ฟังก์ชัน ไซน์ธรรมดา( ดูหมายเหตุเกี่ยวกับรากศัพท์ ) บางครั้งในอดีตเรียกว่าไซน์เรคตัส ("ไซน์ตรง") เพื่อเปรียบเทียบกับไซน์เวอร์เซด ( ไซน์เวอร์เซด ) ^{[ 31 ]}ความหมายของคำเหล่านี้จะชัดเจนหากพิจารณาฟังก์ชันในบริบทดั้งเดิมของคำจำกัดความ ซึ่งก็คือวงกลมหน่วย :

สำหรับคอร์ด แนวตั้ง ABของวงกลมหนึ่งหน่วย ค่าไซน์ของมุมθ (ซึ่งแทนครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับΔ ) คือระยะทางAC (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) ในทางกลับกัน ค่าเวอร์ไซน์ของθคือระยะทางCDจากจุดศูนย์กลางของคอร์ดไปยังจุดศูนย์กลางของส่วนโค้ง ดังนั้น ผลรวมของcos( θ ) (เท่ากับความยาวของเส้นOC ) และversin( θ ) (เท่ากับความยาวของเส้นCD ) คือรัศมีOD (ความยาว 1) เมื่อแสดงด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์จะเป็นแนวตั้ง ( rectusซึ่งแปลว่า "ตรง") ในขณะที่ค่าเวอร์ไซน์จะเป็นแนวนอน (versin ซึ่งแปลว่า "หันกลับ ไม่เข้าที่") ทั้งสองค่าเป็นระยะทางจากCไปยังวงกลม

รูปนี้ยังแสดงให้เห็นถึงเหตุผลว่าทำไมบางครั้งเวอร์ไซน์จึงถูกเรียกว่าซากิตตาซึ่งเป็นภาษาละตินแปลว่าลูกศร^{[ 17 ] [ 30 ]}หากส่วนโค้งADBของมุมสองเท่าΔ  = 2 θถูกมองว่าเป็น " คันธนู " และคอร์ดABเป็น "สายธนู" แล้วเวอร์ไซน์CDก็คือ "ก้านลูกศร" อย่างชัดเจน

นอกจากนี้ เพื่อให้สอดคล้องกับการตีความไซน์ว่าเป็น "แนวตั้ง" และไซน์เวอร์เซดเป็น "แนวนอน" sagittaจึงเป็นคำพ้องความหมายที่ล้าสมัยสำหรับabscissa (แกนแนวนอนของกราฟ) ^{[ 30 ]}

ในปี พ.ศ. 2364 คอชีใช้คำว่าsinus versus ( siv ) สำหรับ versine และcosinus versus ( cosiv ) สำหรับ coversine ^{[ 15 ] [ 16 ] [ nb 1 ]}

เมื่อθเข้าใกล้ศูนย์versin( θ )คือความแตกต่างระหว่างปริมาณสองปริมาณที่เกือบเท่ากัน ดังนั้นผู้ใช้ตารางตรีโกณมิติสำหรับโคไซน์เพียงอย่างเดียวจะต้องมีความแม่นยำสูงมากเพื่อให้ได้เวอร์ไซน์เพื่อหลีกเลี่ยงการหักล้างที่ร้ายแรงทำให้ตารางแยกต่างหากสำหรับเวอร์ไซน์สะดวกยิ่งขึ้น^{[ 12 ]}แม้จะมีเครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษทำให้แนะนำให้ใช้ สูตร sin ²สำหรับθ ขนาด เล็ก 

ข้อดีทางประวัติศาสตร์อีกประการหนึ่งของเวอร์ไซน์คือ ค่าของเวอร์ไซน์จะเป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นลอการิทึม ของเวอร์ ไซน์จึงสามารถหาค่าได้ทุกที่ ยกเว้นมุมเพียงมุมเดียว ( θ = 0, 2π , ... ) ที่ค่าลอการิทึมเป็นศูนย์ดังนั้นจึงสามารถใช้ตารางลอการิทึมในการคูณในสูตรที่เกี่ยวข้องกับเวอร์ไซน์ได้

ในความเป็นจริง ตารางค่าไซน์ (ครึ่ง คอร์ด ) ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่(ตรงข้ามกับคอร์ดที่จัดทำเป็นตารางโดยปโตเลมีและนักเขียนชาวกรีกคนอื่นๆ) ซึ่งคำนวณจากSurya Siddhanthaของอินเดียซึ่งมีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช เป็นตารางค่าสำหรับไซน์และเวอร์เซดไซน์ (เพิ่มขึ้นทีละ3.75°จาก0ถึง90° ) ^{[ 31 ]}

ค่าเวอร์ไซน์ปรากฏขึ้นเป็นขั้นตอนกลางในการประยุกต์ใช้สูตรครึ่งมุมsin ² ( ⁠ θ / 2 ⁠ ) = ⁠ 1 / 2 ⁠ versin( θ ) ซึ่ง ได้มาจากปโตเลมีและใช้ในการสร้างตารางดังกล่าว

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าฮาเวอร์ไซน์มีความสำคัญในการนำทางเนื่องจากปรากฏอยู่ในสูตรฮาเวอร์ไซน์ซึ่งใช้ในการคำนวณระยะทางบนทรงกลม ดาราศาสตร์ได้อย่างแม่นยำพอสมควร (ดูปัญหาเกี่ยวกับรัศมีของโลกเทียบกับทรงกลม ) โดยกำหนดตำแหน่งเชิงมุม (เช่นลองจิจูดและละติจูด ) นอกจากนี้ยังสามารถใช้sin ² ( ⁠ θ / 2 ⁠ )ได้โดยตรง แต่การมีตารางค่าฮาเวอร์ไซน์ทำให้ไม่จำเป็นต้องคำนวณกำลังสองและรากที่สอง^{[ 12 ]}

มีการบันทึก การใช้งานครั้งแรกของJosé de Mendoza y Ríosในสิ่งที่ต่อมาเรียกว่า haversines ไว้ในปี พ.ศ. 2344 ^{[ 14 ] [ 32 ]}

ตารางฮาเวอร์ซีนภาษาอังกฤษที่รู้จักกันเป็นครั้งแรกได้รับการตีพิมพ์โดยเจมส์ แอนดรูว์ในปี พ.ศ. 2348 ภายใต้ชื่อ "ตารางของเซมิคอร์ดธรรมชาติ" ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 17 ]}

ในปี พ.ศ. 2378 คำว่าhaversine (เขียนแทนด้วยhav.หรือlogarithmic ฐาน 10ว่าlog. haversineหรือlog. havers. ) ถูกบัญญัติขึ้น^{[ 35 ]}โดยJames Inman ^{[ 14 ] [ 36 ] [ 37 ]}ในฉบับที่สามของผลงานของเขาเรื่อง Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamenเพื่อลดความซับซ้อนของการคำนวณระยะทางระหว่างสองจุดบนพื้นผิวโลกโดยใช้ตรีโกณมิติเชิงทรงกลมสำหรับการประยุกต์ใช้ในการนำทาง^{[ 3 ] [ 35 ]} Inman ยังใช้คำว่าnat. versineและnat. vers.สำหรับ versines อีกด้วย ^{[ 3 ]}

ตารางฮาเวอร์ซีนที่ได้รับการยกย่องสูงอื่นๆ ได้แก่ ตารางของริชาร์ด ฟาร์ลีย์ในปี พ.ศ. 2499 ^{[ 33 ] [ 38 ]}และตารางของจอห์น คอลฟิลด์ แฮนนิงตันในปี พ.ศ. 2419 ^{[ 33 ] [ 39 ]}

ค่าแฮเวอร์ไซน์ยังคงถูกนำมาใช้ในการนำทางและพบการประยุกต์ใช้ใหม่ในช่วงไม่กี่ทศวรรษที่ผ่านมา เช่น วิธีการของ Bruce D. Stark ในการหาระยะทางดวงจันทร์โดยใช้ลอการิทึมเกาส์เซียนตั้งแต่ปี 1995 ^{[ 40 ] [ 41 ]}หรือในวิธีการที่กระชับกว่าสำหรับการลดระยะการมองเห็นตั้งแต่ปี 2014 ^{[ 29 ]}

แม้ว่าการใช้ฟังก์ชันเวอร์ซีน คัฟเวอร์ซีน และฮาเวอร์ซีน รวมถึงฟังก์ชันผกผัน ของฟังก์ชันเหล่านี้ จะมีมานานหลายศตวรรษแล้ว แต่ชื่อของฟังก์ชัน ร่วมอีกห้าฟังก์ชันที่เหลือ ดูเหมือนจะมีที่มาที่ใหม่กว่ามาก

หนึ่งคาบ ( 0 < θ < 2π )ของรูปคลื่นเวอร์ไซน์หรือที่พบได้บ่อยกว่าคือรูปคลื่นฮาเวอร์ไซน์ มักใช้ในการประมวลผลสัญญาณและทฤษฎีการควบคุมเป็นรูปทรงของพัลส์หรือฟังก์ชันหน้าต่าง (รวมถึง หน้าต่าง Hann , Hann–PoissonและTukey ) เนื่องจากมัน"เปิด" จากศูนย์ไปหนึ่ง (สำหรับฮาเวอร์ไซน์) และกลับไปที่ศูนย์ อย่างราบรื่น ( ต่อเนื่องทั้งในค่าและความชัน ) ^{[ nb 2 ]}ในการใช้งานเหล่านี้ เรียกว่าฟังก์ชัน Hannหรือตัวกรองโคไซน์ยกกำลัง

ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นการหมุนแบบวงกลมของกันและกัน $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (\theta )&=\operatorname {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\operatorname {vercosin} \left(\theta +\pi \right)\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันผกผัน เช่นarcversine (arcversin, arcvers, ^{[ 8 ]} avers, ^{[ 43 ] [ 44 ]} aver), arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, avcs), arccoversine (arccoversin, arccovers, ^{[ 8 ]} acovers, ^{[ 43 ] [ 44 ]} acvs), arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), archaversine (archaversin, archav, haversin ⁻¹ , ^{[ 45 ]} invhav, ^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]} ahav, ^{[ 43 ] [ 44 ]} ahvs, ahv, hav ^{−1 [ 49 ] [ 50 ]} ), archavercosine (archavercosin, archavercos, ahvc), archacoversine (archacoversin, นอกจากนี้ยังมี สารที่กลายพันธุ์เป็น archacovercosine ( ahcv, archacovercosin, archacovercos, ahcc) อีกด้วย:

${\displaystyle \operatorname {arcversin} (y)=\arccos \left(1-y\right)\,}$[ 43 ] [ 44 ]

${\displaystyle \ตัวดำเนินการ {arcvercos} (y)=\arccos \left(y-1\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccoversin} (y)=\arcsin \left(1-y\right)\,}$[ 43 ] [ 44 ]

${\displaystyle \operatorname {arccovercos} (y)=\arcsin \left(y-1\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {archaversin} (y)=2\arcsin \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(1-2y\right)\,}$[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 49 ] [ 50 ]

${\displaystyle \operatorname {archavercos} (y)=2\arccos \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(2y-1\right)}$

${\displaystyle \operatorname {archacoversin} (y)=\arcsin \left(1-2y\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {archacovercos} (y)=\arcsin \left(2y-1\right)\,}$

ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถขยายไปยังระนาบเชิงซ้อนได้^{[ 42 ] [ 19 ] [ 24 ]}

ชุด Maclaurin : ^{[ 24 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}$^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}$^{[ 8 ]}