ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในทฤษฎีกลุ่มกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานคือกลุ่มอาเบเลียนที่สมาชิกทั้งหมดนอกเหนือจากเอกลักษณ์มีอันดับ เดียวกัน อันดับร่วมนี้จะต้องเป็นจำนวนเฉพาะและกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานที่มีอันดับร่วมเป็นpเป็นกลุ่มpชนิดพิเศษ^{[ 1 ] [ 2 ]}กลุ่มที่มีp = 2 (นั่นคือ กลุ่มอาเบเลียนพื้นฐาน 2) บางครั้งเรียกว่ากลุ่มบูลีน^{[ 3 ]}

กลุ่มอาเบเลียน pพื้นฐานทุกกลุ่มเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์เฉพาะที่มี สมาชิก pตัว และในทางกลับกันปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวทุกกลุ่มเป็นกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐาน โดยการจำแนกกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดหรือโดยข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิเวกเตอร์ทุกกลุ่มมีฐานกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานจำกัดทุกกลุ่มจะต้องอยู่ในรูปแบบ ( Z / p Z ) ⁿสำหรับn เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (บางครั้งเรียกว่า อันดับของกลุ่ม) ในที่นี้Z / p Zหมายถึงกลุ่มวัฏจักรอันดับp (หรือเทียบเท่ากับจำนวนเต็มmod p ) และสัญลักษณ์ตัวยกหมายถึง ผลคูณโดยตรง nเท่าของกลุ่ม^{[ 2 ]}

โดยทั่วไปกลุ่ม อาเบเลียน pพื้นฐาน (ซึ่งอาจเป็นอนันต์) คือผลรวมโดยตรงของกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับp [ ^{4 ] (}โปรดทราบว่าในกรณีจำกัด ผลคูณโดยตรงและผลรวมโดยตรงจะตรงกัน แต่ในกรณีอนันต์จะไม่เป็นเช่นนั้น)

• กลุ่มอาเบเลียนพื้นฐาน ( Z /2 Z ) ²มีสมาชิกสี่ตัว ได้แก่{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}การบวกจะทำทีละส่วน โดยนำผลลัพธ์มาหารด้วย 2 ตัวอย่างเช่น(1,0) + (1,1) = (0,1) ซึ่งก็คือ กลุ่มไคลน์สี่ตัวนั่นเอง
• ในกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยผลต่างสมมาตรบนเซต (ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตจำกัด) สมาชิกทุกตัวจะมีอันดับ 2 กลุ่มดังกล่าวจะต้องเป็นกลุ่มอาเบเลียน เนื่องจากสมาชิกทุกตัวเป็นตัวผกผันของตัวเอง ดังนั้นxy = ( xy ) ⁻¹ = y ^{−1 และ}x ⁻¹ = yxกลุ่มดังกล่าว (เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มบูลีน) ขยายตัวอย่างกลุ่มสี่กลุ่มของไคลน์ไปยังจำนวนส่วนประกอบใดๆ ก็ได้
• ( Z / p Z ) ⁿถูกสร้างขึ้นโดย องค์ประกอบ nตัว โดยที่nคือจำนวนตัวสร้างที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซต{ e , ..., e }ซึ่งe มีค่า 1 ใน องค์ประกอบที่ iและ 0 ในองค์ประกอบอื่นๆ ถือเป็นเซตตัวสร้างที่น้อยที่สุด
• กลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานจำกัดทุกกลุ่มมีรูปแบบการนำเสนอแบบจำกัดที่ ค่อนข้างเรียบง่าย :

  ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{n}\cong \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\mid e_{i}^{p}=1,\ e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}\rangle }$

สมมติว่าV ( Z / p Z ) ⁿเป็นกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานจำกัด เนื่องจากZ / p Z F ซึ่งเป็นฟิลด์จำกัดที่มี สมาชิก p ตัวเราจึงได้V ( Z / p Z ) ⁿ F ⁿดังนั้นV จึง สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์nมิติเหนือฟิลด์F โปรดทราบว่าโดยทั่วไปแล้วกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานไม่มีฐานที่โดดเด่น การเลือกไอโซมอร์ฟิซึมV ( Z / p Z ) ⁿสอดคล้องกับการเลือกฐาน ${\displaystyle \cong }$${\displaystyle \cong }$${\displaystyle \cong }$${\displaystyle \cong }$${\displaystyle {\overset {\cong }{\ถึง }}}$

สำหรับผู้อ่านที่ช่างสังเกต อาจจะเห็นว่าFpnมีโครงสร้างมากกว่ากลุ่มVโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่มีการคูณสเกลาร์นอกเหนือจากการบวก (เวกเตอร์/กลุ่ม) อย่างไรก็ตามในฐานะกลุ่มอาเบเลียนมีโครงสร้างโมดูล Z ที่เป็นเอกลักษณ์^โดยการกระทำของZสอดคล้องกับการบวกซ้ำๆ และโครงสร้างโมดูล Z นี้สอดคล้องกับการ คูณสเกลา ของ Fpนั่นคือc ⋅ g = g  +  g  + ... +  g ( cครั้ง) โดยที่cในFp ถือว่าเป็นจำนวนเต็มที่มี 0 ≤  c  <  p ) ทำให้Vมีโครงสร้างโมดูล ที่เป็นธรรมชาติ

เนื่องจากปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดVมีฐาน { e , ..., e } ดังที่อธิบายไว้ในตัวอย่าง ถ้าเราเลือก { v , ..., v } เป็น องค์ประกอบ n ตัวใดๆ ของVแล้วโดยพีชคณิตเชิงเส้นเราจะได้ว่าการแมปT ( e ) = v ขยายได้อย่างไม่ซ้ำกันไปสู่การแปลงเชิงเส้นของV แต่ละ Tดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มจากVไปยังV (เอนโดมอร์ฟิซึม ) และในทำนองเดียวกัน เอนโดมอร์ฟิซึมใดๆ ของVก็สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการแปลงเชิงเส้นของVในฐานะปริภูมิเวกเตอร์

If we restrict our attention to automorphisms of V we have Aut(V) = { T : V → V | ker T = 0 } = GL(F), the general linear group of n × n invertible matrices on F.

The automorphism group GL(V) = GL(F) acts transitively on V \ {0} (as is true for any vector space). This in fact characterizes elementary abelian groups among all finite groups: if G is a finite group with identity e such that Aut(G) acts transitively on G \ {e}, then G is elementary abelian. (Proof: if Aut(G) acts transitively on G \ {e}, then all nonidentity elements of G have the same (necessarily prime) order. Then G is a p-group. It follows that G has a nontrivial center, which is necessarily invariant under all automorphisms, and thus equals all of G.)

It can also be of interest to go beyond prime order components to prime-power order. Consider an elementary abelian group G to be of type (p,p,...,p) for some prime p. A homocyclic group^[5] (of rank n) is an abelian group of type (m,m,...,m) i.e. the direct product of n isomorphic cyclic groups of order m, of which groups of type (p^k,p^k,...,p^k) are a special case.

The extra special groups are extensions of elementary abelian groups by a cyclic group of order p, and are analogous to the Heisenberg group.

• Elementary group
• Hamming space