In Riemannian geometry, a branch of mathematics, harmonic coordinates are a certain kind of coordinate chart on a smooth manifold, determined by a Riemannian metric on the manifold. They are useful in many problems of geometric analysis due to their regularity properties.

In two dimensions, certain harmonic coordinates known as isothermal coordinates have been studied since the early 1800s. Harmonic coordinates in higher dimensions were developed initially in the context of Lorentzian geometry and general relativity by Albert Einstein and Cornelius Lanczos (see harmonic coordinate condition).^[1] Following the work of Dennis DeTurck and Jerry Kazdan in 1981, they began to play a significant role in the geometric analysis literature, although Idzhad Sabitov and S.Z. Šefel had made the same discovery five years earlier.^[2]

Let (M, g) be a Riemannian manifold of dimension n. One says that a coordinate chart (x¹, ..., xⁿ), defined on an open subset U of M, is harmonic if each individual coordinate function xⁱ is a harmonic function on U.^[3] That is, one requires that

${\displaystyle \Delta ^{g}x^{i}=0.\,}$

where ∆^g is the Laplace–Beltrami operator. Trivially, the coordinate system is harmonic if and only if, as a map U → ℝⁿ, the coordinates are a harmonic map. A direct computation with the local definition of the Laplace-Beltrami operator shows that (x¹, ..., xⁿ) is a harmonic coordinate chart if and only if

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ij}^{k}=0{\text{ สำหรับทุก }}k=1,\ldots ,n,}$

in which Γ^kสัญลักษณ์Christoffelของแผนภูมิที่กำหนด^{[ 4 ]}เมื่อเทียบกับแผนภูมิพิกัด "พื้นหลัง" คงที่( V , y )เราสามารถมอง( x ¹ , ..., x ⁿ )เป็นชุดของฟังก์ชันx ∘ y ⁻¹บนเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิด เทนเซอร์เมตริกที่สัมพันธ์กับxได้รับจากเทนเซอร์เมตริกที่สัมพันธ์กับyโดยการคำนวณเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อันดับแรกของx ∘ y ⁻¹ดังนั้นสัญลักษณ์ Christoffel ที่สัมพันธ์กับxจึงคำนวณจากอนุพันธ์อันดับสองของx ∘ y ⁻¹ดังนั้นคำจำกัดความทั้งสองของพิกัดฮาร์มอนิกดังที่กล่าวมาข้างต้นจึงมีลักษณะเชิงคุณภาพที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย อันดับสอง สำหรับฟังก์ชันพิกัด

เมื่อใช้คำจำกัดความของสัญลักษณ์คริสโตเฟล สูตรข้างต้นจะเทียบเท่ากับ

${\displaystyle 2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}.}$

พิกัด ฮาร์มอนิกมีอยู่เสมอ (ในระดับท้องถิ่น) ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ได้มาอย่างง่ายดายจากผลลัพธ์มาตรฐานเกี่ยวกับการมีอยู่และความสม่ำเสมอของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรี [ ^{5 ] โดย} เฉพาะอย่างยิ่ง สมการ∆ ^g u ^j = 0มีคำตอบในเซตเปิด บางเซต รอบจุดp ที่กำหนด โดยที่u ( p )และdu ถูกกำหนดไว้ทั้งคู่

ทฤษฎีความสม่ำเสมอพื้นฐานเกี่ยวกับเมตริกในพิกัดฮาร์มอนิกคือ ถ้าส่วนประกอบของเมตริกอยู่ในปริภูมิโฮลเดอร์C ^{k , α}เมื่อแสดงในแผนภูมิพิกัดบางอย่าง โดยไม่คำนึงถึงความเรียบของแผนภูมิเองฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านจากแผนภูมิพิกัดนั้นไปยังแผนภูมิพิกัดฮาร์มอนิกใดๆ ก็จะอยู่ในปริภูมิโฮลเดอร์C ^{k + 1, α} [ ^{6 ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้หมายความว่าเมตริกจะอยู่ในC ^{k , α}เมื่อเทียบกับแผนภูมิพิกัดฮาร์มอนิกด้วย^{[ 7 ]}

ดังที่ คอร์เนลิอุส แลนซอสค้นพบเป็นครั้งแรกในปี 1922 เมื่อเทียบกับแผนภูมิพิกัดฮาร์มอนิกความโค้งริชชีมีค่าดังนี้

${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\sum _{a,b=1}^{n}g^{ab}{\frac {\partial ^{2}g_{ij}}{\partial x^{a}\partial x^{b}}}+\partial g\ast \partial g\ast g^{-1}\ast g^{-1}.}$

ลักษณะพื้นฐานของสูตรนี้คือ สำหรับiและj ที่กำหนดไว้ พจน์แรกทางด้านขวามือคือตัวดำเนินการเชิงวงรีที่ใช้กับฟังก์ชันg ที่กำหนดขึ้นในท้องถิ่น ดังนั้นจึงเป็นไปโดยอัตโนมัติจากความสม่ำเสมอเชิงวงรีและโดยเฉพาะอย่างยิ่งการประมาณค่าของ Schauderว่าถ้าgคือC ²และRic(g)คือC ^{k , α}สัมพันธ์กับแผนภูมิพิกัดฮาร์มอนิก แล้วgคือC ^{k + 2, α}สัมพันธ์กับแผนภูมิเดียวกัน^{[ 8 ]}โดยทั่วไปแล้ว ถ้าgคือC ^{k , α} (โดยที่kมากกว่าหนึ่ง) และRic(g)คือC ^{l , α}สัมพันธ์กับแผนภูมิพิกัดบางแผนภูมิ ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านไปยังแผนภูมิพิกัดฮาร์มอนิกจะเป็นC ^{k + 1, α}ดังนั้นRic(g)จะเป็นC ^{min( l , k ), α}ในแผนภูมิพิกัดฮาร์มอนิก ดังนั้น จากผลลัพธ์ก่อนหน้านี้gจะเป็นC ^{min( l , k ) + 2, α}ในแผนภูมิพิกัดฮา ร์มอนิก ^{[ 9 ]}

จากการประยุกต์ใช้สูตรของ Lanczos เพิ่มเติม พบว่าเมตริกของ Einstein นั้น เป็นแบบวิเคราะห์ในพิกัดฮาร์มอนิก^{[ 10 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเมตริกของ Einstein ใดๆ บนแมนิโฟลด์เรียบจะกำหนดโครงสร้างแบบวิเคราะห์บนแมนิโฟลด์โดยอัตโนมัติ ซึ่งกำหนดโดยชุดของแผนภูมิพิกัดฮาร์มอนิก

จากการวิเคราะห์ข้างต้น ในการอธิบายพิกัดฮาร์มอนิก มักจะพิจารณาเมตริกแบบรีมันน์ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่องอย่างน้อยสองครั้ง อย่างไรก็ตาม ด้วยการใช้ปริภูมิฟังก์ชัน ที่แปลกใหม่กว่า ผลลัพธ์ข้างต้นเกี่ยวกับการมีอยู่และความสม่ำเสมอของพิกัดฮาร์มอนิกสามารถขยายไปยังการตั้งค่าที่เมตริกมีความสม่ำเสมอที่อ่อนมากได้^{[ 11 ]}

พิกัดฮาร์มอนิกถูกใช้โดยRobert Bartnikเพื่อทำความเข้าใจคุณสมบัติทางเรขาคณิตของแมนิโฟลด์รีมันน์แบบราบเชิงอะซิมโทติก [ ^{12 ] สมมติ}ว่าเรามีแมนิโฟลด์รีมันน์ที่สมบูรณ์( M , g )และมีเซตย่อยกระชับKของMพร้อมกับดิฟเฟโอโมฟิซึมΦจากM ∖ Kไปยังℝ ⁿ ∖ B (0)โดยที่Φ ^* gเมื่อเทียบกับเมตริกยุคลิดมาตรฐานδบนℝ ⁿ ∖ B (0)มีค่าไอเกนที่ถูกจำกัดอย่างสม่ำเสมอทั้งด้านบนและด้านล่างด้วยจำนวนบวก และ(Φ ^* g )( x )ลู่เข้าในความหมายที่แม่นยำบางอย่างไปยังδเมื่อxลู่เข้าสู่อนันต์ ดิฟเฟโอโมฟิซึมดังกล่าวเรียกว่าโครงสร้างที่อนันต์หรือพิกัดแบบ ราบเชิงอะ ^ซิ ม โทติกสำหรับ( M , g ) [ ^{13 ]}

ผลลัพธ์หลักของ Bartnik คือ การรวบรวมพิกัดแบนราบเชิงอะซิมโทติก (ถ้าไม่ว่างเปล่า) มีโครงสร้างเชิงอะซิมโทติกที่เรียบง่าย กล่าวคือ ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านระหว่างพิกัดแบนราบเชิงอะซิมโทติกสองพิกัดใดๆ จะถูกประมาณค่าใกล้อนันต์ด้วยการแปลงเชิงเส้น [ ^{14 ] นี่}เป็นสิ่งสำคัญในการสร้างว่าพลังงาน ADMของแมนิโฟลด์รีมันน์แบนราบเชิงอะซิมโทติกเป็นค่าคงที่ทางเรขาคณิตที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกพิกัดแบนราบเชิงอะซิมโทติก^{[ 15 ]}

เครื่องมือสำคัญในการสร้างข้อเท็จจริงนี้คือการประมาณพิกัดแบนราบเชิงอะซิมโทติกใดๆ สำหรับ( M , g )ด้วยพิกัดแบนราบเชิงอะซิมโทติกซึ่งเป็นฮาร์มอนิก งานทางเทคนิคที่สำคัญคือการสร้างทฤษฎี Fredholmสำหรับตัวดำเนินการ Laplace-Beltrami เมื่อกระทำระหว่างปริภูมิ Banach บางส่วนของฟังก์ชันบนMซึ่งลดลงที่อนันต์^{[ 16 ]}จากนั้น เมื่อกำหนดพิกัดแบนราบเชิงอะซิมโทติกใดๆΦจากข้อเท็จจริงที่ว่า

${\displaystyle \Delta ^{g}\Phi ^{k}=-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ij}^{k},}$

ซึ่งสลายตัวที่อนันต์ จากทฤษฎีของเฟรดโฮล์มพบว่ามีฟังก์ชันz ^kซึ่งสลายตัวที่อนันต์โดยที่Δ ^g Φ ^k = Δ ^g z ^kและด้วยเหตุนี้Φ ^k − z ^kจึงเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิก ซึ่งให้พิกัดฮาร์มอนิกแบบราบเชิงอะซิมโทติกที่ต้องการ ผลลัพธ์หลักของบาร์ทนิกจึงมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันฮาร์มอนิกที่สลายตัวเชิงอะซิมโทติกบนMมีมิติn + 1ซึ่งส่งผลให้พิกัดฮาร์มอนิกแบบราบเชิงอะซิมโทติกสองพิกัดใดๆ บนMมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงเชิงเส้น^{[ 17 ]}

งานของ Bartnik ตั้งอยู่บนสมมติฐานของการมีอยู่ของพิกัดแบนราบเชิงอะซิมโทติก โดยอาศัยวิธีการของเขา Shigetoshi Bando, Atsushi Kasue และHiraku Nakajimaได้แสดงให้เห็นว่าการลดลงของความโค้งตามระยะทางจากจุดหนึ่ง ร่วมกับการเติบโตแบบพหุนามของปริมาตรของลูกบอลจีโอเดสิกขนาดใหญ่และการเชื่อมต่อแบบง่ายของส่วนเติมเต็มของลูกบอลเหล่านั้น บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของพิกัดแบนราบเชิงอะซิมโทติก^{[ 18 ]}ประเด็นสำคัญคือสมมติฐานทางเรขาคณิตของพวกเขา ผ่านผลลัพธ์บางส่วนที่กล่าวถึงด้านล่างเกี่ยวกับรัศมีฮาร์มอนิก ทำให้สามารถควบคุมพิกัดฮาร์มอนิกในบริเวณใกล้อนันต์ได้ดี โดยการใช้การแบ่งส่วนของเอกภาพพิกัดฮาร์มอนิกเหล่านี้สามารถนำมาต่อกันเพื่อสร้างแผนภูมิพิกัดเดียว ซึ่งเป็นเป้าหมายหลัก^{[ 19 ]}

ผลลัพธ์พื้นฐานอันเนื่องมาจากไมเคิล แอนเดอร์สันคือ เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์รีมันน์เรียบ จำนวนบวกใดๆαระหว่าง 0 ถึง 1 และจำนวนบวกใดๆQจะมีจำนวนrซึ่งขึ้นอยู่กับα , Q , ขอบเขตบนและล่างของความโค้งริชชี มิติ และขอบเขตล่างที่เป็นบวกสำหรับรัศมีของการฉีด โดยที่ลูกบอลจีโอเดสิกใดๆ ที่มีรัศมีน้อยกว่าrจะเป็นโดเมนของพิกัดฮาร์มอนิก ซึ่ง ขนาด C ^{1, α}ของgและความใกล้ชิดสม่ำเสมอของg กับ ^{เมตริก}ยุคลิดจะถูกควบคุมโดยQ ทั้งคู่ ^{[ 20} ] สิ่งนี้สามารถกำหนดใหม่ได้ในแง่ของ"บรรทัดฐาน"ของแมนิโฟลด์รีมันน์แบบมีจุด โดยที่บรรทัดฐานC ^{1, α}ที่มาตราส่วนrสอดคล้องกับค่าที่เหมาะสมที่สุดของQสำหรับพิกัดฮาร์มอนิกซึ่งโดเมนเป็นลูกบอลจีโอเดสิกที่มีรัศมีr ^{[ 21 ]}ผู้เขียนหลายคนได้ค้นพบเวอร์ชันของการประมาณค่า "รัศมีฮาร์มอนิก" ดังกล่าว ทั้งก่อนและหลังงานของแอนเดอร์สัน^{[ 22 ]}แง่มุมที่สำคัญของการพิสูจน์คือการวิเคราะห์ผ่านวิธีการมาตรฐานของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีสำหรับสูตร Lanczos สำหรับความโค้ง Ricci ในแผนภูมิพิกัดฮาร์มอนิก^{[ 23 ]}

กล่าวโดยคร่าวๆ การใช้พิกัดฮาร์มอนิกแสดงให้เห็นว่าแมนิโฟลด์แบบรีมันน์สามารถครอบคลุมได้ด้วยแผนภูมิพิกัดซึ่งการแสดงแทนเฉพาะที่ของเมตริกแบบรีมันน์นั้นถูกควบคุมโดยพฤติกรรมทางเรขาคณิตเชิงคุณภาพของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์เองเท่านั้น ตามแนวคิดที่Jeff Cheeger ได้เสนอไว้ ในปี 1970 เราสามารถพิจารณาลำดับของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ซึ่งถูกควบคุมทางเรขาคณิตอย่างสม่ำเสมอ และการใช้พิกัดทำให้เราสามารถประกอบแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ "ลิมิต" ได้^{[ 24 ]}เนื่องจากลักษณะของ "การลู่เข้าแบบรีมันน์" ดังกล่าว จึงเป็นผลให้ ตัวอย่างเช่น จนถึงการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียล จะมีแมนิโฟลด์เรียบที่มีมิติที่กำหนดเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่ยอมรับเมตริกแบบรีมันน์ที่มีขอบเขตคงที่ของความโค้งริชชีและเส้นผ่านศูนย์กลาง พร้อมด้วยขอบเขตล่างบวกคงที่ของรัศมีของการฉีด^{[ 25 ]}

การประมาณค่ารัศมีฮาร์มอนิกดังกล่าวยังใช้ในการสร้างฟังก์ชันตัดขอบที่ควบคุมทางเรขาคณิต และด้วยเหตุนี้จึง ใช้ การแบ่งส่วนของเอกภาพด้วย ตัวอย่างเช่น เพื่อควบคุมอนุพันธ์ร่วมแปรอันดับสองของฟังก์ชันโดยอนุพันธ์ย่อยอันดับสองที่กำหนดในท้องถิ่นจำเป็นต้องควบคุมอนุพันธ์อันดับแรกของการแสดงเมตริกในท้องถิ่น การสร้างดังกล่าวเป็นพื้นฐานในการศึกษาแง่มุมพื้นฐานของพื้นที่โซโบเลฟบนแมนิโฟลด์รีมันน์ที่ไม่กระชับ^{[ 26 ]}