ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ตกล่าวว่าไอเดียล ทุกตัว ของวงแหวนพหุนามเหนือฟิลด์ จะมี เซตตัวสร้างจำกัด(หรือฐาน จำกัด ในศัพท์ของฮิลเบิร์ต)

ในพีชคณิตสมัยใหม่วงแหวนที่มีอุดมคติที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าวงแหวนโนเธอร์เรียน ฟิลด์ทุกฟิลด์และวงแหวนของจำนวนเต็มล้วนเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน ดังนั้น ทฤษฎีบทนี้จึงสามารถสรุปและกล่าวใหม่ได้ว่าวงแหวนพหุนามทุกวงเหนือวงแหวนโนเธอร์เรียนก็เป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนด้วยเช่นกัน

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการกล่าวและพิสูจน์โดยเดวิด ฮิลเบิร์ตในปี พ.ศ. 2333 ในบทความสำคัญของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีอินวาเรียนต์ซึ่งเขาได้แก้ปัญหาหลายข้อเกี่ยวกับอินวาเรียนต์ ในบทความนี้ เขายังพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานอีกสองข้อเกี่ยวกับพหุนาม ได้แก่ ทฤษฎีบท นัลส์เทลเลนแซทซ์ (ทฤษฎีบทตำแหน่งศูนย์) และทฤษฎีบทไซซีจี (ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์) ทฤษฎีบททั้งสามนี้เป็นจุดเริ่มต้นของการตีความเรขาคณิตเชิงพีชคณิตในแง่ของพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทพื้นฐานบ่งชี้ว่าเซตพีชคณิต ทุกเซตเป็นการตัดกันของ ไฮเปอร์เซอร์เฟซจำนวนจำกัด^{[ 1 ]}

อีกแง่มุมหนึ่งของบทความนี้มีผลกระทบอย่างมากต่อคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 นั่นคือการใช้วิธีการที่ไม่ใช่เชิงสร้างสรรค์ อย่างเป็นระบบ ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทพื้นฐานยืนยันว่าอุดมคติทุกอันมีเซตตัวสร้างจำกัด แต่การพิสูจน์ดั้งเดิมไม่ได้ให้วิธีการใด ๆ ในการคำนวณสำหรับอุดมคติเฉพาะ วิธีการนี้ทำให้เหล่านักคณิตศาสตร์ในยุคนั้นประหลาดใจมากจนบทความฉบับแรกถูกปฏิเสธโดยพอล กอร์ดอนผู้เชี่ยวชาญด้านอินวาเรียนต์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในยุคนั้น พร้อมกับคำวิจารณ์ว่า "นี่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ นี่คือเทววิทยา" ^{[ 2 ]}ต่อมาเขายอมรับว่า "ฉันได้ทำให้ตัวเองเชื่อแล้วว่าแม้แต่เทววิทยาก็ยังมีคุณค่า" ^{[ 3 ]}

ถ้าเป็นริงให้แทนริงของพหุนามในตัวแปรไม่กำหนดเหนือฮิลเบิร์ตพิสูจน์ว่า ถ้านั้น "ไม่ใหญ่เกินไป" ในแง่ที่ว่า ถ้าเป็นริงโนเธอร์เรียน ก็ต้องเป็นจริงเช่นเดียวกันสำหรับในทางรูปธรรม ${\displaystyle R}$${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R[X]}$

ทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ตถ้าเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนแล้ว ก็เป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนเช่นกัน^{[ 4 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle R[X]}$

บทสรุป.ถ้าเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนแล้ว ก็เป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนเช่นกัน${\displaystyle R}$${\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}$

ฮิลเบิร์ตพิสูจน์ทฤษฎีบท (สำหรับกรณีพิเศษของพหุนามหลายตัวแปรเหนือฟิลด์ ) ในระหว่างการพิสูจน์การสร้างวงแหวนของตัวแปร คงที่แบบ จำกัด^{[ 1 ]}ทฤษฎีบทนี้ถูกตีความในเรขาคณิตพีชคณิตดังนี้: เซตพีชคณิต ทุกเซต คือเซตของศูนย์ ร่วม ของพหุนามจำนวนจำกัด

การพิสูจน์ของฮิลเบิร์ตนั้นไม่สร้างสรรค์ อย่างยิ่ง : มันดำเนินการโดยการอุปมานตามจำนวนตัวแปร และในแต่ละขั้นตอนการอุปมานจะใช้การพิสูจน์ที่ไม่สร้างสรรค์สำหรับตัวแปรที่น้อยลงหนึ่งตัว ฐานของโกรบเนอร์ ซึ่งถูกนำมาใช้มากกว่าแปดสิบปีต่อมา ช่วยให้สามารถพิสูจน์โดยตรงที่สร้างสรรค์ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้: ฐานของโกรบเนอร์สร้างอัลกอริทึมสำหรับการทดสอบว่าพหุนามอยู่ในอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยพหุนามอื่นหรือไม่ ดังนั้น เมื่อกำหนดลำดับอนันต์ของพหุนาม เราสามารถสร้างรายการของพหุนามเหล่านั้นที่ไม่เป็นส่วนหนึ่งของอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยพหุนามก่อนหน้าได้โดยใช้อัลกอริทึม ทฤษฎีฐานของโกรบเนอร์บ่งชี้ว่ารายการนี้จะต้องจำกัด และดังนั้นจึงเป็นฐานจำกัดของอุดมคติ อย่างไรก็ตาม ในการตัดสินว่ารายการนั้นสมบูรณ์หรือไม่ เราต้องพิจารณาทุกองค์ประกอบของลำดับอนันต์ ซึ่งไม่สามารถทำได้ในเวลาที่จำกัดที่อนุญาตสำหรับอัลกอริทึม

ทฤษฎีบท.ถ้า เป็น วงแหวนโนเธอร์เรียนซ้าย (หรือขวา) แล้ววงแหวนพหุนามก็เป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนซ้าย (หรือขวา) เช่นกัน ${\displaystyle R}$${\displaystyle R[X]}$

หมายเหตุเราจะแสดงบทพิสูจน์สองแบบ โดยทั้งสองแบบจะพิจารณาเฉพาะกรณี "ซ้าย" เท่านั้น ส่วนบทพิสูจน์สำหรับกรณีขวาจะคล้ายกัน

สมมติว่าเป็นไอเดียลซ้ายที่สร้างขึ้นโดยไม่จำกัดจำนวน จากนั้นโดยการเรียกซ้ำ (โดยใช้สัจพจน์ของการเลือกแบบพึ่งพา ) จะมีลำดับของพหุนามเช่นนั้น ถ้าเป็นไอเดียลซ้ายที่สร้างขึ้นโดยแล้ว จะมี ดีกรีต่ำสุดโดยการสร้าง เป็นลำดับของ จำนวนธรรมชาติที่ไม่ลดลงให้เป็นสัมประสิทธิ์นำหน้าของและให้เป็นไอเดียลซ้ายในที่สร้างขึ้นโดยเนื่องจากเป็นโนเธอร์เรียน ดังนั้น โซ่ของไอเดียล ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}__{n}}$${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n-1}}$${\displaystyle f_{n}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{n}}$${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\ldots \}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle (a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots }$

จะต้องสิ้นสุด ดังนั้นสำหรับจำนวนเต็ม บางค่า ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i},\qquad u_{i}\in R.}$

ลองพิจารณาดูตอนนี้

${\displaystyle g=\sum _{i<N}u_{i}X^{\deg(f_{N})-\deg(f_{i})}f_{i},}$

ซึ่งพจน์นำหน้าเท่ากับพจน์นำหน้าของ; ยิ่งไปกว่านั้นอย่างไรก็ตามซึ่งหมายความว่ามีดีกรีน้อยกว่าซึ่งขัดแย้งกับหลักการความน้อยที่สุด ${\displaystyle f_{N}}$${\displaystyle g\in {\mathfrak {b}}_{N}}$${\displaystyle f_{N}\notin {\mathfrak {b}}_{N}}$${\displaystyle f_{N}-g\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{N}}$${\displaystyle f_{N}}$

ให้เป็นไอเดียลซ้าย ให้เป็นเซตของสัมประสิทธิ์นำของสมาชิกของเห็นได้ชัดว่า นี่คือไอเดียลซ้ายเหนือและดังนั้นจึงถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดโดยสัมประสิทธิ์นำของสมาชิกจำนวนจำกัดของเช่นให้เป็นค่าสูงสุดของเซตและให้เป็นเซตของสัมประสิทธิ์นำของสมาชิกของซึ่งมีดีกรีเท่ากับเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้เป็นไอเดียลซ้ายเหนือและดังนั้นจึงถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดโดยสัมประสิทธิ์นำของสมาชิกจำนวนจำกัดของเช่น ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{N-1}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\ldots ,\deg(f_{N-1})\}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}__{k}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle \leq k}$${\displaystyle {\mathfrak {b}__{k}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle f_{0}^{(k)},\ldots ,f_{N^{(k)}-1}^{(k)}}$

โดยมีระดับขั้น. ตอนนี้ให้เป็นไอเดียลซ้ายที่สร้างขึ้นโดย: ${\displaystyle \leq k}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq R[X]}$

${\displaystyle \left\{f_{i},f_{j}^{(k)}\,:\ i<N,\,j<N^{(k)},\,k<d\right\}\!\!\;.}$

เรามีและอ้างว่าสมมติเพื่อความขัดแย้งว่าสิ่งนี้ไม่เป็นเช่นนั้น ดังนั้นให้เป็นดีกรีต่ำสุด และให้ แทนสัมประสิทธิ์นำหน้าของมัน ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{*}}$${\displaystyle h\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$${\displaystyle a}$

กรณีที่ 1: . ไม่ว่าเงื่อนไขนี้จะเป็นอย่างไร เราก็มีดังนั้นจึงเป็นผลรวมเชิงเส้นด้านซ้าย${\displaystyle \deg(h)\geq d}$${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}}$

ของสัมประสิทธิ์ของ. พิจารณา${\displaystyle f_{j}}$

${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j})}f_{j},}$

ซึ่งมีคำนำหน้าเดียวกันกับ; ยิ่งไปกว่านั้นในขณะที่. ดังนั้นและซึ่งขัดแย้งกับหลักการความน้อยที่สุด${\displaystyle h}$${\displaystyle h_{0}\in {\mathfrak {a}}^{*}}$${\displaystyle h\notin {\mathfrak {a}}^{*}}$${\displaystyle h-h_{0}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$${\displaystyle \deg(h-h_{0})<\deg(h)}$

กรณีที่ 2: . ดังนั้นการรวมเชิงเส้นด้านซ้ายก็ เช่นกัน${\displaystyle \deg(h)=k<d}$${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}_{k}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}^{(k)}}$

ของสัมประสิทธิ์นำหน้าของ. เมื่อพิจารณา${\displaystyle f_{j}^{(k)}}$

${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j}^{(k)})}f_{j}^{(k)},}$

เราพบข้อขัดแย้งที่คล้ายคลึงกันกับในกรณีที่ 1

ดังนั้น ข้ออ้างของเราจึงเป็นจริง และข้ออ้างนั้นถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}^{*}}$

โปรดทราบว่าเหตุผลเดียวที่เราต้องแบ่งออกเป็นสองกรณีก็เพื่อให้แน่ใจว่าเลขชี้กำลังของการคูณตัวประกอบนั้นไม่เป็นลบในการสร้าง ${\displaystyle X}$

ให้เป็นวงแหวนสลับที่ แบบโนเธอร์เรียน ทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ตมีบทสรุป โดยตรงบาง ประการ ${\displaystyle R}$

1. จากการอนุมาน เราจะเห็นว่าสิ่งนั้นก็จะเป็นโนเธอร์เรียนเช่นกัน${\displaystyle R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
2. เนื่องจากวาไรตี้เชิงเส้น ใดๆ บน(กล่าวคือ เซตโลคัสของกลุ่มพหุนาม) สามารถเขียนได้ในรูปโลคัสของไอเดียลและยิ่งไปกว่านั้นในรูปโลคัสของตัวสร้างไอเดียล จึงสรุปได้ว่า วาไรตี้เชิงเส้นทุกตัวเป็นโลคัสของพหุนามจำนวนจำกัด — กล่าวคือ จุดตัด ของ ไฮเปอร์เซอร์เฟซจำนวนจำกัด${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
3. ถ้าเป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดเราจะทราบว่าโดยที่เป็นไอเดียล ทฤษฎีบทฐานบ่งชี้ว่าจะต้องสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด เช่น กล่าวคือเป็นพีชคณิต ที่นำเสนอโดยจำนวนจำกัด${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})}$${\displaystyle A}$

บทพิสูจน์อย่างเป็นทางการของทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ตได้รับการตรวจสอบแล้วผ่านโครงการมิซาร์ (ดูไฟล์ HILBASIS ) และลีน (ดูRingTheory/Polynomial/Basic.lean )

• Cox, Little และ O'Shea, อุดมคติ ความหลากหลาย และอัลกอริทึม , Springer-Verlag, 1997
• รีด, คอนสแตนซ์. (1996). ฮิลเบิร์ต . นิวยอร์ก: สปริงเกอร์ . ISBN 0-387-94674-8.ชีวประวัติของฮิลเบิร์ตฉบับสมบูรณ์ในภาษาอังกฤษ
• โรมัน, สตีเฟน (2008), พีชคณิตเชิงเส้นขั้นสูง , ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา (ฉบับที่สาม), สปริงเกอร์, ISBN 978-0-387-72828-5