ในทางคณิตศาสตร์อินทิกรัลเส้นคืออินทิกรัลที่ฟังก์ชันที่จะอินทิเกรตนั้นถูกประเมินตามเส้นโค้ง^{[ 1 ]} คำว่าอินทิก รัลเส้นทาง อินทิกรั ลเส้นโค้งและอินทิกรัลเส้นโค้งก็ถูกนำมาใช้ เช่นกัน อินทิกรัลเส้นโค้งก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะสงวนไว้สำหรับ อินทิกรัลเส้นใน ระนาบเชิงซ้อน

ฟังก์ชันที่จะทำการอินทิเกรตอาจเป็นสนามสเกลาร์หรือสนามเวกเตอร์ค่าของการอินทิเกรตตามเส้นคือผลรวมของค่าของสนามที่ทุกจุดบนเส้นโค้ง โดยถ่วงน้ำหนักด้วยฟังก์ชันสเกลาร์บางอย่างบนเส้นโค้ง (โดยทั่วไปคือความยาวส่วนโค้งหรือสำหรับสนามเวกเตอร์ คือผลคูณสเกลาร์ของสนามเวกเตอร์กับ เวกเตอร์ เชิงอนุพันธ์บนเส้นโค้ง) การถ่วงน้ำหนักนี้ทำให้การอินทิเกรตตามเส้นแตกต่างจากการอินทิเกรตแบบง่ายที่กำหนดบนช่วง สูตร ง่ายๆ หลายสูตรในฟิสิกส์ เช่น นิยามของงานเป็น${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} }$มีรูปแบบต่อเนื่องตามธรรมชาติในแง่ของปริพันธ์เส้น ในกรณีนี้${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$ซึ่งคำนวณงานที่กระทำต่อวัตถุที่เคลื่อนที่ผ่านสนามไฟฟ้าหรือสนามโน้มถ่วงFตามเส้นทาง${\displaystyle L}$.

ในเชิงคุณภาพ อินทิกรัลเส้นในแคลคูลัสเวกเตอร์สามารถคิดได้ว่าเป็นการวัดผลรวมของฟิลด์เทนเซอร์ ที่กำหนด ตามเส้นโค้งที่กำหนด ตัวอย่างเช่น อินทิกรัลเส้นเหนือฟิลด์สเกลาร์ (เทนเซอร์อันดับ 0) สามารถตีความได้ว่าเป็นพื้นที่ใต้ฟิลด์ที่ถูกตัดออกโดยเส้นโค้งเฉพาะเส้นหนึ่ง ซึ่งสามารถมองเห็นได้เป็นพื้นผิวที่สร้างขึ้นโดยz = f ( x , y )และเส้นโค้งCใน ระนาบ xyอินทิกรัลเส้นของfจะเป็นพื้นที่ของ "ม่าน" ที่สร้างขึ้น เมื่อจุดบนพื้นผิวที่อยู่เหนือC โดยตรง ถูกตัดออก

อินทิกรัลเส้นของฟิลด์สเกลาร์

คำนิยาม

สำหรับฟิลด์สเกลาร์บางฟิลด์${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ที่ไหน${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ปริพันธ์ตามเส้นโค้งเรียบเป็นช่วงๆ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset U}$ถูกกำหนดให้เป็น $${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\left|\mathbf {r} '(t)\right|\,dt,}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}}$เป็นการกำหนดพารามิเตอร์แบบหนึ่ง ต่อหนึ่งโดยพลการ ของเส้นโค้ง${\displaystyle {\mathcal {C}}}$โดยที่r ( a )และr ( b )เป็นจุดปลายของ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$และa < bในที่นี้และในส่วนที่เหลือของบทความ เครื่องหมายขีดแสดงค่าสัมบูรณ์หมายถึงค่ามาตรฐาน (แบบยุคลิด)ของเวกเตอร์

ฟังก์ชันfเรียกว่าตัวอินทิกรัล หรือเส้นโค้ง${\displaystyle {\mathcal {C}}}$คือโดเมนของการอินทิเกรต และสัญลักษณ์dsอาจตีความได้โดยสัญชาตญาณว่าเป็นความยาวส่วนโค้ง พื้นฐาน ของเส้นโค้ง${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(เช่น ความยาวที่แตกต่างกันของ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$). อินทิกรัลเส้นของฟิลด์สเกลาร์เหนือเส้นโค้ง${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ไม่ขึ้นอยู่กับค่าพารามิเตอร์r ที่ เลือก${\displaystyle {\mathcal {C}}}$[ ^{2 ]​}

ในทางเรขาคณิต เมื่อสนามสเกลาร์fถูกกำหนดไว้บนระนาบ( n = 2)กราฟของมันคือพื้นผิวz = f ( x , y )ในปริภูมิ และปริพันธ์ตามเส้นจะให้ พื้นที่ หน้าตัด (มีเครื่องหมาย) ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง${\displaystyle {\mathcal {C}}}$และกราฟของfดูภาพเคลื่อนไหวทางด้านขวา

อนุพันธ์

สำหรับการอินทิกรัลเส้นบนฟิลด์สเกลาร์ อินทิกรัลสามารถสร้างขึ้นได้จากผลรวมรีมันน์โดยใช้คำจำกัดความข้างต้นของf, C และการกำหนดพารามิเตอร์ r ของ C ซึ่งสามารถทำได้โดยการแบ่งช่วง [a, b] ออกเป็น n ช่วงย่อย [ti −1, ti] ที่มีความยาวΔt = ( b − a ) / n จากนั้น r ( ti ) จะบางเรียกว่าจุดตัวอย่างบนเส้นโค้งเราสามารถใช้เซตของจุดตัวอย่าง { r ( ti ) : 1 ≤ i n }เพื่อประมาณเส้นโค้งCเป็นเส้นทางรูปหลายเหลี่ยม โดยการ เพิ่มส่วนเส้นตรงระหว่างแต่ละจุดตัวอย่างr ( ti )และr ( ti (การประมาณเส้นโค้งให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าการปรับเส้นโค้งให้เป็นเส้นตรงดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่นี่ ) จาก Δs iผลคูณของf ( r ( ti )และΔs iสามารถเชื่อมโยงกับพื้นที่ที่มีเครื่องหมายของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูงและความกว้างเท่ากับf ( r ( ti )และΔs iตามลำดับ การหาลิมิตของ ผล รวมของพจน์เมื่อความยาวของส่วนแบ่งเข้าใกล้ศูนย์จะทำให้เรา $${\displaystyle I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.}$$

ตามทฤษฎีค่าเฉลี่ยระยะห่างระหว่างจุดที่อยู่ติดกันบนเส้นโค้ง คือ $${\displaystyle \Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {r} '(t_{i})\Delta t\right|}$$

เมื่อแทนค่านี้ลงในผลรวมรีมันน์ข้างต้นจะได้ $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t}$$ ซึ่งก็คือผลรวมรีมันน์สำหรับอินทิกรัล $${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.}$$

อินทิกรัลเส้นของสนามเวกเตอร์

คำนิยาม

สำหรับสนามเวกเตอร์F : U ⊆ R ⁿ → R ⁿนั้น อินทิกรัลตามเส้นโค้งเรียบเป็นช่วงๆC ⊂ Uในทิศทางของrถูกกำหนดดังนี้ $${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt}$$ โดยที่·คือผลคูณดอทและr : [ a , b ] → Cคือ การกำหนดพารามิเตอร์ แบบปกติ (เช่น:${\displaystyle ||\mathbf {r} '(t)||\neq 0\;\;\forall t\in [a,b]}$) ของเส้นโค้งCโดยที่r ( a )และr ( b )เป็นจุดปลายของC

ดังนั้น อินทิกรัลตามเส้นของสนามสเกลาร์จึงเป็นอินทิกรัลตามเส้นของสนามเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์จะสัมผัสกับเส้นของการอินทิเกรต เสมอ

อินทิกรัลเส้นของสนามเวกเตอร์ไม่ขึ้นอยู่กับ ค่าสัมบูรณ์ของพารามิเตอร์rแต่ขึ้นอยู่กับทิศทาง ของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกลับทิศทางของพารามิเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมายของอินทิกรัลเส้น^{[ 2 ]}

จากมุมมองของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ อินทิกรัลเส้นของสนามเวกเตอร์ตามเส้นโค้งคืออินทิกรัลของ 1-ฟอร์มที่สอดคล้องกันภายใต้ไอโซมอร์ฟิซึมทางดนตรี (ซึ่งแปลงสนามเวกเตอร์เป็นสนาม โคเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน) บนเส้นโค้งที่ถือว่าเป็น1-แมนิโฟลด์ที่ฝังตัวอยู่

อนุพันธ์

อินทิกรัลเส้นของสนามเวกเตอร์สามารถหาได้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับกรณีของสนามสเกลาร์มาก แต่ในครั้งนี้มีการรวมผลคูณดอทเข้าไปด้วย โดยใช้คำจำกัดความข้างต้นของF , Cและพารามิเตอร์r ( t )เราสร้างอินทิกรัลจากผลรวมรีมันน์เราแบ่งช่วง[ a , b ] (ซึ่งเป็นช่วงของค่าพารามิเตอร์t ) ออกเป็นnช่วงที่มีความยาวΔt = ( b − a )/ nให้ti จุด ที่iบน[ a , b ]แล้วr ( ti จะให้ตำแหน่งของ จุดที่ iบนเส้นโค้ง อย่างไรก็ตาม แทนที่จะคำนวณระยะห่างระหว่างจุดที่อยู่ติดกัน เราจำเป็นต้องคำนวณเวกเตอร์การกระจัดΔriเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ การประเมินค่าF ที่ ทุกจุดบนเส้นโค้งและการหาผลคูณดอ กับเวกเตอร์การกระจัดแต่ละ ตัวจะให้ ค่าส่วนประกอบ อนันต์ของแต่ละส่วนของFบนCการกำหนดให้ขนาดของพาร์ติชันเข้าใกล้ศูนย์จะทำให้เราได้ผลรวม $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}}$$

จากทฤษฎีค่าเฉลี่ยเราจะเห็นว่าเวกเตอร์การกระจัดระหว่างจุดที่อยู่ติดกันบนเส้นโค้งคือ $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.}$$

เมื่อแทนค่านี้ลงในผลรวมรีมันน์ข้างต้นจะได้ $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,}$$

ซึ่งก็คือผลรวมรีมันน์ของปริพันธ์ที่กำหนดไว้ข้างต้น

สำหรับสนามเวกเตอร์${\displaystyle \mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y ))ซึ่งเป็นปริพันธ์ตามเส้นโค้งC ⊂ Uหรือที่เรียกว่าปริพันธ์ฟลักซ์ถูกกำหนดในรูปของพารามิเตอร์แบบเรียบเป็นช่วงๆr : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ))ดังนี้: $${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}~dt=\int _{a}^{b}\left(-Q~dx+P~dy\right).}$$

ในที่นี้⋅คือผลคูณดอท และ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))}$คือเส้นตั้งฉากตามเข็มนาฬิกาของเวกเตอร์ความเร็ว${\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))}$.

การไหลจะถูกคำนวณในเชิงทิศทาง: เส้นโค้งCมีทิศทางไปข้างหน้าที่กำหนดไว้จากr ( a )ไปยังr ( b )และการไหลจะถือว่ามีค่าเป็นบวกเมื่อF ( r ( t ))อยู่ทางด้านตามเข็มนาฬิกาของเวกเตอร์ความเร็วไปข้างหน้าr ' ( t )

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนอินทิกรัลเส้นถูกกำหนดโดยใช้การคูณและการบวกของจำนวนเชิงซ้อน สมมติว่าUเป็นเซตย่อยเปิดของระนาบเชิงซ้อนC , f  : U → Cเป็นฟังก์ชัน และ${\displaystyle L\subset U}$เป็นเส้นโค้งที่มีความยาวจำกัด กำหนดพารามิเตอร์โดยγ : [ a , b ] → Lโดยที่γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t )อินทิกรัลเส้น $${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz}$$ อาจกำหนดได้โดยการแบ่งช่วง [ a , b ] ออกเป็นa = t < t < ... < t = bและพิจารณาการแสดงออก $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.}$$

ดังนั้นปริพันธ์จึงเป็นลิมิตของผลรวมรีมันน์ นี้ เมื่อความยาวของช่วงย่อยเข้าใกล้ศูนย์

ถ้าพารามิเตอร์γสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องปริพันธ์ตามเส้นสามารถคำนวณได้ในรูปปริพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริง: $${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.}$$

เมื่อLเป็นเส้นโค้งปิด (จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน) ปริพันธ์ตามเส้นมักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$ในทางวิศวกรรมบางครั้งเรียกว่า อินทิกรัลแบบวัฏจักร

เพื่อให้เกิดความคล้ายคลึงอย่างสมบูรณ์กับปริพันธ์เส้นของสนามเวกเตอร์ เราต้องย้อนกลับไปที่นิยามของความสามารถในการหาอนุพันธ์ในแคลคูลัสหลายตัวแปร เกรเดียนต์ถูกนิยามจากทฤษฎีบทการแสดงแทนของรีซและผลคูณภายในในการวิเคราะห์เชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับความสอดคล้อง (เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน)${\displaystyle \gamma }$ในบาง${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$จะเป็น${\displaystyle {\overline {\gamma '(z)}}}$และผลคูณภายในที่ซับซ้อนจะกำหนดให้คอนจูเกตสองครั้งแก่${\displaystyle \gamma '}$ในนิยามของปริพันธ์เส้นตรงในสนามเวกเตอร์)

อินทิกรัลเส้นเทียบกับอนุพันธ์เชิงซ้อนสังยุค${\displaystyle {\overline {dz}}}$ถูกกำหนด^{[ 4 ]}ให้เป็น $${\displaystyle \int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.}$$

การหาปริพันธ์ตามเส้นของฟังก์ชันเชิงซ้อนสามารถทำได้โดยใช้เทคนิคหลายวิธี วิธีที่ตรงที่สุดคือการแบ่งออกเป็นส่วนจริงและส่วนจินตนาการ ซึ่งจะลดปัญหาลงเหลือการหาปริพันธ์ตามเส้นที่มีค่าเป็นจำนวนจริงสองค่าทฤษฎีบทปริพันธ์ของโคชีสามารถใช้เพื่อเทียบปริพันธ์ตามเส้นของฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์กับปริพันธ์เดียวกันบนเส้นโค้งที่สะดวกกว่า นอกจากนี้ยังหมายความว่าบนเส้นโค้งปิดที่ล้อมรอบบริเวณที่f ( z )เป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์โดยไม่มีจุดเอกฐานค่าของปริพันธ์จะเป็นศูนย์ หรือในกรณีที่บริเวณนั้นมีจุดเอกฐาน ทฤษฎีบทส่วนเหลือจะคำนวณปริพันธ์ในรูปของจุดเอกฐาน นอกจากนี้ยังหมายความว่าปริพันธ์ตามเส้นเชิงซ้อนสำหรับฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางด้วย

การกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทางในกลศาสตร์ควอนตัมนั้นในความเป็นจริงแล้วไม่ได้หมายถึงอินทิกรัลเส้นทางในความหมายนี้ แต่หมายถึงอินทิกรัลเชิงฟังก์ชันกล่าวคือ อินทิกรัลเหนือปริภูมิของเส้นทาง ของฟังก์ชันของเส้นทางที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม อินทิกรัลเส้นทางในความหมายของบทความนี้มีความสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัม ตัวอย่างเช่น การอินทิเกรตเส้นโค้งเชิงซ้อนมักถูกใช้ในการประเมิน แอม พลิจูดความน่าจะเป็นในทฤษฎีการกระเจิง ควอนตัม

• "อินทิกรัลเหนือวิถี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• โมดูลของ Khan Academy :
  • "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอินทิกรัลเส้น"
  • ตัวอย่างการหาปริพันธ์เส้น 1
  • ตัวอย่างการหาปริพันธ์ตามเส้น 2 (ตอนที่ 1)
  • "ตัวอย่างการหาปริพันธ์ตามเส้น 2 (ตอนที่ 2)"
• การคำนวณอินทิกรั ลเส้นทางที่PlanetMath
• อินทิกรัลเส้นของสนามเวกเตอร์ – แบบโต้ตอบ