ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด (เรียกอีกอย่างว่าพีชคณิตชนิดจำกัด ) บนวงแหวน (สลับที่ได้)${\displaystyle R}$หรือสร้างขึ้นอย่างจำกัด${\displaystyle R}$-พีชคณิต (เรียกสั้น ๆ ว่า พีชคณิตสลับที่) เป็นพีชคณิตแบบสลับที่ได้และแบบเชื่อมโยงได้${\displaystyle A}$กำหนดโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน${\displaystyle f:R\to A}$โดยที่องค์ประกอบทุกตัวของ${\displaystyle A}$สามารถแสดงได้ในรูปพหุนามที่มีตัวสร้างจำนวนจำกัด${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$โดยมีสัมประสิทธิ์ใน${\displaystyle f(R)}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีฟังก์ชันส่งทั่วถึง (surjective)${\displaystyle R}$- โฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตจากวงแหวนพหุนาม${\displaystyle R[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ถึง${\displaystyle A}$.

ถ้า${\displaystyle K}$เป็นฟิลด์ที่ถือว่าเป็นพีชคณิตย่อยของ${\displaystyle A}$, และ${\displaystyle f}$เป็นการฉีดแบบธรรมชาติ${\displaystyle K\hookrightarrow A}$จากนั้น${\displaystyle K}$พีชคณิตชนิดจำกัดเป็นพีชคณิตแบบสลับที่ได้และเชื่อมโยงได้${\displaystyle A}$โดยที่มีเซตขององค์ประกอบจำนวนจำกัดอยู่${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$โดยที่ทุกองค์ประกอบของ${\displaystyle A}$สามารถแสดงได้ในรูปพหุนามใน${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$โดยมีสัมประสิทธิ์ใน${\displaystyle K}$.

ในทำนองเดียวกัน มีองค์ประกอบอยู่${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$โดยที่โฮโมมอร์ฟิซึมการประเมินที่${\displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle \phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A}$

เป็นฟังก์ชันทั่วถึงดังนั้น โดยการใช้ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรก${\displaystyle A\cong K[X_{1},\dots ,X_{n}]/{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})}$.

ในทางกลับกัน${\displaystyle A:=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$สำหรับอุดมคติ ใดๆ${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$เป็น${\displaystyle K}$-พีชคณิตประเภทจำกัด แท้จริงแล้วคือองค์ประกอบใดๆ ของ${\displaystyle A}$เป็นพหุนามในโคเซต${\displaystyle a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n}$โดยมีสัมประสิทธิ์ใน${\displaystyle K}$ดังนั้น เราจึงได้ลักษณะเฉพาะของการสร้างขึ้นอย่างจำกัดดังต่อไปนี้${\displaystyle K}$-พีชคณิต: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A}$เป็นการสร้างขึ้นอย่างจำกัด${\displaystyle K}$-พีชคณิตก็ต่อเมื่อมันสมสัณฐานกับ a${\displaystyle K}$-พีชคณิตไปยังวงแหวนผลหารประเภท${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$โดยอุดมคติ${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}].}$

พีชคณิตที่ไม่สามารถสร้างขึ้นได้โดยจำนวนจำกัด เรียกว่า พีชคณิตที่สร้างขึ้นได้โดยจำนวนอนันต์

วงแหวนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดหมายถึง วงแหวนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเมื่อพิจารณาว่าเป็นวงแหวน${\displaystyle \mathbb {Z} }$-พีชคณิต.

พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด ( ประเภทจำกัด ) ไม่ควรสับสนกับพีชคณิตที่เป็นจำนวนจำกัด (ดูด้านล่าง) พีชคณิตจำกัดเหนือ${\displaystyle R}$เป็นพีชคณิตแบบสลับที่และเชื่อมโยงกัน${\displaystyle A}$ซึ่งถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะโมดูลนั่นคือ${\displaystyle R}$-พีชคณิตที่นิยามโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน${\displaystyle f:R\to A}$โดยที่องค์ประกอบทุกตัวของ${\displaystyle A}$สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของตัวสร้างจำนวนจำกัด${\textstyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$โดยมีสัมประสิทธิ์ใน${\displaystyle f(R)}$นี่เป็นสภาวะที่รุนแรงกว่า${\displaystyle A}$สามารถแสดงได้ในรูปพหุนามในชุดตัวสร้างจำนวนจำกัด ในกรณีที่พีชคณิตถูกสร้างขึ้นโดยตัวสร้างจำนวนจำกัด

• พีชคณิตพหุนาม${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด พีชคณิตพหุนามที่มีตัวสร้างจำนวนอนันต์นับได้นั้นถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนอนันต์
• วงแหวนของพหุนามสัมประสิทธิ์จริง${\displaystyle {\mathbb {R}}[x]}$ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือ${\displaystyle {\mathbb {R}}}$แต่ไม่เกิน${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$.
• สนาม${\displaystyle E=K(t)}$ของฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปรเดียวเหนือฟิลด์อนันต์${\displaystyle K}$ไม่ใช่พีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือ${\displaystyle K}$ในทางกลับกัน${\displaystyle E}$ถูกสร้างขึ้นเหนือ${\displaystyle K}$โดยองค์ประกอบเดียว${\displaystyle t}$ใน ฐานะ ที่เป็นสาขาหนึ่ง
• ถ้า${\displaystyle E/F}$ถ้าเป็นการขยายฟิลด์จำกัดก็จะเป็นไปตามนิยามที่ว่า${\displaystyle E}$เป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือ${\displaystyle F}$.
• ในทางกลับกัน ถ้า${\displaystyle E/F}$เป็นการขยายขอบเขตและ${\displaystyle E}$เป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือ${\displaystyle F}$ดังนั้น การขยายฟิลด์จึงมีขอบเขตจำกัด นี่เรียกว่าทฤษฎีบทของซาริสกิดูเพิ่มเติมที่การขยายเชิงอินทิกรัล
• ถ้า${\displaystyle G}$ถ้ากลุ่ม นั้นเป็นกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดแล้วพีชคณิตของกลุ่ม นั้น${\displaystyle KG}$เป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือ${\displaystyle K}$.
• " พีชคณิต กำลังสองและควอเทอร์เนียนโดยพื้นฐานแล้วคือพีชคณิต R แบบเชื่อมโยงทั้งหมดซึ่งเป็นโมดูล R แบบโปรเจคทีฟ ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดและมี การผกผันมาตรฐาน " ^{[ 2 ]}

• ภาพโฮโมมอร์ฟิก ของพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดนั้น ตัวมันเอง ก็สร้างขึ้นอย่างจำกัดเช่นกัน อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติที่คล้ายกันนี้สำหรับพีชคณิตย่อยนั้นโดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นจริง
• ทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ต : ถ้า${\displaystyle A}$ถ้า A เป็นพีชคณิตสลับที่ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือวงแหวนโนเธอร์เรียนแล้วอุดมคติ ทุกอัน ของAจะถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด หรือเทียบเท่ากับ${\displaystyle A}$เป็นแหวนโนเธอร์เรียน

พีชคณิตสลับที่ลดรูปซึ่ง สร้างขึ้นอย่างจำกัดเป็นวัตถุพื้นฐานที่พิจารณาในเรขาคณิตพีชคณิต สมัยใหม่ โดยที่พีชคณิตเหล่านี้สอดคล้องกับวาไรตี้พีชคณิตเชิงเส้นตรง ด้วยเหตุนี้ พีชคณิตเหล่านี้จึงถูกเรียกว่า พีชคณิตเชิงเส้นตรง (สลับที่) ด้วยเช่นกันกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น เมื่อกำหนดเซตพีชคณิตเชิงเส้นตรงแล้ว${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$เราสามารถเชื่อมโยงการสร้างขึ้นอย่างจำกัดได้${\displaystyle K}$-พีชคณิต

${\displaystyle \Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)}$

เรียกว่าวงแหวนพิกัด เชิงเส้น ของ${\displaystyle V}$นอกจากนี้ หาก${\displaystyle \phi \โคลอน V\ถึง W}$เป็นแผนที่ปกติระหว่างเซตพีชคณิตเชิงเส้น${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$และ${\displaystyle W\subseteq \mathbb {A} ^{m}}$เราสามารถกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle K}$-พีชคณิต

${\displaystyle \Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi ,}$

แล้ว,${\displaystyle \Gamma }$เป็นฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์จากหมวดหมู่ของเซตพีชคณิตเชิงเส้นตรงที่มีแผนที่ปกติไปยังหมวดหมู่ของเซตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดแบบลดรูป${\displaystyle K}$-พีชคณิต: ฟังก์ชันนี้ปรากฏว่า^{[ 3 ]}เป็นความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{เซตพีชคณิตเชิงเส้น}})^{\rm {opp}}\to ({\text{พีชคณิต K ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดแบบลดรูป}}),}$

และเมื่อจำกัดเฉพาะวาไรตี้เชิงเส้นตรง (เช่น เซตพีชคณิตเชิงเส้น ตรงที่ไม่สามารถลดทอนได้ )

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{affine algebraic varieties}})^{\rm {opp}}\to ({\text{integral finitely generated }}K{\text{-algebras}}).}$

เราจำได้ว่าการสลับที่${\displaystyle R}$- พีชคณิต${\displaystyle A}$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน${\displaystyle \phi \colon R\to A}$;${\displaystyle R}$- โครงสร้าง โมดูลของ${\displaystyle A}$ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.}$

หนึ่ง${\displaystyle R}$-พีชคณิต${\displaystyle A}$เรียกว่าจำกัดถ้ามันถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะ${\displaystyle R}$-โมดูล กล่าวคือ มีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึงของ${\displaystyle R}$-โมดูล

${\displaystyle R^{\oplus _{n}}\twoheadrightarrow A.}$

อีกครั้งหนึ่ง มีการกำหนดลักษณะของพีชคณิตจำกัดในแง่ของผลหาร: ^{[ 4 ]}

หนึ่ง${\displaystyle R}$-พีชคณิต${\displaystyle A}$จะมีค่าจำกัดก็ต่อเมื่อมันสมสัณฐานกับผลหาร${\displaystyle R^{\oplus _{n}}/M}$โดย${\displaystyle R}$- โมดูลย่อย${\displaystyle M\subseteq R}$.

ตามนิยามแล้ว จำนวนจำกัด${\displaystyle R}$-พีชคณิตเป็นประเภทจำกัด แต่ข้อความกลับไม่เป็นเช่นนั้น: วงแหวนพหุนาม${\displaystyle R[X]}$เป็นประเภทจำกัดแต่ไม่ใช่ประเภทจำกัด อย่างไรก็ตาม ถ้าหาก${\displaystyle R}$ถ้าพีชคณิตมีประเภทจำกัดและเป็นจำนวนเต็มแสดงว่าพีชคณิตนั้นมีขอบเขตจำกัด กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ${\displaystyle A}$เป็นการสร้างขึ้นอย่างจำกัด${\displaystyle R}$-โมดูล ถ้าและเฉพาะเมื่อ${\displaystyle A}$ถูกสร้างขึ้นเป็น${\displaystyle R}$-พีชคณิตโดยจำนวนองค์ประกอบจำกัด อินทิกรัลเหนือ${\displaystyle R}$.

พีชคณิตจำกัดและพีชคณิตประเภทจำกัดมีความเกี่ยวข้องกับแนวคิดของมอร์ฟิซึมจำกัดและ มอร์ฟิ ซึมประเภทจำกัด

• โมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด
• การขยายฟิลด์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด
• ทฤษฎีบทอาร์ติน-เทต
• บทพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานของโนอีเธอร์
• พีชคณิตจำกัด
• มอร์ฟิซึมของประเภทจำกัด