ปัญหาข้อที่สามของ ฮิลเบิร์ต ที่นำเสนอในปี ค.ศ. 1900 เป็นปัญหาแรกที่ได้รับการแก้ไข ปัญหาดังกล่าวถามดังต่อไปนี้:

กำหนดให้ทรงหลาย เหลี่ยมสอง รูปที่มี ปริมาตรเท่ากันสามารถตัดทรงหลายเหลี่ยมรูปแรกออกเป็นชิ้นส่วนทรงหลายเหลี่ยมจำนวนจำกัดได้เสมอหรือไม่ ซึ่งชิ้นส่วนเหล่านั้นสามารถนำมาประกอบใหม่เพื่อให้ได้ทรงหลายเหลี่ยมรูปที่สอง?

จากงานเขียนก่อนหน้านี้ของ^คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ [ ^{1 ]}เดวิด ฮิลเบิร์ตตั้งข้อสันนิษฐานว่าสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้เสมอไปแม็กซ์ เดห์น นักศึกษาของเขา ได้ยืนยันข้อสันนิษฐานนี้ด้วยตัวอย่างค้าน^{[ 2 ]}

สูตรสำหรับปริมาตรของพีระมิด ซึ่งเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงนั้น ยูคลิดรู้จักอยู่แล้วอย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ทั้งหมดเกี่ยวข้องกับกระบวนการจำกัดหรือแคลคูลัส บางรูปแบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีการหาค่าโดยประมาณหรือในรูปแบบที่ทันสมัยกว่าคือหลักการของคาวาลิเอรี สูตรที่คล้ายกันในเรขาคณิตระนาบสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการที่พื้นฐานกว่า เกาส์เสียใจกับข้อบกพร่องนี้ในจดหมายสองฉบับถึง คริสเตียน ลุดวิก เกอร์ลิงผู้ซึ่งพิสูจน์ว่าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสมมาตรสองรูปสามารถแบ่งออกได้เท่ากัน^{[ 3 ]}

จดหมายของเกาส์เป็นแรงบันดาลใจให้เดวิด ฮิลเบิร์ต : เป็นไปได้หรือไม่ที่จะพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของปริมาตรโดยใช้วิธี "ตัดและต่อ" ขั้นพื้นฐาน สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ หรือสำหรับกรณีเฉพาะที่ยูคลิดศึกษา? ^{[ 4 ]}แรงบันดาลใจอีกประการหนึ่งของฮิลเบิร์ตมาจากทฤษฎีบทของวอลเลซ-โบไล-เกอร์เวียนในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 ซึ่งระบุว่า รูป หลายเหลี่ยม สองรูปใดๆ ที่มีพื้นที่เท่ากันสามารถตัดออกเป็นชิ้นส่วนรูปหลายเหลี่ยมและประกอบเข้าด้วยกันได้ เขาใช้ทฤษฎีบทนี้เป็นวิธีในการกำหนดสัจพจน์ของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมสองมิติ โดยเชื่อมโยงกับสัจพจน์ของฮิลเบิร์ตสำหรับเรขาคณิตแบบยูคลิด [ ^{5 ] ต่อ}มาเขาได้กำหนดชุดปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลในศตวรรษที่ 20 จำนวน 23 ข้อในปี 1900 ในการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ ในชุดของเขา เขาได้กล่าวถึงปัญหาที่สามเกี่ยวกับการกำหนดสัจพจน์ของปริมาตรของแข็ง ว่าทรงหลายเหลี่ยมสองอันที่มีปริมาตรเท่ากันสามารถตัดเป็นชิ้นส่วนทรงหลายเหลี่ยมและประกอบกลับเข้าด้วยกันได้เสมอหรือไม่^{[ 6 ] [ a ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมสองรูปเรียกว่าสมมาตรแบบกรรไกรถ้ารูปทรงหนึ่งสามารถตัดออกเป็นชิ้นส่วนรูปทรงหลายเหลี่ยมจำนวนจำกัด ซึ่งสามารถนำมาประกอบใหม่เพื่อสร้างอีกรูปทรงหนึ่งได้ รูปทรงหลายเหลี่ยมสมมาตรแบบกรรไกรสองรูปใดๆ จะมีปริมาตรเท่ากัน ฮิลเบิร์ตถามถึงสิ่งที่ตรงกันข้าม

สำหรับทรงหลายเหลี่ยมทุกรูป${\displaystyle P}$แม็กซ์ เดห์นได้กำหนดค่าหนึ่งขึ้นมา ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อค่าคงที่ของเดห์น (Dehn invariant)${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$โดยมีคุณสมบัติที่ว่า หาก${\displaystyle P}$ถูกตัดเป็นชิ้นทรงหลายเหลี่ยม${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n}}$, แล้ว $${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\operatorname {D} (P_{1})+\operatorname {D} (P_{2})+\cdots +\operatorname {D} (P_{n}).}$$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าทรงหลายเหลี่ยมสองรูปมีความสอดคล้องกันแบบกรรไกร พวกมันจะมีค่าคงที่ของเดห์นเหมือนกัน เดห์นแสดงให้เห็นว่าลูกบาศก์ทุกอันมีค่าคงที่ของเดห์นเป็นศูนย์ ในขณะที่ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ ทุก อันมีค่าคงที่ของเดห์นที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น รูปทรงทั้งสองนี้จึงไม่สามารถมีความสอดคล้องกันแบบกรรไกรได้^{[ 2 ] [ 8 ]}ซึ่งหมายความว่าไม่ใช่ทรงหลายเหลี่ยมทุกรูปที่จะสามารถแบ่งออกเป็นลูกบาศก์ได้ ดังนั้นคำตอบจึงเป็นลบ^{[ 6 ]}

ค่าคงที่ของทรงหลายเหลี่ยมถูกกำหนดโดยอาศัยความยาวของขอบและมุมระหว่างหน้าของทรงหลายเหลี่ยมนั้น หากทรงหลายเหลี่ยมถูกตัดออกเป็นสองส่วน ขอบบางส่วนจะถูกตัดออกเป็นสองส่วนเช่นกัน และค่าคงที่ของเดห์นที่ได้จากการตัดตามขอบนั้นควรจะสามารถบวกกันได้ ในทำนองเดียวกัน หากทรงหลายเหลี่ยมถูกตัดตามขอบ มุมที่สอดคล้องกันก็จะถูกตัดออกเป็นสองส่วน การตัดทรงหลายเหลี่ยมมักจะทำให้เกิดขอบและมุมใหม่ขึ้นด้วย ซึ่งค่าคงที่ของขอบและมุมใหม่เหล่านี้จะต้องหักล้างกัน มุมที่เกิดขึ้นเมื่อการตัดผ่านหน้าจะบวกกันได้${\displaystyle \pi }$และมุมที่เกิดขึ้นรอบขอบด้านในของทรงหลายเหลี่ยมจะเพิ่มเข้าไป${\displaystyle 2\pi }$ดังนั้น ค่าคงที่ของเดห์นจึงถูกกำหนดในลักษณะที่ว่า ผลคูณจำนวนเต็มของมุมของ${\displaystyle \pi }$ให้ผลรวมสุทธิเป็นศูนย์^{[ 9 ]}

ข้อกำหนดทั้งหมดข้างต้นสามารถบรรลุได้โดยการกำหนด${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$ในฐานะองค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์ของจำนวนจริง${\displaystyle \mathbb {R} }$(แทนความยาวของขอบ) และปริภูมิผลหาร${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$(แทนมุมด้วยผลคูณตรรกยะทั้งหมดของ${\displaystyle \pi }$แทนที่ด้วยศูนย์) ^{[ 9 ]}สำหรับบางวัตถุประสงค์ คำจำกัดความนี้สามารถทำได้โดยใช้ผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลเหนือ${\displaystyle \mathbb {Z} }$(หรือเทียบเท่ากับกลุ่มอาเบเลียน ) ในขณะที่แง่มุมอื่นๆ ของหัวข้อนี้ใช้ โครงสร้าง ปริภูมิเวกเตอร์บนตัวแปรคงที่ ซึ่งได้มาจากการพิจารณาปัจจัยทั้งสอง${\displaystyle \mathbb {R} }$และ${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$และการหาผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$การเลือกโครงสร้างในคำนิยามนี้ไม่ได้ทำให้ค่าคงที่ของ Dehn สองค่าที่กำหนดไว้ในรูปแบบใดก็ตาม เท่ากันหรือไม่เท่ากันแต่อย่างใด

สำหรับขอบใดๆ${\displaystyle e}$ของทรงหลายเหลี่ยม${\displaystyle P}$, อนุญาต${\displaystyle \ell (e)}$ให้มีความยาวและปล่อยให้${\displaystyle \theta (e)}$แสดงถึงมุมไดเฮดรัลของหน้าทั้งสองของ${\displaystyle P}$ที่พบกันที่${\displaystyle e}$วัดเป็นเรเดียนและพิจารณาตามโมดูลัสของผลคูณเชิงตรรกะของ${\displaystyle \pi }$ตัวแปรคงที่ของ Dehn จึงถูกกำหนดดังนี้ $${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\sum _{e}\ell (e)\otimes \theta (e)}$$ โดยผลรวมจะคำนวณจากขอบทั้งหมด${\displaystyle e}$ของทรงหลายเหลี่ยม${\displaystyle P}$[ ^{9 ]}เป็นการประเมินค่า^​

จากทฤษฎีบทของ Dehn ข้างต้น อาจมีคนถามว่า "ทรงหลายเหลี่ยมใดบ้างที่สมมาตรแบบกรรไกร" ในปี 1965 Jean-Pierre Sydlerได้แสดงให้เห็นว่าทรงหลายเหลี่ยมสองรูปสมมาตรแบบกรรไกรก็ต่อเมื่อมีปริมาตรเท่ากันและค่าคงที่ของ Dehn เหมือนกัน^{[ 10 ]} ต่อมา Børge Jessenได้ขยายผลลัพธ์ของ Sydler ไปสู่มิติสี่^{[ 11 ]}ในปี 1990 Dupont และ Sah ได้ให้การพิสูจน์ที่ง่ายกว่าของผลลัพธ์ของ Sydler โดยการตีความใหม่เป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับโฮโมโลยีของกลุ่มคลาสสิก บาง ^{กลุ่ม} [ ^{12 ]}

ในปี 1980 Debrunner แสดงให้เห็นว่าค่าคงที่ Dehn ของรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ สามารถปูพื้นที่สามมิติทั้งหมดได้เป็นระยะๆ นั้นเป็นศูนย์^{[ 13 ]}

เจสเซนยังตั้งคำถามว่าผลลัพธ์แบบอนาล็อกของเจสเซนยังคงเป็นจริงสำหรับเรขาคณิตทรงกลมและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกหรือไม่ ในเรขาคณิตเหล่านี้ วิธีของเดห์นยังคงใช้งานได้ และแสดงให้เห็นว่าเมื่อทรงหลายเหลี่ยมสองรูปมีความสอดคล้องกันแบบกรรไกร ค่าคงที่ของเดห์นจะเท่ากัน อย่างไรก็ตาม ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขว่าคู่ของทรงหลายเหลี่ยมที่มีปริมาตรเท่ากันและค่าคงที่ของเดห์นเหมือนกันในเรขาคณิตเหล่านี้ จะมีความสอดคล้องกันแบบกรรไกรเสมอหรือไม่^{[ 14 ]}

ปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ตได้รับการเสนอโดยอิสระโดยวลาดิสลาฟ เครตคอฟสกีสำหรับการแข่งขันคณิตศาสตร์ในปี พ.ศ. 2425 โดยสถาบันศิลปะและวิทยาศาสตร์แห่งคราคอฟและได้รับการแก้ไขโดยลุดวิก อันโตนี บีร์เคนมาเยอร์โดยใช้วิธีที่แตกต่างจากของเดห์น บีร์เคนมาเยอร์ไม่ได้เผยแพร่ผลลัพธ์ และต้นฉบับดั้งเดิมที่มีวิธีแก้ปัญหาของเขาถูกค้นพบอีกครั้งในอีกหลายปีต่อมา^{[ 3 ]}

• พีระมิดฐานสี่ของฮิลล์
• โอโนราโต นิโคเลตติ

• Benko, D. (2007). "แนวทางใหม่สำหรับปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ต" The American Mathematical Monthly . 114 (8): 665– 676. doi : 10.1080/00029890.2007.11920458 . S2CID 7213930 . 
• Schwartz, Rich (2010). "คำอธิบายทฤษฎีบท Dehn–Sydler" (PDF )
• โคจิ, ชิงะ; โทชิคาซึ ซึนาดะ (2005) ของขวัญทางคณิตศาสตร์ III: การทำงานร่วมกันระหว่างโทโพโลยี ฟังก์ชัน เรขาคณิต และพีชคณิต สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน

• การพิสูจน์ทฤษฎีบทของเดห์นที่ Everything2
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ตัวแปรคงที่ของเดห์น" . แมธเวิลด์ .
• Dehn Invariant ที่ Everything2
• Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Dehn invariant" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press