ใน ฟิสิกส์ สสารควบแน่นความขัดแย้งทางเรขาคณิต (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าความขัดแย้ง ) คือปรากฏการณ์ที่การรวมกันของแรงระหว่างอะตอมที่ขัดแย้งกันนำไปสู่โครงสร้างที่ซับซ้อน ความขัดแย้งอาจหมายถึงสถานะพื้นฐาน ที่แตกต่างกันมากมาย ที่อุณหภูมิศูนย์องศาและการเรียงตัวตามความร้อนตามปกติอาจถูกยับยั้งที่อุณหภูมิสูงขึ้น ตัวอย่างที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง ได้แก่วัสดุอสัณฐานแก้วและแม่เหล็กเจือจาง

คำว่า"ความไม่ลงรอย"ในบริบทของ ระบบ แม่เหล็กถูกนำมาใช้โดยGerard Toulouseในปี 1977 ^{[ 1 ] [ 2 ]} ระบบ แม่เหล็กที่ไม่ลงรอยได้รับการศึกษามาก่อนหน้านั้นแล้ว งานวิจัยในช่วงแรกๆ รวมถึงการศึกษาแบบจำลอง Ising บนโครงตาข่ายสามเหลี่ยมที่มี สปินเพื่อนบ้านใกล้เคียงที่เชื่อมต่อกันแบบแอนติเฟอร์โรแมกเนติกโดยGH Wannierซึ่งตีพิมพ์ในปี 1950 ^{[ 3 ]}คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องเกิดขึ้นในแม่เหล็กที่มีปฏิสัมพันธ์ที่แข่งขันกันซึ่งมีการเชื่อมต่อทั้งแบบเฟอร์โรแมกเนติกและแอนติเฟอร์โรแมกเนติกระหว่างคู่ของสปินหรือโมเมนต์แม่เหล็ก โดยประเภทของปฏิสัมพันธ์ขึ้นอยู่กับระยะห่างของสปิน ในกรณีนั้นความเข้ากันได้เช่น การจัดเรียงสปิน แบบเกลียวอาจเกิดขึ้นได้ ดังที่ได้มีการกล่าวถึงในตอนแรก โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดย A. Yoshimori ^{[ 4 ]} TA Kaplan ^{[ 5 ]} RJ Elliott [ ^{6 ] และ}คนอื่นๆ ตั้งแต่ปี 1959 เพื่ออธิบายผลการทดลองเกี่ยวกับโลหะหายาก ความสนใจในระบบสปินดังกล่าวที่มีปฏิสัมพันธ์ที่ขัดแย้งหรือแข่งขันกันกลับมาอีกครั้งเมื่อประมาณสองทศวรรษต่อมา โดยเริ่มตั้งแต่ช่วงปี 1970 ในบริบทของสปินกลาสและโครงสร้างแม่เหล็กซูเปอร์สตรักเจอร์ที่ปรับเปลี่ยนตามพื้นที่ ในสปินกลาส ความขัดแย้งจะเพิ่มขึ้นจาก ความไม่เป็นระเบียบ แบบสุ่มในปฏิสัมพันธ์ ดังเช่นที่อาจเกิดขึ้นในการทดลองในโลหะ^ผสมแม่เหล็ก ที่ไม่เป็น สัดส่วน แบบจำลอง สปินที่มีความขัดแย้งที่ได้รับการวิเคราะห์อย่างละเอียด ได้แก่แบบจำลอง Sherrington–Kirkpatrick [ ^{7 ] ซึ่ง}อธิบายสปินกลาส และแบบจำลอง ANNNI [ ^{8 ]}ซึ่งอธิบาย โครงสร้างแม่เหล็กซูเปอร์สต รักเจอร์ที่เข้ากันได้เมื่อเร็วๆ นี้ แนวคิดเรื่องความขัดแย้งถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์เครือข่ายสมองเพื่อระบุการประกอบกันที่ไม่ธรรมดาของการเชื่อมต่อประสาทและเน้นองค์ประกอบที่ปรับได้ของสมอง^{[ 9 ]}

รูปที่ 1:สปินที่เกิดปฏิสัมพันธ์แบบแอนติเฟอร์โรแมกเนติกในรูปแบบการจัดเรียงแบบสามเหลี่ยม

รูปที่ 2:สปินที่เกิดปฏิสัมพันธ์แบบแอนติเฟอร์โรแมกเนติกในโครงสร้างทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า

รูปที่ 3:การหมุนตามแกนง่ายของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า

รูปที่ 4:การหมุนที่ง่ายแต่เกิดความหงุดหงิดในรูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิด

ปรากฏการณ์ความขัดแย้งทางเรขาคณิตเป็นคุณลักษณะสำคัญในแม่เหล็กซึ่งเกิดจากการจัดเรียงสัมพัทธ์ของสปินตัวอย่างง่ายๆ ใน 2 มิติแสดงในรูปที่ 1 ไอออนแม่เหล็กสามตัวอยู่บนมุมของสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยมี ปฏิสัมพันธ์ แบบแอนติเฟอร์โรแมกเนติกส์ระหว่างกัน พลังงานจะมีค่าต่ำสุดเมื่อสปินแต่ละตัวเรียงตัวในทิศทางตรงข้ามกับเพื่อนบ้าน เมื่อสปินสองตัวแรกเรียงตัวในทิศทางตรงข้ามกัน สปินตัวที่สามจะเกิดความขัดแย้งเนื่องจากทิศทางที่เป็นไปได้สองทิศทาง คือ ขึ้นและลง ให้พลังงานเท่ากัน สปินตัวที่สามไม่สามารถลดปฏิสัมพันธ์กับอีกสองตัวพร้อมกันได้ เนื่องจากปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นกับทุกสปิน สถานะพื้นฐานจึงมีพลังงาน เท่ากันหกเท่า มีเพียงสองสถานะที่สปินทั้งหมดขึ้นหรือลงเท่านั้นที่มีพลังงานมากกว่า

ในทำนองเดียวกัน ในสามมิติ สปินสี่ตัวที่เรียงตัวกันในรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า (รูปที่ 2) อาจประสบกับภาวะขัดแย้งทางเรขาคณิต หากมีปฏิสัมพันธ์แบบแอนติเฟอร์โรแมกเนติกเกิดขึ้นระหว่างสปิน ก็จะไม่สามารถจัดเรียงสปินให้ปฏิสัมพันธ์ระหว่างสปินทั้งหมดเป็นแบบขนานตรงข้ามได้ มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดหกแบบ ซึ่งสี่แบบเป็นแบบขนานตรงข้ามและจึงเป็นผลดี แต่สองแบบ (ระหว่าง 1 กับ 2 และระหว่าง 3 กับ 4) เป็นผลเสีย เป็นไปไม่ได้ที่จะให้ปฏิสัมพันธ์ทั้งหมดเป็นผลดี และระบบจึงเกิดภาวะขัดแย้ง

ความขัดแย้งทางเรขาคณิตยังเป็นไปได้หากการจัดเรียงสปินไม่เป็นแนวเดียวกันถ้าเราพิจารณาทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีสปินที่แต่ละจุดยอดชี้ไปตามแกนง่าย (นั่นคือ ชี้ตรงไปยังหรือออกจากจุดศูนย์กลางของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า) ก็เป็นไปได้ที่จะจัดเรียงสปินทั้งสี่เพื่อให้ไม่มีสปินสุทธิ (รูปที่ 3) ซึ่งเทียบเท่ากับการมีปฏิสัมพันธ์แบบแอนติเฟอร์โรแมกเนติกส์ระหว่างสปินแต่ละคู่ ดังนั้นในกรณีนี้จึงไม่มีความขัดแย้งทางเรขาคณิต ด้วยแกนเหล่านี้ ความขัดแย้งทางเรขาคณิตจะเกิดขึ้นหากมี ปฏิสัมพันธ์ แบบเฟอร์โรแมกเนติกส์ระหว่างสปินข้างเคียง ซึ่งพลังงานจะลดลงเหลือน้อยที่สุดโดยสปินที่ขนานกัน การจัดเรียงที่ดีที่สุดแสดงในรูปที่ 4 โดยมีสปินสองตัวชี้ไปยังจุดศูนย์กลางและสองตัวชี้ออกไป โมเมนต์แม่เหล็ก สุทธิ ชี้ขึ้นด้านบน ทำให้ปฏิสัมพันธ์แบบเฟอร์โรแมกเนติกส์ในทิศทางนี้สูงสุด แต่เวกเตอร์ซ้ายและขวาจะหักล้างกัน (นั่นคือ อยู่ในแนวแอนติเฟอร์โรแมกเนติกส์) เช่นเดียวกับไปข้างหน้าและข้างหลัง มีการจัดเรียงที่เทียบเท่ากันสามแบบที่แตกต่างกัน โดยมีสปินออกสองตัวและสปินเข้าสองตัว ดังนั้นสถานะพื้นฐานจึงมีภาวะเสื่อมสามเท่า

แม้ว่างานวิจัยก่อนหน้านี้และปัจจุบันส่วนใหญ่เกี่ยวกับความหงุดหงิดจะมุ่งเน้นไปที่ระบบสปิน แต่ปรากฏการณ์นี้ได้รับการศึกษาครั้งแรกในน้ำแข็ง ธรรมดา ในปี 1936 Giauque และ Stout ได้ตีพิมพ์The Entropy of Water and the Third Law of Thermodynamics. Heat Capacity of Ice from 15 K to 273 Kโดยรายงาน การวัด แคลอรีมิเตอร์ของน้ำผ่านการเปลี่ยนสถานะการแข็งตัวและการระเหยจนถึงเฟสแก๊สที่อุณหภูมิสูง เอนโทรปีคำนวณโดยการอินทิเก รต ความจุความร้อนและเพิ่ม ส่วนประกอบ ความร้อนแฝง การวัดที่อุณหภูมิต่ำจะถูกขยายไปที่ศูนย์โดยใช้สูตรของ Debye ที่เพิ่งได้มาในขณะนั้น^{[ 10 ]}เอนโทรปีที่ได้S ₁  = 44.28 cal/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K) ถูกนำมาเปรียบเทียบกับผลลัพธ์ทางทฤษฎีจากกลศาสตร์สถิติของแก๊สอุดมคติS ₂  = 45.10 cal/(K·mol) = 188.7 J/(mol·K) ค่าทั้งสองแตกต่างกันโดยS ₀  = 0.82 ± 0.05 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) ผลลัพธ์นี้ได้รับการอธิบายโดยLinus Pauling ^{[ 11 ]}โดยประมาณค่าได้อย่างยอดเยี่ยม โดยแสดงให้เห็นว่าน้ำแข็งมีเอนโทรปีจำกัด (ประมาณ 0.81 cal/(K·mol) หรือ 3.4 J/(mol·K)) ที่อุณหภูมิศูนย์เนื่องจากความไม่เป็นระเบียบเชิงโครงสร้างที่เป็นลักษณะเฉพาะของโปรตอนในน้ำแข็ง

ในเฟสน้ำแข็งแบบหกเหลี่ยมหรือลูกบาศก์ไอออนออกซิเจนจะก่อตัวเป็นโครงสร้างทรงสี่หน้า โดยมีความยาวพันธะ O–O เท่ากับ 2.76  Å (276  pm ) ในขณะที่ความยาวพันธะ O–H มีค่าเพียง 0.96 Å (96 pm) ไอออนออกซิเจน (สีขาว) แต่ละตัวจะถูกล้อมรอบด้วยไอออนไฮโดรเจน (สีดำ) สี่ตัว และไอออนไฮโดรเจนแต่ละตัวจะถูกล้อมรอบด้วยไอออนออกซิเจน 2 ตัว ดังแสดงในรูปที่ 5 การรักษาสภาพโครงสร้างภายในของโมเลกุล H₂O _{ทำให้}ตำแหน่งพลังงานต่ำสุดของโปรตอนไม่ได้อยู่กึ่งกลางระหว่างไอออนออกซิเจนที่อยู่ติดกันสองตัว มีสองตำแหน่งที่เทียบเท่ากันที่ไฮโดรเจนสามารถครอบครองได้บนเส้นพันธะ O–O คือตำแหน่งไกลและตำแหน่งใกล้ ดังนั้นกฎจึงนำไปสู่ความขัดแย้งของตำแหน่งของโปรตอนสำหรับการกำหนดค่าสถานะพื้นฐาน: สำหรับออกซิเจนแต่ละตัว โปรตอนที่อยู่ใกล้เคียงสองตัวจะต้องอยู่ในตำแหน่งไกลและอีกสองตัวอยู่ในตำแหน่งใกล้ ซึ่งเรียกว่า ' กฎน้ำแข็ง ' พอลลิงเสนอว่าโครงสร้างทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบเปิดของน้ำแข็งนั้นให้สถานะที่เทียบเท่ากันได้หลายสถานะซึ่งสอดคล้องกับกฎของน้ำแข็ง

พอลลิงได้คำนวณเอนโทรปีเชิงโครงสร้างด้วยวิธีต่อไปนี้: พิจารณาหนึ่งโมลของน้ำแข็ง ซึ่งประกอบด้วยN O ²⁻และโปรตอน 2 Nตัว พันธะ O–O แต่ละพันธะมีตำแหน่งสำหรับโปรตอนสองตำแหน่ง ทำให้มีโครงสร้างที่เป็นไปได้ 2 ^{2 N}แบบ อย่างไรก็ตาม ในบรรดาโครงสร้างที่เป็นไปได้ 16 แบบที่เกี่ยวข้องกับออกซิเจนแต่ละตัว มีเพียง 6 แบบเท่านั้นที่มีพลังงานต่ำกว่า ซึ่งยังคงรักษาข้อจำกัดของโมเลกุล H ₂ O ไว้ จากนั้นจึงประมาณขอบเขตบนของจำนวนที่สถานะพื้นฐานสามารถรับได้เป็นΩ  < 2 ^{2 N} ( ⁠6/16) N ^.เอนโทรปีเชิงโครงสร้างที่สอดคล้องกันS ₀  = k _B ln( Ω ) = Nk _B ln( ⁠3/2) = 0.81 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) ซึ่งสอดคล้องอย่างน่าทึ่งกับค่าเอนโทรปีที่หายไปซึ่งวัดโดย Giauque และ Stout

แม้ว่าการคำนวณของพอลลิงจะละเลยทั้งข้อจำกัดโดยรวมเกี่ยวกับจำนวนโปรตอนและข้อจำกัดเฉพาะที่ซึ่งเกิดจากวงปิดบนโครงสร้างผลึกแบบเวิร์ตไซต์ แต่ต่อมาก็แสดงให้เห็นว่าการประมาณค่านั้นมีความแม่นยำดีเยี่ยม

ในสปินไอซ์ สถานการณ์ที่คล้ายคลึงกันทางคณิตศาสตร์กับภาวะเสื่อมสภาพในน้ำแข็งพบได้ในสปินไอซ์โครงสร้างสปินไอซ์ทั่วไปแสดงในรูปที่ 6 ในโครงสร้างไพโรคโลร์แบบลูกบาศก์ โดยมีอะตอมหรือไอออนแม่เหล็กหนึ่งตัวอยู่ที่มุมทั้งสี่ เนื่องจากสนามผลึก ที่แข็งแกร่ง ในวัสดุ ไอออนแม่เหล็กแต่ละตัวสามารถแทนด้วยสถานะพื้นฐานแบบไอซิงคู่ที่มีโมเมนต์ขนาดใหญ่ สิ่งนี้ชี้ให้เห็นภาพของไอซิงสปินที่อยู่บนโครงตาข่ายทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่ใช้มุมร่วมกัน โดยสปินจะคงที่ตามแกนควอนตัมเฉพาะที่ แกนลูกบาศก์<111>ซึ่งตรงกับเส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละจุดกับศูนย์กลาง เซลล์ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละเซลล์จะต้องมีสปินสองตัวชี้เข้าและสองตัวชี้ออกเพื่อลดพลังงานให้เหลือน้อยที่สุด_{ปัจจุบัน} แบบจำลองส ปิน_ไอซ์ได้รับการจำลองโดยประมาณด้วยวัสดุจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งไพโรคลอร์ของธาตุหายาก เช่น Ho₂Ti₂O₇ _, Dy₂Ti₂O₇ และ Ho₂Sn₂O₇ _{วัสดุเหล่านี้}ทั้งหมดแสดงค่าเอนโทร_ปีตกค้าง_ที่ไม่เป็นศูนย์ที่_{อุณหภูมิ}ต่ำ

แบบจำลองสปินไอซ์เป็นเพียงการแบ่งย่อยหนึ่งของระบบที่มีความขัดแย้ง คำว่าความขัดแย้งถูกนำมาใช้ครั้งแรกเพื่ออธิบายความไม่สามารถของระบบในการลดพลังงานปฏิสัมพันธ์ที่แข่งขันกันระหว่างส่วนประกอบต่างๆ พร้อมกัน โดยทั่วไป ความขัดแย้งเกิดจากปฏิสัมพันธ์ที่แข่งขันกันเนื่องจากความไม่เป็นระเบียบของไซต์ (ดูแบบจำลอง Villain ^{[ 12 ]} ด้วย ) หรือโครงสร้างแลตติส เช่น ในแลตติสรูปสามเหลี่ยมลูกบาศก์ศูนย์กลางหน้า (fcc) หกเหลี่ยมอัดแน่นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ไพโรคโลร์ และคาโกเมะที่มีปฏิสัมพันธ์แบบแอนติเฟอร์โรแมกเนติก ดังนั้น ความขัดแย้งจึงถูกแบ่งออกเป็นสองประเภท: ประเภทแรกสอดคล้องกับสปินกลาสซึ่งมีความไม่เป็นระเบียบในโครงสร้างและความขัดแย้งในสปิน ประเภทที่สองคือความขัดแย้งทางเรขาคณิตที่มีโครงสร้างแลตติสที่เป็นระเบียบและความขัดแย้งของสปิน ความขัดแย้งของสปินกลาสสามารถเข้าใจได้ภายในกรอบของ แบบจำลอง RKKYซึ่งคุณสมบัติปฏิสัมพันธ์ ไม่ว่าจะเป็นเฟอร์โรแมกเนติกหรือแอนติเฟอร์โรแมกเนติก ขึ้นอยู่กับระยะห่างของไอออนแม่เหล็กสองตัว เนื่องจากความไม่เป็นระเบียบของโครงสร้างผลึกในสปินกลาส สปินที่สนใจหนึ่งตัวและสปินข้างเคียงที่อยู่ใกล้ที่สุดอาจอยู่ห่างกันในระยะทางที่แตกต่างกันและมีคุณสมบัติการปฏิสัมพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งส่งผลให้การจัดเรียงตัวของสปินที่ต้องการแตกต่างกันออกไป

ด้วยความช่วยเหลือของเทคนิคลิโทกราฟี ทำให้สามารถสร้างเกาะแม่เหล็กขนาดเล็กกว่าไมโครเมตรได้ ซึ่งการจัดเรียงทางเรขาคณิตของเกาะเหล่านี้จำลองความขัดแย้งที่พบในวัสดุสปินไอซ์ที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ เมื่อเร็วๆ นี้ RF Wang และคณะได้รายงาน^{[ 13 ]}การค้นพบแม่เหล็กที่มีความขัดแย้งทางเรขาคณิตเทียมที่ประกอบด้วยอาร์เรย์ของเกาะเฟอร์โรแมกเนติกโดเมนเดี่ยวที่สร้างขึ้นด้วยลิโทกราฟี เกาะเหล่านี้ถูกจัดเรียงด้วยมือเพื่อสร้างอะนาล็อกสองมิติของสปินไอซ์ โมเมนต์แม่เหล็กของเกาะ 'สปิน' ที่เรียงตัวกันถูกถ่ายภาพด้วยกล้องจุลทรรศน์แรงแม่เหล็ก (MFM)จากนั้นการปรับตัวของความขัดแย้งในระดับท้องถิ่นก็ได้รับการศึกษาอย่างละเอียด ในงานก่อนหน้านี้ของพวกเขาเกี่ยวกับโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมของแม่เหล็กที่มีความขัดแย้ง พวกเขาสังเกตเห็นทั้งความสัมพันธ์ระยะสั้นแบบไอซ์และการไม่มีความสัมพันธ์ระยะยาว เช่นเดียวกับในสปินไอซ์ที่อุณหภูมิต่ำ ผลลัพธ์เหล่านี้ตอกย้ำพื้นฐานที่ไม่เคยมีการสำรวจมาก่อน ซึ่งฟิสิกส์ที่แท้จริงของความขัดแย้งสามารถมองเห็นและจำลองได้ด้วยแม่เหล็กที่มีความขัดแย้งทางเรขาคณิตเทียมเหล่านี้ และเป็นแรงบันดาลใจให้เกิดกิจกรรมการวิจัยเพิ่มเติม

เฟอร์โรแมกเนตที่ถูกขัดขวางโดยเทียมเหล่านี้สามารถแสดงคุณสมบัติทางแม่เหล็กที่ไม่เหมือนใครเมื่อศึกษาการตอบสนองโดยรวมต่อสนามภายนอกโดยใช้เอฟเฟกต์ Magneto-Optical Kerr ^{[ 14 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พบว่าการพึ่งพาเชิงมุมที่ไม่เป็นไปตามลำดับของค่าความบังคับของแลตติซสี่เหลี่ยมนั้นเกี่ยวข้องกับความไม่เป็นระเบียบในระบบสปินไอซ์เทียม

ความขัดแย้งทางเรขาคณิตอีกประเภทหนึ่งเกิดขึ้นจากการแพร่กระจายของระเบียบในระดับท้องถิ่น ซึ่งส่งผลให้เกิดคำถามเกี่ยวกับเสถียรภาพของทรงตัน

บางครั้งอาจเป็นไปได้ที่จะกำหนดกฎเฉพาะที่บางอย่าง ซึ่งมีลักษณะทางเคมี นำไปสู่โครงสร้างที่มีพลังงานต่ำ และด้วยเหตุนี้จึงควบคุมระเบียบเชิงโครงสร้างและทางเคมี แต่โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่เช่นนั้น และบ่อยครั้งที่ระเบียบเฉพาะที่ซึ่งกำหนดโดยปฏิสัมพันธ์เฉพาะที่นั้นไม่สามารถแพร่กระจายได้อย่างอิสระ นำไปสู่ความขัดแย้งทางเรขาคณิต คุณลักษณะทั่วไปของระบบเหล่านี้ทั้งหมดคือ แม้จะมีกฎเฉพาะที่ง่ายๆ แต่ก็ยังแสดงให้เห็นถึงโครงสร้างที่ซับซ้อนจำนวนมาก ความขัดแย้งทางเรขาคณิตมีบทบาทในสาขาของสสารควบแน่น ตั้งแต่กลุ่มอะตอมและของแข็งอสัณฐานไปจนถึงของเหลวที่ซับซ้อน

วิธีการทั่วไปในการแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนเหล่านี้ประกอบด้วยสองขั้นตอน ขั้นแรก ผ่อนคลายข้อจำกัดของการเติมเต็มพื้นที่อย่างสมบูรณ์แบบโดยอนุญาตให้มีความโค้งของพื้นที่ โครงสร้างในอุดมคติที่ปราศจากข้อบกพร่องจะถูกกำหนดขึ้นในพื้นที่โค้งนี้ จากนั้น จะมีการใช้การบิดเบือนเฉพาะกับแม่แบบในอุดมคตินี้เพื่อฝังลงในพื้นที่ยูคลิดสามมิติ โครงสร้างสุดท้ายเป็นส่วนผสมของบริเวณที่มีระเบียบ ซึ่งระเบียบในระดับท้องถิ่นคล้ายกับแม่แบบ และข้อบกพร่องที่เกิดจากการฝัง ในบรรดาข้อบกพร่องที่เป็นไปได้ การบิดเบี้ยวของเส้นทแยงมุมมีบทบาทสำคัญ

ตัวอย่างสองมิติมีประโยชน์ในการทำความเข้าใจที่มาของการแข่งขันระหว่างกฎท้องถิ่นและเรขาคณิตในระดับใหญ่ ลองพิจารณาการจัดเรียงแผ่นดิสก์ที่เหมือนกัน (แบบจำลองสำหรับโลหะสองมิติสมมุติ) บนระนาบก่อน เราสมมติว่าปฏิสัมพันธ์ระหว่างแผ่นดิสก์เป็นแบบไอโซโทรปิกและในระดับท้องถิ่นมีแนวโน้มที่จะจัดเรียงแผ่นดิสก์ให้หนาแน่นที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ การจัดเรียงที่ดีที่สุดสำหรับแผ่นดิสก์สามแผ่นคือรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยมีจุดศูนย์กลางของแผ่นดิสก์อยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยม ดังนั้นการศึกษาโครงสร้างระยะยาวจึงสามารถลดลงเหลือเพียงการปูพื้นระนาบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า วิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่รู้จักกันดีคือการปูพื้นด้วยรูปสามเหลี่ยมที่มีความเข้ากันได้โดยสมบูรณ์ระหว่างกฎท้องถิ่นและกฎโดยรวม: ระบบนี้เรียกว่า "ไม่ถูกขัดขวาง"

แต่ในปัจจุบัน พลังงานปฏิสัมพันธ์ควรจะมีค่าต่ำสุดเมื่ออะตอมอยู่บนจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยม ด้าน เท่า การพยายามขยายการเรียงตัวของรูปห้าเหลี่ยมเหล่านี้ในระยะไกลโดยใช้ขอบร่วมกัน (พันธะอะตอม) และจุดยอดร่วมกัน (อะตอม) นั้นเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะปูระนาบด้วยรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า เพราะมุมของจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมไม่สามารถหาร 2π ลงตัวได้ รูปห้าเหลี่ยมดังกล่าวสามรูปสามารถวางลงที่จุดยอดร่วมกันได้อย่างง่ายดาย แต่จะยังคงมีช่องว่างระหว่างขอบสองด้าน ความไม่สอดคล้องกันแบบนี้เรียกว่า "ความขัดแย้งทางเรขาคณิต" มีวิธีหนึ่งที่จะเอาชนะความยากลำบากนี้ได้ คือ ให้พื้นผิวที่จะปูนั้นปราศจากโครงสร้างทางเรขาคณิตที่กำหนดไว้ล่วงหน้า และให้เราสร้างการปูโดยใช้กฎปฏิสัมพันธ์เฉพาะที่อย่างเคร่งครัด ในตัวอย่างง่ายๆ นี้ เราสังเกตว่าพื้นผิวได้รับโครงสร้างทางเรขาคณิตของทรงกลมและจึงได้รับความโค้ง โครงสร้างสุดท้าย ซึ่งในที่นี้คือทรงสิบสองเหลี่ยมห้าเหลี่ยม ช่วยให้การแพร่กระจายของลำดับห้าเหลี่ยมสมบูรณ์แบบ จึงเรียกว่าเป็นแบบจำลอง "ในอุดมคติ" (ปราศจากข้อบกพร่อง) สำหรับโครงสร้างที่พิจารณา

เสถียรภาพของโลหะเป็นคำถามที่ถกเถียงกันมานานในฟิสิกส์ของของแข็ง ซึ่งสามารถเข้าใจได้ในกรอบกลศาสตร์ควอนตัมเท่านั้น โดยคำนึงถึงปฏิสัมพันธ์ระหว่างไอออนที่มีประจุบวกกับอิเล็กตรอนวาเลนซ์และอิเล็กตรอนนำไฟฟ้าอย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะใช้ภาพที่เรียบง่ายมากของการยึดเหนี่ยวของโลหะ และคงไว้เพียงปฏิสัมพันธ์แบบไอโซโทรปิก ซึ่งนำไปสู่โครงสร้างที่สามารถแสดงได้ในรูปของทรงกลมที่อัดแน่น และในความเป็นจริง โครงสร้างผลึกของโลหะอย่างง่ายมักจะเป็นโครงสร้างลูกบาศก์แบบศูนย์กลางหน้า (fcc) หรือโครงสร้างหกเหลี่ยมแบบอัดแน่น (hcp) โลหะอสัณฐานและควา ซิคริสตัล ก็สามารถจำลองได้ด้วยการอัดแน่นของทรงกลม ในระดับหนึ่ง ลำดับอะตอมในระดับท้องถิ่นสามารถจำลองได้ดีด้วยการอัดแน่นของทรงสี่หน้า ซึ่งนำไปสู่ลำดับทรงยี่สิบหน้าที่ไม่สมบูรณ์

ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติเป็นโครงสร้างที่หนาแน่นที่สุดสำหรับการจัดเรียงทรงกลมสี่ลูกที่มีขนาดเท่ากัน ปัญหาการจัดเรียงทรงกลมแข็งแบบสุ่มอย่างหนาแน่นจึงสามารถแปลงเป็นปัญหาการจัดเรียงทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าได้ การลองจัดเรียงลูกปิงปองเพื่อให้ได้รูปทรงทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้นเป็นแบบฝึกหัดเชิงปฏิบัติ เริ่มต้นด้วยลูกปิงปองสี่ลูกที่จัดเรียงเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่สมบูรณ์แบบ แล้วลองเพิ่มทรงกลมใหม่เข้าไปพร้อมกับสร้างทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าใหม่ วิธีแก้ปัญหาถัดไปเมื่อใช้ลูกปิงปองห้าลูก จะได้ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองทรงที่ใช้หน้าร่วมกัน โปรดสังเกตว่าแม้แต่ในวิธีแก้ปัญหานี้ โครงสร้าง fcc ซึ่งมีรูทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละรู ก็ไม่แสดงโครงสร้างดังกล่าว (ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าใช้ขอบร่วมกัน ไม่ใช่หน้า) เมื่อใช้ลูกปิงปองหกลูก จะได้ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติสามทรง และกลุ่มนี้ไม่เข้ากันกับโครงสร้างผลึกแบบกะทัดรัดทั้งหมด (fcc และ hcp) การเพิ่มทรงกลมลูกที่เจ็ดทำให้เกิดกลุ่มใหม่ที่ประกอบด้วยลูกบอล "แกน" สองลูกที่สัมผัสกัน และลูกบอลอีกห้าลูกที่สัมผัสกับลูกบอลสองลูกหลัง โดยมีรูปร่างภายนอกเป็นพีระมิดคู่ห้าเหลี่ยมเกือบปกติ อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังเผชิญกับปัญหาการบรรจุที่แท้จริง ซึ่งคล้ายกับปัญหาที่พบข้างต้นกับการปูพื้นด้วยรูปห้าเหลี่ยมในสองมิติ มุมไดเฮดรัลของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าไม่สามารถเทียบเคียงได้กับ 2π ดังนั้น จึงมีช่องว่างเหลืออยู่ระหว่างสองหน้าของทรงสี่เหลี่ยมด้าน ^เท่าที่อยู่ติดกัน ผลที่ตามมาคือ การปูพื้นที่สมบูรณ์แบบของปริภูมิยูคลิดR³ด้วยทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติเป็นไปไม่ได้ ความขัดแย้งนี้มีลักษณะทางโทโพโลยี กล่าวคือ เป็นไปไม่ได้ที่จะเติมปริภูมิยูคลิดด้วยทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า แม้ว่าจะบิดเบี้ยวอย่างมากก็ตาม หากเรากำหนดให้ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าจำนวนคงที่ (ในที่นี้คือห้า) มีขอบร่วมกัน

ขั้นตอนต่อไปมีความสำคัญอย่างยิ่ง นั่นคือ การค้นหาโครงสร้างที่ไม่ก่อให้เกิดความขัดแย้ง โดยอนุญาตให้มีความโค้งในพื้นที่เพื่อให้การกำหนดค่าเฉพาะที่สามารถแพร่กระจายได้อย่างเหมือนกันและปราศจากข้อบกพร่องทั่วทั้งพื้นที่

รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า 20 รูปเรียงตัวกันโดยมีจุดยอดร่วมกัน โดยที่จุดยอดภายนอกทั้ง 12 จุดนั้นก่อให้เกิดรูปทรงยี่สิบเหลี่ยมด้านเท่า ที่จริงแล้ว ความยาวด้านl ของรูปทรงยี่สิบเหลี่ยมด้าน เท่าจะยาวกว่ารัศมีของทรงกลมล้อมรอบr เล็กน้อย ( l  ≈ 1.05 r ) จะมีคำตอบที่ใช้รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าได้ ถ้าปริภูมิไม่ใช่แบบยุคลิด แต่เป็นทรงกลม คำตอบนั้นคือรูปทรงหลายเหลี่ยม {3,3,5} โดยใช้ สัญลักษณ์ ของ Schläfliหรือที่รู้จักกันในชื่อ600- cell

มีจุดยอดหนึ่งร้อยยี่สิบจุดซึ่งทั้งหมดอยู่ในไฮเปอร์สเฟียร์S ³ที่มีรัศมีเท่ากับอัตราส่วนทองคำ ( φ  =  ⁠1 + √ 5/2)ถ้าขอบมีความยาวหนึ่งหน่วย เซลล์ทั้งหกร้อยเซลล์เป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติที่จัดกลุ่มกันห้าเซลล์รอบขอบร่วม และยี่สิบเซลล์รอบจุดยอดร่วม โครงสร้างนี้เรียกว่าโพลีโทป (ดูCoxeter ) ซึ่งเป็นชื่อทั่วไปในมิติที่สูงกว่าในอนุกรมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมและรูปทรงหลายเหลี่ยม แม้ว่าโครงสร้างนี้จะฝังอยู่ในสี่มิติ แต่ก็ถือว่าเป็นแมนิโฟลด์สามมิติ (โค้ง) จุดนี้มีความสำคัญในเชิงแนวคิดด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ แบบจำลองในอุดมคติที่ถูกนำเสนอในปริภูมิโค้งเป็นแม่แบบโค้งสามมิติ พวกมันดูเหมือนแบบจำลองยุคลิดสามมิติในระดับท้องถิ่น ดังนั้น โพลีโทป {3,3,5} ซึ่งเป็นการปูด้วยรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า จะให้โครงสร้างอะตอมที่หนาแน่นมากหากอะตอมตั้งอยู่บนจุดยอดของมัน ดังนั้นจึงถูกใช้เป็นแม่แบบสำหรับโลหะอสัณฐานโดยธรรมชาติ แต่เราไม่ควรลืมว่ามันมาพร้อมกับราคาของการทำให้เป็นอุดมคติอย่างต่อเนื่อง

• Sadoc, JF; Mosseri, R. (2007). ความคับข้องใจทางเรขาคณิต (ฉบับแก้ไขเพิ่มเติม). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-03187-5.
• Sadoc, JF, บรรณาธิการ (1990). เรขาคณิตในฟิสิกส์สสารควบแน่น . สิงคโปร์: World Scientific. ISBN 978-981-02-0089-3.
• Coxeter, HSM (1973). โพลีโทปปกติ . สำนักพิมพ์โดเวอร์. ISBN 978-0-486-61480-9.