เมื่อ แสงตกกระทบ ในมุมเฉียงใกล้ขอบพื้นผิวของสื่อจะดูเหมือนกระจก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากการสะท้อนของ โพลาไรเซชัน sแม้ว่าสื่อเหล่านั้นจะสะท้อนแสงได้ไม่ดีนักเมื่อแสงตกกระทบในมุมปกติแว่นกันแดดแบบโพลาไรซ์จะปิดกั้น โพลาไรเซชัน sซึ่งช่วยลดแสงสะท้อนจากพื้นผิวแนวนอนได้อย่างมาก

สมการเฟรสเนล (หรือสัมประสิทธิ์เฟรสเนล ) อธิบายการสะท้อนและการส่งผ่านของแสง (หรือรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าโดยทั่วไป) เมื่อตกกระทบที่รอยต่อระหว่างตัวกลางทาง แสงที่แตกต่างกัน สม การเหล่านี้ถูกคิดค้นโดยวิศวกรและนักฟิสิกส์ ชาวฝรั่งเศส ออกัสติน-ฌอง เฟรสเนล ( / f r eɪ ˈ n ɛ l / ) ซึ่งเป็นคนแรกที่เข้าใจว่าแสงเป็นคลื่นตามขวางในขณะที่ไม่มีใครตระหนักว่าคลื่นเหล่านั้นคือสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก เป็นครั้งแรกที่ สามารถเข้าใจ การโพลาไรเซชันในเชิงปริมาณได้ เนื่องจากสมการของเฟรสเนลทำนายพฤติกรรมที่แตกต่างกันของคลื่นโพลาไรเซชัน แบบ sและpที่ตกกระทบที่รอยต่อของวัสดุ ได้อย่างถูกต้อง

_{เมื่อแสงตกกระทบ กับ}รอยต่อระหว่างตัวกลางที่มีดัชนีหักเหn1และตัวกลางที่สองที่มีดัชนีหักเหn2ทั้งการสะท้อนและการหักเหของแสงอาจเกิดขึ้นได้ สมการของเฟรสเนลจะให้ค่าอัตราส่วนของ สนามไฟฟ้าของคลื่น สะท้อนต่อสนามไฟฟ้าของคลื่นตกกระทบ และอัตราส่วนของ สนามไฟฟ้าของคลื่น ส่งผ่าน ต่อสนามไฟฟ้าของคลื่นตกกระทบ _{สำหรับ}แต่ละองค์ประกอบของโพลาไรเซชันทั้งสอง ( สนาม แม่เหล็กก็สามารถหาความสัมพันธ์ได้โดยใช้สัมประสิทธิ์ที่คล้ายกัน) โดยทั่วไปแล้วอัตราส่วนเหล่านี้จะมีจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งอธิบายไม่เพียงแต่แอมพลิจูดสัมพัทธ์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการเปลี่ยนแปลงเฟสที่รอยต่อ ด้วย

สมการเหล่านี้ถือว่าอินเทอร์เฟซระหว่างสื่อเป็นแบบเรียบ และสื่อนั้นเป็นเนื้อเดียวกันและไอโซโทรปิก [ ^{1 ] ถือว่า}แสงตกกระทบเป็นคลื่นระนาบซึ่งเพียงพอที่จะแก้ปัญหาใดๆ ได้ เนื่องจากสนามแสงตกกระทบใดๆ ก็สามารถแยกออกเป็นคลื่นระนาบและโพลาไรเซชันได้

มีสัมประสิทธิ์เฟรสเนลสองชุดสำหรับ ส่วนประกอบ โพลาไรเซชัน เชิงเส้นสองแบบที่แตกต่างกัน ของคลื่นตกกระทบ เนื่องจากสถานะโพลาไรเซชัน ใดๆ ก็สามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบของโพลาไรเซชันเชิงเส้นสองแบบที่ตั้งฉากกันได้ ดังนั้นจึงเพียงพอสำหรับปัญหาใดๆ ในทำนองเดียวกัน แสง ที่ไม่โพลาไรซ์ (หรือ "โพลาไรซ์แบบสุ่ม") มีพลังงานเท่ากันในแต่ละโพลาไรเซชันเชิงเส้นทั้งสองแบบ

การโพลาไรเซชันแบบ s หมายถึงการโพลาไรเซชันของสนามไฟฟ้าของคลื่นที่ตั้งฉากกับระนาบตกกระทบ ( ทิศทาง zในการคำนวณด้านล่าง) ในกรณีนั้น สนามแม่เหล็กจะอยู่ในระนาบตกกระทบ การโพลาไรเซชันแบบ p หมายถึงการโพลาไรเซชันของสนามไฟฟ้าที่อยู่ในระนาบตกกระทบ ( ระนาบ xyในการคำนวณด้านล่าง) ในกรณีนั้น สนามแม่เหล็กจะตั้งฉากกับระนาบตกกระทบ ชื่อ "s" และ "p" สำหรับส่วนประกอบของการโพลาไรเซชันนั้นมาจากภาษาเยอรมัน "senkrecht" (ตั้งฉากหรือปกติ) และ "parallel" (ขนานกับระนาบตกกระทบ)

แม้ว่าการสะท้อนและการส่งผ่านจะขึ้นอยู่กับโพลาไรเซชัน แต่ที่มุมตกกระทบปกติ ( θ = 0 ) จะไม่มีความแตกต่างระหว่างกัน ดังนั้นสถานะโพลาไรเซชันทั้งหมดจึงถูกควบคุมโดยชุดสัมประสิทธิ์เฟรสเนลชุดเดียว (และกรณีพิเศษอีกกรณีหนึ่งซึ่งจะกล่าวถึงต่อ ไป )

ในแผนภาพคลื่น ระนาบตกกระทบ ในทิศทางของรังสีIOกระทบกับรอยต่อระหว่างตัวกลางสองตัวที่มีดัชนีหักเหn ₁และn ₂ที่จุดOส่วนหนึ่งของคลื่นสะท้อนไปในทิศทาง ORและอีกส่วนหนึ่งหักเหไปในทิศทางOTมุมที่รังสีตกกระทบ รังสีสะท้อน และรังสีหักเหทำกับเส้นตั้งฉากของรอยต่อคือθ _i , θ _rและθ _tตามลำดับ ความสัมพันธ์ระหว่างมุมเหล่านี้กำหนดโดยกฎการสะท้อน : และกฎของสเนลล์ :$${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {r} },}$$$${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{\mathrm {i} }=n_{2}\sin \theta _{\mathrm {t} }.}$$

พฤติกรรมของแสงที่กระทบกับพื้นผิวสามารถอธิบายได้โดยพิจารณาจากสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่ประกอบกันเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าและกฎของแม่เหล็กไฟฟ้าดังแสดงด้านล่างอัตราส่วนของแอมพลิจูดสนามไฟฟ้า (หรือสนามแม่เหล็ก) ของคลื่นจะถูกหาได้ แต่ในทางปฏิบัติ มักจะสนใจสูตรที่กำหนด ค่าสัมประสิทธิ์ กำลัง มากกว่า เนื่องจากกำลัง (หรือความเข้มของแสง ) เป็นสิ่งที่สามารถวัดได้โดยตรงที่ความถี่แสง กำลังของคลื่นโดยทั่วไปเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของแอมพลิจูดสนามไฟฟ้า (หรือสนามแม่เหล็ก)

เราเรียกเศษส่วนของพลังงาน ตก กระทบที่สะท้อนจากส่วนต่อประสานว่าค่าการสะท้อน (หรือ ค่า การสะท้อนหรือสัมประสิทธิ์การสะท้อนพลังงาน ) Rและเศษส่วนที่หักเหเข้าไปในตัวกลางที่สองเรียกว่าค่าการส่งผ่าน (หรือ ค่า การส่งผ่านหรือสัมประสิทธิ์การส่งผ่านพลังงาน ) Tโปรดทราบว่าสิ่งเหล่านี้คือสิ่งที่จะวัดได้ตรงแต่ละด้านของส่วนต่อประสานและไม่ได้คำนึงถึงการลดทอนของคลื่นในตัวกลางดูดซับหลังจากการส่งผ่านหรือการสะท้อน^{[ 2 ]}

ค่าการสะท้อนแสงสำหรับแสงโพลาไรซ์แบบ sคือ ในขณะที่ค่าการสะท้อนแสงสำหรับแสงโพลาไรซ์แบบ pคือ โดยที่Z ₁และZ ₂คือค่าความต้านทานคลื่นของตัวกลางที่ 1 และ 2 ตามลำดับ $${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2},}$$$${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\ขวา|^{2},}$$

เราถือว่าสื่อไม่มีคุณสมบัติทางแม่เหล็ก (เช่นμ ₁ = μ ₂ = μ ₀ ) ซึ่งโดยทั่วไปถือเป็นการประมาณที่ดีที่ความถี่แสง (และสำหรับสื่อโปร่งใสที่ความถี่อื่นๆ) ^{[ 3 ]}จากนั้นค่าความต้านทานของคลื่นจะถูกกำหนดโดยดัชนีหักเหn ₁และn ₂ เท่านั้น โดย ที่Z ₀คือค่าความต้านทานของพื้นที่ว่างและi = 1, 2เมื่อทำการแทนที่นี้ เราจะได้สมการโดยใช้ดัชนีหักเห: $${\displaystyle Z_{i}={\frac {Z_{0}}{n_{i}}}\,,}$$$${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{\คณิตศาสตร์ {i} }+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}}\right|^{2}\!,}$$$${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}{\sqrt {1-\ซ้าย({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}\!.}$$

รูปแบบที่สองของแต่ละสมการได้มาจากรูปแบบแรกโดยการกำจัด_θt โดยใช้กฎของสเนลล์และเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

ผลจากการอนุรักษ์พลังงานเราสามารถหาพลังงานที่ส่งผ่าน (หรือที่ถูกต้องกว่านั้นคือความเข้มของการแผ่รังสี : พลังงานต่อหน่วยพื้นที่) ได้ง่ายๆ โดยคิดเป็นสัดส่วนของพลังงานที่ตกกระทบซึ่งไม่ได้สะท้อนกลับ: ^{[ 4 ]} และ $${\displaystyle T_{\mathrm {s} }=1-R_{\mathrm {s} }}$$$${\displaystyle T_{\mathrm {p} }=1-R_{\mathrm {p} }}$$

โปรดทราบว่าความเข้มทั้งหมดดังกล่าววัดในแง่ของความเข้มของการแผ่รังสีของคลื่นในทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิว ซึ่งเป็นสิ่งที่วัดได้ในการทดลองทั่วไปเช่นกัน ตัวเลขดังกล่าวสามารถหาได้จากความเข้มของการแผ่รังสีในทิศทางของคลื่นตกกระทบหรือคลื่นสะท้อน (กำหนดโดยขนาดของเวกเตอร์ Poynting ของคลื่น ) คูณด้วยcos θสำหรับคลื่นที่ทำมุมθกับทิศทางตั้งฉาก (หรือเทียบเท่ากับการหาผลคูณดอทของเวกเตอร์ Poynting กับเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับพื้นผิว) ความซับซ้อนนี้สามารถละเลยได้ในกรณีของสัมประสิทธิ์การสะท้อน เนื่องจากcos θ _i = cos θ _rดังนั้นอัตราส่วนของความเข้มของการแผ่รังสีสะท้อนต่อความเข้มของการแผ่รังสีตกกระทบในทิศทางของคลื่นจึงเท่ากับในทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิว

แม้ว่าความสัมพันธ์เหล่านี้จะอธิบายหลักฟิสิกส์พื้นฐาน แต่ในการใช้งานจริงหลายๆ ครั้ง เรามักสนใจ "แสงธรรมชาติ" ซึ่งสามารถอธิบายได้ว่าเป็นแสงที่ไม่เกิดการโพลาไรซ์ นั่นหมายความว่าพลังงานในโพลาไรซ์แบบsและp มีปริมาณเท่ากัน ดังนั้น ค่าการสะท้อนแสง ที่มีประสิทธิภาพของวัสดุจึงเป็นค่าเฉลี่ยของค่าการสะท้อนแสงทั้งสองแบบ: $${\displaystyle R_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{2}}\left(R_{\mathrm {s} }+R_{\mathrm {p} }\right)}$$

สำหรับการใช้งานที่ต้องการความแม่นยำต่ำและเกี่ยวข้องกับแสงที่ไม่เป็นโพลาไรซ์ เช่นกราฟิกคอมพิวเตอร์แทนที่จะคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนที่มีประสิทธิภาพสำหรับแต่ละมุมอย่างเคร่งครัดมักจะใช้ การประมาณของชลิคแทน

ในกรณีการตกกระทบแบบตั้งฉากθ _i = θ _t = 0และไม่มีความแตกต่างระหว่างโพลาไรเซชันแบบ s และ p ดังนั้น ค่าการสะท้อนจึงลดรูปเหลือเพียง $${\displaystyle R_{0}=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\,.}$$

สำหรับกระจกธรรมดา ( n ₂ ≈ 1.5 ) ที่ล้อมรอบด้วยอากาศ ( n ₁ = 1 ) จะเห็นได้ว่าค่าการสะท้อนแสงที่มุมตกกระทบปกติอยู่ที่ประมาณ 4% หรือ 8% หากพิจารณาทั้งสองด้านของแผ่นกระจก

ที่รอยต่อของวัสดุไดอิเล็กทริกจาก n ₁ไปยังn ₂จะมีมุมตกกระทบเฉพาะมุมหนึ่งที่R _pมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ และคลื่นตกกระทบแบบโพลาไรซ์ p จะหักเหอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นแสงสะท้อนทั้งหมดจึงเป็นแบบโพลาไรซ์ s มุมนี้เรียกว่ามุมของบริวสเตอร์ (Brewster's angle)ซึ่งมีค่าประมาณ 56° สำหรับn ₁ = 1และn ₂ = 1.5 (แก้วทั่วไป)

เมื่อแสงที่เดินทางในตัวกลางที่มีความหนาแน่นมากกว่าตกกระทบกับพื้นผิวของตัวกลางที่มีความหนาแน่นน้อยกว่า (เช่นn ₁ > n ₂ ) ที่มุมตกกระทบเกินกว่ามุมตกกระทบค่าหนึ่งที่เรียกว่ามุมวิกฤตแสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับและR _s = R _p = 1ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการสะท้อนกลับภายในทั้งหมดเกิดขึ้นที่มุมตกกระทบซึ่งกฎของสเนลล์ทำนายว่าค่าไซน์ของมุมหักเหจะมากกว่าหนึ่ง (ในขณะที่ในความเป็นจริงsin θ ≤ 1 สำหรับ θ ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด) สำหรับแก้วที่มีn = 1.5ที่ล้อมรอบด้วยอากาศ มุมวิกฤตจะมีค่าประมาณ 42°

การสะท้อนที่มุมตกกระทบ 45° มักใช้สำหรับการเลี้ยว 90° สำหรับกรณีที่แสงเดินทางจากตัวกลางที่มีความหนาแน่นน้อยกว่าไปยังตัวกลางที่มีความหนาแน่นมากกว่าที่มุมตกกระทบ 45° ( θ = 45° ) จะสามารถสรุปได้จากสมการข้างต้นทางพีชคณิตว่าR _pเท่ากับกำลังสองของR _s : $${\displaystyle R_{\text{p}}=R_{\text{s}}^{2}}$$

สามารถใช้ความสัมพันธ์นี้เพื่อตรวจสอบความสอดคล้องของการวัดค่าR _sและR _pหรือเพื่อหาค่าใดค่าหนึ่งเมื่อทราบค่าอีกค่าหนึ่งแล้ว ความสัมพันธ์นี้ใช้ได้เฉพาะกับกรณีง่ายๆ ของพื้นผิวระนาบเดียวระหว่างวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันสองชนิดเท่านั้น ไม่ใช่สำหรับฟิล์มบนพื้นผิวรองรับ ซึ่งต้องใช้การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนกว่า

การวัดค่าR _sและR _pที่มุม 45° สามารถนำมาใช้ประมาณค่าการสะท้อนแสงที่มุมตกกระทบปกติได้ ค่าเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยที่ได้จากการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของR _sและR _pก่อน แล้วนำค่าเฉลี่ยทั้งสองนี้มาหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตอีกครั้ง จะได้ค่าR ₀ที่มีข้อผิดพลาดน้อยกว่าประมาณ 3% สำหรับวัสดุทางแสงทั่วไปส่วนใหญ่ วิธีนี้มีประโยชน์เพราะการวัดค่าที่มุมตกกระทบปกติอาจทำได้ยากในการทดลอง เนื่องจากลำแสงที่เข้ามาและตัวตรวจจับจะบดบังกัน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากค่าR _sและR _p มีความสัมพันธ์ กับมุมตกกระทบน้อยมากสำหรับมุมที่ต่ำกว่า 10° การวัดที่มุมประมาณ 5° จึงมักเป็นการประมาณค่าที่ดีสำหรับการตกกระทบปกติ ในขณะที่ยังคงแยกแสงที่เข้ามาและแสงสะท้อนออกจากกันได้

สมการข้างต้นที่เชื่อมโยงกำลัง (ซึ่งสามารถวัดได้ด้วยโฟโตมิเตอร์เป็นต้น) ได้มาจากสมการของเฟรสเนล ซึ่งแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ในแง่ของแอมพลิจูดเชิงซ้อน ของ สนามแม่เหล็กไฟฟ้า กล่าวคือ พิจารณา การเปลี่ยนแปลง เฟสนอกเหนือจาก แอม พลิจูด สมการพื้นฐานเหล่านั้นให้ค่าอัตราส่วนเชิงซ้อนของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเหล่านั้น และอาจมีรูปแบบที่แตกต่างกันหลายแบบ ขึ้นอยู่กับรูปแบบที่ใช้ สัมประสิทธิ์แอมพลิจูดเชิงซ้อนสำหรับการสะท้อนและการส่งผ่านมักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์เล็กrและt (ในขณะที่สัมประสิทธิ์กำลังจะใช้ตัวพิมพ์ใหญ่) เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ เราสมมติว่า ค่าสภาพซึมผ่าน _ของแม่เหล็กµของทั้งสองตัวกลางเท่ากับค่าสภาพซึมผ่านของสุญญากาศµ₀ซึ่งเป็นจริงโดยพื้นฐานสำหรับไดอิเล็กทริกทั้งหมดที่ความถี่แสง

ในสมการและกราฟต่อไปนี้ เราใช้ข้อกำหนดดังต่อไปนี้ สำหรับ การโพลาไรเซชัน แบบ sสัมประสิทธิ์การสะท้อนrถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของแอมพลิจูดสนามไฟฟ้าเชิงซ้อนของคลื่นสะท้อนต่อแอมพลิจูดสนามไฟฟ้าเชิงซ้อนของคลื่นตกกระทบ ในขณะที่สำหรับการโพลาไรเซชันแบบ p rคืออัตราส่วนของ แอมพลิจูดสนาม แม่เหล็ก เชิงซ้อนของคลื่น (หรือเทียบเท่ากับ ค่า ลบของอัตราส่วนของแอมพลิจูดสนามไฟฟ้า) สัมประสิทธิ์การส่งผ่านtคืออัตราส่วนของแอมพลิจูดสนามไฟฟ้าเชิงซ้อนของคลื่นส่งผ่านต่อแอมพลิจูดสนามไฟฟ้าเชิงซ้อนของคลื่นตกกระทบ ไม่ว่าจะเป็นโพลาไรเซชันแบบใดก็ตาม โดยทั่วไปแล้วสัมประสิทธิ์rและtจะแตกต่างกันระหว่างโพลาไรเซชันแบบsและpและแม้แต่ที่มุมตกกระทบปกติ (ซึ่งการกำหนดsและpไม่ได้ถูกนำมาใช้ด้วยซ้ำ!) เครื่องหมายของrจะกลับกันขึ้นอยู่กับว่าคลื่นนั้นถือว่าเป็น โพลาไรเซชันแบบ sหรือpซึ่งเป็นผลมาจากข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมาย ที่ใช้ (ดูกราฟสำหรับส่วนต่อประสานระหว่างอากาศกับกระจกที่มุมตกกระทบ 0°)

สมการเหล่านี้พิจารณาคลื่นระนาบที่ตกกระทบกับระนาบผิวสัมผัสด้วยมุมตกกระทบ θ , คลื่นสะท้อนที่มุม θ และคลื่นส่งผ่านที่มุมθ ในกรณีของพื้นผิวสัมผัสที่เข้าไปในวัสดุดูดซับ (ซึ่งnเป็นจำนวนเชิงซ้อน) หรือการสะท้อนกลับภายในทั้งหมด มุมการส่งผ่านโดยทั่วไปจะไม่เป็นจำนวนจริงอย่างไรก็ตาม ในกรณีนั้น สามารถได้ผลลัพธ์ที่มีความหมายโดยใช้สูตรของความสัมพันธ์เหล่านี้ซึ่งหลีกเลี่ยงฟังก์ชันตรีโกณมิติ และมุมทางเรขาคณิต คลื่นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันที่ส่งเข้าไปในตัวกลางที่สองไม่สามารถอธิบายได้โดยใช้มุมการแพร่กระจายเพียงมุมเดียว ${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {r} }=\theta _{\mathrm {i} }}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {t} }}$

โดยใช้ธรรมเนียมนี้^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{aligned}}}$$

ในกรณีที่ค่าสภาพซึมผ่านของแม่เหล็กมีค่าไม่น้อย สมการจะเปลี่ยนไป โดยที่ทุกครั้งที่ปรากฏจะถูกแทนที่ด้วย(สำหรับทั้งสองกรณี) ${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle n_{i}/\mu _{i}}$${\displaystyle i=1,2}$

จะเห็นได้ว่าt _s = r _s + 1 ^{[ 7 ]}และ⁠n ₂/n ₁t p = r _p + 1เราสามารถเขียนสมการที่คล้ายกันมากโดยใช้กับอัตราส่วนของสนามแม่เหล็กของคลื่นได้ แต่การเปรียบเทียบสนามไฟฟ้าเป็นวิธีที่นิยม _{มากกว่า}

เนื่องจากคลื่นสะท้อนและคลื่นตกกระทบแพร่กระจายในตัวกลางเดียวกันและทำมุมเดียวกันกับแนวตั้งฉากกับพื้นผิว ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนกำลังRจึงเป็นเพียงค่ากำลังสองของขนาดr : ^{[ 8 ]}$${\displaystyle R=|r|^{2}.}$$

ในทางกลับกัน การคำนวณสัมประสิทธิ์การส่งผ่านพลังงานTนั้นไม่ตรงไปตรงมานัก เนื่องจากแสงเดินทางในทิศทางที่แตกต่างกันในตัวกลางทั้งสอง ยิ่งไปกว่านั้น อิมพีแดนซ์ของคลื่นในตัวกลางทั้งสองแตกต่างกัน พลังงาน ( ความเข้มของการแผ่รังสี ) คำนวณได้จากกำลังสองของแอมพลิจูดสนามไฟฟ้าหารด้วย อิมพีแดนซ์ ลักษณะเฉพาะของตัวกลาง (หรือกำลังสองของสนามแม่เหล็กคูณด้วยอิมพีแดนซ์ลักษณะเฉพาะ) ซึ่งส่งผลให้: ^{[ 9 ]} โดยใช้คำจำกัดความของt ข้างต้น ปัจจัยที่นำมาใช้ของ⁠$${\displaystyle T={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}}|t|^{2}}$$n ₂/n ₁⁠คือส่วนกลับของอัตราส่วนของอิมพีแดนซ์คลื่นของตัวกลาง ปัจจัย cos( θ )จะปรับกำลังของคลื่นเพื่อให้คำนวณในทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิวสัมผัส ทั้งคลื่นตกกระทบและคลื่นส่งผ่าน ดังนั้นการส่งผ่านกำลังเต็มที่จึงสอดคล้องกับ T = 1

ในกรณีของการสะท้อนกลับภายในทั้งหมดซึ่งการส่งผ่านพลังงานTเป็นศูนย์tยังคงอธิบายถึงสนามไฟฟ้า (รวมถึงเฟสของมัน) ที่อยู่เลยส่วนต่อประสานไปเล็กน้อย นี่คือสนามที่ลดทอนลงอย่างรวดเร็วซึ่งไม่แพร่กระจายในรูปของคลื่น (ดังนั้นT = 0 ) แต่มีค่าไม่เป็นศูนย์ใกล้กับส่วนต่อประสานมาก การเปลี่ยนแปลงเฟสของคลื่นสะท้อนในการสะท้อนกลับภายในทั้งหมดสามารถหาได้ในทำนองเดียวกันจากมุมเฟสของr _pและr _s (ซึ่งมีขนาดเป็นหนึ่งในกรณีนี้) การเปลี่ยนแปลงเฟสเหล่านี้แตกต่างกันสำหรับ คลื่น sและpซึ่งเป็นหลักการที่รู้จักกันดีซึ่งใช้ในการสะท้อนกลับภายในทั้งหมดเพื่อทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงโพลาไรเซชัน

ในสูตรข้างต้นสำหรับr _sถ้าเราใส่(กฎของสเนลล์) และคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย⁠${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$1/n ₁sin θ tเราจะ ^{ได้[ 10} _] ^{[ 11 ]}$${\displaystyle r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

ถ้าเราทำเช่นเดียวกันกับสูตรสำหรับr _pผลลัพธ์จะแสดงให้เห็นได้ง่ายว่าเทียบเท่ากับ ^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

สูตรเหล่านี้ ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}เป็นที่รู้จักกันในชื่อกฎไซน์ของเฟรสเนลและกฎแทนเจนต์ของเฟรสเนลตามลำดับ^{[ 17 ]}แม้ว่าที่มุมตกกระทบปกติ นิพจน์เหล่านี้จะลดลงเหลือ 0/0 แต่เราสามารถเห็นได้ว่าพวกมันให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องในขีดจำกัดเมื่อθ _i → 0

เมื่อแสงสะท้อนหลายครั้งระหว่างพื้นผิวขนานสองพื้นผิวขึ้นไป ลำแสงหลายลำมักจะเกิดการแทรกสอดกัน ส่งผลให้แอมพลิจูดการส่งผ่านและการสะท้อนสุทธิขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นของแสง อย่างไรก็ตาม การแทรกสอดจะเห็นได้ก็ต่อเมื่อพื้นผิวอยู่ห่างกันในระยะทางที่เทียบเท่าหรือน้อยกว่าความยาวการคงตัว ของแสง ซึ่งสำหรับแสงขาวทั่วไปจะมี ค่า เพียงไม่กี่ไมโครเมตร แต่จะมีค่ามากกว่ามากสำหรับแสงจากเลเซอร์

ตัวอย่างหนึ่งของการรบกวนระหว่างการสะท้อนแสงคือ สี รุ้งที่เห็นในฟองสบู่หรือในฟิล์มน้ำมันบางๆ บนผิวน้ำ การประยุกต์ใช้รวมถึง เครื่องวัด การรบกวนแบบ Fabry–Pérot , สารเคลือบป้องกันการสะท้อนแสงและตัวกรองแสง การวิเคราะห์เชิงปริมาณของผลกระทบเหล่านี้ใช้สมการของ Fresnel เป็นพื้นฐาน แต่มีการคำนวณเพิ่มเติมเพื่อพิจารณาถึงการรบกวนด้วย

สามารถใช้วิธีเมทริกซ์การถ่ายโอน หรือวิธีเรียกซ้ำของ Rouard [ 18 ] เพื่อแก้ ปัญหาพื้นผิว^{หลายชั้นได้}

ในปี ค.ศ. 1808 เอเตียน-หลุยส์ มาลัสค้นพบว่าเมื่อรังสีของแสงสะท้อนจากพื้นผิวที่ไม่ใช่โลหะในมุมที่เหมาะสม มันจะมีพฤติกรรมเหมือน รังสี หนึ่งในสองรังสีที่ออกมาจากผลึกแคลไซต์ที่มีการหักเหสองชั้น^{[ 19 ]}ต่อมาเขาได้บัญญัติศัพท์คำว่าโพลาไรเซชัน เพื่ออธิบายพฤติกรรมนี้ ในปี ค.ศ. 1815 เดวิด บรูว์สเตอร์ได้กำหนดความสัมพันธ์ของมุมโพลาไรเซชันกับดัชนีหักเหโดยการทดลอง^{[ 20 ]}แต่เหตุผลของความสัมพันธ์นั้นเป็นปริศนาที่ลึกซึ้งมาก จนกระทั่งปลายปี ค.ศ. 1817 โทมัส ยังจึงเขียนขึ้นว่า:

ความยากลำบากอย่างใหญ่หลวงของทุกสิ่ง ซึ่งก็คือการกำหนดเหตุผลที่เพียงพอสำหรับการสะท้อนหรือไม่สะท้อนของรังสีโพลาไรซ์ น่าจะยังคงอยู่เป็นเวลานาน เพื่อทำลายความไร้สาระของปรัชญาที่ทะเยอทะยาน ซึ่งไม่ได้รับการแก้ไขโดยทฤษฎีใดๆ เลย^{[ 21 ]}

อย่างไรก็ตาม ในปี พ.ศ. 2364 Augustin-Jean Fresnelได้ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากับกฎไซน์และแทนเจนต์ของเขา (ข้างต้น) โดยการจำลองคลื่นแสงเป็นคลื่นยืดหยุ่นตามขวางที่มีการสั่นตั้งฉากกับสิ่งที่ก่อนหน้านี้เรียกว่าระนาบโพลาไรเซชัน Fresnel ยืนยันโดยการทดลองทันทีว่าสมการทำนายทิศทางของโพลาไรเซชันของลำแสงสะท้อนได้อย่างถูกต้องเมื่อลำแสงตกกระทบมีโพลาไรเซชันที่ 45° กับระนาบตกกระทบ สำหรับแสงที่ตกกระทบจากอากาศลงบนกระจกหรือน้ำ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการให้โพลาไรเซชันที่ถูกต้องที่มุมของ Brewster ^{[ 22 ]}การยืนยันเชิงทดลองได้รับการรายงานใน "ภาคผนวก" ของงานที่ Fresnel เปิดเผยทฤษฎีของเขาเป็นครั้งแรกว่าคลื่นแสง รวมถึงคลื่น "ที่ไม่มีโพลาไรเซชัน" เป็นคลื่นตามขวางอย่างแท้จริง^{[ 23 ]}

รายละเอียดของการพิสูจน์ของเฟรสเนล รวมถึงรูปแบบที่ทันสมัยของกฎไซน์และกฎแทนเจนต์ ได้รับการนำเสนอในภายหลัง ในบันทึกที่อ่านต่อหน้าสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศสในเดือนมกราคม ค.ศ. 1823 ^{[ 24 ]}การพิสูจน์ดังกล่าวรวมการอนุรักษ์พลังงานเข้ากับความต่อเนื่องของ การสั่น สะเทือนแบบสัมผัสที่ส่วนต่อประสาน แต่ไม่สามารถกำหนดเงื่อนไขใดๆ เกี่ยวกับ ส่วนประกอบ ปกติของการสั่นสะเทือน ได้ ^{[ 25 ]}การพิสูจน์ครั้งแรกจาก หลักการ ทางแม่เหล็กไฟฟ้าได้รับการเสนอโดยเฮนดริก ลอเรนซ์ในปี ค.ศ. 1875 ^{[ 26 ]}

ในบันทึกความทรงจำฉบับเดียวกันในเดือนมกราคม พ.ศ. 2366 ^{[ 24 ]}เฟรสเนลพบว่าสำหรับมุมตกกระทบที่มากกว่ามุมวิกฤต สูตรของเขาสำหรับสัมประสิทธิ์การสะท้อน ( r _sและr _p ) ให้ค่าเชิงซ้อนที่มีขนาดเป็นหน่วย เมื่อสังเกตว่าขนาดตามปกติแสดงถึงอัตราส่วนของแอมพลิจูดสูงสุด เขาจึงคาดเดาว่าอาร์กิวเมนต์แสดงถึงการเลื่อนเฟส และตรวจสอบสมมติฐานนี้ด้วยการทดลอง^{[ 27 ]}การตรวจสอบเกี่ยวข้องกับ

• คำนวณมุมตกกระทบที่จะทำให้เกิดความแตกต่างของเฟสรวม 90° ระหว่างส่วนประกอบ s และ p สำหรับจำนวนการสะท้อนภายในทั้งหมดที่มุมนั้น (โดยทั่วไปมีสองวิธีแก้ปัญหา)
• โดยให้แสงเกิดการสะท้อนภายในทั้งหมดจำนวนครั้งดังกล่าว ณ มุมตกกระทบนั้น ด้วยการโพลาไรซ์เชิงเส้นเริ่มต้นที่มุม 45° กับระนาบตกกระทบ และ
• ตรวจสอบว่าโพลาไรเซชันสุดท้ายเป็นแบบวงกลม^{[ 28 ]}

ด้วยเหตุนี้ ในที่สุดเขาก็มีทฤษฎีเชิงปริมาณสำหรับสิ่งที่เราเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนของเฟรสเนลซึ่งเป็นอุปกรณ์ที่เขาใช้ในการทดลองในรูปแบบต่างๆ มาตั้งแต่ปี 1817 (ดูรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนของเฟรสเนล § ประวัติ )

ความสำเร็จของสัมประสิทธิ์การสะท้อนที่ซับซ้อนเป็นแรงบันดาลใจให้James MacCullaghและAugustin-Louis Cauchyเริ่มวิเคราะห์การสะท้อนจากโลหะโดยใช้สมการ Fresnel ที่มีดัชนีหักเหที่ซับซ้อนตั้งแต่ปีพ.ศ. 2479 ^{[ 29 ]}

สี่สัปดาห์ก่อนที่เขาจะนำเสนอทฤษฎีการสะท้อนภายในทั้งหมดและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เสร็จสมบูรณ์ เฟรสเนลได้ส่งบันทึก ^{[ 30 ]}ซึ่งเขาได้แนะนำคำศัพท์ที่จำเป็น ได้แก่^การโพลาไรซ์เชิงเส้น การโพลาไรซ์แบบวงกลมและการโพลาไรซ์แบบวงรี [ ^{31 ]}และในบันทึกนั้น เขาได้อธิบายการหมุนเชิง แสง ว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของการหักเหสองทิศทาง : แสงโพลาไรซ์เชิงเส้นสามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบโพลาไรซ์แบบวงกลมสองส่วนที่หมุนไปในทิศทางตรงกันข้าม และหากส่วนประกอบเหล่านี้แพร่กระจายด้วยความเร็วที่ต่างกัน ความแตกต่างของเฟสระหว่างส่วนประกอบเหล่านั้น — ดังนั้นทิศทางของผลลัพธ์โพลาไรซ์เชิงเส้นของพวกมัน — จะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามระยะทาง^{[ 32 ]}

ดังนั้น การตีความค่าเชิงซ้อนของสัมประสิทธิ์การสะท้อนของเฟรสเนล จึงถือเป็นการบรรจบกันของงานวิจัยหลายด้านของเขา และอาจกล่าวได้ว่าเป็นการทำให้การสร้างใหม่ของทัศนศาสตร์เชิงฟิสิกส์บนสมมติฐานคลื่นตามขวางเสร็จสมบูรณ์อย่างแท้จริง (ดูAugustin-Jean Fresnel )

ในที่นี้เราจะทำการพิสูจน์ความสัมพันธ์ข้างต้นอย่างเป็นระบบโดยอาศัยหลักการทางแม่เหล็กไฟฟ้า

เพื่อให้สามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เฟรสเนลที่มีความหมายได้ เราต้องสมมติว่าตัวกลางนั้นเป็นเชิงเส้นและเป็นเนื้อเดียวกัน (โดยประมาณ) ถ้าตัวกลางนั้นเป็นไอโซโทรปิก ด้วย เวกเตอร์สนามทั้งสี่E , B , D , Hจะมีความสัมพันธ์กันโดย ที่ϵและμเป็นค่าสเกลาร์ ซึ่งรู้จักกันในชื่อค่าสภาพยอม ทางไฟฟ้าและค่า สภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กของตัวกลาง ตามลำดับ สำหรับสุญญากาศ ค่าเหล่านี้จะมีค่าเป็น_ϵ₀ และ μ₀ ตาม ลำดับ ดังนั้นเรา _จึงกำหนดค่า_สภาพ ยอม สัมพัทธ์ ( หรือค่าคงที่ไดอิเล็กตริก ) ϵrel = ϵ / ϵ₀และ_ค่าสภาพซึมผ่านทาง_{แม่เหล็กสัมพัทธ์}μrel = μ / μ₀$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\epsilon \mathbf {E} \\\mathbf {B} &=\mu \mathbf {H} \,,\end{aligned}}}$$

ในทางทัศนศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะถือว่าตัวกลางนั้นไม่มีคุณสมบัติทางแม่เหล็ก ดังนั้น_μrel = 1สำหรับ วัสดุ เฟอร์โรแมกเนติกที่ความถี่วิทยุ/ไมโครเวฟจะต้องพิจารณา ค่า μrel ที่มากขึ้น แต่สำหรับตัวกลางที่โปร่งใสทางแสง และสำหรับวัสดุอื่นๆ ทั้งหมดที่ความถี่ทางแสง ( _{ยกเว้น}วัสดุเมตาที่ อาจเกิดขึ้นได้ ) μrel จะ _{มีค่า}ใกล้เคียงกับ 1 มาก นั่นคือμ ≈ μ0

ในทางทัศนศาสตร์ โดยทั่วไปเรารู้ค่าดัชนีหักเหnของตัวกลาง ซึ่งเป็นอัตราส่วนของความเร็วแสงในสุญญากาศ ( c ) ต่อความเร็วแสงในตัวกลาง ในการวิเคราะห์การสะท้อนและการส่งผ่านบางส่วน เรายังสนใจค่าความต้านทานของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าZซึ่งเป็นอัตราส่วนของแอมพลิจูดEต่อแอมพลิจูดH ด้วย ดังนั้นจึงควรแสดงค่าnและZในรูปของϵและμแล้วจึงเชื่อมโยงZกับnความสัมพันธ์ดังกล่าวจะทำให้สะดวกในการหาค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนในรูปของค่าการนำ คลื่น Y ซึ่งเป็นส่วนกลับของค่าความ ต้านทาน ของคลื่นZ

ในกรณีของ คลื่น ไซน์ระนาบสม่ำเสมอ อิ มพีแดนซ์หรือแอดมิตแตนซ์ของคลื่นจะเรียกว่า อิมพีแดนซ์หรือแอดมิตแตนซ์ ภายในของตัวกลาง กรณีนี้เป็นกรณีที่จะต้องหาค่าสัมประสิทธิ์ของเฟรสเนล

ใน คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบไซน์เวฟระนาบสม่ำเสมอสนามไฟฟ้าEมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)},}$

1

โดยที่E _kคือเวกเตอร์แอมพลิจูดเชิงซ้อน (คงที่) i คือหน่วยจินตนาการ k คือเวกเตอร์คลื่น (ซึ่งขนาด k คือเลขคลื่นเชิงมุม) r คือเวกเตอร์ตำแหน่ง ω คือความถี่เชิงมุมtคือเวลาและเป็นที่เข้าใจได้ว่าส่วนจริงของนิพจน์คือสนามทางกายภาพ [ หมายเหตุ 1 ^{]ค่าของ}   นิพจน์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากตำแหน่งrเปลี่ยนแปลงในทิศทางตั้งฉากกับkดังนั้นkจึงตั้งฉากกับหน้าคลื่น

เพื่อเลื่อนเฟส ไปข้างหน้า ด้วยมุมϕเราจะแทนที่ωtด้วยωt + ϕ (นั่นคือ เราจะแทนที่− ωtด้วย− ωt − ϕ ) ส่งผลให้ฟิลด์ (เชิงซ้อน) ถูกคูณด้วยe ^−iϕ ดังนั้น การเลื่อนเฟส ไปข้างหน้าจึง เทียบเท่ากับการคูณด้วยค่าคงที่เชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นลบสิ่ง นี้จะชัดเจนยิ่งขึ้นเมื่อฟิลด์ ( 1 ) ถูกแยกตัวประกอบเป็นE _k e ^{i k ⋅ r} e ^−iωtโดยที่ตัวประกอบสุดท้ายประกอบด้วยการพึ่งพาเวลา ตัวประกอบนั้นยังหมายความว่าการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาจะสอดคล้องกับการคูณด้วย−iω [ ^{หมายเหตุ 2 ]}

ถ้าℓคือส่วนประกอบของrในทิศทางของkสนาม ( 1 ) สามารถเขียนได้เป็นE _k e ^{i ( kℓ − ωt )}ถ้าอาร์กิวเมนต์ของe ^{i (⋯)}จะต้องคงที่ℓ  จะต้องเพิ่มขึ้นด้วยความเร็วที่เรียกว่าความเร็วเฟส ( v _p )ซึ่งในทางกลับกันจะเท่ากับการแก้หาkจะ ได้${\displaystyle \omega /k\,,\,}$${\displaystyle c/n}$

${\displaystyle k=n\omega /c\,.}$

2

เช่นเคย เราตัดตัวประกอบที่ขึ้นอยู่กับเวลาe ^{− iωt} ออกไป ซึ่งเข้าใจได้ว่าเป็นตัวคูณของปริมาณสนามเชิงซ้อนทุกตัว สนามไฟฟ้าสำหรับคลื่นไซน์ระนาบสม่ำเสมอจะถูกแทนด้วยเฟเซอร์ ที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง

${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i\mathbf {k\cdot r} }.}$

3

สำหรับฟิลด์ที่มีรูปแบบดังกล่าวกฎของฟาราเดย์และกฎของแม็กซ์เวลล์-แอมแปร์จะลดลงเหลือ ^{[ 33 ] ตามลำดับ}$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$

เมื่อกำหนดB = μ HและD = ϵ Eดังข้างต้น เราสามารถกำจัดBและDเพื่อให้ได้สมการเฉพาะในEและH เท่านั้น : หากพารามิเตอร์ของวัสดุϵและμเป็นจำนวนจริง (เช่นในไดอิเล็กทริกที่ไม่มีการสูญเสีย) สมการเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าk , E , H ก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมเชิงตั้งฉากมือขวาดังนั้นสมการเดียวกันจึงใช้กับขนาดของเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง การนำสมการขนาดมาแทนค่าจาก ( 2 ) เราจะได้ โดยที่HและEคือขนาดของHและEการคูณสมการสองสมการสุดท้ายจะได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle n=c\,{\sqrt {\mu \epsilon }}\,.}$

4

การหาร (หรือการคูณไขว้) สมการทั้งสองจะได้H = YEโดยที่

${\displaystyle Y={\sqrt {\epsilon /\mu }}\,.}$

5

นี่คือค่า การ ยอมรับ โดยเนื้อแท้

จาก ( 4 ) เราจะได้ความเร็วเฟสสำหรับสุญญากาศจะลดลงเหลือการหารผลลัพธ์ที่สองด้วยผลลัพธ์แรกจะได้ สำหรับ ตัวกลาง ที่ไม่ใช่แม่เหล็ก (กรณีปกติ) จะกลายเป็น⁠ ⁠ ( เมื่อหาค่าผกผันของ ( 5 ) เราจะพบว่าอิมพีแดนซ์ ภายใน คือในสุญญากาศจะมีค่าที่เรียกว่าอิมพีแดนซ์ของพื้นที่ว่างโดยการหารจะได้สำหรับตัวกลางที่ไม่ใช่แม่เหล็กจะกลายเป็น)${\displaystyle c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}}$${\displaystyle c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$$${\displaystyle n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}}}\,.}$$${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}}$${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega \,,}$${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$${\displaystyle Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.}$

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน( x , y , z )ให้บริเวณy < 0มีดัชนีหักเหn₁ _,ค่าการนำไฟฟ้าภายในY₁ , เป็นต้น และให้บริเวณy > 0 _มีดัชนีหักเห_n₂ ,ค่าการนำไฟฟ้าภายในY₂ _,เป็นต้น ระนาบxzคือระนาบเชื่อมต่อ และ แกน yตั้งฉากกับระนาบเชื่อมต่อ (ดูแผนภาพ) ให้iและj ( ตัว หนา ) เป็นเวกเตอร์หน่วยใน ทิศทาง xและyตามลำดับ ให้ระนาบตกกระทบเป็น ระนาบ xy (ระนาบของหน้ากระดาษ) โดยมีมุมตกกระทบθiวัดจากjไปยังi _ให้มุมหักเหซึ่งวัดในทิศทางเดียวกันเป็น_θt โดยที่ตัวห้อยtหมายถึงการส่งผ่าน (ส่วน rหมายถึงการสะท้อน )

ในกรณีที่ไม่มีการเลื่อนดอปเปลอร์ ω จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเกิดการสะท้อนหรือการหักเห ดังนั้น ตาม ( 2 ) ขนาดของเวกเตอร์คลื่นจะเป็นสัดส่วนกับดัชนีหักเห

ดังนั้น สำหรับω ที่กำหนด หากเรา กำหนด k ใหม่ เป็นขนาดของเวกเตอร์คลื่นใน ตัวกลาง อ้างอิง (ซึ่งn = 1 ) เวกเตอร์คลื่นจะมีขนาดn ₁ kในตัวกลางแรก (บริเวณy < 0ในแผนภาพ) และขนาดn ₂ kในตัวกลางที่สอง จากขนาดและเรขาคณิต เราพบว่าเวกเตอร์คลื่นคือ โดยขั้นตอนสุดท้ายใช้กฎของสเนลล์ผลคูณดอท ที่สอดคล้องกัน ในรูปแบบเฟเซอร์ ( 3 ) คือ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&=n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}+y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}-y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} &=k(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}})\,.\end{aligned}}}$

6

เพราะฉะนั้น:

ที่  ${\displaystyle y=0\,,~~~\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} =n_{1}kx\sin \theta _{\text{i}}\,.}$

7

สำหรับการโพลาไรเซชันs สนาม Eจะขนานกับ แกน zและสามารถอธิบายได้ด้วยส่วนประกอบใน ทิศทาง zให้สัมประสิทธิ์การสะท้อนและการส่งผ่านเป็นr _sและt _sตามลำดับ ถ้า สนาม E ที่ตก กระทบมีแอมพลิจูดหนึ่งหน่วย รูปแบบเฟเซอร์ ( 3 ) ของ ส่วนประกอบ zคือ

${\displaystyle E_{\text{i}}=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} },}$

8

และสนามสะท้อนและสนามส่งผ่านในรูปแบบเดียวกันนั้นก็คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{r}}&=r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{t}}&=t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

9

ภายใต้ข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมายที่ใช้ในบทความนี้ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนหรือการส่งผ่านที่เป็นบวกคือค่าที่รักษาทิศทางของ สนาม ตามขวางซึ่งหมายถึง (ในบริบทนี้) สนามที่ตั้งฉากกับระนาบของการตกกระทบ สำหรับโพ ลาไรเซชัน sนั่นหมายถึง สนาม E ถ้าสนาม Eที่ตกกระทบ สะท้อน และส่งผ่าน(ในสมการข้างต้น) อยู่ใน ทิศทาง z ("ออกนอกหน้ากระดาษ") แล้ว สนาม H ที่เกี่ยวข้อง จะอยู่ในทิศทางของลูกศรสีแดง เนื่องจากk , E , Hก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมตั้งฉากแบบมือขวา ดังนั้น สนาม H อาจอธิบายได้ด้วยส่วนประกอบในทิศทางของ ลูก ศรเหล่านั้น ซึ่งแสดงด้วยH _i , H _r , H _tจากนั้น เนื่องจากH = YE

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

10

ที่บริเวณรอยต่อ ตามเงื่อนไขรอยต่อปกติสำหรับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าส่วนประกอบสัมผัสของ สนาม EและHจะต้องต่อเนื่องกัน กล่าวคือ

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}+E_{\text{r}}&=E_{\text{t}}\\H_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-H_{\text{r}}\cos \theta _{\text{i}}&=H_{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}}\end{aligned}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0\,.}$

11

เมื่อเราแทนค่าจากสมการ ( 8 ) ไปยัง ( 10 ) แล้วจาก ( 7 ) ปัจจัยเลขชี้กำลังจะหักล้างกัน ดังนั้นเงื่อนไขอินเทอร์เฟซจึงลดลงเหลือสมการพร้อมกัน

${\displaystyle {\begin{aligned}1+r_{\text{s}}&=\,t_{\text{s}}\\Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}r_{\text{s}}\cos \theta _{\text{i}}&=\,Y_{2}t_{\text{s}}\cos \theta _{\text{t}}\,,\end{aligned}}}$

12

ซึ่งสามารถหาค่าr _sและt _s ได้อย่างง่ายดาย โดยให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

13

และ

${\displaystyle t_{\text{s}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

14

ที่มุมตกกระทบปกติ( θ _i = θ _t = 0)ซึ่งระบุโดยตัวห้อยเพิ่มเติม 0 ผลลัพธ์เหล่านี้จะกลายเป็น

${\displaystyle r_{\text{s0}}={\frac {Y_{1}-Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}}}}$

15

และ

${\displaystyle t_{\text{s0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}}\,.}$

16

เมื่อมุมตกกระทบเฉียง( θ _i → 90°)เราจะได้cos θ _i → 0ดังนั้นr _s → −1และt _s → 0

สำหรับการ โพลาไรเซชันแบบ p สนาม Eที่ตกกระทบ สะท้อน และส่งผ่านจะขนานกับลูกศรสีแดง และสามารถอธิบายได้ด้วยส่วนประกอบในทิศทางของลูกศรเหล่านั้น ให้ส่วนประกอบเหล่านั้นเป็นE _i , E _r , E _t (โดยกำหนดสัญลักษณ์ใหม่ให้เข้ากับบริบทใหม่) ให้สัมประสิทธิ์การสะท้อนและการส่งผ่านเป็นr _pและt _p ตามลำดับ จากนั้น ถ้า สนาม E ที่ตก กระทบมีแอมพลิจูดหนึ่งหน่วย เราจะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{i}}&=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{r}}&=r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{t}}&=t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

17

ถ้า สนาม Eอยู่ในทิศทางของลูกศรสีแดง ดังนั้น เพื่อให้k , E , Hก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมตั้งฉากแบบมือขวา สนาม H ที่เกี่ยวข้อง จะต้องอยู่ใน ทิศทาง −z ("เข้าสู่หน้ากระดาษ") และจึงสามารถอธิบายได้ด้วยส่วนประกอบในทิศทางนั้น ซึ่งสอดคล้องกับข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมายที่ใช้ กล่าวคือ สัมประสิทธิ์การสะท้อนหรือการส่งผ่านที่เป็นบวกคือสัมประสิทธิ์ที่รักษาทิศทางของสนามตามขวาง (สนาม H ในกรณีของโพลาไรเซชัน p) ความสอดคล้องของสนามอื่นกับลูกศรสีแดงเผยให้เห็นคำจำกัดความทางเลือกของข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมาย: สัมประสิทธิ์การสะท้อนหรือการส่งผ่านที่เป็นบวกคือสัมประสิทธิ์ที่เวกเตอร์ สนามในระนาบตกกระทบชี้ไปยังตัวกลางเดียวกันก่อนและหลังการสะท้อน หรือการส่งผ่าน^{[ 34 ]}

ดังนั้น สำหรับสนามH _{ที่ ตก} กระทบสะท้อนและ_ส่งผ่าน_ให้ส่วนประกอบในทิศทาง −zเป็นHi , ...

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

18

ที่บริเวณรอยต่อ ส่วนประกอบสัมผัสของ สนาม EและHต้องมีความต่อเนื่อง กล่าวคือ

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-E_{\text{r}}\cos \theta _{\text{i}}&=E_{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}}\\H_{\text{i}}+H_{\text{r}}&=H_{\text{t}}\end{aligned}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0\,.}$

19

เมื่อเราแทนค่าจากสมการ ( 17 ) และ ( 18 ) แล้วจาก ( 7 ) ปัจจัยเลขชี้กำลังจะหักล้างกันอีกครั้ง ดังนั้นเงื่อนไขอินเทอร์เฟซจึงลดลงเหลือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta _{\text{i}}-r_{\text{p}}\cos \theta _{\text{i}}&=\,t_{\text{p}}\cos \theta _{\text{t}}\\Y_{1}+Y_{1}r_{\text{p}}&=\,Y_{2}t_{\text{p}}\,.\end{aligned}}}$

20

เมื่อแก้สมการหาค่าr _pและt _pเราจะได้ว่า

${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

21

และ

${\displaystyle t_{\text{p}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

22

ที่มุมตกกระทบปกติ( θ _i = θ _t = 0)ซึ่งระบุโดยตัวห้อยเพิ่มเติม 0 ผลลัพธ์เหล่านี้จะกลายเป็น

${\displaystyle r_{\text{p0}}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}}$

23

และ

${\displaystyle t_{\text{p0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}\,.}$

24

เมื่อมุมตกกระทบเฉียง ( θ _i → 90°)เราจะได้cos θ _i → 0 อีกครั้ง ดังนั้นr _p → −1และt _p → 0

เมื่อเปรียบเทียบ ( 23 ) และ ( 24 ) กับ ( 15 ) และ ( 16 ) เราจะเห็นว่าที่ การตกกระทบ ปกติภายใต้ข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมายที่ใช้ ค่าสัมประสิทธิ์การส่งผ่านสำหรับโพลาไรเซชันทั้งสองจะเท่ากัน ในขณะที่ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนจะมีขนาดเท่ากันแต่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน แม้ว่าการขัดแย้งของเครื่องหมายนี้จะเป็นข้อเสียของข้อกำหนด แต่ข้อดีที่ตามมาคือเครื่องหมายจะตรงกันที่การตกกระทบ เฉียง

เวกเตอร์พอยน์ติงสำหรับคลื่น คือ เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบในทิศทางใดๆ เท่ากับความเข้มของการแผ่รังสี (กำลังต่อหน่วยพื้นที่) ของคลื่นนั้นบนพื้นผิวที่ตั้งฉากกับทิศทางนั้น สำหรับคลื่นไซน์แบบระนาบ เวกเตอร์พอยน์ติงคือ⁠1/2Re {E × H ^∗ }โดยที่ Eและ Hเกิดจากคลื่นที่กล่าวถึงเท่านั้น และเครื่องหมายดอกจันหมายถึงการสังยุคเชิงซ้อน ภายในไดอิเล็กทริกที่ไม่มีการสูญเสีย (กรณีปกติ) Eและ Hจะมีเฟสตรงกัน และตั้งฉากกันและกับเวกเตอร์คลื่น kดังนั้น สำหรับโพลาไรเซชัน s โดยใช้ ส่วนประกอบ zและ xyของ Eและ H ตามลำดับ (หรือสำหรับโพลาไรเซชัน p โดยใช้ ส่วนประกอบ xyและ − zของ Eและ H )ความเข้มของการแผ่รังสีในทิศทางของ kจะกำหนดได้ง่ายๆ โดย EH /2ซึ่งก็คือ E ² /2 Zในตัวกลางที่มีอิมพีแดนซ์ภายในZ = 1/ Yในการคำนวณค่าความเข้มของรังสีในทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิวตามที่เราต้องการในนิยามของสัมประสิทธิ์การส่งผ่านพลังงาน เราสามารถใช้เฉพาะ ส่วนประกอบ x (แทนที่จะใช้ ส่วนประกอบ xy ทั้งหมด ) ของ Hหรือ Eหรือเทียบเท่ากันโดยการคูณ EH /2ด้วยตัวประกอบทางเรขาคณิตที่เหมาะสม จะได้( E 2 ^/ 2 Z ) cos θ

จากสมการ ( 13 ) และ ( 21 ) เมื่อพิจารณาขนาดกำลังสอง เราพบว่าค่าการสะท้อน (อัตราส่วนของกำลังสะท้อนต่อกำลังตกกระทบ) คือ

${\displaystyle R_{\text{s}}=\left|{\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

25

สำหรับการโพลาไรเซชัน s และ

${\displaystyle R_{\text{p}}=\left|{\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

26

สำหรับการโพลาไรเซชันแบบ p โปรดทราบว่าเมื่อเปรียบเทียบกำลังของคลื่นสองลูกในตัวกลางเดียวกันและมีค่า cos θ เท่ากัน ปัจจัยด้านอิมพีแดนซ์และเรขาคณิตที่กล่าวถึงข้างต้นจะเหมือนกันและหักล้างกันไป แต่ในการคำนวณการส่งผ่าน กำลัง (ด้านล่าง) จะต้องนำปัจจัยเหล่านี้มาพิจารณาด้วย

วิธีที่ง่ายที่สุดในการหาค่าสัมประสิทธิ์การส่งผ่านพลังงาน ( ค่าการส่งผ่าน ซึ่งเป็นอัตราส่วนของพลังงานที่ส่งผ่านต่อพลังงานที่ตกกระทบในทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิวสัมผัสกล่าวคือ ทิศทาง y ) คือการใช้สูตรR + T = 1 (การอนุรักษ์พลังงาน) ด้วยวิธีนี้เราจะพบว่า

${\displaystyle T_{\text{s}}=1-R_{\text{s}}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}}}$

25ตัน

สำหรับการโพลาไรเซชัน s และ

${\displaystyle T_{\text{p}}=1-R_{\text{p}}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}}}$

26T

สำหรับการโพลาไรเซชัน p

ในกรณีของอินเทอร์เฟซระหว่างสื่อไร้การสูญเสียสองตัว (ซึ่ง ϵ และ μ เป็นจำนวนจริงและเป็นบวก) เราสามารถได้ผลลัพธ์เหล่านี้โดยตรงโดยใช้ขนาดกำลังสองของสัมประสิทธิ์การส่งผ่านแอมพลิจูดที่เราพบก่อนหน้านี้ในสมการ ( 14 ) และ ( 22 ) แต่สำหรับแอมพลิจูดที่กำหนด (ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น) ส่วนประกอบของเวกเตอร์ Poynting ใน ทิศทาง yจะเป็นสัดส่วนกับปัจจัยทางเรขาคณิตcos θและเป็นสัดส่วนผกผันกับอิมพีแดนซ์ของคลื่นZเมื่อใช้การแก้ไขเหล่านี้กับแต่ละคลื่น เราจะได้อัตราส่วนสองค่าที่คูณด้วยกำลังสองของสัมประสิทธิ์การส่งผ่านแอมพลิจูด:

${\displaystyle T_{\text{s}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}}$

27

สำหรับการโพลาไรเซชัน s และ

${\displaystyle T_{\text{p}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}}$

28

สำหรับการโพลาไรเซชัน p สมการสองสมการสุดท้ายใช้ได้เฉพาะกับไดอิเล็กทริกที่ไม่มีการสูญเสีย และเฉพาะที่มุมตกกระทบที่เล็กกว่ามุมวิกฤต (ซึ่งเกินกว่านั้นT = 0 )

สำหรับแสงที่ไม่เป็นโพลาไรซ์: โดยที่. $${\displaystyle T={1 \over 2}(T_{s}+T_{p})}$$$${\displaystyle R={1 \over 2}(R_{s}+R_{p})}$$${\displaystyle R+T=1}$

จากสมการ ( 4 ) และ ( 5 ) เราจะเห็นว่าสื่อสองชนิดที่แตกต่างกันจะมีดัชนีหักเหเท่ากัน แต่มีค่าการนำไฟฟ้าต่างกัน หากอัตราส่วนของค่าการซึมผ่านของสื่อทั้งสองเป็นส่วนกลับของอัตราส่วนของค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า ในสถานการณ์ที่ผิดปกตินี้ เราจะมี_{θt =} θi ( นั่นคือ รังสีที่ส่งผ่านจะไม่เบี่ยงเบน) ดังนั้นค่าโคไซน์ในสมการ ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ) และ ( 25 ) ถึง ( 28 ) จะหักล้างกัน และอัตราส่วนการสะท้อนและการส่งผ่านทั้งหมดจะไม่ขึ้นอยู่กับมุมตกกระทบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง อัตราส่วนสำหรับการตกกระทบปกติจะสามารถใช้ได้กับทุกมุมตกกระทบ^{[ 35 ]}เมื่อขยายไปสู่การสะท้อนหรือการกระเจิงแบบทรงกลม จะส่งผลให้เกิดปรากฏการณ์ Kerker สำหรับ การ กระเจิง แบบ Mie

เนื่องจากสมการ Fresnel ได้รับการพัฒนาขึ้นสำหรับทัศนศาสตร์ จึงมักจะกำหนดไว้สำหรับวัสดุที่ไม่ใช่แม่เหล็ก การหาร ( 4 ) ด้วย ( 5 ) จะได้ สำหรับสื่อที่ไม่ใช่แม่เหล็ก เราสามารถแทนที่ค่าสภาพซึมผ่านของสุญญากาศμ0ด้วย_μ ได้ดังนั้น นั่นคือ ค่าการยอมรับจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับดัชนีหักเหที่สอดคล้องกัน เมื่อเราทำการแทนที่เหล่านี้ในสมการ ( 13 ) ถึง ( 16 ) และสมการ ( 21 ) ถึง ( 26 ) ตัวประกอบcμ0 _จะหักล้างกัน สำหรับสัมประสิทธิ์แอมพลิจูด เราจะได้: ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}\,.}$$$${\displaystyle Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={\frac {n_{2}}{\,c\mu _{0}}}\,;}$$

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

29

${\displaystyle t_{\text{s}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,}$

30

${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

31

${\displaystyle t_{\text{p}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

32

สำหรับกรณีการเกิดเหตุการณ์ตามปกติ ค่าเหล่านี้จะลดลงเหลือ:

${\displaystyle r_{\text{s0}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}$

33

${\displaystyle t_{\text{s0}}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}}$

34

${\displaystyle r_{\text{p0}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}}$

35

${\displaystyle t_{\text{p0}}={\frac {2n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\,.}$

36

ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนพลังงานจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle R_{\text{s}}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

37

${\displaystyle R_{\text{p}}=\left|{\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}\,.}$

38

จากนั้นจึงสามารถหาค่าการส่งผ่านพลังงานได้จากT = 1 − R

สำหรับค่าการซึมผ่านที่เท่ากัน (เช่น สื่อที่ไม่ใช่แม่เหล็ก) ถ้าθ _iและθ _tเป็นค่าเสริมกันเราสามารถแทนที่sin θ _tด้วยcos θ _iและ แทนที่ sin θ _iด้วยcos θ _tเพื่อให้ตัวเศษในสมการ ( 31 ) กลายเป็นn ₂ ‍ sinθ _t − n ₁ ‍ sinθ _iซึ่งเป็นศูนย์ (ตามกฎของสเนลล์) ดังนั้นr _p = 0และมีเพียงส่วนประกอบโพลาไรซ์ s เท่านั้นที่สะท้อน นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นที่มุมบริวสเตอร์ การแทนที่cos θ _iด้วยsin θ _tในกฎของสเนลล์ เราจะได้โดยง่าย

${\displaystyle \theta _{\text{i}}=\arctan(n_{2}/n_{1})}$

39

สำหรับมุมมองของบรูว์สเตอร์

แม้ว่าจะไม่พบในทางปฏิบัติ แต่สมการเหล่านี้ยังสามารถนำไปใช้กับกรณีของสื่อสองชนิดที่มีค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าทั่วไป แต่มีดัชนีหักเหต่างกันเนื่องจากค่าสภาพซึมผ่านต่างกัน จากสมการ ( 4 ) และ ( 5 ) ถ้าϵถูกกำหนดแทนμแล้วYจะ แปร ผกผันกับnส่งผลให้ตัวห้อย 1 และ 2 ในสมการ ( 29 ) ถึง ( 38 ) สลับกัน (เนื่องจากขั้นตอนเพิ่มเติมของการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยn ₁ n ₂ ) ดังนั้น ใน ( 29 ) และ ( 31 ) นิพจน์สำหรับr _sและr _pในรูปของดัชนีหักเหจะสลับกัน ทำให้มุมของ Brewster ( 39 ) จะให้r _s = 0แทนที่จะเป็นr _p = 0และลำแสงใดๆ ที่สะท้อนที่มุมนั้นจะเป็น p-polarized แทนที่จะเป็น s-polarized ^{[ 36 ]}ในทำนองเดียวกัน กฎไซน์ของเฟรสเนลจะใช้ได้กับโพลาไรเซชัน p แทนที่จะเป็นโพลาไรเซชัน s และกฎแทนเจนต์ของเขาจะใช้ได้กับโพลาไรเซชัน s แทนที่จะเป็นโพลาไรเซชัน p

การสลับโพลาไรเซชันนี้มีความคล้ายคลึงกับทฤษฎีกลศาสตร์คลื่นแสงแบบเก่า (ดู§ ประวัติศาสตร์ด้านบน) เราสามารถทำนายค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนที่สอดคล้องกับการสังเกตได้โดยการสมมติ (เช่นเดียวกับเฟรสเนล) ว่าดัชนีหักเหที่แตกต่างกันเกิดจากความหนาแน่น ที่แตกต่างกัน และการสั่นสะเทือนตั้งฉากกับสิ่งที่เรียกว่าระนาบโพลาไรเซชันหรือโดยการสมมติ (เช่นเดียวกับแมคคัลลาห์และนอยมันน์ ) ว่าดัชนีหักเหที่แตกต่างกันเกิดจากความยืดหยุ่น ที่แตกต่างกัน และการสั่นสะเทือนขนานกับระนาบนั้น^{[ 37 ]}ดังนั้นเงื่อนไขของค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าที่เท่ากันและค่าสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กที่ไม่เท่ากัน แม้จะไม่สมจริง แต่ก็มีความน่าสนใจในเชิงประวัติศาสตร์

• แคลคูลัสของโจนส์
• การผสมโพลาไรเซชัน
• วัสดุที่ตรงกับดัชนี
• ปริมาณสนามและพลังงาน
• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนของเฟรสเนลอุปกรณ์ของเฟรสเนลสำหรับสร้างแสงโพลาไรซ์แบบวงกลม
• การสูญเสียการสะท้อนแสง
• การสะท้อนแบบกระจก
• การประมาณค่าของชลิค
• หน้าต่างของสเนลล์
• การสะท้อนรังสีเอ็กซ์
• ระนาบการตกกระทบ
• การสะท้อนของสัญญาณบนสายนำไฟฟ้า

• M. Born และ E. Wolf, 1970, หลักการของทัศนศาสตร์ , ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4, อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์เพอร์กามอน
• JZ Buchwald, 1989, การกำเนิดของทฤษฎีคลื่นแสง: ทฤษฎีและการทดลองทางแสงในช่วงต้นศตวรรษที่สิบเก้า , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก, ISBN 0-226-07886-8.
• RE Collin, 1966, Foundations for Microwave Engineering , โตเกียว: McGraw-Hill.
• โอ. ดาร์ริโกล, 2012, ประวัติศาสตร์ของทัศนศาสตร์: จากยุคกรีกโบราณถึงศตวรรษที่สิบเก้า , อ็อกซ์ฟอร์ด, ISBN 978-0-19-964437-7.
• A. Fresnel, 1866 (ed. H. de Senarmont, E. Verdet และ L. Fresnel), Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , Paris: Imprimerie Impériale (3 vols., 1866–70), vol. 1 (พ.ศ. 2409) .
• Griffiths, David J. (2017). "บทที่ 9.3: คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสสาร". บทนำสู่พลศาสตร์ไฟฟ้า (ฉบับที่ 4). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-1-108-42041-9.
• อี. เฮชต์, 1987, ทัศนศาสตร์ , ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2, แอดดิสัน เวสลีย์, ISBN 0-201-11609-X.
• อี. เฮชต์, 2002, ทัศนศาสตร์ , ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4, แอดดิสัน เวสลีย์, ISBN 0-321-18878-0.
• เอฟ.เอ. เจนกินส์ และ เอช.อี. ไวท์, 1976, พื้นฐานของทัศนศาสตร์ , ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์, ISBN 0-07-032330-5.
• H. Lloyd, 1834, "รายงานเกี่ยวกับความก้าวหน้าและสถานะปัจจุบันของทัศนศาสตร์เชิงฟิสิกส์" , รายงานการประชุมครั้งที่สี่ของสมาคมวิทยาศาสตร์แห่งอังกฤษ (จัดขึ้นที่เอดินบะระในปี 1834), ลอนดอน: J. Murray, 1835, หน้า295–413
• W. Whewell, 1857, ประวัติศาสตร์ของวิทยาศาสตร์เชิงอุปนัย: ตั้งแต่ยุคแรกสุดจนถึงปัจจุบัน , ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3, ลอนดอน: JW Parker & Son, เล่มที่2
• อี.ที. วิทเทเกอร์ , 1910, ประวัติศาสตร์ของทฤษฎีอีเธอร์และไฟฟ้า: ตั้งแต่ยุคของเดส์การ์ตจนถึงปลายศตวรรษที่สิบเก้า , ลอนดอน: ลองแมนส์ กรีน แอนด์ โค.

• สมการเฟรสเนล – Wolfram
• FreeSnell – ซอฟต์แวร์ฟรีสำหรับคำนวณคุณสมบัติทางแสงของวัสดุหลายชั้น
• Thinfilm – อินเทอร์เฟซบนเว็บสำหรับคำนวณคุณสมบัติทางแสงของฟิล์มบางและวัสดุหลายชั้น (ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนและการส่งผ่าน พารามิเตอร์เอลลิปโซเมตริก Psi และ Delta)
• อินเทอร์เฟซเว็บแบบง่ายสำหรับ การคำนวณมุมและความแรงของการสะท้อนและการหักเหของแสงที่พื้นผิวเดียว
• การหา ค่าความน่าจะเป็นของการส่งผ่านและการสะท้อนจากวัสดุหลายชั้นที่มีดัชนีหักเหเชิงซ้อนโดยใช้หลักการพื้นฐานอย่างครบถ้วนในตัวเอง