ปัญหาข้อที่สิบห้าของฮิลเบิร์ตเป็นหนึ่งใน 23 ปัญหาของฮิลเบิร์ตที่ระบุไว้ในรายการซึ่งรวบรวมโดยเดวิด ฮิลเบิร์ต ในปี ค.ศ. 1900 ปัญหานี้ก็คือการวางรากฐานที่เข้มงวดให้กับแคลคูลัสเชิงนับของชูเบิร์ต

แคลคูลัสของชูเบิร์ตคือทฤษฎีการตัดกันของศตวรรษที่ 19 พร้อมกับการประยุกต์ใช้กับเรขาคณิตเชิงนับ การให้เหตุผลของแคลคูลัสนี้เป็นเนื้อหาของปัญหาที่ 15 ของฮิลเบิร์ต และยังเป็นหัวข้อหลักของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตในศตวรรษที่ 20 อีกด้วย^{[ 1 ] [ 2 ]}ในระหว่างการวางรากฐานของทฤษฎีการตัดกันแวน เดอร์ แวร์เดนและอังเดร ไวล์^{[ 3 ] [ 4 ]}ได้เชื่อมโยงปัญหานี้กับการกำหนดวงแหวนโคฮอโมโลยี H*(G/P) ของแมนิโฟลด์แฟลก G/P โดยที่ G เป็นกลุ่มลีและ P เป็น กลุ่มย่อยพาราโบลิกของ G

โครงสร้างการบวกของวงแหวน H*(G/P) ได้รับการกำหนดโดยทฤษฎีบทฐานของแคลคูลัสชูเบิร์ต^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}ซึ่งเกิดจากEhresmann , Chevalleyและ Bernstein-Gel'fand-Gel'fand โดยระบุว่าชั้นชูเบิร์ตแบบคลาสสิกบน G/P เป็นฐานอิสระของวงแหวนโคฮอโมโลยี H*(G/P) ปัญหาที่เหลืออยู่ของการขยายผลคูณของชั้นชูเบิร์ตเป็นการรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบฐานเรียกว่าปัญหาลักษณะเฉพาะ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 3 ]}โดยชูเบิร์ต และเขาถือว่าเป็น "ปัญหาทางทฤษฎีหลักของเรขาคณิตเชิงนับ" ^{[ 10 ]}

แม้ว่าเรขาคณิตเชิงนับจะไม่มีความเชื่อมโยงกับฟิสิกส์ในช่วงศตวรรษแรกของการพัฒนา แต่ต่อมาก็กลายเป็นองค์ประกอบสำคัญของทฤษฎีสตริง^{[ 11 ]}

โจทย์ปัญหาฉบับเต็ม เมื่อแปลเป็นภาษาอังกฤษแล้ว มีดังนี้:

ปัญหาอยู่ที่ว่า จะกำหนดขอบเขตความถูกต้องของจำนวนทางเรขาคณิตเหล่านั้นอย่างเข้มงวดและแม่นยำได้อย่างไร โดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนที่ชูเบิร์ตได้กำหนดขึ้นบนพื้นฐานของหลักการที่เรียกว่าหลักการตำแหน่งพิเศษ หรือการอนุรักษ์จำนวน โดยใช้แคลคูลัสเชิงนับที่เขาพัฒนาขึ้น

แม้ว่าพีชคณิตในปัจจุบันจะรับประกันความเป็นไปได้ในการดำเนินการกระบวนการกำจัดในหลักการ แต่สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเรขาคณิตเชิงนับนั้นจำเป็นต้องมีมากกว่านั้น กล่าวคือ การดำเนินการกระบวนการกำจัดจริงในกรณีของสมการรูปแบบพิเศษในลักษณะที่สามารถคาดการณ์ระดับของสมการสุดท้ายและความหลากหลายของคำตอบได้^{[ 1 ]}

แคลคูลัสของชูเบิร์ตเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ที่ เฮอร์มันน์ ชูเบิร์ตริเริ่มขึ้นในศตวรรษที่ 19 เพื่อแก้ปัญหาการนับต่างๆ ในเรขาคณิตเชิงฉาย (ส่วนหนึ่งของเรขาคณิตเชิงนับ ) มันเป็นพื้นฐานของทฤษฎีสมัยใหม่หลายทฤษฎี เช่นชั้นลักษณะเฉพาะและโดยเฉพาะอย่างยิ่งแง่มุมเชิงอัลกอริทึมของมันยังคงเป็นที่น่าสนใจอยู่

วัตถุที่ชูเบิร์ตนำเสนอคือเซลล์ชูเบิร์ตซึ่งเป็นเซตปิดเฉพาะที่ ใน กราสส์มันน์ที่กำหนดโดยเงื่อนไขการเกิดร่วมกันของปริภูมิย่อยเชิงเส้นในปริภูมิเชิงฉายที่มีแฟล็ กที่กำหนด สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูที่วาไรตี้ชูเบิร์ต

ตามที่ Van der Waerden ^{[ 3 ]}และ André Weil ^{[ 4 ]} กล่าวไว้ ปัญหา Hilbert ข้อที่สิบห้าได้รับการแก้ไขแล้ว ในกรณีเฉพาะ:

• ปัญหาลักษณะเฉพาะของชูเบิร์ตได้รับการแก้ไขโดย Haibao Duan และ Xuezhi Zhao; ^{[ 12 ]}
• การนำเสนอพิเศษของวงแหวน Chow ของแมนิโฟลด์ธงได้รับการดำเนินการโดยBorel , Marlin, Billey-Haiman และ Duan-Zhao และคณะ^{[ 12 ]}
• ตัวอย่างที่สำคัญของชูเบิร์ต^{[ 8 ]}ได้รับการตรวจสอบโดยAluffi , Harris , Kleiman , Xambó และคณะ^{[ 13 ] [ 12 ]}