การแปลงฮาดามาร์ด (หรือที่รู้จักกันในชื่อการแปลงวอลช์-ฮาดามาร์ด , การแปลงฮาดามาร์ด-ราเดมาเคอร์ -วอลช์ , การแปลงวอลช์ หรือการแปลงวอลช์-ฟูริเยร์ ) เป็นตัวอย่างหนึ่งของการแปลงฟูริเยร์ แบบทั่วไป มันทำการดำเนินการเชิงเส้นแบบตั้งฉากสมมาตรและผกผันบนจำนวนจริง2m ^{จำนวน} (หรือจำนวนเชิงซ้อนหรือจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ แม้ว่าเมทริกซ์ฮาดามาร์ดเอง จะเป็นจำนวนจริงล้วนๆ ก็ตาม)

การแปลง Hadamard สามารถถือได้ว่าสร้างขึ้นจากการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง ขนาด 2 (DFT) และในความเป็นจริงเทียบเท่ากับ DFT หลายมิติขนาด2 × 2 × ⋯ × 2 × 2 [ ^{2 ] โดย} จะแยกเวกเตอร์อินพุตใดๆ ออกเป็นผลรวมของฟังก์ชัน Walsh

การแปลงนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสJacques Hadamard ( ภาษาฝรั่งเศส: [adamaʁ] ) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน-อเมริกันHans Rademacherและนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันJoseph L. Walsh

การแปลงฮาดามาร์ดH คือเมทริกซ์ 2 ^m  × 2 ^m ซึ่งเป็น เมทริกซ์ฮาดามาร์ด (ปรับขนาดด้วยตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐาน) ที่แปลงจำนวนจริง 2 ^m จำนวน x ไปเป็น จำนวนจริง2 ^m จำนวน X การแปลงฮาดามาร์ดสามารถกำหนดได้สองวิธี คือแบบเวียนเกิดหรือโดยใช้ การ แสดง เลขฐานสอง ( ฐาน -2) ของดัชนีnและk

โดยวิธีการเวียนเกิด เรากำหนดการแปลง Hadamard 1 × 1 H โดยใช้เอกลักษณ์H = 1 จากนั้นกำหนดH สำหรับm  > 0 โดย: โดยการหารด้วย2 ^m/2เป็นการทำให้เป็นมาตรฐานซึ่งบางครั้งอาจถูกละเว้น $${\displaystyle H_{m}={\frac {1}{2^{m/2}}}{\begin{pmatrix}H_{m-1}&H_{m-1}\\H_{m-1}&-H_{m-1}\end{pmatrix}}}$$

สำหรับm  > 1 เราสามารถกำหนดH ได้ โดย: โดยที่แทนผลคูณโครเนกเกอร์ดังนั้น นอกเหนือจากตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานนี้แล้ว เมทริกซ์ฮาดามาร์ดจะประกอบขึ้นจาก 1 และ −1 ทั้งหมด $${\displaystyle H_{m}=H_{1}\otimes H_{m-1}}$$${\displaystyle \otimes }$

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดเมทริกซ์ Hadamard โดยใช้ค่าลำดับที่ ( k ,  n ) โดยเขียนได้ว่า $${\displaystyle {\begin{aligned}k&=\sum _{i=0}^{m-1}{k_{i}2^{i}}=k_{m-1}2^{m-1}+k_{m-2}2^{m-2}+\dots +k_{1}2+k_{0}\\n&=\sum _{i=0}^{m-1}{n_{i}2^{i}}=n_{m-1}2^{m-1}+n_{m-2}2^{m-2}+\dots +n_{1}2+n_{0}\end{aligned}}}$$

โดยที่k และn คือบิตองค์ประกอบ (0 หรือ 1) ของkและnตามลำดับ โปรดทราบว่าสำหรับองค์ประกอบที่มุมซ้ายบน เรากำหนด: ในกรณีนี้ เราจะได้: ${\displaystyle k=n=0}$$${\displaystyle (H_{m})_{k,n}={\frac {1}{2^{m/2}}}(-1)^{\sum _{j}k_{j}n_{j}}}$$

นี่คือDFT แบบหลายมิติที่ถูกทำให้เป็นยูนิแทรี อย่างแท้จริง หากมองว่าอินพุตและเอาต์พุตเป็นอาร์เรย์หลายมิติที่มีดัชนีเป็นn และk ตามลำดับ ${\textstyle 2\times 2\times \cdots \times 2\times 2}$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของเมทริกซ์ Hadamard โดยที่คือผลคูณดอท แบบบิตต่อ บิตของเลขฐานสองของตัวเลข i และ j ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วซึ่งสอดคล้องกับข้างต้น (โดยไม่คำนึงถึงค่าคงที่โดยรวม) โปรดทราบว่าองค์ประกอบแถวแรก คอลัมน์แรกของเมทริกซ์จะถูกแทนด้วย $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&=+{\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}\\[5pt]H_{1}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}}\right)\\[5pt]H_{2}&={\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\right)\\[5pt]H_{3}&={\frac {1}{2^{3/2}}}\left({\begin{array}{rrrrrrrr}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&-1\\1&-1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&-1&-1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&-1&-1&1&1&-1\end{array}}\right)\\[5pt](H_{n})_{i,j}&={\frac {1}{2^{n/2}}}(-1)^{i\cdot j}\end{aligned}}}$$${\displaystyle i\cdot j}$${\textstyle n\;\geq \;2}$$${\displaystyle (H_{n})_{3,2}\;=\;(-1)^{3\cdot 2}\;=\;(-1)^{(1,1)\cdot (1,0)}\;=\;(-1)^{1+0}\;=\;(-1)^{1}\;=\;-1}$$${\textstyle (H_{n})_{0,0}}$

H คือ DFT ขนาด 2 อย่างแม่นยำ นอกจากนี้ยังสามารถถือได้ว่าเป็นการแปลงฟูริเยร์ บนกลุ่ม บวกสององค์ประกอบของZ /(2)

แถวของเมทริกซ์ Hadamard คือฟังก์ชัน Walsh

ตามนิยามของเมทริกซ์H ข้างต้น ในที่นี้เรากำหนดให้H = H [ m , n ] $${\displaystyle H[m,n]={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$$

ในการแปลงวอลช์ จะมีเพียง 1 และ −1 เท่านั้นที่จะปรากฏในเมทริกซ์ ตัวเลข 1 และ −1 เป็นจำนวนจริง ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณ จำนวนเชิงซ้อน

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) จำเป็นต้องใช้การคูณจำนวนอตรรกยะ ในขณะที่การแปลงฮาดามาร์ด (Hadamard transform) ไม่จำเป็นต้องใช้ แม้แต่การคูณจำนวนตรรกยะก็ไม่จำเป็น เพราะแค่เปลี่ยนเครื่องหมายก็เพียงพอแล้ว

ในเมทริกซ์การแปลงวอลช์ แต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เป็นฟังก์ชันวอลช์ซึ่งจำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายจะเพิ่มขึ้นตามลำดับ กล่าวคือ ในแถวแรกและคอลัมน์แรก จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายเลย (ค่าทั้งหมดเท่ากับ 1) ในแถวที่สองจะมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายหนึ่งครั้ง ในแถวที่สามจะมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายสองครั้ง และเป็นเช่นนี้เรื่อยไปลองเปรียบเทียบกับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องซึ่งแต่ละแถวiจะมีค่าเป็นศูนย์ $${\displaystyle H[m,n]=\left({\begin{array}{rrrrrrrr}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{array}}\right)}$$${\textstyle e^{-j2\pi mn/N}}$${\textstyle i-1}$

ในการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง เมื่อmเท่ากับศูนย์ (ซึ่งตรงกับแถวแรก) ผลลัพธ์ก็จะเป็น 1 เช่นกัน สำหรับแถวถัดไป เราสามารถสังเกตลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ได้ว่า ความถี่ของสัญญาณจะเริ่มต้นต่ำในเมทริกซ์แถวแรก และเพิ่มขึ้นในแถวถัดไป จนถึงแถวสุดท้าย

ในความเป็นจริง การแปลง Hadamard เทียบเท่ากับ DFT หลายมิติที่มีขนาด2 × 2 × ⋯ × 2 × 2 ^{[ 2 ]}

อีกแนวทางหนึ่งคือการมองการแปลง Hadamard เป็นการแปลง Fourier บนกลุ่มBoolean ^{[ 3 ] [ 4 ]}โดยใช้การแปลง Fourier บนกลุ่มจำกัด (กลุ่มอาเบล)การแปลง Fourier ของฟังก์ชันคือฟังก์ชันที่กำหนดโดย โดย ที่เป็นอักขระของอักขระแต่ละตัวมีรูปแบบสำหรับบางค่าโดยที่การคูณคือผลคูณจุดบูลีนบนสตริงบิต ดังนั้นเราจึงสามารถระบุอินพุตของด้วย( ทฤษฎีบทคู่ของ Pontryagin ) และกำหนดโดย ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$${\displaystyle f\colon (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\widehat {f}}}$$${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}f(a){\bar {\chi }}(a)}$$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$${\displaystyle \chi _{r}(a)=(-1)^{a\cdot r}}$${\displaystyle r\in (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$${\displaystyle r\in (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$${\displaystyle {\widehat {f}}\colon (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle {\widehat {f}}(r)=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}f(a)(-1)^{r\cdot a}}$$

นี่คือการแปลง Hadamard ของโดยพิจารณาอินพุตของและเป็นสตริงบูลีน ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$

ในแง่ของสูตรข้างต้นที่การแปลง Hadamard คูณเวกเตอร์ของจำนวนเชิงซ้อนทางด้านซ้ายด้วยเมทริกซ์ Hadamard ความเท่าเทียมกันจะเห็นได้จากการรับสตริงบิตที่สอดคล้องกับดัชนีขององค์ประกอบหนึ่งของ เป็นอินพุตและให้ผลลัพธ์เป็นองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของ ${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle H_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle v}$${\displaystyle f}$${\displaystyle v}$

ลองเปรียบเทียบกับวิธีการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง ทั่วไป ซึ่งเมื่อนำไปใช้กับเวกเตอร์ของจำนวนเชิงซ้อน จะใช้ค่าลักษณะเฉพาะของกลุ่มวัฏจักรแทน ${\displaystyle v}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z} }$

ในโดเมนแบบคลาสสิก การแปลง Hadamard สามารถคำนวณได้ในการดำเนินการ ( ) โดยใช้อัลกอริธึม การแปลง Hadamard แบบเร็ว${\displaystyle n\log n}$${\displaystyle n=2^{m}}$

ในโดเมนควอนตัม การแปลงฮาดามาร์ดสามารถคำนวณได้ในเวลา เนื่องจากเป็นเกตตรรกะควอนตัมที่สามารถประมวลผลแบบขนานได้ ${\displaystyle O(1)}$

การแปลงฮาดามาร์ด (Hadamard transform) ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในการคำนวณควอนตัมการแปลงฮาดามาร์ด 2 × 2 คือเกตตรรกะควอนตัมที่รู้จักกันในชื่อเกตฮาดามาร์ด และการประยุกต์ใช้เกตฮาดามาร์ดกับแต่ละคิวบิตของ รีจิสเตอร์คิวบิต nตัวแบบขนานนั้นเทียบเท่ากับการแปลงฮาดามาร์ด${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}}$

ในการคำนวณควอนตัม เกตฮาดามาร์ด (Hadamard gate) คือ การหมุนคิวบิต เดียวโดยแมปสถานะฐานคิวบิตและไปยังสถานะซ้อนทับสองสถานะที่มีน้ำหนักเท่ากันของสถานะฐาน การคำนวณ และโดยปกติแล้วเฟสจะถูกเลือกเพื่อให้ ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$$${\displaystyle H={\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 0|+{\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 1|}$$

ในสัญกรณ์ของ Diracซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์การแปลง ในฐาน หรือที่เรียกว่าฐานการคำนวณสถานะและเรียกว่าและตามลำดับ และรวมกันเป็นฐานเชิงขั้วในการคำนวณควอนตัม $${\displaystyle H_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }$${\textstyle {\frac {\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\textstyle {\frac {\left|0\right\rangle -\left|1\right\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle \left|{\boldsymbol {+}}\right\rangle }$${\displaystyle \left|{\boldsymbol {-}}\right\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(|0\rangle )&={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle =:|+\rangle \\H(|1\rangle )&={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle =:|-\rangle \\H(|+\rangle )&=H\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)={\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )}+{\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}=|0\rangle \\H(|-\rangle )&=H\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)={\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )}-{\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}=|1\rangle \end{aligned}}}$$

การใช้เกต Hadamard หนึ่งครั้งกับคิวบิต 0 หรือ 1 จะสร้างสถานะควอนตัมที่หากสังเกตแล้วจะเป็น 0 หรือ 1 ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน (ดังที่เห็นในสองการดำเนินการแรก) นี่เหมือนกับการโยนเหรียญที่ยุติธรรมในแบบจำลองความน่าจะเป็นมาตรฐานของการคำนวณอย่างไรก็ตาม หากใช้เกต Hadamard สองครั้งติดต่อกัน (ดังที่กำลังทำอยู่ในการดำเนินการสองครั้งสุดท้าย) สถานะสุดท้ายจะเหมือนกับสถานะเริ่มต้นเสมอ

การคำนวณการแปลง Hadamard เชิงควอนตัมนั้นทำได้ง่ายๆ โดยการใช้เกต Hadamard กับแต่ละคิวบิตทีละตัว เนื่องจากโครงสร้างผลคูณเทนเซอร์ของการแปลง Hadamard ผลลัพธ์ที่เรียบง่ายนี้หมายความว่าการแปลง Hadamard เชิงควอนตัมต้องการการดำเนินการเพียงไม่กี่ครั้ง เมื่อเทียบกับกรณีคลาสสิกที่มีการดำเนินการเพียง ไม่กี่ครั้ง${\displaystyle \log _{2}N}$${\displaystyle N\log _{2}N}$

สำหรับระบบที่มี n คิวบิตเกต Hadamardที่กระทำกับแต่ละคิวบิต (แต่ละคิวบิตเริ่มต้นด้วยค่า) สามารถใช้เพื่อเตรียมสถานะซ้อนทับควอนตัม แบบเอกรูปได้เมื่อ อยู่ในรูปแบบในกรณีนี้ที่มีn คิวบิต เกต Hadamard แบบรวมจะแสดงเป็นผลคูณเทนเซอร์ของเกต Hadamard: ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle N}$${\displaystyle N=2^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}=\underbrace {H\otimes H\otimes \ldots \otimes H} _{n{\text{ times}}}}$

สถานะการซ้อนทับควอนตัมที่เป็นเอกรูปที่เกิดขึ้นจะเป็นดังนี้: ซึ่งเป็นการขยายการเตรียมสถานะควอนตัมที่เป็นเอกรูปโดยใช้เกต Hadamard สำหรับใดๆ^{[ 5 ]}${\displaystyle H_{n}|0\rangle ^{\otimes n}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{j=0}^{2^{n}-1}|j\rangle }$${\displaystyle N=2^{n}}$

การวัดสถานะควอนตัมที่เป็นเอกรูปนี้ส่งผลให้เกิด สถานะ สุ่มระหว่างและ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |N-1\rangle }$

อัลกอริทึมควอนตัมหลายตัวใช้การแปลง Hadamard เป็นขั้นตอนเริ่มต้น เนื่องจากดังที่ได้อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ การแปลงนี้จะแมปคิว บิต nตัวที่เริ่มต้นด้วย ไปยังสถานะซ้อนทับของสถานะตั้งฉากทั้งหมด 2n ^{สถานะ}ในฐานที่มีน้ำหนักเท่ากัน ตัวอย่างเช่น มีการใช้การแปลงนี้ในอัลกอริทึม Deutsch–Jozsa , อัลกอริทึม Simon , อัลกอริทึม Bernstein–Vaziraniและในอัลกอริทึม Groverโปรดทราบว่าอัลกอริทึม Shorใช้ทั้งการแปลง Hadamard เริ่มต้น และการแปลง Fourier ควอนตัมซึ่งทั้งสองเป็นประเภทของการแปลง Fourier บนกลุ่มจำกัดโดยแบบแรกบนและแบบที่สองบน ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }$${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z} }$

การเตรียมสถานะการซ้อนทับควอนตัมแบบสม่ำเสมอในกรณีทั่วไป เมื่อ≠ ไม่ใช่เรื่องง่ายและต้องใช้ความพยายามมากขึ้น แนวทางที่มีประสิทธิภาพและกำหนดได้สำหรับการเตรียมสถานะการซ้อนทับ ด้วยความซับซ้อนของเกตและความลึกของวงจรเพียงเท่านั้นสำหรับทั้งหมดได้รับการนำเสนอเมื่อเร็ว ๆ นี้^{[ 6 ]} แนวทางนี้ต้องการเพียง คิวบิตเท่านั้น ที่สำคัญคือ ไม่จำเป็นต้องใช้คิวบิตเสริมหรือเกตควอนตัมใด ๆ ที่มีการควบคุมหลายตัวในแนวทางนี้สำหรับการสร้างสถานะการซ้อนทับแบบ สม่ำเสมอ ${\displaystyle N}$${\displaystyle 2^{n}}$$${\displaystyle |\Psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j=0}^{N-1}|j\rangle }$$${\displaystyle O(\log _{2}N)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n=\lceil \log _{2}N\rceil }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$

การแปลง Hadamard ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในการเรียนรู้ของเครื่องควอนตัม โดยเฉพาะในเครือข่ายประสาทแบบไฮบริดควอนตัม-คลาสสิก^{[ 7 ] [ 8 ]}นักวิจัยที่มหาวิทยาลัยอิลลินอยส์ ชิคาโก ได้สาธิตวิธีการใหม่ที่ใช้ การดำเนินการ เครือข่ายประสาทแบบคอนโวลูชันในโดเมนความถี่โดยใช้ฮาร์ดแวร์ควอนตัม^{[ 8 ]}

แนวทางนี้อิงตามทฤษฎีการแปลง Hadamard ซึ่งระบุว่าการแปลงแบบไดอะดิกระหว่างเวกเตอร์สองตัวเทียบเท่ากับการคูณแบบทีละองค์ประกอบของการแสดงการแปลง Hadamard ของพวกมัน^{[ 8 ]}คุณสมบัตินี้ช่วยให้สามารถคำนวณเลเยอร์การแปลงได้อย่างมีประสิทธิภาพบนคอมพิวเตอร์ควอนตัม เนื่องจากการคำนวณการแปลง Hadamard ต้องการเพียงการประยุกต์ใช้เกต Hadamard กับแต่ละคิวบิตทีละตัวเท่านั้น^{[ 8 ]}

ใน สถาปัตยกรรมเครือข่ายประสาทแบบคอนโวลูชันควอนตัม-คลาสสิกแบบไฮบริด การคำนวณการแปลง Hadamard สามารถถ่ายโอนไปยังฮาร์ดแวร์ควอนตัมได้ ในขณะที่ยังคงการประมวลผลแบบคลาสสิกสำหรับการดำเนินการอื่นๆ^{[ 8 ]}แนวทางนี้ ซึ่งนำเสนอในการประชุมนานาชาติว่าด้วยการเรียนรู้ของเครื่อง (ICML) 2023 ได้แสดงให้เห็นถึงการปรับปรุงประสิทธิภาพการคำนวณ: บนชุดข้อมูล MNIST เครือข่ายที่ใช้การแปลง Hadamard บรรลุความแม่นยำในการทดสอบ 99.31% โดยมีการดำเนินการคูณสะสม (MAC) น้อยลง 57.1% เมื่อเทียบกับ CNN ทั่วไป ในขณะที่บน ImageNet-1K ResNet-50 ที่ใช้การแปลง Hadamard เกินความแม่นยำพื้นฐาน 0.59% โดยใช้พารามิเตอร์น้อยลง 11.5% และ MAC น้อยลง 12.6% ^{[ 8 ]}

ข้อได้เปรียบเชิงควอนตัมเกิดจากความสามารถในการประมวลผลแบบขนานของเกต Hadamard ในขณะที่การคำนวณแบบคลาสสิกของการแปลง Hadamard ต้องใช้การดำเนินการ O( n log n ) โดยใช้อัลกอริธึมการแปลง Hadamard แบบเร็ว การใช้งานเชิงควอนตัมสามารถคำนวณการแปลงได้ในเวลา O(1) โดยการใช้เกต Hadamard กับคิวบิตทั้งหมดพร้อมกัน ความเร็วที่เพิ่มขึ้นแบบทวีคูณในขั้นตอนการแปลงนี้ทำให้การสังเคราะห์ในโดเมนความถี่มีความน่าสนใจเป็นพิเศษสำหรับแอปพลิเคชันการเรียนรู้ของเครื่องเชิงควอนตัม

การแปลง Hadamard สามารถใช้เพื่อประมาณแผนภูมิวิวัฒนาการจากข้อมูลโมเลกุลได้^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}วิวัฒนาการเป็นสาขาย่อยของชีววิทยาเชิงวิวัฒนาการที่มุ่งเน้นการทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งมีชีวิต การแปลง Hadamard ที่ใช้กับเวกเตอร์ (หรือเมทริกซ์) ของความถี่รูปแบบไซต์ที่ได้จากการจัดเรียงลำดับ DNA หลายลำดับสามารถใช้เพื่อสร้างเวกเตอร์อื่นที่บรรจุข้อมูลเกี่ยวกับโทโพโลยีของแผนภูมิวิวัฒนาการ ลักษณะที่ผกผันได้ของการแปลง Hadamard ทางวิวัฒนาการยังช่วยให้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นของไซต์จากเวกเตอร์โทโพโลยีของแผนภูมิวิวัฒนาการ ทำให้สามารถใช้การแปลง Hadamard สำหรับการประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดของแผนภูมิวิวัฒนาการ อย่างไรก็ตาม การใช้งานแบบหลังนั้นมีประโยชน์น้อยกว่าการแปลงจากเวกเตอร์รูปแบบไซต์ไปยังเวกเตอร์แผนภูมิวิวัฒนาการ เนื่องจากมีวิธีอื่นในการคำนวณความน่าจะเป็นของไซต์^{[ 12 ] [ 13 ]}ที่มีประสิทธิภาพมากกว่ามาก อย่างไรก็ตาม ลักษณะที่ผกผันได้ของการแปลง Hadamard ทางวิวัฒนาการนั้นเป็นเครื่องมือที่สง่างามสำหรับวิวัฒนาการทางคณิตศาสตร์^{[ 14 ] [ 15 ]}

กลไกของการแปลง Hadamard ทางวิวัฒนาการเกี่ยวข้องกับการคำนวณเวกเตอร์ที่ให้ข้อมูลเกี่ยวกับโครงสร้างและระยะความยาวของกิ่งสำหรับแผนภูมิวิวัฒนาการโดยใช้เวกเตอร์หรือเมทริกซ์ รูปแบบไซต์${\displaystyle \gamma (T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle s(T)}$

$${\displaystyle \gamma (T)=H^{-1}(\ln(Hs(T)))}$$ โดยที่คือเมทริกซ์ Hadamard ที่มีขนาดเหมาะสม สมการนี้สามารถเขียนใหม่เป็นชุดสมการสามสมการเพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น: ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&=Hs(T)\\\rho &=\ln r\\\gamma (T)&=H^{-1}\rho \end{aligned}}}$$

เนื่องจากสมการนี้สามารถผกผันได้ จึงสามารถคำนวณเวกเตอร์ (หรือเมทริกซ์) รูปแบบไซต์ที่คาดหวังได้ดังนี้:

$${\displaystyle s(T)=H^{-1}(\exp(H\gamma (T)))}$$

เราสามารถใช้แบบจำลองการแทนที่แบบสองสถานะของ Cavender–Farris– Neyman (CFN) สำหรับ DNA โดยการเข้ารหัสนิวคลีโอไทด์เป็นอักขระไบนารี ( พิวรีน A และ G ถูกเข้ารหัสเป็น R และไพริมิดีน C และ T ถูกเข้ารหัสเป็น Y) ซึ่งทำให้สามารถเข้ารหัสการจัดเรียงลำดับหลายลำดับเป็นเวกเตอร์รูปแบบไซต์ที่สามารถแปลงเป็นเวกเตอร์ต้นไม้ได้ ดังแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้: ${\displaystyle s(T)}$${\displaystyle \gamma (T)}$

ตัวอย่างที่แสดงการแปลง Hadamard สำหรับต้นไม้เฉพาะ (ค่าสำหรับตัวอย่างที่ดำเนินการดัดแปลงมาจาก Waddell et al. 1997 ^{[ 16 ]} )

ดัชนี	รูปแบบไบนารี	รูปแบบการจัดเรียง	${\displaystyle \gamma (T)}$	${\displaystyle \rho =H^{-1}\gamma (T)}$	${\displaystyle r=\exp(\rho )}$	${\displaystyle s(T)=H^{-1}\rho }$
0	0000	RRRR และ YYYY	−0.475	0	1	0.6479
1	0001	RRRY และ YYYR	0.2	-0.5	0.6065	0.1283
2	0010	RRYR และ YYRY	0.025	-0.15	0.8607	0.02
3*	0011	RRYY และ YYRR	0.025	-0.45	0.6376	0.0226
4	0100	RYRR และ YYRYY	0.2	-0.45	0.6376	0.1283
5 ดาว	0101	RYRY และ YRYR	0	-0.85	0.4274	0.0258
6*	0110	RYYR และ YRRY	0	-0.5	0.6065	0.0070
7	0111	RYYY และ YRRR	0.025	-0.9	0.4066	0.02

ตัวอย่างที่แสดงในตารางนี้ใช้แผนผังสมการสามสมการแบบง่าย และเป็นแผนภูมิวิวัฒนาการสี่กลุ่มสิ่งมีชีวิตที่สามารถเขียนได้เป็น ((A,B),(C,D)); ในรูปแบบ Newickรูปแบบของตำแหน่งจะเขียนตามลำดับ ABCD แผนภูมิวิวัฒนาการนี้มีกิ่งปลายยาวสองกิ่ง ( การแทนที่แบบทราน ส์เวอร์ชัน 0.2 ต่อตำแหน่ง) กิ่งปลายสั้นสองกิ่ง (การแทนที่แบบทรานส์เวอร์ชัน 0.025 ต่อตำแหน่ง) และกิ่งภายในสั้นหนึ่งกิ่ง (การแทนที่แบบทรานส์เวอร์ชัน 0.025 ต่อตำแหน่ง) ดังนั้นจึงเขียนได้เป็น ((A:0.025,B:0.2):0.025,(C:0.025,D:0.2)); ในรูปแบบ Newick แผนภูมิวิวัฒนาการนี้จะแสดงปรากฏการณ์ดึงดูดกิ่งยาว (long branch attraction ) หากวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้ เกณฑ์ ความประหยัดสูงสุด (maximum parsimony criterion) (โดยสมมติว่าลำดับที่วิเคราะห์มีความยาวเพียงพอสำหรับความถี่ของรูปแบบตำแหน่งที่สังเกตได้ให้ใกล้เคียงกับความถี่ที่คาดหวังที่แสดงในคอลัมน์) การดึงดูดกิ่งยาวสะท้อนให้เห็นว่าจำนวนรูปแบบไซต์ที่คาดหวังที่มีดัชนี 6 ซึ่งสนับสนุนต้นไม้ ((A,C),(B,D)); เกินกว่าจำนวนรูปแบบไซต์ที่คาดหวังซึ่งสนับสนุนต้นไม้จริง (ดัชนี 4) เห็นได้ชัดว่าลักษณะที่ผกผันได้ของการแปลง Hadamard ทางวิวัฒนาการหมายความว่าเวกเตอร์ต้นไม้หมายถึงเวกเตอร์ต้นไม้ที่สอดคล้องกับต้นไม้ที่ถูกต้อง ดังนั้นการวิเคราะห์ความประหยัดหลังจากการแปลงจึงมีความสอดคล้องทางสถิติ [ ^{17 ] เช่นเดียวกับการวิเคราะห์ความน่าจะ เป็น}สูงสุดมาตรฐานโดยใช้แบบจำลองที่ถูกต้อง (ในกรณีนี้คือแบบจำลอง CFN) ${\displaystyle s(T)=H^{-1}\rho }$${\displaystyle \gamma (T)}$

โปรดทราบว่ารูปแบบไซต์ที่มีเลข 0 สอดคล้องกับไซต์ที่ไม่เปลี่ยนแปลง (หลังจากเข้ารหัสนิวคลีโอไทด์เป็นพิวรีนหรือไพริมิดีน) ดัชนีที่มีเครื่องหมายดอกจัน (3, 5 และ 6) เป็น "ดัชนีที่ให้ข้อมูลเชิงความประหยัด" และดัชนีที่เหลือแสดงถึงรูปแบบไซต์ที่แท็กซอนเดียวแตกต่างจากแท็กซอนอีกสามแท็กซอน (ดังนั้นจึงเทียบเท่ากับความยาวของกิ่งปลายในแผนภูมิวิวัฒนาการแบบความน่าจะเป็นสูงสุดมาตรฐาน)

หากต้องการใช้ข้อมูลนิวคลีโอไทด์โดยไม่ต้องเข้ารหัสใหม่เป็น R และ Y (และในที่สุดก็เป็น 0 และ 1) ก็สามารถเข้ารหัสรูปแบบไซต์เป็นเมทริกซ์ได้ หากเราพิจารณาต้นไม้สี่กลุ่มอนุกรมวิธาน จะมีรูปแบบไซต์ทั้งหมด 256 รูปแบบ (นิวคลีโอไทด์สี่ตัวยกกำลัง 4) อย่างไรก็ตาม สมมาตรของแบบจำลองสามพารามิเตอร์ของ Kimura (หรือ K81)ช่วยให้เราลดรูปแบบไซต์ที่เป็นไปได้ 256 รูปแบบสำหรับ DNA เหลือ 64 รูปแบบ ทำให้สามารถเข้ารหัสข้อมูลนิวคลีโอไทด์สำหรับต้นไม้สี่กลุ่มอนุกรมวิธานเป็นเมทริกซ์ 8 × 8 ^{[ 18 ]}ในลักษณะที่คล้ายกับเวกเตอร์ขององค์ประกอบ 8 ตัวที่ใช้ข้างต้นสำหรับรูปแบบไซต์ทรานส์เวอร์ชัน (RY) ซึ่งทำได้โดยการเข้ารหัสข้อมูลใหม่โดยใช้กลุ่มสี่กลุ่มของ Klein :

เช่นเดียวกับข้อมูล RY รูปแบบไซต์จะถูกจัดทำดัชนีโดยสัมพันธ์กับฐานในแท็กซอนแรกที่เลือกโดยพลการ โดยฐานในแท็กซอนถัดไปจะถูกเข้ารหัสโดยสัมพันธ์กับฐานแรกนั้น ดังนั้น แท็กซอนแรกจะได้รับคู่บิต (0,0) การใช้คู่บิตเหล่านั้น เราสามารถสร้างเวกเตอร์สองตัวที่คล้ายกับเวกเตอร์ RY จากนั้นเติมเมทริกซ์โดยใช้เวกเตอร์เหล่านั้น สามารถแสดงให้เห็นได้โดยใช้ตัวอย่างจาก Hendy et al. (1994) ^{[ 18 ]}ซึ่งอิงจากการจัดเรียงลำดับหลายลำดับของยีนเทียมฮีโมโกลบินของไพรเมตสี่ตัว:

จำนวนรูปแบบไซต์ที่มากกว่ามากในคอลัมน์ 0 สะท้อนให้เห็นว่าคอลัมน์ 0 สอดคล้องกับความแตกต่างของการเปลี่ยนผ่าน ซึ่งสะสมได้เร็วกว่าความแตกต่างของการผันแปรในการเปรียบเทียบภูมิภาคจีโนมเกือบทั้งหมด (และแน่นอนว่าสะสมได้เร็วกว่าในยีน เทียมฮีโมโกลบินที่ใช้สำหรับตัวอย่างการทำงานนี้^{[ 19 ]} ) หากเราพิจารณารูปแบบไซต์ AAGG มันจะเป็นรูปแบบไบนารี 0000 สำหรับองค์ประกอบที่สองของคู่บิตกลุ่ม Klein และ 0011 สำหรับองค์ประกอบแรก ในกรณีนี้ รูปแบบไบนารีที่อิงตามองค์ประกอบแรก องค์ประกอบแรกจะสอดคล้องกับดัชนี 3 (ดังนั้นแถวที่ 3 ในคอลัมน์ 0; ระบุด้วยเครื่องหมายดอกจันเดี่ยวในตาราง) รูปแบบไซต์ GGAA, CCTT และ TTCC จะถูกเข้ารหัสในลักษณะเดียวกัน รูปแบบไซต์ AACT จะถูกเข้ารหัสด้วยรูปแบบไบนารี 0011 ที่อิงตามองค์ประกอบที่สองและ 0001 ที่อิงตามองค์ประกอบแรก ซึ่งจะให้ดัชนี 1 สำหรับองค์ประกอบแรกและดัชนี 3 สำหรับองค์ประกอบที่สอง ดัชนีที่อิงตาม คู่บิต กลุ่มไคลน์ ที่สอง จะถูกคูณด้วย 8 เพื่อให้ได้ดัชนีคอลัมน์ (ในกรณีนี้คือคอลัมน์ที่ 24) เซลล์ที่รวมจำนวนรูปแบบไซต์ AACT จะถูกระบุด้วยเครื่องหมายดอกจันสองตัว อย่างไรก็ตาม การไม่มีตัวเลขในตัวอย่างแสดงว่าการจัดเรียงลำดับไม่มีรูปแบบไซต์ AACT (เช่นเดียวกับรูปแบบไซต์ CCAG, GGTC และ TTGA ซึ่งจะถูกเข้ารหัสในลักษณะเดียวกัน ก็ไม่มีอยู่เช่นกัน)

การแปลงฮาดามาร์ด (Hadamard transform) ยังใช้ในการเข้ารหัสข้อมูลรวมถึงอัลกอริธึมการประมวลผลสัญญาณและการบีบอัดข้อมูลจำนวนมากเช่นJPEG XR และ MPEG - 4 AVCใน แอปพลิเคชันการ บีบอัดวิดีโอมักใช้ในรูปแบบของผลรวมของความแตกต่างที่แปลงแล้วสัมบูรณ์นอกจากนี้ยังเป็นส่วนสำคัญของอัลกอริธึมจำนวนมากในคอมพิวเตอร์ควอนตัม การแปลงฮาดามาร์ดยังถูกนำไปใช้ในเทคนิคการทดลอง เช่นNMR , สเปกโทรเมตรีมวลและผลึกศาสตร์นอกจากนี้ยังใช้ในแฮชชิ่งแบบไวต่อตำแหน่ง บางเวอร์ชัน เพื่อให้ได้การหมุนเมทริกซ์แบบสุ่มเทียม

• การแปลงแบบเร็วของวอลช์-ฮาดามาร์ด
• การแปลงแบบ Pseudo-Hadamard
• การแปลงฮาร์
• กฎการกระจายทั่วไป

• ริตเตอร์, เทอร์รี (สิงหาคม 1996). "การแปลงแบบวอลช์-ฮาดามาร์ด: การสำรวจวรรณกรรม "
• Akansu, Ali N. ; Poluri, R. (กรกฎาคม 2550). "รหัสเฟสตั้งฉากแบบไม่เชิงเส้นคล้าย Walsh สำหรับการสื่อสาร CDMA ลำดับตรง" (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 55 (7): 3800– 6. Bibcode : 2007ITSP...55.3800A . doi : 10.1109/TSP.2007.894229 . S2CID  6830633 .
• วิธีการเข้ารหัสข้อมูลของ Pan, Jeng-shyang โดยใช้การแปลง Hadamard แบบเศษส่วนแบบไม่ต่อเนื่อง (28 พฤษภาคม 2552)
• Lachowicz, Dr. Pawel. การแปลง Walsh–Hadamard และการทดสอบความสุ่มของอนุกรมผลตอบแทนทางการเงิน (7 เมษายน 2558)
• Beddard, Godfrey; Yorke, Briony A. (มกราคม 2011). "การวิเคราะห์สเปกตรัมแบบปั๊ม-โพรบโดยใช้การแปลงฮาดามาร์ด" (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 18 ตุลาคม 2014 . เรียกดูเมื่อ28 เมษายน 2012 .
• Yorke, Briony A.; Beddard, Godfrey; Owen, Robin L.; Pearson, Arwen R. (กันยายน 2014). "การวิเคราะห์โครงสร้างผลึกแบบเวลาโดยใช้การแปลง Hadamard" Nature Methods . 11 (11): 1131– 1134. doi : 10.1038/nmeth.3139 . PMC  4216935 . PMID  25282611 .