วิธีหาค่าเฉลี่ยสูงสุด

ค่าเฉลี่ยสูงสุด วิธี หารหรือวิธีหารและปัดเศษ^{[ 1 ]}เป็นกลุ่มของ กฎ การจัดสรร กล่าวคือ อัลกอริทึมสำหรับการแบ่งที่นั่งในสภานิติบัญญัติอย่างเป็นธรรมระหว่างหลายกลุ่ม (เช่นพรรคการเมืองหรือรัฐ ) ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}โดยทั่วไปแล้ว วิธีหารจะใช้เพื่อปัดเศษส่วนแบ่งของทั้งหมดให้เป็นเศษส่วน ที่ มีตัวส่วนคงที่(เช่น จุดเปอร์เซ็นต์ ซึ่งต้องรวมกันได้ 100) ^{[ 2 ]}

วิธีการเหล่านี้มุ่งหมายที่จะปฏิบัติต่อผู้มีสิทธิเลือกตั้งอย่างเท่าเทียมกัน โดยการรับรองว่าสมาชิกสภานิติบัญญัติเป็นตัวแทนของผู้มีสิทธิเลือกตั้งจำนวนเท่ากันโดยการรับรองว่าทุกพรรคมีอัตราส่วนจำนวนที่นั่งต่อจำนวนเสียงโหวต (หรือตัวหาร ) เท่ากัน ^{[ 3 ]}^{: 30}วิธีการดังกล่าวจะหารจำนวนเสียงโหวตด้วยจำนวนเสียงโหวตต่อที่นั่งเพื่อให้ได้การจัดสรรขั้นสุดท้าย ด้วยวิธีนี้ วิธีการดังกล่าวจะรักษาสัดส่วนการเป็นตัวแทนไว้เนื่องจากพรรคที่มีเสียงโหวตมากกว่าสองเท่าจะได้รับที่นั่งประมาณสองเท่า^{[ 3 ]}^{: 30}

^{โดยทั่วไป แล้ว}นักทฤษฎีทางเลือกทางสังคมและนักคณิตศาสตร์นิยมใช้วิธีหาร มากกว่า วิธีเศษเหลือที่ใหญ่ที่สุดเนื่องจากวิธีหารให้ผลลัพธ์ที่เป็นสัดส่วนมากกว่าตามตัวชี้วัดส่วนใหญ่ และมีโอกาสเกิดความขัดแย้งในการจัดสรร น้อยกว่า [ ³^]^[⁴^]^[⁵^]^[⁶^]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีหารจะหลีกเลี่ยงความขัดแย้งของประชากรและผลกระทบของตัวทำลายซึ่งแตกต่างจากวิธีเศษเหลือที่ใหญ่ที่สุด^[⁵^]

ประวัติศาสตร์

วิธีการหารถูกคิดค้นขึ้นครั้งแรกโดยโทมัส เจฟเฟอร์สันเพื่อให้สอดคล้องกับ ข้อกำหนดของ รัฐธรรมนูญแห่งสหรัฐอเมริกาที่กำหนดให้แต่ละรัฐมีผู้แทนไม่เกินหนึ่งคนต่อประชากร 30,000 คน วิธีแก้ปัญหาของเขาคือการหารจำนวนประชากรของแต่ละรัฐด้วย 30,000 ก่อนที่จะปัดเศษลง^{[ 3 ]}^{: 20}

การจัดสรรที่นั่งจะกลายเป็นหัวข้อสำคัญของการถกเถียงในรัฐสภา โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลังจากการค้นพบความผิดปกติในกฎการปัดเศษที่ดูเหมือนสมเหตุสมผลหลายประการ^{[ 3 ]}^{: 20}การถกเถียงที่คล้ายกันนี้จะเกิดขึ้นในยุโรปหลังจากมีการนำระบบการเป็นตัวแทนตามสัดส่วนมาใช้ซึ่งโดยทั่วไปเป็นผลมาจากการที่พรรคใหญ่พยายามกำหนดเกณฑ์ และ อุปสรรคอื่นๆ ในการเข้าสู่ตลาด สำหรับพรรคเล็ก^{[ 7 ]}การจัดสรรที่นั่งดังกล่าว มักมีผลกระทบอย่างมาก เช่น ในการจัดสรรที่นั่งใหม่ในปี 1870เมื่อรัฐสภาใช้การจัดสรรที่นั่งแบบเฉพาะกิจเพื่อเอื้อประโยชน์ให้กับรัฐของพรรครีพับลิกัน [ ^{8 ] หาก}คะแนนเสียงเลือกตั้งของแต่ละรัฐเท่ากับสิทธิ์ที่รัฐ นั้นพึงได้รับ หรือหากรัฐสภาใช้วิธี Webster/Sainte-Laguëหรือวิธีเศษเหลือที่ใหญ่ที่สุด (ดังที่เคยใช้มาตั้งแต่ปี 1840) การเลือกตั้งปี 1876จะตกเป็นของTildenแทนที่จะเป็นHayes ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 3 ]}^{: 3, 37}

คำจำกัดความ

ชื่อเรียกสองชื่อสำหรับวิธีการเหล่านี้ ได้แก่ ค่าเฉลี่ยสูงสุดและตัวหาร สะท้อนให้เห็นถึงสองวิธีคิดที่แตกต่างกันเกี่ยวกับวิธีการเหล่านี้ และการคิดค้นที่เป็นอิสระสองวิธี อย่างไรก็ตาม ทั้งสองขั้นตอนมีความเทียบเท่ากันและให้คำตอบเดียวกัน^{[ 1 ]}

วิธีการหารขึ้นอยู่กับกฎการปัดเศษ ซึ่งกำหนดโดยใช้ ลำดับจุดบอกตำแหน่ง $post(k)$ โดยที่ $k \leq post(k) \leq k + 1$ จุดบอกตำแหน่งแต่ละจุดจะทำเครื่องหมายขอบเขตระหว่างจำนวนธรรมชาติ โดยจำนวนจะถูกปัดลงก็ต่อเมื่อน้อยกว่าจุดบอกตำแหน่งเท่านั้น^{[ 2 ]}

ขั้นตอนตัวหาร

ขั้นตอนการหารจะจัดสรรที่นั่งโดยการค้นหาตัวหารหรือโควตาการเลือกตั้งตัวหารนี้สามารถคิดได้ว่าเป็นจำนวนคะแนนเสียงที่พรรคต้องการเพื่อให้ได้ที่นั่งเพิ่มอีกหนึ่งที่นั่งในสภานิติบัญญัติ จำนวนประชากรที่เหมาะสมของเขตเลือกตั้งรัฐสภาหรือจำนวนผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่แต่ละสมาชิกสภานิติบัญญัติเป็นตัวแทน^{[ 1 ]}

หากสมาชิกสภานิติบัญญัติแต่ละคนเป็นตัวแทนของผู้มีสิทธิเลือกตั้งจำนวนเท่ากัน จำนวนที่นั่งสำหรับแต่ละรัฐสามารถหาได้โดยการหารจำนวนประชากรด้วยตัวหาร^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม การจัดสรรที่นั่งต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นในการหาการจัดสรรสำหรับรัฐใดรัฐหนึ่ง เราต้องปัดเศษ (โดยใช้ลำดับเครื่องหมาย) หลังจากหาร ดังนั้น การจัดสรรของแต่ละพรรคจึงกำหนดโดย: ^{[ 1 ]}

${\text{จำนวนที่นั่ง}}=\operatorname {รอบ} \left({\frac {\text{คะแนนเสียง}}{\text{ตัวหาร}}}\right)$

โดยปกติแล้ว ตัวหารจะถูกตั้งค่าเริ่มต้นให้เท่ากับโควตาของ Hareอย่างไรก็ตาม ขั้นตอนนี้อาจจัดสรรที่นั่งมากเกินไปหรือน้อยเกินไป ในกรณีนี้ การจัดสรรสำหรับแต่ละรัฐจะไม่รวมกันได้เท่ากับขนาดของสภานิติบัญญัติทั้งหมด สามารถหาตัวหารที่เหมาะสมได้โดยการลองผิดลองถูก^{[ 10 ]}

ขั้นตอนการหาค่าเฉลี่ยสูงสุด

ด้วยอัลกอริทึมค่าเฉลี่ยสูงสุด พรรคการเมืองทุกพรรคเริ่มต้นด้วย 0 ที่นั่ง จากนั้นในแต่ละรอบ เราจะจัดสรรที่นั่งให้กับพรรคการเมืองที่มีคะแนนเสียงเฉลี่ยสูงสุดกล่าวคือ พรรคการเมืองที่มีคะแนนเสียงมากที่สุดต่อที่นั่งวิธีนี้ดำเนินต่อไปจนกว่าจะมีการจัดสรรที่นั่งทั้งหมด^[¹^]

อย่างไรก็ตาม ยังไม่ชัดเจนว่าควรพิจารณาค่าเฉลี่ยของคะแนนเสียงก่อนการจัดสรรที่นั่ง หรือค่าเฉลี่ยหลังจากการจัดสรรที่นั่ง หรือควรประนีประนอมด้วยการแก้ไขความต่อเนื่องวิธีการเหล่านี้แต่ละวิธีให้การจัดสรรที่แตกต่างกันเล็กน้อย^{[ 1 ]}กฎหมายการเลือกตั้งหลายฉบับใช้ค่าเฉลี่ยก่อนการจัดสรรที่นั่ง โดยทั่วไป เราสามารถกำหนดค่าเฉลี่ยโดยใช้ลำดับป้ายบอกทางได้ดังนี้:

${\text{เฉลี่ย}}:={\frac {\text{คะแนนโหวต}}{\operatorname {ตำแหน่ง} ({\text{ที่นั่ง}})}}$

วิธีการเฉพาะ

แม้ว่าวิธีการหารทั้งหมดจะมีขั้นตอนทั่วไปเหมือนกัน แต่ก็แตกต่างกันในการเลือกลำดับเครื่องหมายและกฎการปัดเศษ โปรดทราบว่าสำหรับวิธีการที่เครื่องหมายแรกเป็นศูนย์ ทุกพรรคที่มีคะแนนเสียงอย่างน้อยหนึ่งเสียงจะได้รับที่นั่งก่อนที่พรรคใดจะได้รับที่นั่งที่สอง ในทางปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วหมายความว่าทุกพรรคจะต้องได้รับที่นั่งอย่างน้อยหนึ่งที่นั่ง เว้นแต่จะถูกตัดสิทธิ์โดยเกณฑ์การเลือกตั้งบาง อย่าง ^{[ 2 ]}

สูตรตัวหาร
วิธี	ป้ายบอกทาง	การจัดเรียงที่นั่ง ให้โค้งมน	ค่าเริ่มต้นโดยประมาณ
อดัมส์	$เค$	ขึ้น	$0.00 1.00 2.00 3.00$
คณบดี	$2\div(1 ⁄ k + 1 ⁄ k +1)$	ฮาร์โมนิก	$0.00 1.33 2.40 3.43$
ฮันติงตัน-ฮิลล์	${\sqrt {k(k+1)}}$	เรขาคณิต	$0.00 1.41 2.45 3.46$
$อยู่$ กับที่(เช่น $r = 1/3)$	$k + r$	น้ำหนัก	$0.33 1.33 2.33 3.33$
เว็บสเตอร์/แซงต์-ลากูเอ	$k + 1 ⁄ 2$	เลขคณิต	$0.50 1.50 2.50 3.50$
ค่าเฉลี่ยกำลัง(เช่น $p = 2$ )	${\textstyle {\sqrt[{p}]{(k^{p}+(k+1)^{p})/2}}}$	ความหมายของกำลัง	$0.71 1.58 2.55 3.54$
ด'ฮอนด์ท	$k + 1$	ลง	$1.00 2.00 3.00 4.00$

วิธี D'Hondt (Jefferson)

โทมัส เจฟเฟอร์สันเป็นคนแรกที่เสนอวิธีการหารในปี 1792 ^{[ 1 ]}ต่อมาได้รับการพัฒนาโดยอิสระโดยนักวิทยาศาสตร์การเมืองชาวเบลเยียมวิกเตอร์ ด็องด์ในปี 1878 วิธีนี้กำหนดผู้แทนให้กับรายชื่อที่จะมีผู้แทนน้อยที่สุดเมื่อสิ้นสุดรอบ^{[ 1 ]}วิธีนี้ยังคงเป็นวิธีการที่พบได้บ่อยที่สุดสำหรับการเป็นตัวแทนตามสัดส่วนจนถึงทุกวันนี้^{[ 1 ]}

วิธีการของ D'Hondt ใช้ลำดับดังนี้ $\ชื่อผู้ดำเนินการ {โพสต์} (k)=k+1$ เช่น (1, 2, 3, ...) ^{[ 11 ]}ซึ่งหมายความว่าจะปัดเศษส่วนแบ่งของพรรคลงเสมอ^{[ 1 ]}

การจัดสรรตามวิธี D'Hondt ไม่เคยต่ำกว่าขอบล่างของกรอบอุดมคติและจะลดจำนวนผู้แทนที่มากเกินไปในกรณีที่เลวร้ายที่สุดในสภานิติบัญญัติให้น้อยที่สุด^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม วิธีนี้มีประสิทธิภาพต่ำเมื่อพิจารณาจากตัวชี้วัดสัดส่วนอื่นๆ ส่วนใหญ่^{[ 12 ]} โดย ทั่วไปกฎนี้ทำให้พรรคใหญ่ได้รับที่นั่งจำนวนมากเกินไป โดยส่วนแบ่งที่นั่งของพวกเขามักจะเกินสิทธิ์ที่ได้รับเมื่อปัดเศษขึ้น^{[ 3 ]}^{: 81}

พยาธิสภาพนี้ทำให้เกิดการเยาะเย้ยวิธีการของ D'Hondt อย่างแพร่หลายเมื่อทราบว่าวิธีการของ D'Hondt สามารถ "ปัดเศษ" การจัดสรรที่นั่งของ นิวยอร์กจาก 40.5 เป็น 42 ได้ โดยวุฒิสมาชิกMahlon Dickersonกล่าวว่าที่นั่งพิเศษนั้นต้องมาจาก " วิญญาณของผู้แทนที่ล่วงลับไปแล้ว " ^{[ 3 ]}^{: 34}

วิธีการของอดัมส์

วิธีการของอดัมส์ได้รับการคิดค้นโดยจอห์น ควินซี อดัมส์หลังจากที่สังเกตเห็นว่าวิธีการของด'ฮอนด์จัดสรรที่นั่งให้กับรัฐขนาดเล็กน้อยเกินไป^{[ 13 ]}สามารถอธิบายได้ว่าเป็นวิธีผกผันของวิธีการของด'ฮอนด์ โดยจะมอบที่นั่งให้กับพรรคที่มีคะแนนเสียงมากที่สุดต่อที่นั่งก่อนที่จะเพิ่มที่นั่งใหม่ ฟังก์ชันตัวหารคือ $post(k) = k$ ซึ่งเทียบเท่ากับการปัดเศษขึ้นเสมอ^{[ 12 ]}

การจัดสรรของอดัมส์ไม่เคยเกินขอบเขตบนสุดของกรอบอุดมคติและลดจำนวนตัวแทนที่น้อยเกินไปในกรณีที่เลวร้ายที่สุดให้น้อยที่สุด^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับวิธีของ D'Hondt วิธีของอดัมส์ทำงานได้ไม่ดีตามตัวชี้วัดสัดส่วนส่วนใหญ่^{[ 12 ]}นอกจากนี้ยังมักละเมิดโควตาที่นั่งขั้นต่ำ อีกด้วย ^{[ 14 ]}

วิธีการของอดัมส์ได้รับการเสนอแนะให้เป็นส่วนหนึ่งของการประนีประนอมเคมบริดจ์สำหรับการจัดสรร ที่นั่ง รัฐสภายุโรปให้กับรัฐสมาชิก โดยมีเป้าหมายเพื่อตอบสนองสัดส่วนที่ลดลง^{[ 15 ]}

วิธีเว็บสเตอร์/แซงต์-ลากูเอ (Schepers)

วิธีการของ Webster/Sainte-Laguë ได้รับการอธิบายครั้งแรกในปี 1832 โดยDaniel Webster นักการเมืองและวุฒิสมาชิกชาวอเมริกัน และต่อมาได้รับการอธิบายอย่างอิสระอีกครั้งในปี 1910 โดยAndré Sainte-Laguë นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ในปี 1980 Hans Schepers นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน ซึ่งในขณะนั้นดำรงตำแหน่งหัวหน้ากลุ่มประมวลผลข้อมูลของBundestagได้เสนอแนะให้ปรับเปลี่ยนการจัดสรรที่นั่งตามวิธีการของ D'Hondt เพื่อหลีกเลี่ยงการทำให้พรรคเล็กเสียเปรียบ^{[ 16 ]}สื่อเยอรมันเริ่มใช้คำว่า วิธีการของ Schepers และต่อมาวรรณกรรมเยอรมันมักเรียกวิธีการนี้ว่า Sainte-Laguë/Schepers ^{[ 16 ]}

วิธีการของ Webster/Sainte-Laguë ใช้ลำดับเสารั้ว $post(k) = k +.5$ (เช่น 0.5, 1.5, 2.5) ซึ่งสอดคล้องกับกฎการปัดเศษ มาตรฐาน หรือสามารถใช้จำนวนเต็มคี่ (1, 3, 5...) ในการคำนวณค่าเฉลี่ยแทนได้^{[ 1 ]}^{[ 17 ]}

วิธีการของ Webster/Sainte-Laguë แสดงให้เห็นอัตราส่วนจำนวนที่นั่งต่อคะแนนเสียง ที่เท่าเทียมกันมากขึ้น สำหรับพรรคการเมืองที่มีขนาดแตกต่างกัน^{[ 18 ]}ในบรรดาวิธีการจัดสรรที่นั่งต่างๆ โดยให้ผลลัพธ์การจัดสรรที่นั่งที่เป็นสัดส่วนมากกว่าวิธี D'Hondt เกือบทุกตัวชี้วัดของการบิดเบือน^{[ 19 ]}ด้วยเหตุนี้ นักวิทยาศาสตร์การเมืองและนักคณิตศาสตร์จึงมักนิยมใช้วิธีนี้มากกว่าวิธี D'Hondt อย่างน้อยในสถานการณ์ที่การบิดเบือนทำได้ยากหรือไม่น่าจะเกิดขึ้น (เช่นในรัฐสภาขนาดใหญ่) ^{[ 20 ]}นอกจากนี้ยังโดดเด่นในเรื่องการลดอคติของจำนวนที่นั่งให้น้อยที่สุด แม้กระทั่งเมื่อต้องจัดการกับพรรคการเมืองที่ได้รับที่นั่งจำนวนน้อยมาก^{[ 21 ]}ในทางทฤษฎี วิธี Webster/Sainte-Laguë อาจละเมิดกรอบอุดมคติได้ แม้ว่าจะเป็นเรื่องที่หายากมากสำหรับรัฐสภาขนาดปานกลางก็ตาม ไม่เคยมีการสังเกตว่าวิธีนี้ละเมิดโควตาในการจัดสรรที่นั่งรัฐสภาของสหรัฐอเมริกาเลย^{[ 20 ]}

ในเขตเลือกตั้งขนาดเล็กที่ไม่มีเกณฑ์ขั้นต่ำพรรคการเมืองสามารถจัดการวิธีการของ Webster/Sainte-Laguë โดยการแบ่งออกเป็นหลายรายการ ซึ่งแต่ละรายการจะได้รับที่นั่งเต็มจำนวนด้วยคะแนนเสียงน้อยกว่าโควตาของ Hareวิธีนี้มักจะแก้ไขโดยการปรับเปลี่ยนตัวหารตัวแรกให้มีค่ามากขึ้นเล็กน้อย (มักจะเป็นค่า 0.7 หรือ 1) ซึ่งจะสร้างเกณฑ์ขั้นต่ำโดยปริยาย^{[ 22 ]}

วิธีฮันติงตัน-ฮิลล์

ในวิธีการ Huntington–Hillลำดับป้ายบอกทางคือ $post(k) = \sqrtk (k +1) ซึ่ง$ เป็น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขข้างเคียง ตามแนวคิดแล้ว วิธีนี้จะปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่มีความแตกต่างสัมพัทธ์ (เปอร์เซ็นต์) น้อย ที่สุด ตัวอย่างเช่น ความแตกต่างระหว่าง 2.47 และ 3 อยู่ที่ประมาณ 19% ในขณะที่ความแตกต่างจาก 2 อยู่ที่ประมาณ 21% ดังนั้นจึงปัดเศษ 2.47 ขึ้น วิธีนี้ใช้สำหรับการจัดสรรที่นั่งในสภาผู้แทนราษฎรของสหรัฐอเมริการะหว่างรัฐต่างๆ^{[ 1 ]}

วิธีการของ Huntington–Hill มีแนวโน้มที่จะให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกับวิธีการของ Webster/Sainte-Laguë มาก ยกเว้นว่าวิธีการนี้รับประกันว่าทุกรัฐหรือพรรคการเมืองจะได้รับที่นั่งอย่างน้อยหนึ่งที่นั่ง (ดูวิธีการเฉลี่ยสูงสุด § การจัดสรรที่นั่งศูนย์ ) เมื่อนำมาใช้ครั้งแรกในการจัดสรรที่นั่งในสภาผู้แทนราษฎรของสหรัฐอเมริกา วิธีการทั้งสองให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน ในการใช้งานครั้งที่สอง วิธีการทั้งสองแตกต่างกันเพียงแค่การจัดสรรที่นั่งเดียว ให้กับมิชิแกนหรืออาร์คันซอ^{[ 3 ]}^{: 58}

การเปรียบเทียบคุณสมบัติ

การจัดสรรที่นั่งเป็นศูนย์

วิธีการของ Huntington–Hill, Dean และ Adams ต่างก็มีค่าเป็น 0 สำหรับเสารั้วแรก ทำให้ได้ค่าเฉลี่ยเป็น ∞ ดังนั้น หากไม่มีเกณฑ์ขั้นต่ำ พรรคการเมืองทุกพรรคที่ได้รับคะแนนเสียงอย่างน้อยหนึ่งเสียงก็จะได้รับที่นั่งอย่างน้อยหนึ่งที่นั่งเช่นกัน^{[ 1 ]}คุณสมบัตินี้อาจเป็นที่ต้องการ (เช่น เมื่อจัดสรรที่นั่งให้กับรัฐต่างๆ ) หรือไม่พึงประสงค์ (เช่น เมื่อจัดสรรที่นั่งให้กับรายชื่อพรรคในการเลือกตั้ง) ซึ่งในกรณีนี้ ตัวหารตัวแรกอาจถูกปรับเพื่อสร้างเกณฑ์ขั้นต่ำตามธรรมชาติ^{[ 23 ]}

อคติ

มีตัวชี้วัดความลำเอียงของที่นั่ง อยู่หลายแบบ แม้ว่าวิธีการของ Webster/Sainte-Laguë บางครั้งจะถูกอธิบายว่า "ไม่ลำเอียงอย่างเป็นเอกลักษณ์" ^{[ 20 ]}แต่คุณสมบัติความเป็นเอกลักษณ์นี้ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความทางเทคนิคของความลำเอียงซึ่งกำหนดไว้ว่าเป็น ความแตกต่าง เฉลี่ยระหว่างจำนวนที่นั่งของรัฐกับสิทธิ์ในการได้รับที่นั่ง ของรัฐนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีการจะเรียกว่าไม่ลำเอียงหากจำนวนที่นั่งที่รัฐได้รับโดยเฉลี่ยจากการเลือกตั้งหลายครั้งเท่ากับสิทธิ์ในการได้รับที่นั่งของรัฐนั้น^{[ 20 ]}

ตามคำจำกัดความนี้ วิธี Webster/Sainte-Laguë เป็นวิธีการจัดสรรที่ลำเอียงน้อยที่สุด^{[ 21 ]}ในขณะที่วิธี Huntington–Hill แสดงให้เห็นถึงความลำเอียงเล็กน้อยไปทางพรรคเล็ก^{[ 20 ]}อย่างไรก็ตาม นักวิจัยคนอื่นๆ ได้ตั้งข้อสังเกตว่าคำจำกัดความของความลำเอียงที่แตกต่างกันเล็กน้อย ซึ่งโดยทั่วไปขึ้นอยู่กับเปอร์เซ็นต์ข้อผิดพลาดพบผลลัพธ์ที่ตรงกันข้าม (วิธี Huntington–Hill ไม่ลำเอียง ในขณะที่วิธี Webster/Sainte-Laguë มีความลำเอียงเล็กน้อยไปทางพรรคใหญ่) ^{[ 21 ]}^{[ 24 ]}

ในทางปฏิบัติ ความแตกต่างระหว่างคำจำกัดความเหล่านี้มีน้อยเมื่อจัดการกับพรรคการเมืองหรือรัฐที่มีที่นั่งมากกว่าหนึ่งที่^{[ 21 ]}ดังนั้น ทั้งวิธี Huntington–Hill และ Webster/Sainte-Laguë จึงถือได้ว่าเป็นวิธีที่ไม่ลำเอียงหรือลำเอียงน้อย (ต่างจากวิธี D'Hondt หรือ Adams) ^{[ 21 ]}^{[ 24 ]}รายงานของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งชาติ ที่ส่งไปยังรัฐสภาสหรัฐฯ ในปี 1929 แนะนำวิธี Huntington–Hill ^{[ 25 ]}ในขณะที่ศาลฎีกาของสหรัฐอเมริกาได้ตัดสินว่าการเลือกระหว่างระบบเหล่านี้เป็นเรื่องของความคิดเห็น^{[ 24 ]}

การเปรียบเทียบและตัวอย่าง

ตัวอย่าง: D'Hondt

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าวิธีการของ D'Hondt อาจแตกต่างอย่างมากจากวิธีการที่มีอคติน้อยกว่า เช่น วิธีการของ Webster/Sainte-Laguë ในการเลือกตั้งครั้งนี้ พรรคที่ใหญ่ที่สุดได้รับคะแนนเสียง 46% แต่ได้ที่นั่งถึง 52.5% ซึ่งเพียงพอที่จะชนะเสียงข้างมากอย่างเด็ดขาดเหนือพรรคร่วมรัฐบาลอื่นๆ ทั้งหมด (ซึ่งรวมกันได้คะแนนเสียง 54%) ยิ่งไปกว่านั้น การกระทำดังกล่าวเป็นการละเมิดโควตา กล่าวคือ พรรคที่ใหญ่ที่สุดมีสิทธิ์ได้รับเพียง 9.7 ที่นั่ง แต่กลับได้รับถึง 11 ที่นั่ง เขตเลือกตั้งที่ใหญ่ที่สุดมีขนาดเกือบสองเท่าของเขตเลือกตั้งที่เล็กที่สุด วิธีการของ Webster/Sainte-Laguë ไม่แสดงคุณสมบัติเหล่านี้เลย โดยมีข้อผิดพลาดสูงสุดถึง 22.6%


ด'ฮอนด์ท							เว็บสเตอร์/แซงต์-ลากูเอ
งานสังสรรค์	สีเหลือง	สีขาว	สีแดง	สีเขียว	สีม่วง	ทั้งหมด	งานสังสรรค์	สีเหลือง	สีขาว	สีแดง	สีเขียว	สีม่วง	ทั้งหมด
คะแนนเสียง	46,000	25,100	12,210	8,350	8,340	100,000	คะแนนเสียง	46,000	25,100	12,210	8,350	8,340	100,000
ที่นั่ง	11	6	2	1	1	21	ที่นั่ง	9	5	3	2	2	21
ในอุดมคติ	9.660	5.271	2.564	1.754	1.751	21	ในอุดมคติ	9.660	5.271	2.564	1.754	1.751	21
คะแนนเสียง/ที่นั่ง	4182	4183	6105	8350	8340	4762	คะแนนเสียง/ที่นั่ง	5111	5020	4070	4175	4170	4762
% ข้อผิดพลาด	13.0%	13.0%	-24.8%	-56.2%	-56.0%	(100%)	(% พิสัย)	-7.1%	-5.3%	15.7%	13.2%	13.3%	(22.6%)
ที่นั่ง	ค่าเฉลี่ย					ป้ายบอกทาง	ที่นั่ง	ค่าเฉลี่ย					ป้ายบอกทาง
1	46,000	25,100	12,210	8,350	8,340	1.00	1	92,001	50,201	24,420	16,700	16,680	0.50
2	23,000	12,550	6,105	4,175	4,170	2.00	2	30,667	16,734	8,140	5,567	5,560	1.50
3	15,333	8,367	4,070	2,783	2,780	3.00	3	18,400	10,040	4,884	3,340	3,336	2.50
4	11,500	6,275	3,053	2,088	2,085	4.00	4	13,143	7,172	3,489	2,386	2,383	3.50
5	9,200	5,020	2,442	1,670	1,668	5.00	5	10,222	5,578	2,713	1,856	1,853	4.50
6	7,667	4,183	2,035	1,392	1,390	6.00	6	8,364	4,564	2,220	1,518	1,516	5.50
7	6,571	3,586	1,744	1,193	1,191	7.00	7	7,077	3,862	1,878	1,285	1,283	6.50
8	5,750	3,138	1,526	1,044	1,043	8.00	8	6,133	3,347	1,628	1,113	1,112	7.50
9	5,111	2,789	1,357	928	927	9.00	9	5,412	2,953	1,436	982	981	8.50
10	4,600	2,510	1,221	835	834	10.00	10	4,842	2,642	1,285	879	878	9.50
11	4,182	2,282	1,110	759	758	11.00	11	4,381	2,391	1,163	795	794	10.50

ตัวอย่าง: อดัมส์

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นกรณีที่วิธีการของอดัมส์ล้มเหลวในการให้คะแนนเสียงข้างมากแก่พรรคที่ได้รับคะแนนเสียง 55% ซึ่งเป็นการละเมิดสิทธิ์ตามโควตาของพวกเขาอีกครั้ง


วิธีการของอดัมส์							วิธีของเวบสเตอร์/แซงต์-ลากูเอ
งานสังสรรค์	สีเหลือง	สีขาว	สีแดง	สีเขียว	สีม่วง	ทั้งหมด	งานสังสรรค์	สีเหลือง	สีขาว	สีแดง	สีเขียว	สีม่วง	ทั้งหมด
คะแนนเสียง	55,000	17,290	16,600	5,560	5,550	100,000	คะแนนเสียง	55,000	17,290	16,600	5,560	5,550	100,000
ที่นั่ง	10	4	3	2	2	21	ที่นั่ง	11	4	4	1	1	21
ในอุดมคติ	11.550	3.631	3.486	1.168	1.166	21	ในอุดมคติ	11.550	3.631	3.486	1.168	1.166	21
คะแนนเสียง/ที่นั่ง	5500	4323	5533	2780	2775	4762	คะแนนเสียง/ที่นั่ง	4583	4323	5533	5560	5550	4762
% ข้อผิดพลาด	-14.4%	9.7%	-15.0%	53.8%	54.0%	(99.4%)	(% พิสัย)	3.8%	9.7%	-15.0%	-15.5%	-15.3%	(28.6%)
ที่นั่ง	ค่าเฉลี่ย					ป้ายบอกทาง	ที่นั่ง	ค่าเฉลี่ย					ป้ายบอกทาง
1	∞	∞	∞	∞	∞	0.00	1	110,001	34,580	33,200	11,120	11,100	0.50
2	55,001	17,290	16,600	5,560	5,550	1.00	2	36,667	11,527	11,067	3,707	3,700	1.50
3	27,500	8,645	8,300	2,780	2,775	2.00	3	22,000	6,916	6,640	2,224	2,220	2.50
4	18,334	5,763	5,533	1,853	1,850	3.00	4	15,714	4,940	4,743	1,589	1,586	3.50
5	13,750	4,323	4,150	1,390	1,388	4.00	5	12,222	3,842	3,689	1,236	1,233	4.50
6	11,000	3,458	3,320	1,112	1,110	5.00	6	10,000	3,144	3,018	1,011	1,009	5.50
7	9,167	2,882	2,767	927	925	6.00	7	8,462	2,660	2,554	855	854	6.50
8	7,857	2,470	2,371	794	793	7.00	8	7,333	2,305	2,213	741	740	7.50
9	6,875	2,161	2,075	695	694	8.00	9	6,471	2,034	1,953	654	653	8.50
10	6,111	1,921	1,844	618	617	9.00	10	5,790	1,820	1,747	585	584	9.50
11	5,500	1,729	1,660	556	555	10.00	11	5,238	1,647	1,581	530	529	10.50
ที่นั่ง	10	4	3	2	2		ที่นั่ง	11	4	4	1	1

ตัวอย่าง: ระบบทั้งหมด

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการคำนวณสำหรับระบบการลงคะแนนทั้งหมด โปรดสังเกตว่าวิธีการของ Huntington–Hill และ Adams ให้แต่ละพรรคมีที่นั่งหนึ่งที่นั่งก่อนที่จะจัดสรรที่นั่งเพิ่มเติม ซึ่งแตกต่างจากวิธีการของ Webster/Sainte-Laguë หรือ D'Hondt


	วิธี D'Hondt						วิธีการของเวบสเตอร์/แซงต์-ลากูเอ						วิธีฮันติงตัน-ฮิลล์						วิธีของอดัมส์
งานสังสรรค์	สีเหลือง	สีขาว	สีแดง	สีเขียว	สีฟ้า	สีชมพู	สีเหลือง	สีขาว	สีแดง	สีเขียว	สีฟ้า	สีชมพู	สีเหลือง	สีขาว	สีแดง	สีเขียว	สีฟ้า	สีชมพู	สีเหลือง	สีขาว	สีแดง	สีเขียว	สีฟ้า	สีชมพู
คะแนนโหวต	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100
ที่นั่ง	5	2	2	1	0	0	4	2	2	1	1	0	4	2	1	1	1	1	3	2	2	1	1	1
คะแนนเสียง/ที่นั่ง	9,400	8,000	7,950	12,000	∞	∞	11,750	8,000	7,950	12,000	6,000	∞	11,750	8,000	15,900	12,000	6,000	3,100	15,667	8,000	7,950	12,000	6,000	3,100
ที่นั่ง	การจัดสรรที่นั่ง						การจัดสรรที่นั่ง						การจัดสรรที่นั่ง						การจัดสรรที่นั่ง
1	47,000						47,000						∞						∞
2	23,500							16,000						∞						∞
3		16,000							15,900						∞						∞
4			15,900				15,667									∞						∞
5	15,667									12,000							∞						∞
6				12,000			9,400											∞						∞
7	11,750						6,714						33,234						47,000
8	9,400										6,000		19,187						23,500
9		8,000						5,333					13,567							16,000
10			7,950						5,300					11,314							15,900

เครื่องคิดเลขแบบตั้งโต๊ะ

ตารางต่อไปนี้คำนวณการจัดสรรสำหรับป้ายบอกทางแบบอยู่กับที่ทุกประเภท กล่าวคือ จะปัดเศษการจัดสรรหากค่าเฉลี่ยของคะแนนโหวตสูงกว่าค่าที่กำหนดไว้

งานสังสรรค์	สีเหลือง	สีขาว	สีแดง	สีเขียว	สีฟ้า	สีชมพู	ทั้งหมด
คะแนนเสียง	4600	1600	1550	1200	600	450
ส่วนแบ่งคะแนนเสียง	%	%	%	%	%	%	100%
ที่นั่ง
สิทธิ์							รอบ x >	0.5
คะแนนเสียงต่อที่นั่ง							ตัวหาร:	600

คุณสมบัติ

ความสม่ำเสมอ

โดยทั่วไปแล้วนักคณิตศาสตร์นิยมใช้วิธีหารมากกว่าวิธีเศษเหลือที่ใหญ่ที่สุด^{[ 26 ]}เนื่องจากมีโอกาสเกิดความขัดแย้งในการจัดสรร น้อยกว่า ^{[ 5 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีหารเป็นไปตามหลักการความเป็นเอกภาพของประชากร กล่าว คือ การลงคะแนนให้พรรคการเมืองจะไม่ทำให้พรรคการเมืองนั้นเสียที่นั่ง^{[ 5 ]}ความขัดแย้งของประชากรดังกล่าวเกิดขึ้นจากการเพิ่มโควตาการเลือกตั้งซึ่งอาจทำให้เศษเหลือของรัฐต่างๆ ตอบสนองอย่างผิดปกติ^{[ 3 ]}^{:ตาราง A7.2}วิธีหารยังเป็นไปตาม หลักการความเป็นเอกภาพ ของทรัพยากรหรือสภาซึ่งกล่าวว่าการเพิ่มจำนวนที่นั่งในสภานิติบัญญัติไม่ควรทำให้รัฐเสียที่นั่ง^{[ 5 ]}^{[ 3 ]}^{: Cor.4.3.1}

อสมการ Min-Max

ทุกวิธีหารสามารถกำหนดได้โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ min-max การให้วงเล็บแทนการจัดทำดัชนีอาร์เรย์ การจัดสรรจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ: ^{[ 1 ]}^{: 78–81}

$max ⁠ votes[party] / post(seats[party]) ⁠ \leq min ⁠ votes[party] / post(seats[party]+1) ⁠$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นไปไม่ได้ที่จะลดค่าเฉลี่ยคะแนนเสียงสูงสุดลงโดยการจัดสรรที่นั่งใหม่จากพรรคหนึ่งไปยังอีกพรรคหนึ่ง ตัวเลขทุกตัวในช่วงนี้เป็นตัวหารที่เป็นไปได้ หากความไม่เท่าเทียมกันเป็นแบบเข้มงวด คำตอบจะมีเพียงหนึ่งเดียว มิฉะนั้น จะมีคะแนนเสียงที่เท่ากันพอดีในขั้นตอนการจัดสรรขั้นสุดท้าย^{[ 1 ]}^{: 83}

การละเมิดกฎโควต้า

ในด้านลบ วิธีการหารอาจละเมิดกฎโควตา กล่าว คือ อาจทำให้ตัวแทนบางรายได้รับน้อยกว่าโควตาต่ำสุด (โควตาถูกปัดลง) หรือมากกว่าโควตาสูงสุด (โควตาถูกปัดขึ้น) ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการหารแบบจำกัด โควตา แต่จะทำให้สูญเสียความเป็นเอกรูปของประชากรไป

ผลการทดลองจำลองแสดงให้เห็นว่า วิธีการหารที่แตกต่างกันมีโอกาสที่จะละเมิดโควต้าแตกต่างกันอย่างมาก (เมื่อจำนวนคะแนนเสียงถูกเลือกโดยการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล):

โอกาสที่อดัมส์และด'ฮอนด์จะชนะคือ 98%
ความน่าจะเป็นที่ D'Hondt จะมีเงื่อนไขขั้นต่ำ 1 ข้อ คือ 78%
โอกาสที่จะเป็นโรค Dean อยู่ที่ประมาณ 9% และสำหรับโรค Huntington–Hill อยู่ที่ประมาณ 4%
ความน่าจะเป็นสำหรับ Webster/Sainte-Laguë นั้นน้อยที่สุด คือเพียง 0.16% เท่านั้น

กลุ่มเมธอด

วิธีการหารที่อธิบายไว้ข้างต้นสามารถสรุปเป็นกลุ่มได้

ค่าเฉลี่ยทั่วไป

โดยทั่วไป สามารถสร้างวิธีการจัดสรรจาก ฟังก์ชันค่า เฉลี่ย ทั่วไปใดๆ ก็ได้ โดยกำหนดฟังก์ชันป้ายบอกทางเป็น $post(k) = avg(k, k +1$ ) ^{[ 1 ]}

ครอบครัวที่อยู่กับที่

วิธีการหารเรียกว่าคงที่^{[ 27 ]}^{: 68}ถ้าสำหรับจำนวนจริงบางจำนวน $r\in [0,1]$ ป้ายบอกทางมีลักษณะดังนี้ $d(k)=k+r$ วิธีการของ Adams, Webster/Sainte-Laguë และ d'Hondt เป็นแบบคงที่ ในขณะที่ Dean และ Huntington–Hill ไม่ใช่ วิธีการคงที่สอดคล้องกับการปัดเศษตัวเลขขึ้นหากเกิน^ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักของ $k$ และ $k +1$ ^{[ 1} ] ค่า $r$ ที่น้อยกว่า จะเอื้อประโยชน์ต่อฝ่ายที่เล็กกว่า^[²¹^]

การเลือกตั้งของเดนมาร์กจัดสรรที่นั่งแบบเท่าเทียมกันในระดับจังหวัดโดยใช้เขตเลือกตั้งแบบหลายสมาชิก โดยแบ่งจำนวนคะแนนเสียงที่พรรคได้รับในเขตเลือกตั้งแบบหลายสมาชิกออกเป็น 0.33, 1.33, 2.33, 3.33 เป็นต้น ลำดับการแบ่งที่นั่งจะกำหนดโดย $post(k) = k + 1/3$ ซึ่งมีจุดมุ่งหมายเพื่อจัดสรรที่นั่งให้ใกล้เคียงกันมากกว่าที่จะเป็นสัดส่วน $ที่$ $แน่นอน$ ^{[ 28 ]}

อำนาจหมายถึงครอบครัว

ตระกูลค่าเฉลี่ยกำลังของวิธีการหารประกอบด้วยวิธีการของ Adams, Huntington–Hill, Webster/Sainte-Laguë, Dean และ D'Hondt (ไม่ว่าจะโดยตรงหรือเป็นลิมิต) สำหรับค่าคงที่ $p$ ที่กำหนด วิธีการค่าเฉลี่ยกำลังมีฟังก์ชัน signpost $post(k) = \sqrtk p + (k + 1) p$ $วิธีการของ Huntington- Hill$ สอดคล้องกับลิมิตเมื่อ $p$ เข้าใกล้ 0 ในขณะที่ Adams และ D'Hondt แสดงถึงลิมิตเมื่อ $p$ เข้าใกล้ลบหรือบวกอนันต์^{[ 1 ]}

นอกจากนี้ตระกูลยังรวมถึง วิธีของ Dean ที่พบได้น้อยกว่าสำหรับ $p = -1$ ซึ่งสอดคล้องกับค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก วิธีของ Dean เทียบเท่ากับการปัดเศษเป็นค่าเฉลี่ยที่ใกล้ที่สุด — ทุกรัฐมีการปัดเศษจำนวนที่นั่งในลักษณะที่ลดความแตกต่างระหว่างขนาดเขตเฉลี่ยและขนาดเขตในอุดมคติให้น้อยที่สุด ตัวอย่างเช่น: ^{[ 3 ]}^{: 29}

ประชากรผู้แทนราษฎรของรัฐแมสซาชูเซตส์ในปี ค.ศ. 1830 มีจำนวน 610,408 คน หากได้รับ 12 ที่นั่ง ขนาดเขตเลือกตั้งโดยเฉลี่ยจะอยู่ที่ 50,867 คน หากได้รับ 13 ที่นั่ง ขนาดเขตเลือกตั้งโดยเฉลี่ยจะอยู่ที่ 46,954 คน ดังนั้น หากตัวหารคือ 47,700 ตามที่พอลก์เสนอ รัฐแมสซาชูเซตส์ควรได้รับ 13 ที่นั่ง เพราะ 46,954 ใกล้เคียงกับ 47,700 มากกว่า 50,867

การปัดเศษเป็นค่าเฉลี่ยของคะแนนเสียงที่มีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์น้อยที่สุดจะให้ผลลัพธ์เป็นวิธีการของ Huntington–Hill อีกครั้ง เนื่องจาก $| log(x ⁄ y) | = | log(y ⁄ x) |$ กล่าวคือ ความแตกต่างสัมพัทธ์สามารถย้อนกลับได้ ข้อเท็จจริงนี้เป็นหัวใจสำคัญของการใช้ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ (แทนที่จะเป็นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์) ของEdward V. Huntington ในการวัดการเป็นตัวแทนที่ไม่ถูกต้อง และการสนับสนุนกฎของ Hill ของเขา: ^{[ 29 ]} Huntington โต้แย้งว่าการเลือกวิธีการจัดสรรไม่ควรขึ้นอยู่กับวิธีการจัดเรียงสมการสำหรับการเป็นตัวแทนที่เท่าเทียมกัน และมีเพียงข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ (ที่ลดลงให้น้อยที่สุดโดยกฎของ Hill) เท่านั้นที่ตรงตามคุณสมบัตินี้^{[ 3 ]}^{: 53}

ครอบครัว Stolarsky หมายถึง

ในทำนองเดียวกันค่าเฉลี่ยของ Stolarskyสามารถใช้เพื่อกำหนดตระกูลของวิธีการหารที่ลดดัชนีเอนโทรปีทั่วไปของการแสดงข้อมูลที่ผิดพลาด ให้เหลือน้อยที่สุด ^{[ 30 ]}ตระกูลนี้ประกอบด้วยค่าเฉลี่ยลอการิทึม ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยไอเดนทริกและค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยของ Stolarsky สามารถพิสูจน์ได้ว่าลดเมตริกการแสดงข้อมูลที่ผิดพลาดเหล่านี้ให้เหลือน้อยที่สุด ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในการศึกษาทฤษฎีสารสนเทศ^{[ 31 ]}

การแก้ไข

เกณฑ์

หลายประเทศมีเกณฑ์การเลือกตั้งสำหรับการเป็นตัวแทน โดยพรรคการเมืองต้องได้รับคะแนนเสียงตามสัดส่วนที่กำหนดจึงจะมีตัวแทนได้ พรรคการเมืองที่มีคะแนนเสียงน้อยกว่าเกณฑ์ที่กำหนดจะถูกตัดออก^{[ 22 ]}ประเทศอื่นๆ ปรับเปลี่ยนตัวหารตัวแรกเพื่อแนะนำเกณฑ์ธรรมชาติเมื่อใช้วิธี Webster/Sainte-Laguë ตัวหารตัวแรกมักจะถูกตั้งค่าเป็น 0.7 หรือ 1.0 (โดยค่าหลังเรียกว่าการปรับเปลี่ยนที่นั่งเต็มจำนวน ) ^{[ 22 ]}

ข้อกำหนดการรักษาเสียงข้างมาก และข้อกำหนดการป้องกันเสียงข้างมาก

ข้อกำหนดการรักษาเสียงข้างมากรับประกันว่าพรรคใดก็ตามที่ชนะเสียงข้างมากจะได้รับที่นั่งอย่างน้อยครึ่งหนึ่งในสภานิติบัญญัติ^{[ 22 ]}หากไม่มีข้อกำหนดดังกล่าว พรรคที่มีคะแนนเสียงมากกว่าครึ่งเล็กน้อยอาจได้รับที่นั่งน้อยกว่าครึ่งเล็กน้อย (หากใช้วิธีอื่นนอกเหนือจากวิธีของ D'Hondt) ^{[ 22 ]}โดยทั่วไปแล้วจะทำได้โดยการเพิ่มที่นั่งในสภานิติบัญญัติจนกว่าจะพบการจัดสรรที่รักษาเสียงข้างมากของรัฐสภาไว้ได้^{[ 22 ]}

ในทางกลับกัน ข้อกำหนดการป้องกันเสียงข้างมากรับประกันว่าไม่มีพรรคใดจะได้รับที่นั่งมากกว่าครึ่งหนึ่งในสภานิติบัญญัติ เว้นแต่จะได้รับเสียงข้างมาก ซึ่งทำได้โดยการคำนวณลำดับเสารั้วที่ "ไม่สมบูรณ์" ซึ่งครอบคลุมเฉพาะครึ่งแรกของที่นั่ง ในขณะที่เสารั้วสำหรับครึ่งหลังจะคำนวณเฉพาะสำหรับพรรคที่ได้รับเสียงข้างมากเท่านั้น ข้อกำหนดนี้พบได้ในกฎหมายเลือกตั้งของอิสราเอล^{[ 32 ]}

ข้อตกลงการลงคะแนนเสียงส่วนเกิน

ระบบการเลือกตั้งบางระบบ เช่น การเลือกตั้งรัฐสภาแห่งชาติในสวิตเซอร์แลนด์และอิสราเอลและ การเลือกตั้ง รัฐสภายุโรปในเดนมาร์กอนุญาตให้มีข้อตกลงเรื่องคะแนนเสียงส่วนเกิน ซึ่งพรรคการเมืองสองพรรคขึ้นไปจะถูกมองว่าเป็นกลุ่มเดียวกันเพื่อวัตถุประสงค์ในการจัดสรรที่นั่ง โดยภายในกลุ่มนี้ จะมีการจัดสรรที่นั่งครั้งที่สองระหว่างพรรคการเมืองที่ตกลงกัน

วิธีการหารแบบจำกัดโควต้า

วิธีการหารแบบจำกัดโควตาเป็นวิธีการจัดสรรที่นั่งโดยเริ่มจากการกำหนดโควตาที่นั่งขั้นต่ำให้กับแต่ละรัฐ จากนั้นจึงเพิ่มที่นั่งทีละที่ให้กับรัฐที่มีคะแนนเสียงเฉลี่ยต่อที่นั่งสูงสุด ตราบใดที่การเพิ่มที่นั่งเพิ่มเติมไม่ทำให้รัฐนั้นเกินโควตาสูงสุด^{[ 33 ]}อย่างไรก็ตาม วิธีการหารแบบจำกัดโควตาละเมิดเกณฑ์การมีส่วนร่วม (เรียกอีกอย่างว่าความเป็นเอกภาพของประชากร ) กล่าวคือ พรรคการเมืองอาจเสียที่นั่งได้แม้จะได้รับคะแนนเสียงมากขึ้น^{[ 3 ]}^{:ตาราง A7.2}

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Pukelsheim , Friedrich ( 2017 ) . " วิธี การ หาร ใน การ จัดสรร: การหารและการปัดเศษ"การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ Cham: Springer International Publishing. หน้า71–93 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_4 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ2021-09-01
1 2 3 4 Pukelsheim, Friedrich (2017). "จากจำนวนจริงสู่จำนวนเต็ม: ฟังก์ชันการปัดเศษ กฎการปัดเศษ" . การแสดงสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . สำนักพิมพ์ Springer International. หน้า59–70 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_3 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ2021-09-01
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). การเป็นตัวแทนที่เป็นธรรม: การบรรลุอุดมคติของหนึ่งคนหนึ่งเสียง . นิวเฮเวน: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเยล. ISBN 0-300-02724-9.
↑ Ricca, Federica; Scozzari, Andrea; Serafini, Paola (2017). "A Guided Tour of the Mathematics of Seat Allocation and Political Districting". ใน Endriss, Ulle (บรรณาธิการ). Trends in Computational Social Choice . Lulu.com. หน้า49–68 . ISBN 978-1-326-91209-3เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2024-10-08 เรียกดูเมื่อ2024-10-08
1 2 3 4 5 Pukelsheim, Friedrich (2017). "การรักษาความสอดคล้องของระบบ: ความสอดคล้องและความขัดแย้ง" . การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . Cham: Springer International Publishing. หน้า159–183 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_9 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024
↑ Dančišin, Vladimír (2017-01-01). "ความขัดแย้งของการไม่ปรากฏตัวในระบบสัดส่วนบัญชีรายชื่อพรรคการเมืองของสโลวาเกีย" . Human Affairs . 27 (1): 15– 21. doi : 10.1515/humaff-2017-0002 . ISSN 1337-401X .
↑ Pukelsheim, Friedrich (2017). "การเปิดเผยวิธีการ: การเลือกตั้งรัฐสภายุโรปปี 2014"การเลือกตั้งแบบสัดส่วน: วิธีการจัดสรรที่นั่งและการประยุกต์ใช้ Cham: Springer International Publishing. หน้า1–40 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_1 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ2024-07-03
1 2 Argersinger, Peter H., บรรณาธิการ (2012), ""ความอยุติธรรมและความไม่เท่าเทียมกัน": การเมืองแห่งการจัดสรรที่นั่ง ค.ศ. 1870–1888" การเป็นตัวแทน และ ความไม่เท่าเทียมกันในอเมริกาช่วงปลายศตวรรษ ที่19: การเมืองแห่งการจัดสรรที่นั่ง เคมบริดจ์: สำนัก พิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า 8–41 doi : 10.1017/cbo9781139149402.002 ISBN 978-1-139-14940-2( เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2018-06-07 เรียกดูเมื่อ 2024-08-04 ) การจัดสรรที่นั่งไม่เพียงแต่กำหนดอำนาจของรัฐต่างๆ ในรัฐสภาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการจัดสรรผู้เลือกตั้งด้วย จึงส่งผลโดยตรงต่อการเลือกตั้งประธานาธิบดี อันที่จริง การจัดสรรที่นั่งแบบพิเศษในปี 1872 ซึ่งนำมาใช้โดยฝ่าฝืนกฎหมายที่บังคับใช้เกี่ยวกับการจัดสรรที่นั่งนั้น เป็นสาเหตุโดยตรงที่ทำให้รัทเธอร์ฟอร์ด บี. เฮย์ส ได้รับเลือกตั้งในปี 1876 ด้วยคะแนนเสียงส่วนน้อย หากใช้วิธีการเดิม แม้แต่คณะกรรมการการเลือกตั้งก็คงไม่สามารถให้เฮย์สเข้าสู่ทำเนียบขาวได้
↑ Caulfield, Michael J. (2012). "ถ้าหากว่า? วิธีการจัดสรรเลือกประธานาธิบดีของเราอย่างไร" . The Mathematics Teacher . 106 (3): 178– 183. doi : 10.5951/mathteacher.106.3.0178 . ISSN 0025-5769 . JSTOR 10.5951/mathteacher.106.3.0178 .
↑ Pukelsheim, Friedrich (2017). "การกำหนดเป้าหมายขนาดบ้าน: การกระจายความคลาดเคลื่อน"การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ Cham: Springer International Publishing. หน้า107–125 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_6 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024
↑ Gallagher, Michael (1991). "สัดส่วน ความไม่สมดุล และระบบการเลือกตั้ง" (PDF) . การศึกษาการเลือกตั้ง . 10 (1): 33– 51. doi : 10.1016/0261-3794(91)90004-C . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2016-03-04.
1 2 3 Gallagher, Michael (1992). "การเปรียบเทียบระบบการเลือกตั้งแบบสัดส่วน: โควตา เกณฑ์ ความขัดแย้ง และเสียงข้างมาก" (PDF)วารสารรัฐศาสตร์อังกฤษ22 (4): 469– 496. doi : 10.1017/S0007123400006499 . ISSN 0007-1234 . S2CID 153414497 .
↑ "การจัดสรรจำนวนผู้แทนในรัฐสภาสหรัฐอเมริกา - วิธีการจัดสรรของอดัมส์ | สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา" . www.maa.org . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 9 มิถุนายน 2024
↑ Ichimori, Tetsuo (2010). "วิธีการจัดสรรใหม่และคุณสมบัติโควต้า" . JSIAM Letters . 2 : 33– 36. doi : 10.14495/jsiaml.2.33 . ISSN 1883-0617 .
↑ การจัดสรรที่นั่งในรัฐสภายุโรประหว่างประเทศสมาชิกสหภาพยุโรป(PDF) (รายงาน) รัฐสภายุโรป 2011 เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2024-05-12 เรียกดูเมื่อ2024-01-26
1 2 "Sainte-Laguë/Schepers"เจ้าหน้าที่จัดการเลือกตั้งของรัฐบาลกลางเยอรมนีสืบค้นเมื่อ 28 สิงหาคม 2021
↑แซงต์-ลากูเอ, อังเดร. "La representation proportionale et la méthode des moindres carrés" เก็บถาวร 15-05-2024 ที่ Wayback Machine Annales scientifiques de l'école Normale Supérieureฉบับที่ 27. 1910.
↑ Pukelsheim, Friedrich (2007). "สูตรความลำเอียงของที่นั่งในระบบการเลือกตั้งแบบสัดส่วน" (PDF) . การประชุมใหญ่สามัญ ECPR ครั้งที่ 4 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่ 7 กุมภาพันธ์ 2009
↑ Pennisi, Aline (มีนาคม 1998). "ดัชนีความไม่สมดุลและความแข็งแกร่งของวิธีการจัดสรรตามสัดส่วน" . การศึกษาการเลือกตั้ง . 17 (1): 3– 19. doi : 10.1016/S0261-3794(97)00052-8 . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2024-04-24 . สืบค้นเมื่อ2024-05-10 .
1 2 3 4 5 Balinski, ML; Young, HP (มกราคม 1980). "วิธีการจัดสรรแบบ Sainte-Laguë" . Proceedings of the National Academy of Sciences . 77 (1): 1– 4. Bibcode : 1980PNAS...77....1B . doi : 10.1073/pnas.77.1.1 . ISSN 0027-8424 . PMC 348194 . PMID 16592744 .
1 2 3 4 5 6 Pukelsheim, Friedrich (2017). "การเอื้อประโยชน์ให้บางคนโดยเสียเปรียบคนอื่น: อคติในการจัดสรรที่นั่ง" . การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . Cham: Springer International Publishing. หน้า127–147 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_7 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024
1 2 3 4 5 6 Pukelsheim, Friedrich (2017). "การติดตามลักษณะเฉพาะ: เกณฑ์การลงคะแนนและข้อกำหนดเสียงข้างมาก" . การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . Cham: Springer International Publishing. หน้า207–223 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_11 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024
↑ Pukelsheim, Friedrich (2017). "การตัดช่วงจำนวนที่นั่ง: ข้อจำกัดขั้นต่ำ-สูงสุด" . การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . Cham: Springer International Publishing. หน้า225–245 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_12 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024
1 2 3 Ernst, Lawrence R. (1994). "วิธีการจัดสรรที่นั่งสำหรับสภาผู้แทนราษฎรและการท้าทายในศาล" . Management Science . 40 (10): 1207– 1227. doi : 10.1287/mnsc.40.10.1207 . ISSN 0025-1909 . JSTOR 2661618 . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2024-05-10 . สืบค้นเมื่อ2024-02-10 .
↑ฮันติงตัน, เอ็ดเวิร์ด วี. (1929). "รายงานของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งชาติเกี่ยวกับการจัดสรรที่นั่งใหม่" . วิทยาศาสตร์ . 69 (1792): 471– 473. รหัสบรรณานุกรม : 1929Sci....69..471H . doi : 10.1126/science.69.1792.471 . ISSN 0036-8075 . JSTOR 1653304 . PMID 17750282 .
↑ Pukelsheim, Friedrich (2017). "วิธีการจัดสรรโควตา: แบ่งและจัดอันดับ"การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ Cham: Springer International Publishing. หน้า95–105 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_5 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024
↑ Pukelsheim, Friedrich (2017). "จากจำนวนจริงสู่จำนวนเต็ม: ฟังก์ชันการปัดเศษและกฎการปัดเศษ" . การแสดงสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . Cham: Springer International Publishing. หน้า59–70 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_3 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ2021-09-01
↑ "ระบบการเลือกตั้งรัฐสภาในเดนมาร์ก" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 28 สิงหาคม 2559
↑ Lauwers, Luc; Van Puyenbroeck, Tom (2008). " การเป็นตัวแทนที่ไม่สมดุลน้อยที่สุด: เอนโทรปีทั่วไปและวิธีการหารค่าเฉลี่ยของ Stolarsky ในการจัดสรร"วารสารอิเล็กทรอนิกส์SSRN doi : 10.2139 / ssrn.1304628 ISSN 1556-5068 S2CID 124797897
↑ Wada, Junichiro (2012-05-01). "วิธีการจัดสรรตัวหารตามฟังก์ชันสวัสดิการสังคม Kolm–Atkinson และเอนโทรปีทั่วไป" . คณิตศาสตร์สังคมศาสตร์ . 63 (3): 243– 247. doi : 10.1016/j.mathsocsci.2012.02.002 . ISSN 0165-4896 .
↑ Agnew, Robert A. (เมษายน 2551). "การจัดสรรที่นั่งในรัฐสภาที่เหมาะสมที่สุด" The American Mathematical Monthly . 115 (4): 297– 303. doi : 10.1080/00029890.2008.11920530 . ISSN 0002-9890 . S2CID 14596741 .
↑ https://www.nevo.co.il/law_html/law01/190_026.htm#Seif126
↑ Balinski, ML; Young, HP (1975-08-01). "วิธีการจัดสรรโควตา" The American Mathematical Monthly . 82 (7): 701– 730. doi : 10.1080/00029890.1975.11993911 . ISSN 0002-9890 .

[Pukelsheim-2017-1-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Pukelsheim , Friedrich ( 2017 ) . " วิธี การ หาร ใน การ จัดสรร: การหารและการปัดเศษ"การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ Cham: Springer International Publishing. หน้า71–93 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_4 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ2021-09-01

[Pukelsheim-2017-5-2] 1 2 3 4 Pukelsheim, Friedrich (2017). "จากจำนวนจริงสู่จำนวนเต็ม: ฟังก์ชันการปัดเศษ กฎการปัดเศษ" . การแสดงสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . สำนักพิมพ์ Springer International. หน้า59–70 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_3 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ2021-09-01

[Balinski-1982-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). การเป็นตัวแทนที่เป็นธรรม: การบรรลุอุดมคติของหนึ่งคนหนึ่งเสียง . นิวเฮเวน: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเยล. ISBN 0-300-02724-9.

[Ricca-2017-4] Ricca, Federica; Scozzari, Andrea; Serafini, Paola (2017). "A Guided Tour of the Mathematics of Seat Allocation and Political Districting". ใน Endriss, Ulle (บรรณาธิการ). Trends in Computational Social Choice . Lulu.com. หน้า49–68 . ISBN 978-1-326-91209-3เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2024-10-08 เรียกดูเมื่อ2024-10-08

[Pukelsheim-2017-7-5] 1 2 3 4 5 Pukelsheim, Friedrich (2017). "การรักษาความสอดคล้องของระบบ: ความสอดคล้องและความขัดแย้ง" . การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . Cham: Springer International Publishing. หน้า159–183 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_9 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024

[Dancisin-2017-6] Dančišin, Vladimír (2017-01-01). "ความขัดแย้งของการไม่ปรากฏตัวในระบบสัดส่วนบัญชีรายชื่อพรรคการเมืองของสโลวาเกีย" . Human Affairs . 27 (1): 15– 21. doi : 10.1515/humaff-2017-0002 . ISSN 1337-401X .

[Pukelsheim-2017-0-7] Pukelsheim, Friedrich (2017). "การเปิดเผยวิธีการ: การเลือกตั้งรัฐสภายุโรปปี 2014"การเลือกตั้งแบบสัดส่วน: วิธีการจัดสรรที่นั่งและการประยุกต์ใช้ Cham: Springer International Publishing. หน้า1–40 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_1 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ2024-07-03

[Argersinger-2012-8] 1 2 Argersinger, Peter H., บรรณาธิการ (2012), ""ความอยุติธรรมและความไม่เท่าเทียมกัน": การเมืองแห่งการจัดสรรที่นั่ง ค.ศ. 1870–1888" การเป็นตัวแทน และ ความไม่เท่าเทียมกันในอเมริกาช่วงปลายศตวรรษ ที่19: การเมืองแห่งการจัดสรรที่นั่ง เคมบริดจ์: สำนัก พิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า 8–41 doi : 10.1017/cbo9781139149402.002 ISBN 978-1-139-14940-2( เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2018-06-07 เรียกดูเมื่อ 2024-08-04 ) การจัดสรรที่นั่งไม่เพียงแต่กำหนดอำนาจของรัฐต่างๆ ในรัฐสภาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการจัดสรรผู้เลือกตั้งด้วย จึงส่งผลโดยตรงต่อการเลือกตั้งประธานาธิบดี อันที่จริง การจัดสรรที่นั่งแบบพิเศษในปี 1872 ซึ่งนำมาใช้โดยฝ่าฝืนกฎหมายที่บังคับใช้เกี่ยวกับการจัดสรรที่นั่งนั้น เป็นสาเหตุโดยตรงที่ทำให้รัทเธอร์ฟอร์ด บี. เฮย์ส ได้รับเลือกตั้งในปี 1876 ด้วยคะแนนเสียงส่วนน้อย หากใช้วิธีการเดิม แม้แต่คณะกรรมการการเลือกตั้งก็คงไม่สามารถให้เฮย์สเข้าสู่ทำเนียบขาวได้

[Caulfield-2012-9] Caulfield, Michael J. (2012). "ถ้าหากว่า? วิธีการจัดสรรเลือกประธานาธิบดีของเราอย่างไร" . The Mathematics Teacher . 106 (3): 178– 183. doi : 10.5951/mathteacher.106.3.0178 . ISSN 0025-5769 . JSTOR 10.5951/mathteacher.106.3.0178 .

[Pukelsheim-2017-3-10] Pukelsheim, Friedrich (2017). "การกำหนดเป้าหมายขนาดบ้าน: การกระจายความคลาดเคลื่อน"การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ Cham: Springer International Publishing. หน้า107–125 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_6 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024

[Gallagher-1991-11] Gallagher, Michael (1991). "สัดส่วน ความไม่สมดุล และระบบการเลือกตั้ง" (PDF) . การศึกษาการเลือกตั้ง . 10 (1): 33– 51. doi : 10.1016/0261-3794(91)90004-C . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2016-03-04.

[Gallagher-1992-12] 1 2 3 Gallagher, Michael (1992). "การเปรียบเทียบระบบการเลือกตั้งแบบสัดส่วน: โควตา เกณฑ์ ความขัดแย้ง และเสียงข้างมาก" (PDF)วารสารรัฐศาสตร์อังกฤษ22 (4): 469– 496. doi : 10.1017/S0007123400006499 . ISSN 0007-1234 . S2CID 153414497 .

[MAA-2020-13] "การจัดสรรจำนวนผู้แทนในรัฐสภาสหรัฐอเมริกา - วิธีการจัดสรรของอดัมส์ | สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา" . www.maa.org . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 9 มิถุนายน 2024

[Ichimori-2010-14] Ichimori, Tetsuo (2010). "วิธีการจัดสรรใหม่และคุณสมบัติโควต้า" . JSIAM Letters . 2 : 33– 36. doi : 10.14495/jsiaml.2.33 . ISSN 1883-0617 .

[EU-2011-15] การจัดสรรที่นั่งในรัฐสภายุโรประหว่างประเทศสมาชิกสหภาพยุโรป(PDF) (รายงาน) รัฐสภายุโรป 2011 เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2024-05-12 เรียกดูเมื่อ2024-01-26

[Sainte-Laguë/Schepers-16] 1 2 "Sainte-Laguë/Schepers"เจ้าหน้าที่จัดการเลือกตั้งของรัฐบาลกลางเยอรมนีสืบค้นเมื่อ 28 สิงหาคม 2021

[Sainte-2024-17] แซงต์-ลากูเอ, อังเดร. "La representation proportionale et la méthode des moindres carrés" เก็บถาวร 15-05-2024 ที่ Wayback Machine Annales scientifiques de l'école Normale Supérieureฉบับที่ 27. 1910.

[18] Pukelsheim, Friedrich (2007). "สูตรความลำเอียงของที่นั่งในระบบการเลือกตั้งแบบสัดส่วน" (PDF) . การประชุมใหญ่สามัญ ECPR ครั้งที่ 4 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่ 7 กุมภาพันธ์ 2009

[Pennisi-1998-19] Pennisi, Aline (มีนาคม 1998). "ดัชนีความไม่สมดุลและความแข็งแกร่งของวิธีการจัดสรรตามสัดส่วน" . การศึกษาการเลือกตั้ง . 17 (1): 3– 19. doi : 10.1016/S0261-3794(97)00052-8 . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2024-04-24 . สืบค้นเมื่อ2024-05-10 .

[Balinski-1980-20] 1 2 3 4 5 Balinski, ML; Young, HP (มกราคม 1980). "วิธีการจัดสรรแบบ Sainte-Laguë" . Proceedings of the National Academy of Sciences . 77 (1): 1– 4. Bibcode : 1980PNAS...77....1B . doi : 10.1073/pnas.77.1.1 . ISSN 0027-8424 . PMC 348194 . PMID 16592744 .

[Pukelsheim-2017-2-21] 1 2 3 4 5 6 Pukelsheim, Friedrich (2017). "การเอื้อประโยชน์ให้บางคนโดยเสียเปรียบคนอื่น: อคติในการจัดสรรที่นั่ง" . การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . Cham: Springer International Publishing. หน้า127–147 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_7 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024

[Pukelsheim-2017-8-22] 1 2 3 4 5 6 Pukelsheim, Friedrich (2017). "การติดตามลักษณะเฉพาะ: เกณฑ์การลงคะแนนและข้อกำหนดเสียงข้างมาก" . การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . Cham: Springer International Publishing. หน้า207–223 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_11 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024

[Pukelsheim-2017-9-23] Pukelsheim, Friedrich (2017). "การตัดช่วงจำนวนที่นั่ง: ข้อจำกัดขั้นต่ำ-สูงสุด" . การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . Cham: Springer International Publishing. หน้า225–245 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_12 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024

[Ernst-1994-24] 1 2 3 Ernst, Lawrence R. (1994). "วิธีการจัดสรรที่นั่งสำหรับสภาผู้แทนราษฎรและการท้าทายในศาล" . Management Science . 40 (10): 1207– 1227. doi : 10.1287/mnsc.40.10.1207 . ISSN 0025-1909 . JSTOR 2661618 . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2024-05-10 . สืบค้นเมื่อ2024-02-10 .

[Huntington-1929-25] ฮันติงตัน, เอ็ดเวิร์ด วี. (1929). "รายงานของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งชาติเกี่ยวกับการจัดสรรที่นั่งใหม่" . วิทยาศาสตร์ . 69 (1792): 471– 473. รหัสบรรณานุกรม : 1929Sci....69..471H . doi : 10.1126/science.69.1792.471 . ISSN 0036-8075 . JSTOR 1653304 . PMID 17750282 .

[Pukelsheim-2017-6-26] Pukelsheim, Friedrich (2017). "วิธีการจัดสรรโควตา: แบ่งและจัดอันดับ"การเป็นตัวแทนตามสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ Cham: Springer International Publishing. หน้า95–105 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_5 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ10 พฤษภาคม 2024

[Pukelsheim-2017-4-27] Pukelsheim, Friedrich (2017). "จากจำนวนจริงสู่จำนวนเต็ม: ฟังก์ชันการปัดเศษและกฎการปัดเศษ" . การแสดงสัดส่วน: วิธีการจัดสรรและการประยุกต์ใช้ . Cham: Springer International Publishing. หน้า59–70 . doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_3 . ISBN 978-3-319-64707-4สืบค้นข้อมูลเมื่อ2021-09-01

[Denmark-2016-28] "ระบบการเลือกตั้งรัฐสภาในเดนมาร์ก" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 28 สิงหาคม 2559

[Lauwers-2008-29] Lauwers, Luc; Van Puyenbroeck, Tom (2008). " การเป็นตัวแทนที่ไม่สมดุลน้อยที่สุด: เอนโทรปีทั่วไปและวิธีการหารค่าเฉลี่ยของ Stolarsky ในการจัดสรร"วารสารอิเล็กทรอนิกส์SSRN doi : 10.2139 / ssrn.1304628 ISSN 1556-5068 S2CID 124797897

[Wada-2012-30] Wada, Junichiro (2012-05-01). "วิธีการจัดสรรตัวหารตามฟังก์ชันสวัสดิการสังคม Kolm–Atkinson และเอนโทรปีทั่วไป" . คณิตศาสตร์สังคมศาสตร์ . 63 (3): 243– 247. doi : 10.1016/j.mathsocsci.2012.02.002 . ISSN 0165-4896 .

[Agnew-2008-31] Agnew, Robert A. (เมษายน 2551). "การจัดสรรที่นั่งในรัฐสภาที่เหมาะสมที่สุด" The American Mathematical Monthly . 115 (4): 297– 303. doi : 10.1080/00029890.2008.11920530 . ISSN 0002-9890 . S2CID 14596741 .

[32] ttps://www.nevo.co.il/law_html/law01/190_026.htm#Seif126

[Balinski-1975-33] Balinski, ML; Young, HP (1975-08-01). "วิธีการจัดสรรโควตา" The American Mathematical Monthly . 82 (7): 701– 730. doi : 10.1080/00029890.1975.11993911 . ISSN 0002-9890 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

โดยทั่วไป แล้ว

[

[

[ 7 ]

8 ] หาก

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

ไม่มีชื่อบทความ