงตัวเลขของการเคลื่อนที่ รูปแสดงแรงที่กระทำต่ออุกกาบาตขนาดเล็กที่ตกลงมาผ่านชั้นบรรยากาศชั้นบนของโลก (ความเร่ง 1.0  กม./วินาที²)${\textstyle 100g_{0}}$การกระโดด HALOรวมถึง การกระโดดทำลายสถิติของ Joe KittingerและFelix Baumgartnerก็จัดอยู่ในประเภทนี้เช่นกัน^{[ 9 ]}

อาจกล่าวได้ว่าวัตถุสองชิ้นในอวกาศที่โคจรรอบกันโดยปราศจากแรงอื่นใดนั้น จะอยู่ในสภาวะตกอย่างอิสระรอบกัน เช่น ดวงจันทร์หรือดาวเทียมที่ "ตกรอบ" โลก หรือดาวเคราะห์ที่ "ตกรอบ" ดวงอาทิตย์ การสมมติว่าวัตถุเป็นทรงกลมหมายความว่าสมการการเคลื่อนที่นั้นอยู่ภายใต้กฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันโดยคำตอบของปัญหาแรงโน้มถ่วงของวัตถุสองชิ้นคือวงโคจรวงรีที่สอดคล้องกับกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุที่ตกใกล้โลกและวัตถุที่โคจรรอบกันนั้น แสดงให้เห็นได้ดีที่สุดด้วยการทดลองทางความคิด เรื่อง ลูกปืนใหญ่ของนิวตัน

การเคลื่อนที่ของวัตถุสองชิ้นที่เคลื่อนที่เข้าหากันในแนวรัศมีโดยไม่มีโมเมนตัมเชิงมุมสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของวงโคจรวงรีที่มีความเยื้องศูนย์e = 1 ( วิถีวงรีในแนวรัศมี ) ซึ่งทำให้สามารถคำนวณเวลาตกอย่างอิสระสำหรับวัตถุจุดสองชิ้นบนเส้นทางในแนวรัศมีได้ คำตอบของสมการการเคลื่อนที่นี้จะให้ค่าเวลาเป็นฟังก์ชันของระยะห่าง:

${\displaystyle t(y)={\sqrt {\tfrac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}{\bigl (}{\sqrt {{\tfrac {y}{y_{0}}}\left(1-{\tfrac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\tfrac {y}{y_{0}}}}{\bigr )},}$

ที่ไหน

${\displaystyle t}$คือช่วงเวลาหลังจากเริ่มต้นฤดูใบไม้ร่วง

${\displaystyle y}$คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวัตถุ

${\displaystyle y_{0}}$คือค่าเริ่มต้นของ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})}$เป็นพารามิเตอร์ความโน้มถ่วงมาตรฐาน

การแทนที่${\textstyle y=0}$เราได้รับเวลาตกอย่างอิสระ

${\displaystyle t_{\text{ff}}=\pi {\sqrt {y_{0}^{3}/(8\mu )}}}$และ${\displaystyle t/t_{\text{ff}}=2/\pi \left({\sqrt {y_{r}\left(1-y_{r}\right)}}+\arccos {\sqrt {y_{r}}}\right),}$

ซึ่งประกอบด้วยเวลาt (ไม่มีหน่วย) และระยะทางสัมพัทธ์y (1↘0)

• การแยกสามารถแสดงได้อย่างชัดเจนเป็นฟังก์ชันของเวลา: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle y(t)=y_{0}~Q(1-{\frac {t}{t_{\text{ff}}}};{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})~,}$ที่ไหน${\textstyle Q(x;\alpha ,\beta )}$คือฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงเบตา ;

• หรือเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเบตาไม่สมบูรณ์แบบปรับค่า${\textstyle I_{x}(\alpha ,\beta ).}$
• ${\displaystyle I_{x}({\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\mathrm {B} (x;\,{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})}{\mathrm {B} ({\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})}},}$กับ${\displaystyle B(x)=\int _{0}^{x}t^{1/2}\,(1-t)^{-1/2}\,dt=\int _{0}^{x}[t/(1-t)]^{1/2}\,dt}$และตัวหาร:${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{2}})\,\Gamma ({\tfrac {1}{2}})}{\Gamma (2)}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\cdot {\sqrt {\pi }}/[{\frac {3!}{({\tfrac {3}{2}})!2^{3}}}{\sqrt {\pi }}]={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {\pi }}\cdot ({\tfrac {3}{2}})!}$^{[ 11 ]}

• เศษ:${\displaystyle \int _{0}^{x}1/[{\frac {1}{t}}-1]^{1/2}\,dt=int(t=x)-int(t=0)}$โดยที่ 0 < t < 1

วิธีแก้ปัญหานี้สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำด้วยอนุกรมกำลัง เชิงวิเคราะห์เช่นกัน :

${\displaystyle y(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\cdot \lim _{r\to 0}{\bigl (}{\tfrac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left[r^{n}\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{-{\frac {2}{3}}n}\right]{\bigr )}=}$

${\displaystyle x/\lim _{r\to 0}[\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{\frac {2}{3}}]'+{\tfrac {x^{2}}{2!}}\lim _{r\to 0}({\tfrac {\mathrm {d} ^{1}}{\mathrm {d} r^{1}}}{\bigl [}r^{2}\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{-{\frac {4}{3}}}{\bigr ]})}$

${\displaystyle +{\tfrac {x^{3}}{3!}}\lim _{r\to 0}{\bigl (}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}\left[r^{3}\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{-2}\right]{\bigr )}+\cdots }$^{[ 12 ]}

การประเมินนี้จะให้ผลลัพธ์ดังนี้: ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle y(t)/y_{0}=x-{\tfrac {1}{5}}x^{2}-{\tfrac {3}{175}}x^{3}-{\tfrac {23}{7875}}x^{4}-{\tfrac {1894}{3,031875}}x^{5}-{\tfrac {3293}{21,896875}}x^{6}-{\tfrac {2,418092}{62,077,640625}}x^{7}-\cdots }$

${\displaystyle =x-{\tfrac {1}{5}}x[x+({\tfrac {3}{7}}x^{2}+{\tfrac {23}{315}}x^{3}+{\tfrac {1894}{121,275}}x^{4}+{\tfrac {3293}{875,875}}x^{5}+{\tfrac {2,418092}{2,483,105625}}x^{6}+\cdots ){\tfrac {1}{5}}]}$

${\displaystyle =x(1-{\tfrac {1}{5}}x[1+{\tfrac {x}{5}}({\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {x}{5}}{\bigl (}{\tfrac {23}{63}}+{\tfrac {1894}{24,255}}x+{\tfrac {3293}{175,175}}x^{2}+{\tfrac {2,418092}{496,621125}}x^{3}{\bigr )}+\cdots )]),}$

ที่ไหน

${\displaystyle x=\left[{\tfrac {3}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}-t{\sqrt {\tfrac {2\mu }{{y_{0}}^{3}}}}\right)\right]^{2/3}=[{\tfrac {3}{4}}\pi \cdot (1-t/t_{\text{ff}})]^{2/3}.}$^{[ 15 ]}

พหุนามนี้ยากที่จะบรรลุและไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่ใช้ได้ผล^{[ 16 ]}