ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเป็นทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงแนวคิดของการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ( การคำนวณความชันหรืออัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ทุกจุดบนโดเมนของฟังก์ชัน) กับแนวคิดของการหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน (การคำนวณพื้นที่ใต้กราฟ หรือผลรวมของส่วนประกอบเล็กๆ) โดยคร่าวๆ แล้ว การดำเนินการทั้งสองนี้สามารถมองได้ว่าเป็นส่วนกลับของกันและกัน

ส่วนแรกของทฤษฎีบท ซึ่งเป็นทฤษฎีบทพื้นฐานแรกของแคลคูลัสระบุว่าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องfอนุพันธ์ผกผันหรืออินทิกรัลไม่จำกัดFสามารถหาได้จากอินทิกรัลของfเหนือช่วงที่มีขอบเขตบนที่เปลี่ยนแปลงได้^{[ 1 ]}

ในทางกลับกัน ส่วนที่สองของทฤษฎีบท ซึ่งเป็นทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สองของแคลคูลัสกล่าวว่า อินทิกรัลของฟังก์ชันf บน ช่วงคงที่เท่ากับผลต่างของอนุพันธ์ผกผันใดๆFระหว่างปลายทั้งสองของช่วงนั้น สิ่งนี้ทำให้การคำนวณอินทิกรัลจำกัดง่ายขึ้นมาก หากสามารถหาอนุพันธ์ผกผันได้โดยการอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์จึงหลีกเลี่ยง การอินทิเก รตเชิงตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเชื่อมโยงการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์ โดยแสดงให้เห็นว่าการดำเนินการทั้งสองนี้เป็นส่วนกลับของกันและกันโดยพื้นฐาน ก่อนการค้นพบทฤษฎีบทนี้ ไม่มีใครตระหนักว่าการดำเนินการทั้งสองนี้มีความสัมพันธ์กันนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก โบราณ รู้วิธีคำนวณพื้นที่โดยใช้ปริมาณเล็กน้อยซึ่งเป็นการดำเนินการที่เราเรียกว่าการหาปริพันธ์ในปัจจุบัน ต้นกำเนิดของการหาอนุพันธ์ก็มีมาก่อนทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสหลายร้อยปีเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ในศตวรรษที่สิบสี่ แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันและการเคลื่อนที่ได้รับการศึกษาโดยนักคำนวณแห่งออกซ์ฟอร์ดและนักวิชาการคนอื่นๆ ความสำคัญทางประวัติศาสตร์ของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสไม่ได้อยู่ที่ความสามารถในการคำนวณการดำเนินการเหล่านี้ แต่เป็นการตระหนักว่าการดำเนินการสองอย่างที่ดูเหมือนแตกต่างกัน (การคำนวณพื้นที่ทางเรขาคณิตและการคำนวณความชัน) นั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด

แคลคูลัสในฐานะทฤษฎีรวมของการอินทิเกรตและการหาอนุพันธ์เริ่มต้นจากสมมติฐานและการพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส ข้อความและการพิสูจน์รูปแบบพื้นฐานของทฤษฎีบทพื้นฐานที่ตีพิมพ์ครั้งแรก ซึ่งมีลักษณะทางเรขาคณิตอย่างมาก^{[ 2 ]}นั้นมาจากเจมส์ เกรกอรี (1638–1675) ^{[ 3 ] [ 4 ]}ไอแซค บาร์โรว์ (1630–1677) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทเวอร์ชันทั่วไปมากขึ้น^{[ 5 ]} ในขณะที่ ไอแซค นิวตัน (1642–1727) ศิษย์ของเขาได้พัฒนาทฤษฎีทางคณิตศาสตร์โดยรอบให้เสร็จสมบูรณ์ก็อตฟรีด ไลบ์นิซ (1646–1716) ได้จัดระบบความรู้ให้เป็นแคลคูลัสสำหรับปริมาณอนันต์และแนะนำสัญลักษณ์ที่ใช้ในปัจจุบัน

ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรกอาจตีความได้ดังนี้ กำหนดให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง${\displaystyle y=f(x)}$เมื่อกราฟของพื้นที่นั้นถูกวาดเป็นเส้นโค้ง เราจะกำหนด "ฟังก์ชันพื้นที่" ที่สอดคล้องกัน${\displaystyle x\mapsto A(x)}$โดยที่A ( x )คือพื้นที่ใต้เส้นโค้งระหว่าง0และxพื้นที่A ( x )อาจคำนวณได้ยาก แต่ถือว่ามีนิยามที่ชัดเจน

พื้นที่ใต้เส้นโค้งระหว่างxและx + hสามารถคำนวณได้โดยการหาพื้นที่ระหว่าง0และx + hแล้วลบด้วยพื้นที่ระหว่าง0และxกล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นที่ของ "แถบ" นี้คือA ( x + h ) − A ( x )

มีอีกวิธีหนึ่งในการประมาณพื้นที่ของแถบเดียวกันนี้ ดังแสดงในรูปประกอบhจะถูกคูณด้วยf ( x )เพื่อหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาดใกล้เคียงกับแถบนี้ ดังนั้น: $${\displaystyle A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h}$$

เมื่อหารด้วย h ทั้งสองข้าง เราจะได้: $${\displaystyle {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\approx f(x)}$$

ค่าประมาณนี้จะเท่ากันอย่างสมบูรณ์เมื่อ h เข้าใกล้ 0: $${\displaystyle f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ A'(x).}$$กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นที่A ( x )มีอยู่และเท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิมf ( x )ดังนั้นฟังก์ชันพื้นที่จึงเป็นปฏิอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม

ดังนั้น อนุพันธ์ของปริพันธ์ของฟังก์ชัน (พื้นที่) ก็คือฟังก์ชันเดิมนั่นเอง ดังนั้น อนุพันธ์และปริพันธ์จึงเป็นการดำเนินการผกผันซึ่งกันและกัน นี่คือสาระสำคัญของทฤษฎีบทพื้นฐาน

โดยสัญชาตญาณแล้ว ทฤษฎีบทพื้นฐานกล่าวว่าการอินทิเกรตและการหาอนุพันธ์เป็นโอเปอเรชันผกผันกัน ซึ่งต่างฝ่ายต่างกระทำต่อกัน

ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สองกล่าวว่า ผลรวมของ การเปลี่ยนแปลง เล็กน้อยในปริมาณหนึ่ง (ปริพันธ์ของอนุพันธ์ของปริมาณนั้น) จะเท่ากับการเปลี่ยนแปลงสุทธิในปริมาณนั้น เพื่อให้เห็นภาพ ลองนึกภาพว่าคุณกำลังเดินทางด้วยรถยนต์และต้องการทราบระยะทางที่เดินทางไป (การเปลี่ยนแปลงสุทธิของตำแหน่งตามทางหลวง) คุณสามารถเห็นความเร็วบนมาตรวัดความเร็ว แต่ไม่สามารถมองออกไปดูตำแหน่งของคุณได้ ในแต่ละวินาที คุณสามารถหาได้ว่ารถเดินทางไปไกลแค่ไหนโดยใช้สูตร ระยะทาง = ความเร็ว × เวลานั่นคือ การคูณความเร็วปัจจุบัน (ในหน่วยกิโลเมตรหรือไมล์ต่อชั่วโมง) ด้วยช่วงเวลา (1 วินาที = )${\displaystyle {\tfrac {1}{3600}}}$ชั่วโมง) เมื่อรวมขั้นตอนเล็กๆ เหล่านี้เข้าด้วยกัน คุณสามารถประมาณระยะทางทั้งหมดที่เดินทางได้ แม้ว่าจะไม่ได้มองออกไปนอกรถก็ตาม:$${\displaystyle {\text{ระยะทางที่เดินทาง}}=\sum \left({\begin{array}{c}{\text{ความเร็วในแต่ละช่วงเวลา}}\end{array}}\right)\times \left({\begin{array}{c}{\text{เวลาในช่วงเวลา}}\end{array}}\right)=\sum v_{t}\times \Delta t.}$$เช่น${\displaystyle \Delta t}$เมื่อค่ามี ขนาดเล็กมากจน แทบไม่มีค่า การรวมกันจะเทียบเท่ากับการอินทิเกรตดังนั้น อินทิกรัลของฟังก์ชันความเร็ว (อนุพันธ์ของตำแหน่ง) จะคำนวณว่ารถเคลื่อนที่ไปไกลแค่ไหน (การเปลี่ยนแปลงสุทธิของตำแหน่ง)

ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรกกล่าวว่า ค่าของฟังก์ชันใดๆ คืออัตราการเปลี่ยนแปลง (อนุพันธ์) ของปริพันธ์ของฟังก์ชันนั้นจากจุดเริ่มต้นคงที่ไปจนถึงจุดสิ้นสุดที่เลือกไว้ จากตัวอย่างข้างต้นที่ใช้ความเร็วเป็นฟังก์ชัน คุณสามารถอินทิเกรตความเร็วตั้งแต่เวลาเริ่มต้นจนถึงเวลาใดๆ ก็ได้ เพื่อให้ได้ฟังก์ชันระยะทางที่มีอนุพันธ์เท่ากับความเร็ว (ในการหาตำแหน่งของคุณบนหลักกิโลเมตร คุณจะต้องเพิ่มตำแหน่งเริ่มต้นของคุณลงในปริพันธ์นี้ และต้องพิจารณาด้วยว่าการเดินทางของคุณอยู่ในทิศทางที่หลักกิโลเมตรเพิ่มขึ้นหรือลดลง)

ทฤษฎีบทนี้ประกอบด้วยสองส่วน ส่วนแรกกล่าวถึงอนุพันธ์ของปฏิอนุพันธ์ในขณะที่ส่วนที่สองกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างปฏิอนุพันธ์และปริพันธ์จำกัดคำศัพท์ในหัวข้อนี้ยังไม่มีการกำหนดมาตรฐานอย่างสมบูรณ์ เพื่อความสะดวก บทความนี้จึงใช้แบบแผนที่ใช้กันทั่วไปแบบหนึ่ง ส่วนแบบแผนที่ใช้ในแหล่งข้อมูลอื่นจะกล่าวถึงในภายหลัง

บทสรุป

ทฤษฎีบทพื้นฐานมักถูกนำมาใช้ในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ซึ่งสำหรับสารต้านอนุพันธ์${\displaystyle F}$เป็นที่ทราบกันดี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงบน${\displaystyle [a,b]}$และ${\displaystyle F}$เป็นสารต้านอนุพันธ์ของ${\displaystyle f}$ใน${\displaystyle [a,b]}$, แล้ว $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).}$$

บทสรุปนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่ามีความต่อเนื่องตลอดช่วงทั้งหมด ผลลัพธ์นี้ได้รับการเสริมความแข็งแกร่งขึ้นเล็กน้อยในส่วนต่อไปของทฤษฎีบท

สำหรับฟังก์ชันf ที่กำหนดให้ ให้กำหนดฟังก์ชันF ( x )ดังนี้ $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

สำหรับจำนวนสองจำนวนใดๆx และx + Δ xในช่วง[ a , b ]เราจะได้ว่า

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})&=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt\\&=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt,\end{aligned}}}$$ ความเท่าเทียมกันประการหลังนี้เป็นผลมาจากคุณสมบัติพื้นฐานของปริพันธ์และการบวกพื้นที่เข้าด้วยกัน

ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของการอินทิเกรตจะมีจำนวนจริงอยู่จำนวนหนึ่ง${\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]}$โดยที่ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\cdot \Delta x.}$$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า $${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\cdot \Delta x,}$$ และด้วยเหตุนี้ $${\displaystyle {\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).}$$

เมื่อพิจารณาลิมิตเป็น${\displaystyle \Delta x\to 0,}$และต้องคำนึงถึงว่า${\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x],}$หนึ่งได้รับ $${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c),}$$ นั่นคือ $${\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1}),}$$ ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ ความต่อเนื่องของfและทฤษฎีบทการบีบอัด^{[ 8 ]}

สมมติว่าFเป็นอนุพันธ์ผกผันของfโดยที่fต่อเนื่องบนช่วง[ a , b ]ให้ $${\displaystyle G(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

จากส่วนแรกของทฤษฎีบท เราทราบว่าGก็เป็นอนุพันธ์ผกผันของfเช่นกัน เนื่องจากF ′ − G ′ = 0ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยจึงบ่งชี้ว่าF − Gเป็นฟังก์ชันคงที่นั่นคือ มีจำนวนcที่ทำให้G ( x ) = F ( x ) + cสำหรับทุกxในช่วง[ a , b ]ให้x = aเราจะได้ $${\displaystyle F(a)+c=G(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0,}$$ ซึ่งหมายความว่าc = − F ( a )กล่าวอีกนัยหนึ่งG ( x ) = F ( x ) − F ( a )และดังนั้น $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=G(b)=F(b)-F(a).}$$

นี่คือการพิสูจน์ลิมิตโดยใช้ผลรวมรีมันน์

ก่อนอื่น เราขอทบทวนทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยกล่าวโดยย่อคือ ถ้าFต่อเนื่องบนช่วงปิด[ a , b ]และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด( a , b )แล้ว จะมีค่าc บางค่า ใน( a , b )ที่ทำให้ $${\displaystyle F'(c)(ba)=F(b)-F(a).}$$

ให้fเป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ (แบบรีมันน์) บนช่วง[ a , b ]และให้fมีอนุพันธ์ผกผันFบน( a , b )โดยที่Fต่อเนื่องบน[ a , b ]เริ่มต้นด้วยปริมาณF ( b ) − F ( a )ให้มีจำนวนx₀ ..., xnเช่น $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b.}$$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า $${\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0}).}$$

ทีนี้ เราจะบวกF ( xi แต่ละ ตัวเข้ากับตัวผกผันการบวกของมัน เพื่อให้ปริมาณที่ได้มีค่าเท่ากัน: $${\displaystyle {\begin{aligned}F(b)-F(a)&=F(x_{n})+[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})]+\cdots +[-F(x_{1})+F(x_{1})]-F(x_{0})\\&=[F(x_{n})-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2})]+\cdots +[F(x_{2})-F(x_{1})]+[F(x_{1})-F(x_{0})].\end{aligned}}}$$

ปริมาณข้างต้นสามารถเขียนได้เป็นผลรวมดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})].}$$

1'

ฟังก์ชันFสามารถหาอนุพันธ์ได้บนช่วง( a , b )และต่อเนื่องบนช่วงปิด[ a , b ]ดังนั้นจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้บนแต่ละช่วง( xi⁻¹ , xi )และต่อเนื่องบนแต่ละช่วง[ , ด้วย เช่นตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย (ข้างต้น) สำหรับแต่ละi จะมี คง ที่อยู่ค่า${\displaystyle c_{i}}$ใน( x , x )โดยที่ $${\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1}).}$$

เมื่อแทนค่าข้างต้นลงใน ( 1' ) เราจะได้ $${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})].}$$

ข้อสมมติฐานนี้หมายความว่า${\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i}).}$อีกด้วย,${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$สามารถแสดงได้ดังนี้${\displaystyle \Delta x}$ของพาร์ติชั่น${\displaystyle i}$.

$${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

2'

เรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยใช้ความกว้างคูณความสูง แล้วนำพื้นที่ทั้งสองมาบวกกัน สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปนั้น ตามทฤษฎีค่าเฉลี่ยจะอธิบายพื้นที่โดยประมาณของส่วนโค้งที่มันวาดทับอยู่ นอกจากนี้${\displaystyle \Delta x_{i}}$ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันสำหรับทุกค่าของiหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าอาจแตกต่างกันได้ สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วย สี่เหลี่ยมผืนผ้า nรูป เมื่อขนาดของส่วนแบ่งเล็กลงและnเพิ่มขึ้น ส่งผลให้มีส่วนแบ่งมากขึ้นเพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราก็จะเข้าใกล้พื้นที่จริงของเส้นโค้งมากขึ้นเรื่อยๆ

โดยการหาลิมิตของนิพจน์เมื่อขนาดของพาร์ติชันเข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์รีมันน์เรารู้ว่าลิมิตนี้มีอยู่จริงเพราะเรา ถือว่า fเป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อพาร์ติชันที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ ซึ่งจะทำให้พาร์ติชันอื่นๆ เล็กลง และจำนวนพาร์ติชันจะเข้าใกล้ค่าอนันต์

ดังนั้น เราจึงหาลิมิตทั้งสองข้างของ ( 2' ) ซึ่งทำให้เราได้ $${\displaystyle \lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

ทั้งF ( b )และF ( a )ไม่ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle \|\Delta x_{i}\|}$ดังนั้นลิมิตทางด้านซ้ายจึงยังคงเป็นF ( b ) − F ( a )$${\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

นิพจน์ทางด้านขวาของสมการกำหนดปริมาณอินทิกรัลเหนือfจากaถึงbดังนั้นเราจึงได้ $${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$$ ซึ่งเป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ส่วนที่สองนั้นมีเนื้อหาที่อ่อนกว่าส่วนแรกเล็กน้อย

ในทำนองเดียวกัน ดูเหมือนว่าส่วนแรกของทฤษฎีบทจะมาจากส่วนที่สองโดยตรง กล่าวคือ สมมติว่าGเป็นอนุพันธ์ผกผันของfแล้วโดยทฤษฎีบทที่สอง${\textstyle G(x)-G(a)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ทีนี้ สมมติว่า${\textstyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt=G(x)-G(a)}$จากนั้นFจะมีอนุพันธ์เดียวกันกับGและดังนั้นF ′ = fอย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อเรารู้แล้วว่าfมีอนุพันธ์ผกผัน และวิธีเดียวที่เราทราบว่าฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดมีอนุพันธ์ผกผันคือจากส่วนแรกของทฤษฎีบทพื้นฐาน^{[ 9 ]} ตัวอย่างเช่น ถ้าf ( x ) = e ^{− x 2}แล้วfจะมีอนุพันธ์ผกผัน นั่นคือ $${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}$$ และไม่มีนิพจน์ใดที่ง่ายกว่านี้สำหรับฟังก์ชันนี้ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่ตีความส่วนที่สองของทฤษฎีบทว่าเป็นนิยามของปริพันธ์ อันที่จริง มีฟังก์ชันจำนวนมากที่สามารถหาปริพันธ์ได้แต่ไม่มีอนุพันธ์ผกผันพื้นฐานและฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องสามารถหาปริพันธ์ได้แต่ไม่มีอนุพันธ์ผกผันเลย ในทางกลับกัน ฟังก์ชันจำนวนมากที่มีอนุพันธ์ผกผันนั้นไม่สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ (ดูฟังก์ชันของโวลเทอร์รา )

ในเอกสารทางคณิตศาสตร์นั้นยังไม่มีข้อสรุปที่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์ว่าผลลัพธ์ใดควรเรียกว่า ทฤษฎีบทพื้นฐาน ข้อแรกของแคลคูลัส และผลลัพธ์ใดควรเรียกว่าทฤษฎีบท พื้นฐาน ข้อที่สองในบทความนี้ ทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรกคือ ถ้ากำหนดให้ฟังก์ชันต่อเนื่องมาฟังก์ชันหนึ่ง เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง:${\displaystyle f}$และกำหนดฟังก์ชันใหม่โดย${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$, แล้ว${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ชุดแคลคูลัสของ Apostolใช้คำศัพท์นี้^{[ 10 ]}และในทำนองเดียวกันStrangและคณะเรียกสิ่งนี้ว่า "ส่วนที่ 1" ของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส^{[ 11 ]}ตำราอื่นๆ อีกหลายเล่มก็เรียกผลลัพธ์นี้ว่าทฤษฎีบทพื้นฐานข้อแรกหรือส่วนแรกของทฤษฎีบทพื้นฐานเช่นกัน^{[ 12 ]}

ในทางกลับกัน ลาร์สันและเอ็ดเวิร์ดส์ใช้แบบแผนที่แตกต่างออกไป โดยที่ "ทฤษฎีบทพื้นฐาน" คือ อินทิกรัลจำกัดเป็นผลต่างของอนุพันธ์ผกผัน$${\displaystyle F(x)-F(c)=\int _{c}^{x}f(t)\,dt\,}$$สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง${\displaystyle f}$นั่นคือ "บทสรุป" ของบทความนี้ถูกกำหนดให้เป็น "ทฤษฎีบทพื้นฐาน" ในขณะที่ "ทฤษฎีบทพื้นฐานที่สอง" คือสิ่งที่ Apostol เรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานแรก^{[ 13 ]}ตำราเรียนอื่นๆ ก็เรียก "ทฤษฎีบทพื้นฐานที่สอง" ของบทความนี้ หรือรูปแบบที่อ่อนกว่าซึ่งถือว่ามีความต่อเนื่อง ว่าเป็นทฤษฎีบทพื้นฐานแรกเช่นกัน^{[ 14 ]}

หนังสือ Calculus: One and Several Variables (1971) ของ Salas และ Hille กล่าวว่านิพจน์หลังในกรณีพิเศษของตัวแปรต่อเนื่อง${\displaystyle f}$(บทสรุปของบทความนี้) คือ "ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอินทิกรัล" ในขณะที่ "ส่วนแรก" ของบทความนี้คือทฤษฎีบท 4.3.2 ที่ไม่มีชื่อ^{[ 15 ]}ในทำนองเดียวกัน งานอื่นๆ บางชิ้นเรียก "ส่วนที่สอง" ของบทความนี้ว่าทฤษฎีบทพื้นฐาน ในขณะที่ส่วนอื่นๆ ไม่มีชื่อ^{[ 16 ]}

หนังสือประวัติศาสตร์แคลคูลัสของบอยเออร์อธิบาย "สิ่งที่โดยทั่วไปรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส" เป็นอันดับแรก นั่นคือ ถ้า${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$, แล้ว${\displaystyle F'(x)=f(x)}$สำหรับบอยเออร์ "ส่วนแรก" ของเราคือ "ทฤษฎีบทพื้นฐาน" จากนั้นบอยเออร์เขียนว่า ผลต่างของอนุพันธ์ผกผัน${\displaystyle F(b)-F(a)}$"บางครั้งถูกนำมาใช้เป็นนิยาม" ของปริพันธ์${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$และในกรณีนั้น$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x_{i}}$$คือ "ทฤษฎีบทพื้นฐาน" ^{[ 17 ]}

ฟังก์ชันfไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องตลอดช่วงทั้งหมด ส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทกล่าวว่า: ถ้าfเป็น ฟังก์ชัน ที่สามารถหาปริพันธ์แบบเลเบสได้บน[ a , b ]และx เป็นจำนวนใน[ a , b ]โดยที่fต่อเนื่องที่x แล้ว $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$$

อนุพันธ์ของ f คือสำหรับx = x โดยที่F ′( x ) = f ( x )เราสามารถผ่อนคลายเงื่อนไขของfได้อีก และสมมติว่า f สามารถหาปริพันธ์ได้เฉพาะที่ ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชันFสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่และF ′( x ) = f ( x )เกือบทุกที่ บนเส้นจำนวนจริงข้อความนี้เทียบเท่ากับทฤษฎีบทการหาอนุพันธ์ของ Lebesgueผลลัพธ์เหล่านี้ยังคงเป็นจริงสำหรับปริพันธ์ Henstock–Kurzweilซึ่งอนุญาตให้มีฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในกลุ่มที่ใหญ่กว่า^{[ 18 ]}

ในมิติที่สูงกว่า ทฤษฎีบทการหาอนุพันธ์ของเลเบสได้ขยายความทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสโดยระบุว่า สำหรับเกือบทุก ค่า xค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันfบนทรงกลมรัศมีrที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่xจะมีแนวโน้มเข้าสู่f ( x )เมื่อrมีแนวโน้มเข้าสู่ 0

ส่วนที่ II ของทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับฟังก์ชันอินทิกรัลเลเบสใดๆfซึ่งมีอนุพันธ์ผกผันF (ถึงแม้ว่าฟังก์ชันอินทิกรัลบางฟังก์ชันจะไม่มีก็ตาม) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าฟังก์ชันจริงFบน[ a , b ]ยอมรับอนุพันธ์f ( x )ที่ทุกจุดxของ[ a , b ]และถ้าอนุพันธ์f นี้ สามารถอินทิกรัลเลเบสได้บน[ a , b ]แล้ว^{[ 19 ]}$${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt.}$$

ผลลัพธ์นี้อาจใช้ไม่ได้กับฟังก์ชันต่อเนื่องFที่มีอนุพันธ์f ( x )เกือบทุกจุดxดังตัวอย่างของฟังก์ชันแคนเตอร์อย่างไรก็ตาม ถ้าFเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสัมบูรณ์มันจะยอมรับอนุพันธ์F′ ( x )เกือบทุกจุดxและยิ่งไปกว่านั้นF′ยังสามารถหาปริพันธ์ได้ โดยที่F ( b ) − F ( a )เท่ากับปริพันธ์ของF′บน[ a , b ]ในทางกลับกัน ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ใดๆ แล้วFตามสูตรแรกจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสัมบูรณ์ โดยที่F′ = fเกือบทุกที่

เงื่อนไขของทฤษฎีบทนี้อาจผ่อนคลายลงได้อีกครั้งโดยพิจารณาอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องเป็นอินทิกรัล Henstock –Kurzweil โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องF ( x )ยอมรับอนุพันธ์f ( x )ที่จุดทั้งหมด ยกเว้นจุดจำนวนนับได้f ( x )จะสามารถหาอินทิกรัล Henstock–Kurzweil ได้ และF ( b ) − F ( a )จะเท่ากับอินทิกรัลของfบน[ a , b ]ความแตกต่างในที่นี้คือไม่จำเป็นต้องสมมติ ว่า f สามารถหาอินทิกรัลได้ ^{[ 20 ]}

ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ในรูปแบบที่แสดงพจน์ความคลาดเคลื่อนในรูปของปริพันธ์ สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของทฤษฎีบทพื้นฐาน

มีทฤษฎีบทเวอร์ชันหนึ่งสำหรับ ฟังก์ชัน เชิงซ้อน : สมมติว่าUเป็นเซตเปิดในCและf  : U → Cเป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ผกผันเชิงโฮโลม อร์ฟิก FบนUแล้วสำหรับทุกเส้นโค้งγ  : [ a , b ] → Uปริพันธ์ของเส้นโค้งสามารถคำนวณได้ดังนี้ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).}$$

The fundamental theorem can be generalized to curve and surface integrals in higher dimensions and on manifolds. One such generalization offered by the calculus of moving surfaces is the time evolution of integrals. The most familiar extensions of the fundamental theorem of calculus in higher dimensions are the divergence theorem and the gradient theorem.

One of the most powerful generalizations in this direction is the generalized Stokes theorem (sometimes known as the fundamental theorem of multivariable calculus):^[21] Let M be an oriented piecewisesmoothmanifold of dimensionn and let ${\displaystyle \omega }$ be a smooth compactly supported(n−1)-form on M. If ∂M denotes the boundary of M given its induced orientation, then $${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$$

Here d is the exterior derivative, which is defined using the manifold structure only.

The theorem is often used in situations where M is an embedded oriented submanifold of some bigger manifold (e.g. R^k) on which the form ${\displaystyle \omega }$ is defined.

The fundamental theorem of calculus allows us to pose a definite integral as a first-order ordinary differential equation. $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$ can be posed as $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x),\;\;y(a)=0}$$ with ${\displaystyle y(b)}$ as the value of the integral.

• Differentiation under the integral sign
• Telescoping series
• Fundamental theorem of calculus for line integrals
• Notation for differentiation

• "ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• การพิสูจน์แบบยุคลิดของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสณ จุดบรรจบ โดยเจมส์ เกรกอรี
• การพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสโดยไอแซค บาร์โรว์
• ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส ที่ imomath.com
• การพิสูจน์ทางเลือกของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส
• ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสMIT .
• ทฤษฎีบทพื้นฐานของ แคลคูลัสMathworld