การแบ่งย่อยตามรูปทรงเรขาคณิตสามารถทำได้จากทรงสิบสองเหลี่ยม เสริม โดยแบ่งรูปห้าเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดศูนย์กลาง แล้วจึงแบ่งย่อยต่อจากนั้น

ทรงหลาย เหลี่ยมไครัลที่มีหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมลำดับสูงกว่า สามารถเสริมด้วยการเพิ่มจุดยอดที่อยู่ตรงกลางแต่ละหน้าเพื่อแบ่งหน้าเหล่านั้นออกเป็นรูปสามเหลี่ยม จากนั้นรูปสามเหลี่ยมเหล่านั้นสามารถแบ่งย่อยออกเป็นรูปสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าเพื่อสร้างทรงหลายเหลี่ยมจีโอเดสิกใหม่ จุดยอดทั้งหมดมีวาเลนซ์ 6 ยกเว้น 12 จุดยอดที่อยู่ตรงกลางจุดยอดเดิมซึ่งมีวาเลนซ์ 5

ทรงหลายเหลี่ยมจีโอเดสิกสร้างขึ้นโดยการแบ่งหน้าของทรงหลายเหลี่ยมที่เรียบง่ายกว่า แล้วฉายจุดยอดใหม่ลงบนพื้นผิวของทรงกลม ทรงหลายเหลี่ยมจีโอเดสิกมีขอบตรงและหน้าเรียบที่ประมาณทรงหลายเหลี่ยมทรงกลมที่สร้างจากสามเหลี่ยมจีโอเดสิก

ในหนังสือ Spherical ModelsของMagnus Wenningerรูปทรงหลายเหลี่ยมจะถูกกำหนดสัญลักษณ์ทางเรขาคณิตในรูปแบบ{3, q +} โดยที่{3, q }คือสัญลักษณ์ Schläfliสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่มีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม และqคือค่าความเวเลนซ์ ของจุดยอด สัญลักษณ์ +แสดงถึงค่าความเวเลนซ์ของจุดยอดที่เพิ่มขึ้นbและcแสดงถึงคำอธิบายการแบ่งย่อย โดย1,0แทนรูปแบบพื้นฐาน มีสมมาตร 3 ระดับ ได้แก่{3,3+} สำหรับทรงสี่หน้า{3,4+} สำหรับทรงแปดหน้าและ{3,5+} สำหรับทรงยี่สิบหน้า

สัญลักษณ์คู่สำหรับทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์กคือ{ q +,3} โดยมีจุดยอดที่มีวาเลนซ์ 3 และมี หน้าเป็นรูป qเหลี่ยมและหกเหลี่ยม มีสมมาตร 3 ประเภท ได้แก่{3+,3} สำหรับทรงสี่หน้า , {4+,3} สำหรับทรงลูกบาศก์และ{5+,3} สำหรับทรงสิบสองหน้า

ค่าของbและcแบ่งออกเป็นสามระดับ:

1. คลาส I ( b = 0หรือc = 0 ): {3, q +} หรือ{3, q +} แทนการแบ่งแบบง่าย โดยที่ขอบเดิมถูกแบ่งออกเป็นbขอบย่อย
2. คลาส II ( b = c ): {3, q +} สามารถมองเห็นได้ง่ายกว่าจากทรงหลายเหลี่ยมคู่{ q ,3}ที่มี หน้าเหลี่ยม qหน้าซึ่งถูกแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมที่มีจุดศูนย์กลางก่อน จากนั้นขอบทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็นขอบย่อยb ขอบ
3. คลาส III : {3, q +} มีค่าที่ไม่เท่ากันและไม่เป็นศูนย์สำหรับbและcและมีอยู่ในคู่ไครัล สำหรับb > cเราสามารถกำหนดให้เป็นรูปแบบมือขวา และc > bเป็นรูปแบบมือซ้าย

การแบ่งย่อยในชั้นที่ 3 ในที่นี้ไม่ได้เรียงตัวตามขอบเดิมโดยตรง สามารถแยกตารางย่อยได้โดยการพิจารณาการปูพื้นด้วยรูปสามเหลี่ยมวางรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่ไว้บนจุดยอดของตาราง และเดินตามเส้นทางจากจุดยอดหนึ่งไปbก้าวในทิศทางหนึ่ง แล้วเลี้ยว ไม่ว่าจะเป็นตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา จากนั้นเดินอีกcก้าวไปยังจุดยอดหลักถัดไป

ตัวอย่างเช่นทรงยี่สิบหน้าคือ{3,5+} และทรงสิบสองหน้าเพนทาคิส { 3,5+} ถือเป็นทรงสิบสองหน้าปกติที่มีหน้าห้าเหลี่ยมแบ่งออกเป็น 5 สามเหลี่ยม

ด้านหลักของการแบ่งย่อยเรียกว่าสามเหลี่ยมโพลีเฮดรัลหลัก (PPT) หรือโครงสร้างการแบ่งย่อยการคำนวณ PPT เพียงจุดเดียวจะช่วยให้สามารถสร้างรูปทรงทั้งหมดได้

ความถี่ ของ ทรงหลายเหลี่ยมจีโอเดสิกถูกกำหนดโดยผลรวมของν = b + c ฮา ร์มอนิกคือความถี่ย่อยและสามารถเป็นตัวหารจำนวนเต็มใดๆ ของν ได้ คลาส II จะมีฮาร์มอนิกเป็น 2 เสมอเนื่องจากν = 2b

ค่าจำนวนสามเหลี่ยม (Triangulation number) ^คือ T = b² + bc + c² ค่านี้คูณด้วยจำนวนหน้าเดิม จะแสดงจำนวนสามเหลี่ยมที่รูปทรงหลายเหลี่ยมใหม่จะ^มี

คอนเวย์	u I = (kt)I	(k)tI	ktI
ภาพ
รูปร่าง	ไอโคซาเฮดรอนแบ่งย่อยความถี่ 3 ระดับ	ทรงยี่สิบหน้าตัด K	ทรงหลายเหลี่ยมจีโอเดสิก (3,0)

ในกรณีนี้{3,5+} โดยมีความถี่ν = 3และจำนวนการแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมT = 9แต่ละเวอร์ชันของรูปหลายเหลี่ยมจะมีจุดยอด 92 จุด (80 จุดเมื่อขอบหกเส้นเชื่อมต่อกัน และ 12 จุดเมื่อขอบห้าเส้นเชื่อมต่อกัน) ขอบ 270 เส้น และหน้า 180 หน้า

จำนวนองค์ประกอบถูกระบุโดยเลขสามเหลี่ยมT = b ² + bc + c ²โพลีเฮดราจีโอเดสิกสองอันที่แตกต่างกันอาจมีจำนวนองค์ประกอบเท่ากัน ตัวอย่างเช่น{3,5+} และ{3,5+} ต่างก็มีT = 49

สมมาตร	ทรงยี่สิบหน้า	ทรงแปดเหลี่ยม	ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า
ฐาน	อิโคซาเฮดรอน{3,5} = {3,5+}	ทรงแปดเหลี่ยม{3,4} = {3,4+}	ทรงสี่หน้า{3,3} = {3,3+}
ภาพ
เครื่องหมาย	{3,5+}	{3,4+}	{3,3+}
จุดยอด	10 T + 2	4 ที + 2	2 T + 2
ใบหน้า	20 ตัน	8 ที	4 ที
ขอบ	${\displaystyle 30T}$	${\displaystyle 12T}$	${\displaystyle 6T}$

ทรงหลายเหลี่ยมจีโอเดสิกเป็นทรงหลายเหลี่ยม คู่ขนานของทรงหลายเหลี่ยม โกลด์เบิร์ก ทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์กยังมีความสัมพันธ์กันในแง่ที่ว่า การใช้ตัวดำเนินการ kis (การแบ่งหน้าออกเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดศูนย์กลาง) จะสร้างทรงหลายเหลี่ยมจีโอเดสิกใหม่ และการตัดจุดยอดของทรงหลายเหลี่ยมจีโอเดสิกจะสร้างทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์กใหม่ ตัวอย่างเช่น ทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์กG (2,1) เมื่อถูก kis แล้ว จะกลายเป็น {3,5+} 4,1 และเมื่อตัดจุดยอดของมันจะกลายเป็นG ( )และในทำนองเดียวกัน{3,5+} เมื่อตัดจุดยอดจะกลายเป็นG(4,1)และเมื่อkis แล้ว จะกลาย เป็น{3,5+ }

หนังสือ Spherical ModelsของMagnus Wenningerสำรวจการแบ่งย่อยเหล่านี้ในการสร้างแบบจำลองทรงหลายเหลี่ยมหลังจากอธิบายการสร้างแบบจำลองเหล่านี้แล้ว เขาได้อธิบายการใช้ตารางสามเหลี่ยมเพื่อทำเครื่องหมายรูปแบบ โดยสามเหลี่ยมจะถูกระบายสีหรือถูกยกเว้นในแบบจำลอง^{[ 6 ]}

ตัวอย่างแบบจำลอง

แบบจำลองทางศิลปะที่สร้างโดยบาทหลวงแม็กนัส เวนนิงเกอร์ชื่อว่า"ระเบียบในความโกลาหล " ซึ่งแสดงถึงเซตย่อยไครัลของรูปสามเหลี่ยมของ ทรงกลมจีโอเดสิกไอโคซาเฮดรัล 16 ความถี่{ 3,5+}

ภาพจำลองเสมือนที่แสดงวงกลมใหญ่สมมาตรของทรงยี่สิบหน้า สมมาตรการหมุน 6 เท่าเป็นเพียงภาพลวงตา ไม่ได้มีอยู่จริงบนทรงยี่สิบหน้านั้น

รูปสามเหลี่ยมทรงยี่สิบหน้าเดี่ยวที่มีการแบ่งย่อยความถี่ 16 ส่วน

• สัญกรณ์ทรงหลายเหลี่ยมของคอนเวย์– วิธีการอธิบายทรงหลายเหลี่ยมลำดับสูง 

• วิลเลียมส์, โรเบิร์ต (1979). รากฐานทางเรขาคณิตของโครงสร้างธรรมชาติ: หนังสืออ้างอิงด้านการออกแบบหน้า142–144 , รูปที่ 4-49, 50, 51 คัสเตอร์ทรงกลม 12 ลูก, ทรงกลม 42 ลูก, ทรงกลม 92 ลูก 
• Pugh, Antony (1976). "บทที่ 6. โพลีเฮดราเชิงเรขาคณิตของ R. Buckminster Fuller และโพลีเฮดราที่เกี่ยวข้อง" โพลีเฮดรา: แนวทางเชิงภาพ
• เวนนิงเกอร์, แม็กนัส (1979). แบบจำลองทรงกลม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-29432-4MR 0552023เก็บถาวรจากต้นฉบับ เมื่อ วันที่ 4 กรกฎาคม 2551  จัดพิมพ์ซ้ำโดย Dover (1999), ISBN 978-0-486-40921-4.
• Popko, Edward S. (2012). "บทที่ 8. แผนผังการแบ่งส่วน, 8.1 สัญกรณ์จีโอเดสิก, 8.2 หมายเลขการสร้างสามเหลี่ยม, 8.3 ความถี่และฮาร์โมนิก, 8.4 สมมาตรของตาราง, 8.5 ชั้นที่ 1: ทางแยกและทางข้าม, 8.5.1 การกำหนดสามเหลี่ยมหลัก, 8.5.2 จุดอ้างอิงขอบ" ทรงกลมที่แบ่งส่วน: จีโอเดสิกและการแบ่งส่วนทรงกลมอย่างเป็นระเบียบ