ในวิชาฟิสิกส์ ฟังก์ชัน กรีน (หรือผลเฉลยพื้นฐาน ) สำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียน (หรือตัวดำเนินการลาปลาเซียน) ในสามตัวแปรใช้เพื่ออธิบายการตอบสนองของระบบทางกายภาพประเภทหนึ่งต่อแหล่งกำเนิดจุด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันกรีนนี้เกิดขึ้นในระบบที่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการปัวซงซึ่ง เป็น สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) ในรูปแบบ โดยที่คือตัวดำเนินการลาปลาเซียนในคือพจน์แหล่งกำเนิดของระบบ และคือผลเฉลยของสมการ เนื่องจากเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น ผลเฉลยของระบบทั่วไปประเภทนี้สามารถเขียนได้เป็นปริพันธ์เหนือการกระจายของแหล่งกำเนิดที่กำหนดโดย: โดยที่ฟังก์ชันกรีนสำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียนในสามตัวแปรอธิบายการตอบสนองของระบบที่จุดต่อแหล่งกำเนิดจุดที่อยู่ที่: และแหล่งกำเนิดจุดกำหนดโดยฟังก์ชันเดลต้า ของดิ แรก $${\displaystyle \nabla ^{2}u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )}$$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$$${\displaystyle u(\mathbf {x} )=\int G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )d\mathbf {x} '}$$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x'} }$$${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$${\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

ระบบทางกายภาพประเภทหนึ่งคือการกระจายประจุในไฟฟ้าสถิตในระบบดังกล่าว สนามไฟฟ้าแสดงได้ในรูปของค่าลบของความชันของศักย์ไฟฟ้าและกฎของเกาส์ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์สามารถนำมาใช้ได้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} )\\[1ex]{\boldสัญลักษณ์ {\nabla }}\cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}\end{ชิด}}}$$

เมื่อรวมนิพจน์เหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้สมการของปัวซง : $${\displaystyle -\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}}$$

เราสามารถหาคำตอบของสมการนี้สำหรับการกระจายประจุแบบใดๆ ได้โดยพิจารณาการกระจายที่เกิดจากประจุจุดที่ตั้งอยู่ที่: ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {x'} }$$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=q\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$

ในกรณีนี้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าจะให้การตอบสนองของระบบต่อประจุจุดจากนั้น ด้วยความเป็นเชิงเส้นของตัวดำเนินการลาปลาส เราสามารถแสดงออกมา ในรูปของการซ้อนทับได้ ดังนี้ : สำหรับการกระจายประจุทั่วไป$${\displaystyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$${\textstyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\nabla ^{2}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$$${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=\int G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )\,d\mathbf {x} '}$$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$

ฟังก์ชันกรีนของพื้นที่ว่างสำหรับตัวดำเนินการลาปลาสในสามตัวแปรนั้นกำหนดโดยระยะทางผกผันระหว่างสองจุด และเรียกว่า " เคอร์เนลของนิวตัน " หรือ " ศักย์ของนิวตัน " กล่าวคือ คำตอบของสมการ คือ โดยที่เป็นพิกัดคาร์ทีเซียนมาตรฐานในพื้นที่สามมิติ และเป็นฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก $${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|}},}$$${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$${\displaystyle \delta }$

นิพจน์พีชคณิตของฟังก์ชันกรีนสำหรับตัวดำเนินการลาปลาสสามตัวแปร นอกเหนือจากพจน์คงที่ที่แสดงในพิกัดคาร์ทีเซียนจะถูกเรียกว่า ${\displaystyle -1/(4\pi )}$$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\left[\left(xx'\right)^{2}+\left(yy'\right)^{2}+\left(zz'\right)^{2}\right]^{-{1}/{2}}.}$$

สามารถใช้สูตรการกระจายได้หลายสูตร โดยกำหนดนิพจน์พีชคณิตสำหรับฟังก์ชันกรีน หนึ่งในสูตรที่รู้จักกันดีที่สุดคือการกระจายลาปลาสสำหรับสมการลาปลาสสามตัวแปร ซึ่งกำหนดไว้ในรูปของฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับพหุนามเลอจองเดอร์ซึ่ง เขียนในรูปของพิกัดทรงกลม สัญลักษณ์น้อยกว่า (มากกว่า) หมายถึง ให้ใช้รัศมีทรงกลมที่มีเครื่องหมายไพรม์หรือไม่มีเครื่องหมายไพรม์ ขึ้นอยู่กับว่าค่าใดน้อยกว่า (มากกว่า) อีกค่าหนึ่งแสดงถึงมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวใดๆที่กำหนดโดย $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}}P_{l}(\cos \gamma ),}$$${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$$${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ').}$$

ฟังก์ชันกรีนทรงกระบอกวงกลมในพื้นที่ว่าง (ดูด้านล่าง) กำหนดโดยระยะทางผกผันระหว่างสองจุด นิพจน์นี้ได้มาจาก Jackson's Classical Electrodynamics [ ^{1 ] การ}ใช้ฟังก์ชันกรีนสำหรับตัวดำเนินการลาปลาสสามตัวแปร ทำให้สามารถอินทิเกรตสมการปัวซงเพื่อกำหนดฟังก์ชันศักย์ได้ ฟังก์ชันกรีนสามารถขยายได้ในรูปขององค์ประกอบพื้นฐาน (ฟังก์ชันฮาร์มอนิก) ซึ่งกำหนดโดยใช้ระบบพิกัด ที่แยกได้ สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นมีการขยายมากมายในรูปของฟังก์ชันพิเศษสำหรับฟังก์ชันกรีน ในกรณีของขอบเขตที่วางไว้ที่อนันต์โดยมีเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดให้คำตอบเป็นศูนย์ที่อนันต์ จะได้ฟังก์ชันกรีนที่มีขอบเขตอนันต์ สำหรับตัวดำเนินการลาปลาสสามตัวแปร ตัวอย่างเช่น สามารถขยายได้ในระบบพิกัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการหมุนซึ่งอนุญาตให้แยกตัวแปรได้ ตัวอย่างเช่น: โดยที่ และ คือ ฟังก์ชันเลอจองเดอร์ ชนิดที่สองที่ มีดีกรีครึ่งจำนวนเต็มคี่ซึ่งเป็นฮาร์มอนิกแบบทอรอยด์ ในที่นี้ได้เขียนการกระจายในรูปของพิกัดทรงกระบอกดูตัวอย่างเช่นพิกัดทอรอยด์ $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {1}{\pi {\sqrt {RR'}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{im(\varphi -\varphi ')}Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )}$$$${\displaystyle \chi ={\frac {R^{2}+{R'}^{2}+\left(z-z'\right)^{2}}{2RR'}}}$$${\displaystyle Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )}$${\displaystyle (R,\varphi ,z)}$

โดยใช้สูตรหนึ่งของวิปเปิลสำหรับฮาร์มอนิกทอรอยด์ เราสามารถหาฟังก์ชันกรีนในรูปแบบอื่นได้ ในรูปของฮาร์มอนิกทอรอยด์ชนิดแรก $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\sqrt {\frac {\pi }{2RR'(\chi ^{2}-1)^{1/2}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{m}}{\Gamma (m+1/2)}}P_{-{\frac {1}{2}}}^{m}{\left({\frac {\chi }{\sqrt {\chi ^{2}-1}}}\right)}e^{im(\varphi -\varphi ')}}$$

นิพจน์ข้างต้นสำหรับฟังก์ชันกรีนของตัวดำเนินการลาปลาสสามตัวแปรเป็นตัวอย่างของนิพจน์ผลรวมเดี่ยวสำหรับฟังก์ชันกรีนนี้ นอกจากนี้ยังมีนิพจน์ปริพันธ์เดี่ยวสำหรับฟังก์ชันกรีนนี้ ตัวอย่างของนิพจน์เหล่านี้สามารถพบได้ในพิกัดทรงกระบอกแบบหมุนได้ใน รูปของ การแปลงลาปลาส แบบปริพันธ์ ในความแตกต่างของความสูงในแนวดิ่ง ซึ่งเคอร์เนลกำหนดโดยฟังก์ชันเบสเซลอันดับศูนย์ชนิดแรก โดย ที่ และคือตัวแปรที่มากกว่า (น้อยกว่า) และในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันกรีนสำหรับสมการลาปลาสสามตัวแปรสามารถกำหนดได้เป็นการแปลงโคไซน์ แบบปริพันธ์ฟูริเยร์ ของความแตกต่างของความสูงในแนวดิ่ง ซึ่งเคอร์เนลกำหนดโดยฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงอันดับศูนย์ชนิดที่สอง $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\int _{0}^{\infty }J_{0}{\left(k{\sqrt {R^{2}+{R'}^{2}-2RR'\cos(\varphi -\varphi ')}}\right)}e^{-k(z_{>}-z_{<})}\,dk,}$$${\displaystyle z_{>}(z_{<})}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z'}$$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }K_{0}{\left(k{\sqrt {R^{2}+{R'}^{2}-2RR'\cos(\varphi -\varphi ')}}\right)}\cos[k(z-z')]\,dk.}$$

การขยายฟังก์ชันของกรีนมีอยู่ในระบบพิกัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการหมุนทั้งหมด ซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าสามารถให้คำตอบของสมการลาปลาสสามตัวแปรผ่านเทคนิคการแยกตัวแปรได้

• ศักยภาพแบบนิวตัน
• การขยายตัวของลาปลาซ