ทฤษฎีบทของโฮเลโวเป็นผลลัพธ์ในทฤษฎีสารสนเทศควอนตัมบางครั้งเรียกว่าขอบเขตของโฮเลโวเนื่องจากให้ขอบเขตบนของสารสนเทศที่เข้าถึงได้ ซึ่งก็คือปริมาณสารสนเทศที่สามารถทราบได้เกี่ยวกับสถานะควอนตัม ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยอเล็กซานเดอร์ โฮเลโวในปี 1973

สมมติว่าอลิซต้องการส่งข้อความแบบคลาสสิกไปยังบ็อบโดยการเข้ารหัสลงในสถานะควอนตัม และสมมติว่าเธอสามารถเตรียมสถานะจากชุดคงที่บางชุดได้โดยที่สถานะที่ i ถูกเตรียมด้วยความน่าจะ เป็น ให้เป็นรีจิสเตอร์แบบคลาสสิกที่เก็บการเลือกสถานะที่อลิซทำไว้ เป้าหมายของบ็อบคือการกู้คืนค่าของโดยการวัดPOVMบนสถานะที่เขาได้รับ ให้เป็นรีจิสเตอร์แบบคลาสสิกที่เก็บผลลัพธ์การวัดของบ็อบ ซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงขึ้นอยู่กับการเลือกการวัดของบ็อบ ${\displaystyle \{\rho _{1},...,\rho _{n}\}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ทฤษฎีบทของโฮเลโวให้ขอบเขตของปริมาณความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่บันทึกไว้แบบคลาสสิกและ ค่าอื่นๆ โดยไม่ ขึ้นอยู่กับวิธีการวัดของบ็อบ ในแง่ของข้อมูลโฮเลโวข้อมูลโฮเลโวไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการวัด ดังนั้นจึงให้ขอบเขตที่ไม่จำเป็นต้องทำการปรับให้เหมาะสมกับวิธีการวัดที่เป็นไปได้ทั้งหมด ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

กำหนดข้อมูลที่เข้าถึงได้ระหว่างและว่าเป็นข้อมูลร่วม (แบบคลาสสิก) ระหว่างรีจิสเตอร์ทั้งสองที่เพิ่มค่าสูงสุดเหนือตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการวัดของบ็อบ โดยที่คือข้อมูลร่วมแบบคลาสสิกของการกระจายความน่าจะเป็นร่วมที่กำหนดโดยไม่มีสูตรที่ทราบสำหรับข้อมูลที่เข้าถึงได้โดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม มีขอบเขตบนเสมอ โดยที่คือกลุ่มของสถานะที่อลิซใช้ในการส่งข้อมูล และคือเอนโทรปีของฟอน นอยมันน์ปริมาณนี้เรียกว่าข้อมูลโฮเลโวหรือปริมาณโฮเลโว χ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle I_{\rm {acc}}(X:Y)=\sup _{\{\Pi _{i}^{B}\}_{i}}I(X:Y|\{\Pi _{i}^{B}\}_{i}),}$$${\displaystyle I(X:Y|\{\Pi _{i}^{B}\}_{i})}$${\displaystyle p_{ij}=p_{i}\operatorname {Tr} (\Pi _{j}^{B}\rho _{i})}$$${\displaystyle I_{\rm {acc}}(X:Y)\leq \chi (\eta )\equiv S\left(\sum _{i}p_{i}\rho _{i}\right)-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}),}$$${\displaystyle \eta \equiv \{(p_{i},\rho _{i})\}_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \chi (\eta )}$

ข้อมูลของโฮเลโว (Holevo) ยังเท่ากับข้อมูลร่วมควอนตัมของสถานะคลาสสิก-ควอนตัมที่สอดคล้องกับกลุ่มตัวอย่างโดยที่ข้อมูลร่วมควอนตัมของสถานะทวิภาคทฤษฎีบทของโฮเลโวสามารถกล่าวได้ว่าเป็นขอบเขตของข้อมูลที่เข้าถึงได้ในแง่ของข้อมูลร่วมควอนตัมของสถานะคลาสสิก-ควอนตัม $${\displaystyle \chi (\eta )=I\left(\sum _{i}p_{i}|i\rangle \!\langle i|\otimes \rho _{i}\right),}$$${\displaystyle I(\rho _{AB})\equiv S(\rho _{A})+S(\rho _{B})-S(\rho _{AB})}$${\displaystyle \rho _{AB}}$

พิจารณาระบบประกอบที่อธิบายกระบวนการสื่อสารทั้งหมด ซึ่งเกี่ยวข้องกับอินพุตแบบคลาสสิกของอลิซระบบควอนตัมและเอาต์พุตแบบคลาสสิกของบ็อบอินพุตแบบคลาสสิกสามารถเขียนได้ในรูปของรีจิสเตอร์แบบคลาสสิกโดยสัมพันธ์กับฐานเชิงตั้งฉากบางอย่างการเขียนในลักษณะนี้ เอนโทรปีของฟอน นอยมันน์ของสถานะจะสอดคล้องกับเอนโทรปีของแชนนอนของการกระจายความน่าจะเป็น: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho ^{X}:=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|}$${\displaystyle \{|x\rangle \}_{x=1}^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S(X)}$${\displaystyle \rho ^{X}}$${\displaystyle H(X)}$${\displaystyle \{p_{x}\}_{x=1}^{n}}$

${\displaystyle S(X)=-\operatorname {tr} \left(\rho ^{X}\log \rho ^{X}\right)=-\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)=-\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}=H(X).}$

สถานะเริ่มต้นของระบบ ซึ่งอลิซเตรียมสถานะด้วยความน่าจะเป็น นั้นอธิบายได้ดังนี้ ${\displaystyle \rho _{x}}$${\displaystyle p_{x}}$

${\displaystyle \rho ^{XQ}:=\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}.}$

หลังจากนั้น อลิซส่งสถานะควอนตัมไปให้บ็อบ เนื่องจากบ็อบเข้าถึงได้เฉพาะระบบควอนตัมแต่ไม่สามารถเข้าถึงข้อมูลป้อนเข้าเขาจึงได้รับสถานะผสมในรูปแบบบ็อบวัดสถานะนี้โดยเทียบกับองค์ประกอบPOVMและความน่าจะเป็นของการวัดผลลัพธ์จะก่อให้เกิดเอาต์พุตแบบคลาสสิกกระบวนการวัดนี้สามารถอธิบายได้ว่าเป็นเครื่องมือควอนตัม${\displaystyle Q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho :=\operatorname {tr} _{X}\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}}$${\displaystyle \{E_{y}\__{y=1}^{m}}$${\displaystyle \{q_{y}\__{y=1}^{m}}$${\displaystyle y=1,2,\dots ,m}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{Q}(\rho _{x})=\sum _{y=1}^{m}q_{y|x}\rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|,}$

โดยที่คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เมื่อกำหนดสถานะในขณะที่สำหรับค่าเอกลักษณ์บางค่าคือสถานะหลังการวัด ที่เป็นมาตรฐาน ดังนั้น สถานะของระบบทั้งหมดหลังจากกระบวนการวัดคือ ${\displaystyle q_{y|x}=\operatorname {tr} \left(E_{y}\rho _{x}\right)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \rho _{x}}$${\displaystyle \rho _{y|x}=W{\sqrt {E_{y}}}\rho _{x}{\sqrt {E_{y}}}W^{\dagger }/q_{y|x}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \rho ^{XQ'Y}:=\left[{\mathcal {I}}^{X}\otimes {\mathcal {E}}^{Q}\right]\!\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|.}$

นี่คือช่องเอกลักษณ์บนระบบเนื่องจากเป็นช่องควอนตัมและข้อมูลร่วมควอนตัมเป็นแบบโมโนโทนิกภายใต้แผนที่รักษาร่องรอยที่เป็นบวกอย่างสมบูรณ์^{[ 1 ]}นอกจากนี้ เนื่องจากร่องรอยบางส่วนเหนือก็เป็นบวกอย่างสมบูรณ์และรักษาร่องรอยเช่นกันอสมการทั้งสองนี้ให้ ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{Q}}$${\displaystyle S(X:Q'Y)\leq S(X:Q)}$${\displaystyle Q'}$${\displaystyle S(X:Y)\leq S(X:Q'Y)}$

${\displaystyle S(X:Y)\leq S(X:Q).}$

ทางด้านซ้ายมือ ปริมาณที่น่าสนใจจะขึ้นอยู่กับเพียงอย่างเดียว

${\displaystyle \rho ^{XY}:=\operatorname {tr} _{Q'}\left(\rho ^{XQ'Y}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes |y\rangle \langle y|=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x,y}|x,y\rangle \langle x,y|,}$

ด้วยความน่าจะเป็นร่วมกัน เห็นได้ชัดว่าและซึ่งอยู่ในรูปแบบเดียวกันกับอธิบายถึงรีจิสเตอร์แบบคลาสสิก ดังนั้น ${\displaystyle p_{x,y}=p_{x}q_{y|x}}$${\displaystyle \rho ^{XY}}$${\displaystyle \rho ^{Y}:=\operatorname {tr} _{X}(\rho ^{XY})}$${\displaystyle \rho ^{X}}$

${\displaystyle S(X:Y)=S(X)+S(Y)-S(XY)=H(X)+H(Y)-H(XY)=I(X:Y).}$

ในขณะเดียวกันขึ้นอยู่กับระยะเวลา ${\displaystyle S(X:Q)}$

${\displaystyle \log \rho ^{XQ}=\log \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \left(p_{x}\rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes I^{Q}+\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \rho _{x},}$

โดยที่ ตัวดำเนินการเอกลักษณ์บนระบบควอนตัมคืออะไรดังนั้น ด้านขวามือคือ ${\displaystyle I^{Q}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(X:Q)&=S(X)+S(Q)-S(XQ)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\rho ^{XQ}\log \rho ^{XQ}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\underbrace {\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)} _{-S(X)}+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(\rho )+\sum _{x=1}^{n}p_{x}\underbrace {\operatorname {tr} \left(\rho _{x}\log \rho _{x}\right)} _{-S(\rho _{x})}\\&=S(\rho )-\sum _{x=1}^{n}p_{x}S(\rho _{x}),\end{aligned}}}$

ซึ่งเป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

โดยพื้นฐานแล้ว ขอบเขตของโฮเลโวพิสูจน์ว่า เมื่อมีคิวบิตn ตัว แม้ว่าพวกมันจะสามารถ "บรรจุ" ข้อมูล (แบบคลาสสิก) ได้มากขึ้น (เนื่องจากการซ้อนทับควอนตัม) แต่ปริมาณข้อมูลแบบคลาสสิกที่สามารถเรียกคืนได้กล่าวคือเข้าถึงได้จะมีได้เพียงn บิตแบบคลาสสิก (ไม่ได้เข้ารหัสควอนตัม) เท่านั้น นอกจากนี้ยังมีการพิสูจน์แล้วทั้งในเชิงทฤษฎีและเชิงทดลองว่ามีการคำนวณที่บิตควอนตัมบรรจุข้อมูลได้มากกว่าที่ทำได้แบบคลาสสิกในกระบวนการคำนวณ^{[ 2 ]}

• ความสามารถแบบคลาสสิก
• การเข้ารหัสความหนาแน่นสูงพิเศษ

• Holevo, Alexander S. (1973). "ขอบเขตของปริมาณข้อมูลที่ส่งผ่านช่องทางการสื่อสารควอนตัม" ปัญหาของการส่งข้อมูล 9 : 177– 183 .
• นีลเซ่น, ไมเคิล เอ. ; ชวง, ไอแซค แอล. (2000). การคำนวณควอนตัมและสารสนเทศควอนตัม . เคมบริดจ์ สหราชอาณาจักร: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC  43641333 . (ดูหน้า 531 หัวข้อ 12.1.1 - สมการ (12.6))
• Wilde, Mark M. (2011). "จากทฤษฎีแชนนอนแบบคลาสสิกสู่ทฤษฎีแชนนอนแบบควอนตัม". arXiv : 1106.1445v2 [ quant-ph ].โปรดดูโดยเฉพาะหัวข้อ 11.6 และหัวข้อถัดไป ทฤษฎีบทของโฮเลโว่ถูกนำเสนอเป็นแบบฝึกหัด 11.9.1 ในหน้า 288