ในทางคณิตศาสตร์ปัญหาข้อที่สิบสี่ของฮิลเบิร์ตหรือข้อที่ 14 ของปัญหาที่ฮิลเบิร์ตเสนอในปี ค.ศ. 1900 ถามว่าพีชคณิต บางประเภทนั้น ถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด หรือ ไม่

เงื่อนไขมีดังนี้: สมมติว่าkเป็นฟิลด์และให้Kเป็นฟิลด์ย่อยของฟิลด์ฟังก์ชันตรรกยะใน ตัวแปร nตัว

${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$เกิน${\displaystyle k}$.

ต่อไปนี้ให้พิจารณาพีชคณิตk Rซึ่งนิยามว่าเป็นจุดตัด

${\displaystyle R:=K\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}]\ .}$

ฮิลเบิร์ตตั้งข้อสันนิษฐานว่าพีชคณิตดังกล่าวทั้งหมดถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดเหนือk

มีการค้นพบผลลัพธ์บางอย่างที่ยืนยันข้อสันนิษฐานของฮิลเบิร์ตในกรณีพิเศษและสำหรับวงแหวนบางประเภท (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อสันนิษฐานได้รับการพิสูจน์อย่างไม่มีเงื่อนไขสำหรับn = 1 และn = 2 โดยซาริสกีในปี 1954) จากนั้นในปี 1959 มาซาโยชิ นากาตะ ได้ค้นพบตัวอย่างค้านข้อสันนิษฐานของฮิลเบิร์ต ตัวอย่างค้านของนากาตะคือวงแหวนของตัวแปรคงที่ที่สร้างขึ้นอย่างเหมาะสม สำหรับการกระทำของกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้น

ปัญหาดังกล่าวเกิดขึ้นครั้งแรกในทฤษฎีตัวแปรคงที่ เชิงพีชคณิต โดยที่วงแหวนRถูกกำหนดให้เป็นวงแหวนของตัวแปรคงที่พหุนาม (ที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสม) ของกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นเหนือฟิลด์kซึ่งกระทำในเชิง พีชคณิตบน วงแหวนพหุนามk [ x , ..., x ] (หรือโดยทั่วไปแล้ว บนพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดซึ่งกำหนดไว้เหนือฟิลด์) ในสถานการณ์นี้ ฟิลด์Kคือฟิลด์ของ ฟังก์ชัน ตรรกยะ (ผลหารของพหุนาม) ในตัวแปรx ซึ่งคงที่ภายใต้การกระทำที่กำหนดของกลุ่มพีชคณิต และวงแหวนRคือวงแหวนของพหุนามซึ่งคงที่ภายใต้การกระทำนั้น ตัวอย่างคลาสสิกในศตวรรษที่สิบเก้าคือการศึกษาอย่างกว้างขวาง (โดยเฉพาะโดยCayley , Sylvester , Clebsch , Paul Gordanและ Hilbert) เกี่ยวกับตัวแปรคงที่ของรูปแบบไบนารีในสองตัวแปรด้วยการกระทำตามธรรมชาติของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษSL ( k ) บนรูปแบบนั้น ฮิลเบิร์ตเองได้พิสูจน์การสร้างวงแหวนไม่แปรเปลี่ยนจำนวนจำกัดในกรณีของฟิลด์จำนวนเชิงซ้อนสำหรับกลุ่มลีแบบกึ่งง่ายคลาสสิก บางกลุ่ม (โดยเฉพาะกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเหนือจำนวนเชิงซ้อน) และการกระทำเชิงเส้นเฉพาะบนวงแหวนพหุนาม กล่าวคือ การกระทำที่มาจากตัวแทนมิติจำกัดของกลุ่มลี ผลลัพธ์เรื่องความจำกัดนี้ได้รับการขยายในภายหลังโดยเฮอร์มันน์ เวย์ลไปยังกลุ่มลีแบบกึ่งง่ายทั้งหมด ส่วนประกอบสำคัญในการพิสูจน์ของฮิลเบิร์ตคือทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ตที่นำไปใช้กับอุดมคติภายในวงแหวนพหุนามที่สร้างขึ้นโดยตัวแปรไม่แปรเปลี่ยน

การกำหนดปัญหาข้อที่สิบสี่ของฮิลเบิร์ตโดย ซาริสกีถามว่า สำหรับวาไรตีพีชคณิตกึ่งแอฟฟินXเหนือฟิลด์kซึ่งอาจสมมติว่าX เป็นวาไร ตีปกติหรือเรียบวงแหวนของฟังก์ชันปกติบนX นั้น ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือkหรือไม่

สูตรของ Zariski ได้รับการแสดงให้เห็น^{[ 1 ]}ว่าเทียบเท่ากับปัญหาดั้งเดิมสำหรับXปกติ(ดูเพิ่มเติม: ทฤษฎีบทความจำกัดของ Zariski )

Éfendiev FF (Fuad Efendi) ได้จัดเตรียมอัลกอริทึมสมมาตรที่สร้างฐานของตัวแปรคงที่ของรูปแบบ n-ary ที่มีดีกรี r ^{[ 2 ]}

นากาตะ (1960)ได้ยกตัวอย่างค้านต่อปัญหาของฮิลเบิร์ตดังต่อไปนี้ ฟิลด์kเป็นฟิลด์ที่มีสมาชิก 48 ตัวคือ a , ..., a สำหรับi =1, 2, 3 ซึ่งเป็นอิสระทางพีชคณิตเหนือฟิลด์จำนวนเฉพาะ วงแหวนRคือวงแหวนพหุนามk [ x ,..., x , t ,..., t ] ในตัวแปร 32 ตัว ปริมาณเวกเตอร์Vเป็นปริมาณเวกเตอร์ 13 มิติเหนือkซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์ทั้งหมด ( b₁ ..., b₁₆ ) ในk₁₆ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสาม ( a₁ᵢ ..., a₁₆ᵢ สำหรับi = เวกเตอร์V เป็นกลุ่มพีชคณิตแบบยูนิ ^{วงแหวน}ของของที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่มV ไม่ใช่พีชคณิตkที่สร้างขึ้นอย่าง

ผู้เขียนหลายท่านได้ลดขนาดของกลุ่มและปริภูมิเวกเตอร์ในตัวอย่างของนากาตะลง ตัวอย่างเช่นโททาโร (2008)แสดงให้เห็นว่าเหนือฟิลด์ใดๆ จะมีการกระทำของผลรวมG ³ ของกลุ่มบวกสามชุดบนk ¹⁸ซึ่งวงแหวนของตัวแปรคงที่ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด

• การสืบเชื้อสายแบบนิลโพเทนต์เฉพาะที่
• ข้อสันนิษฐานของนากาตะเกี่ยวกับเส้นโค้ง