ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทซิซิจีของฮิลเบิร์ตเป็นหนึ่งในสามทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับวงแหวนพหุนามเหนือฟิลด์ ซึ่ง เดวิด ฮิลเบิร์ตพิสูจน์เป็นครั้งแรกในปี 1890 ทฤษฎีบทเหล่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหาสำคัญที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขในทฤษฎีอินแวเรียนต์และเป็นพื้นฐานของเรขาคณิตพีชคณิต สมัยใหม่ ทฤษฎีบทอีกสองทฤษฎีบทคือทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ตซึ่งกล่าวว่าอุดมคติ ทั้งหมด ของวงแหวนพหุนามเหนือฟิลด์นั้นถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดและทฤษฎีบทนัลสเตลเลนแซทซ์ของฮิลเบิร์ตซึ่งสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างวาไรตี้พีชคณิตเชิงเส้นและอุดมคติเฉพาะของวงแหวนพหุนาม

ทฤษฎีบทซิซีจีของฮิลเบิร์ตเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์หรือ ซิซีจีในศัพท์ของฮิลเบิร์ต ระหว่างตัวสร้างของไอเดียลหรือโดยทั่วไปแล้วคือโมดูลเนื่องจากความสัมพันธ์เหล่านี้ก่อตัวเป็นโมดูล เราจึงสามารถพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์เหล่านั้นได้ ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า หากเราดำเนินการต่อไปในลักษณะนี้ โดยเริ่มต้นจากโมดูลเหนือวงแหวนพหุนามในตัวแปรn ตัวเหนือฟิลด์ ในที่สุดเราจะพบ โมดูลศูนย์ของความสัมพันธ์ หลังจากขั้นตอนอย่างมากที่สุดnขั้นตอน

ทฤษฎีบทซิซิจีของฮิลเบิร์ตถือเป็นผลลัพธ์แรกๆ ของพีชคณิตเชิงโฮโมโลจีเป็นจุดเริ่มต้นของการใช้วิธีการเชิงโฮโมโลจีในพีชคณิตเชิงสลับที่และเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

ทฤษฎีบทซิซีจีปรากฏครั้งแรกในบทความสำคัญของฮิลเบิร์ตเรื่อง "Über die Theorie der algebraischen Formen" (1890) ^{[ 1 ]}บทความนี้แบ่งออกเป็นห้าส่วน: ส่วนที่ 1 พิสูจน์ทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ตเหนือฟิลด์ ในขณะที่ส่วนที่ 2 พิสูจน์เหนือจำนวนเต็ม ส่วนที่ 3 ประกอบด้วยทฤษฎีบทซิซีจี (ทฤษฎีบทที่ 3) ซึ่งใช้ในส่วนที่ 4 เพื่ออภิปรายพหุนามฮิลเบิร์ตส่วนสุดท้าย ส่วนที่ 5 พิสูจน์การสร้างวงแหวนของตัวแปรคงที่บางวง แบบจำกัด นอกจากนี้ ส่วนที่ 3 ยังมีกรณีพิเศษของทฤษฎีบทฮิลเบิร์ต-เบิร์ช อีก ด้วย

เดิมที ฮิลเบิร์ตได้นิยามซิซิจีสำหรับไอเดียลในวงแหวนพหุนามแต่แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่โมดูล (ซ้าย) เหนือวงแหวน ใด ๆ ได้อย่างง่ายดาย

กำหนดให้เซตตัวสร้าง${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$สำหรับโมดูลMบนริงRความสัมพันธ์ หรือ ซิซีจีแรกระหว่างตัวสร้างจะเป็นk-ทูเปิล${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$ขององค์ประกอบของRเช่นนั้น^{[ 2 ]}

${\displaystyle a_{1}g_{1}+\cdots +a_{k}g_{k}=0.}$

อนุญาต${\displaystyle L_{0}}$เป็นโมดูลฟรีที่มีพื้นฐาน${\displaystyle (G_{1},\ldots ,G_{k}).}$คิวทูเพิล​${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$อาจระบุได้ด้วยองค์ประกอบนั้น

${\displaystyle a_{1}G_{1}+\cdots +a_{k}G_{k},}$

และความสัมพันธ์เหล่านั้นก่อให้เกิดแก่นหลัก${\displaystyle R_{1}}$ของแผนที่เชิงเส้น${\displaystyle L_{0}\to M}$กำหนดโดย${\displaystyle G_{i}\mapsto g_{i}.}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีลำดับที่แน่นอน

${\displaystyle 0\to R_{1}\to L_{0}\to M\to 0.}$

โมดูลซิซิจีตัวแรกนี้${\displaystyle R_{1}}$ขึ้นอยู่กับการเลือกชุดตัวสร้าง แต่ถ้า${\displaystyle S_{1}}$โมดูลที่ได้มาจากการใช้ชุดกำเนิดอื่นนั้น มีโมดูลอิสระอยู่สองโมดูล${\displaystyle F_{1}}$และ${\displaystyle F_{2}}$โดยที่

${\displaystyle R_{1}\oplus F_{1}\cong S_{1}\oplus F_{2}}$

ที่ไหน${\displaystyle \oplus }$แสดงถึงผลรวมโดยตรงของโมดูล

โมดูลไซซีจีที่สองคือโมดูลของความสัมพันธ์ระหว่างตัวสร้างของโมดูลไซซีจีแรก โดยการดำเนินการเช่นนี้ต่อไป เราสามารถกำหนดโมดูลไซซีจีที่kสำหรับจำนวนเต็มบวกk ทุกตัว ได้

ถ้าโมดูลไซซีจีที่k เป็นโมดูลอิสระสำหรับค่า k บางค่า แล้ว การใช้ฐานเป็นเซตตัวสร้าง จะทำให้โมดูลไซซีจีถัดไป (และทุกโมดูลต่อๆ ไป) เป็นโมดูลศูนย์แต่ถ้าไม่ใช้ฐานเป็นเซตตัวสร้าง โมดูลไซซีจีทั้งหมดที่ตามมาจะเป็นโมดูลอิสระ

ให้nเป็นจำนวนเต็มที่เล็กที่สุด หากมีอยู่จริง ซึ่ง โมดูล syzygy ที่ nของโมดูลMเป็นโมดูลอิสระหรือโมดูลเชิงโปรเจกทีฟคุณสมบัติความไม่แปรเปลี่ยนข้างต้น จนถึงผลรวมโดยตรงกับโมดูลอิสระ บ่งชี้ว่าnไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกเซตตัวสร้างมิติเชิงโปรเจกทีฟของMคือจำนวนเต็มนี้ หากมีอยู่ หรือ∞ถ้าไม่มี ซึ่งเทียบเท่ากับการมีอยู่ของลำดับที่แน่นอน

${\displaystyle 0\longrightarrow R_{n}\longrightarrow L_{n-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

โดยที่โมดูลต่างๆ${\displaystyle L_{i}}$ฟรีและ${\displaystyle R_{n}}$เป็นฟังก์ชันเชิงโปรเจกทีฟ สามารถแสดงได้ว่าเราสามารถเลือกเซตตัวสร้างสำหรับ ได้เสมอ${\displaystyle R_{n}}$เนื่องจากเป็นอิสระ นั่นหมายความว่าลำดับข้างต้นจะเป็นการ แก้ปัญหา อย่างอิสระ

ทฤษฎีบทซิซิจีของฮิลเบิร์ตกล่าวว่า ถ้าMเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือวงแหวนพหุนาม${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ในจำนวนตัวแปรไม่แน่นอนn ตัวเหนือฟิลด์kแล้วโมดูล syzygy ที่n ของ M จะ เป็นโมดูลอิสระเสมอ

ในภาษาปัจจุบัน สิ่งนี้หมายความว่ามิติเชิงฉายของMมีค่าไม่เกินnและดังนั้นจึงมีการแก้ปัญหาแบบอิสระ อยู่

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$

มีความยาวk ≤ n

ขอบเขตบนของมิติเชิงโปรเจกทีฟนี้มีความแม่นยำ กล่าวคือ มีโมดูลที่มีมิติเชิงโปรเจกทีฟเท่ากับn พอดี ตัวอย่างมาตรฐานคือฟิลด์kซึ่งอาจถือได้ว่าเป็น${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$-โมดูลโดยการตั้งค่า${\displaystyle x_{i}c=0}$สำหรับทุกiและทุกc ∈ kสำหรับโมดูลนี้ โมดูล syzygy ที่ nเป็นอิสระ แต่ โมดูลที่ ( n − 1) ไม่เป็น อิสระ (สำหรับหลักฐาน โปรดดู§  Koszul complexด้านล่าง)

ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นจริงสำหรับโมดูลที่ไม่ใช่โมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดด้วย เนื่องจากมิติโดยรวมของริงคือค่าสูงสุดของมิติเชิงโปรเจกทีฟของทุกโมดูล ดังนั้นทฤษฎีบทซิซีจีของฮิลเบิร์ตจึงอาจกล่าวใหม่ได้ว่า: มิติโดยรวมของ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$คือn .

คอมเพล็กซ์Koszulหรือที่เรียกว่า "คอมเพล็กซ์ของพีชคณิตภายนอก" ช่วยให้สามารถอธิบายโมดูล syzygy ทั้งหมดได้อย่างชัดเจนในบางกรณี

อนุญาต${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$เป็นระบบกำเนิดของไอเดียลIในวงแหวนพหุนาม${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$และปล่อยให้${\displaystyle L_{1}}$เป็น โมดูล พื้นฐานฟรี${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}.}$พีชคณิตภายนอกของ${\displaystyle L_{1}}$เป็นผลรวมโดยตรง

${\displaystyle \แลมบ์ดา (L_{1})=\bigoplus _{t=0}^{k}L_{t},}$

ที่ไหน${\displaystyle L_{t}}$เป็นโมดูลอิสระ ซึ่งมี ผลิตภัณฑ์ภายนอกเป็นพื้นฐาน

${\displaystyle G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}},}$

โดยที่${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{t}.}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หนึ่งมี${\displaystyle L_{0}=R}$(เนื่องจากนิยามของผลคูณว่างเปล่า ) นิยามทั้งสองของ${\displaystyle L_{1}}$ตรงกัน และ${\displaystyle L_{t}=0}$สำหรับt > kสำหรับทุกค่าt ที่เป็นบวก เราสามารถกำหนดแผนที่เชิงเส้นได้${\displaystyle L_{t}\to L_{t-1}}$โดย

${\displaystyle G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}}\mapsto \sum _{j=1}^{t}(-1)^{j+1}g_{i_{j}}G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\widehat {G}}_{i_{j}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}},}$

โดยที่เครื่องหมายหมวกหมายความว่าตัวประกอบนั้นถูกละเว้น การคำนวณอย่างตรงไปตรงมาแสดงให้เห็นว่าองค์ประกอบของแผนที่สองแผนที่ต่อเนื่องกันดังกล่าวมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงมีค่าเชิงซ้อน

${\displaystyle 0\to L_{t}\to L_{t-1}\to \cdots \to L_{1}\to L_{0}\to R/I.}$

นี่คือคอมเพล็กซ์โคซูลโดยทั่วไปแล้ว คอมเพล็กซ์โคซูลไม่ใช่ลำดับที่แน่นอนแต่จะเป็นลำดับที่แน่นอนหากเราใช้ริงพหุนาม${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$และอุดมคติที่สร้างขึ้นจากลำดับปกติของพหุนามเอกพันธุ์

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลำดับ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$มีความสม่ำเสมอ และคอมเพล็กซ์ Koszul จึงเป็นการแก้ปัญหาเชิงโปรเจคทีฟของ${\displaystyle }$${\displaystyle k=R/\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle .}$ในกรณีนี้ โมดูล syzygy ที่ nเป็นอิสระจากมิติหนึ่ง (สร้างขึ้นจากผลคูณของทั้งหมด)${\displaystyle G_{i}}$); ดังนั้นโมดูล syzygy ที่ ( n − 1)จึงเป็นผลหารของโมดูลอิสระที่มีมิติnโดยโมดูลย่อยที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle (x_{1},-x_{2},\ldots ,\pm x_{n}).}$ผลหารนี้อาจไม่ใช่โมดูลเชิงโปรเจกทีฟเพราะมิเช่นนั้นจะต้องมีพหุนามอยู่${\displaystyle p_{i}}$โดยที่${\displaystyle p_{1}x_{1}+\cdots +p_{n}x_{n}=1,}$ซึ่งเป็นไปไม่ได้ (แทนค่า 0 ลงใน ${\displaystyle x_{i}}$ในความเท่าเทียมกันครั้งหลังนี้ให้ผลลัพธ์เป็น1 = 0 ) ซึ่งพิสูจน์ได้ว่ามิติเชิงฉายของ${\displaystyle k=R/\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$มีค่าเท่ากับnพอดี

การพิสูจน์แบบเดียวกันนี้ใช้ได้กับการพิสูจน์ว่ามิติเชิงฉายของ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle g_{1},\ldots ,g_{t}\rangle }$คือค่าt พอดี ถ้า${\displaystyle g_{i}}$สร้างลำดับปกติของพหุนามเอกพันธุ์

ในสมัยของฮิลเบิร์ต ยังไม่มีวิธีการใดที่ใช้คำนวณไซซีจีได้ เป็นที่ทราบกันเพียงว่าสามารถอนุมานอัลกอริทึม ได้จากขอบเขตบนใดๆ ของ ดีกรีของตัวสร้างของโมดูลของไซซีจี อันที่จริง สัมประสิทธิ์ของไซซีจีเป็นพหุนามที่ไม่ทราบค่า ถ้าดีกรีของพหุนามเหล่านี้มีขอบเขต จำนวนของเอกนามของพหุนาม เหล่านั้น ก็จะมีขอบเขตเช่นกัน การแสดงว่ามีไซซีจีจะทำให้ได้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าคือสัมประสิทธิ์ของเอกนามเหล่านั้น ดังนั้น อัลกอริทึมใดๆ สำหรับระบบสมการเชิงเส้นจึงหมายถึงอัลกอริทึมสำหรับไซซีจี ตราบใดที่ทราบขอบเขตของดีกรี

ขอบเขตแรกสำหรับ syzygies (รวมถึงปัญหาสมาชิกภาพในอุดมคติ ) ได้รับการกำหนดในปี พ.ศ. 2469 โดยGrete Hermann : ^{[ 3 ]}ให้Mเป็นซับโมดูลของโมดูลอิสระLที่มีมิติtเหนือ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}];}$ถ้าสัมประสิทธิ์บนฐานLของระบบกำเนิดของMมีดีกรีรวมไม่เกินdแล้วจะมีค่าคงที่cที่ทำให้ดีกรีที่เกิดขึ้นในระบบกำเนิดของโมดูลซิซีจีแรกมีค่าไม่เกิน${\displaystyle (td)^{2^{cn}}.}$ขอบเขตเดียวกันนี้ใช้สำหรับการทดสอบการเป็นสมาชิกของMขององค์ประกอบของL ^{[ 4 ]}

ในทางกลับกัน มีตัวอย่างที่ ระดับ เลขชี้กำลังสองเท่าเกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างดังกล่าวหายากมาก และนี่ทำให้เกิดคำถามเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพเมื่อผลลัพธ์ไม่ใหญ่เกินไป ในปัจจุบัน อัลกอริทึมที่ดีที่สุดสำหรับการคำนวณ syzygies คือ อัลกอริทึม ฐาน Gröbnerอัลกอริทึมเหล่านี้ช่วยให้สามารถคำนวณโมดูล syzygie ตัวแรกได้ และยังสามารถคำนวณโมดูล syzygies ทั้งหมดได้โดยแทบไม่มีค่าใช้จ่ายเพิ่มเติม

บางคนอาจสงสัยว่าคุณสมบัติทางทฤษฎีวงแหวนใดของ${\displaystyle A=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ทำให้ทฤษฎีบทฮิลเบิร์ตซิซีจีเป็นจริง ปรากฏว่านี่คือความสม่ำเสมอซึ่งเป็นการกำหนดสูตรทางพีชคณิตของข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิแอฟฟินnมิติเป็นวาไรตี้ที่ไม่มีจุดเอกฐานอันที่จริง การสรุปทั่วไปต่อไปนี้เป็นจริง: ให้${\displaystyle A}$เป็นแหวนโนเธอร์เรียนจากนั้น${\displaystyle A}$มีมิติทั่วโลกจำกัดก็ต่อเมื่อ${\displaystyle A}$เป็นแบบปกติและมิติครูลล์ของ${\displaystyle A}$มีค่าจำกัด ในกรณีนั้น มิติโดยรวมของ${\displaystyle A}$เท่ากับมิติของ Krull ผลลัพธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของ Serre เกี่ยวกับวงแหวนเฉพาะที่ปกติ

• ทฤษฎีบทควิลเลน-ซัสลิน
• อนุกรมฮิลเบิร์ตและพหุนามฮิลเบิร์ต