วิธีการ Holomorphic Embedding Load-flow ( HELM ) ^{[หมายเหตุ 1 ]}เป็นวิธีการแก้ปัญหาสำหรับ สมการ การไหลของกำลังไฟฟ้าของระบบไฟฟ้า คุณสมบัติหลักของวิธีนี้คือ เป็นวิธีโดยตรง (กล่าวคือ ไม่ต้องใช้การวนซ้ำ) และรับประกันทางคณิตศาสตร์ถึงการเลือกสาขาการทำงานที่ถูกต้องของปัญหาหลายค่าได้อย่างสม่ำเสมอ รวมถึงส่งสัญญาณถึงสภาวะแรงดันตกเมื่อไม่มีคำตอบ คุณสมบัติเหล่านี้มีความสำคัญไม่เพียงแต่ต่อความน่าเชื่อถือของแอปพลิเคชันแบบออฟไลน์และแบบเรียลไทม์ที่มีอยู่เท่านั้น แต่ยังช่วยให้สามารถสร้างเครื่องมือวิเคราะห์ประเภทใหม่ๆ ที่ไม่สามารถสร้างได้ด้วยวิธีการคำนวณการไหลของกำลังไฟฟ้าแบบวนซ้ำที่มีอยู่ (เนื่องจากปัญหาการลู่เข้า) ตัวอย่างเช่นเครื่องมือสนับสนุนการตัดสินใจที่ให้แผนปฏิบัติการที่ได้รับการตรวจสอบแล้วแบบเรียลไทม์

อัลกอริทึมการไหลของโหลด HELM ถูกคิดค้นโดย Antonio Trias และได้รับสิทธิบัตรของสหรัฐอเมริกา 2 ฉบับ^{[ 1 ] [ 2 ]} คำอธิบายโดยละเอียดได้รับการนำเสนอในการประชุม IEEE PES General Meeting ปี 2012 และเผยแพร่ในภายหลัง^{[ 3 ]} วิธีการนี้ตั้งอยู่บนแนวคิดและผลลัพธ์ขั้นสูงจากการวิเคราะห์เชิงซ้อนเช่นโฮโลมอร์ ฟิซิตี้ ทฤษฎีเส้นโค้งพีชคณิตและการต่อยอดเชิงวิเคราะห์อย่างไรก็ตาม การนำไปใช้เชิงตัวเลขนั้นค่อนข้างตรงไปตรงมา เนื่องจากใช้พีชคณิตเชิงเส้น มาตรฐาน และการประมาณค่า Padé นอกจากนี้ เนื่องจากส่วนที่จำกัดของการคำนวณคือการแยกตัวประกอบของเมทริกซ์แอดมิตแทนซ์ และทำเพียงครั้งเดียว ประสิทธิภาพจึงสามารถแข่งขันได้กับการไหลของโหลดแบบแยกส่วนอย่างรวดเร็วที่ได้รับการยอมรับ วิธีการนี้ได้รับการนำไปใช้ใน แอป พลิเคชัน EMSแบบเรียลไทม์และออฟไลน์ที่มีประสิทธิภาพในระดับอุตสาหกรรมแล้ว

การ คำนวณ การไหลของกระแสไฟฟ้าเป็นหนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐานที่สุดในการวิเคราะห์ระบบไฟฟ้า และเป็นรากฐานสำหรับเครื่องมืออื่นๆ เกือบทั้งหมดที่ใช้ใน การจำลอง และการจัดการระบบไฟฟ้าสมการการไหลของกระแสไฟฟ้าสามารถเขียนได้ในรูปแบบทั่วไปดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \sum _{k}Y_{ik}V_{k}+Y_{i}^{\text{sh}}V_{i}={\frac {S_{i}^{*}}{V_{i}^{*}}}}$

1

โดยที่พารามิเตอร์ที่กำหนด (เชิงซ้อน) คือเมทริกซ์แอดมิตแทนซ์ Y แอดมิตแทนซ์ขนานบัส Y ^shและการฉีดกำลังไฟฟ้าบัสS ซึ่งแสดงถึงโหลดและเครื่องกำเนิดไฟฟ้ากำลังคงที่

เพื่อแก้ระบบสมการพีชคณิตที่ไม่เป็นเชิงเส้นนี้ ได้มีการพัฒนาอัลกอริทึมการไหลของโหลดแบบดั้งเดิมโดยอาศัยเทคนิคการวนซ้ำสามวิธี ได้แก่วิธี Gauss–Seidel ^{[ 4 ]}ซึ่ง มีคุณสมบัติการลู่เข้าที่ไม่ดี แต่ต้องการหน่วยความจำน้อยมากและใช้งานได้ง่ายวิธี Newton–Raphson แบบเต็ม ^{[ 5 ]} ซึ่งมีคุณสมบัติการลู่เข้าแบบวนซ้ำที่รวดเร็ว (กำลังสอง) แต่มีต้นทุนการคำนวณสูง และวิธี Fast Decoupled Load-Flow (FDLF) ^{[ 6 ]} ซึ่งอิงตาม Newton–Raphson แต่ลดต้นทุนการคำนวณลงอย่างมากโดยใช้การประมาณการแยกส่วนที่ใช้ได้ผลในเครือข่ายส่งกำลังส่วนใหญ่ มีการปรับปรุงเพิ่มเติมอื่นๆ อีกมากมาย อย่างไรก็ตาม เทคนิคพื้นฐานในทั้งหมดก็ยังคงเป็นตัวแก้ปัญหาแบบวนซ้ำ ไม่ว่าจะเป็นแบบ Gauss-Seidel หรือแบบ Newton มีปัญหาพื้นฐานสองประการกับแผนการวนซ้ำทั้งหมดในประเภทนี้ ในด้านหนึ่ง ไม่มีหลักประกันว่าการวนซ้ำจะลู่เข้าสู่คำตอบเสมอไป ในอีกด้านหนึ่ง เนื่องจากระบบมีคำตอบหลายคำตอบ^{[หมายเหตุ 2 ]}จึงไม่สามารถควบคุมได้ว่าจะเลือกคำตอบใด เมื่อระบบไฟฟ้าเข้าใกล้จุดที่แรงดันไฟฟ้าตก คำตอบที่ไม่ถูกต้องจะเข้าใกล้คำตอบที่ถูกต้องมากขึ้น และวิธีการวนซ้ำอาจถูกดึงดูดไปยังคำตอบใดคำตอบหนึ่งได้ง่ายเนื่องจากปรากฏการณ์แฟรกทัลของนิวตัน: เมื่อใช้วิธีของนิวตันกับฟังก์ชันเชิงซ้อน บริเวณดึงดูดของคำตอบต่างๆ จะแสดงพฤติกรรมแบบแฟรกทัล^{[หมายเหตุ 3 ]} ด้วยเหตุนี้ ไม่ว่าจุดเริ่มต้นของการวนซ้ำ (seed) ที่เลือกจะอยู่ใกล้กับคำตอบที่ถูกต้องมากเพียงใด ก็ยังมีโอกาสที่ไม่เป็นศูนย์ที่จะเบี่ยงเบนไปยังคำตอบอื่นเสมอ ปัญหาพื้นฐานเหล่านี้ของการคำนวณการไหลของโหลดแบบวนซ้ำได้รับการบันทึกไว้อย่างกว้างขวางแล้ว^{[ 7 ]} ภาพประกอบง่ายๆ สำหรับแบบจำลองสองบัสมีอยู่ใน^{[ 8 ]}แม้ว่าจะมี เทคนิค การต่อเนื่องแบบโฮโมโทปิก ที่ช่วยบรรเทาปัญหาได้ในระดับหนึ่ง^{[ 9 ]}แต่ลักษณะแฟรกทัลของแอ่งดึงดูดทำให้ไม่สามารถใช้วิธีที่เชื่อถือได้ 100% สำหรับสถานการณ์ทางไฟฟ้าทั้งหมดได้

ข้อได้เปรียบที่สำคัญของวิธี HELM คือความแน่นอนและไม่คลุมเครือ กล่าวคือ รับประกันว่าคำตอบจะสอดคล้องกับคำตอบที่ถูกต้องในการใช้งานเสมอ เมื่อคำตอบนั้นมีอยู่ และจะส่งสัญญาณว่าไม่มีคำตอบเมื่อเงื่อนไขเป็นเช่นนั้น (แรงดันไฟฟ้าตก) นอกจากนี้ วิธีนี้ยังสามารถแข่งขันได้กับวิธี FDNR ในแง่ของต้นทุนการคำนวณ วิธี HELM นำเสนอวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งสำหรับปัญหาการไหลของกระแสไฟฟ้า ซึ่งให้ข้อมูลเชิงลึกใหม่ๆ ที่ไม่เคยมีมาก่อนด้วยวิธีการคำนวณเชิงตัวเลขแบบวนซ้ำ

HELM มีพื้นฐานมาจากทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด และในทางปฏิบัติสามารถสรุปได้ดังนี้:

1. กำหนดการฝังตัวแบบโฮโลมอร์ฟิกเฉพาะสำหรับสมการในรูปของพารามิเตอร์เชิงซ้อนsโดยที่สำหรับs = 0ระบบจะมีคำตอบที่ถูกต้องอย่างชัดเจน และสำหรับs = 1จะได้ปัญหาเดิมกลับคืนมา
2. เมื่อพิจารณาการฝังตัวแบบโฮโลมอร์ฟิกนี้แล้ว จึงสามารถคำนวณอนุกรมกำลังสำหรับแรงดันไฟฟ้าได้อย่างเฉพาะเจาะจงในรูปฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ของsคำตอบที่ถูกต้องของการไหลของโหลดที่s = 1จะได้มาจากการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของคำตอบที่ถูกต้องที่ทราบแล้วที่s = 0
3. ดำเนินการต่อยอดเชิงวิเคราะห์โดยใช้ตัวประมาณเชิงพีชคณิต ซึ่งในกรณีนี้รับประกันได้ว่าจะลู่เข้าสู่คำตอบหากมีอยู่ หรือจะไม่ลู่เข้าหากไม่มีคำตอบ (แรงดันตก)

HELM นำเสนอวิธีแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นมานานในวิธีการคำนวณการไหลของกระแสไฟฟ้าแบบวนซ้ำทั้งหมด ซึ่งก็คือ ความไม่น่าเชื่อถือของการวนซ้ำในการค้นหาคำตอบที่ถูกต้อง (หรือคำตอบใดๆ เลย)

ด้วยเหตุนี้ HELM จึงเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการใช้งานแบบเรียลไทม์ และเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับซอฟต์แวร์ EMS ใดๆ ที่ใช้หลักการอัลกอริธึมเชิงสำรวจ เช่น การวิเคราะห์สถานการณ์ฉุกเฉิน และการแก้ไขปัญหาการละเมิดขีดจำกัดการปฏิบัติงานและการฟื้นฟูภายใต้สภาวะการแจ้งเตือนและเหตุฉุกเฉิน โดยให้คำแนะนำผ่านแผนปฏิบัติการ

เพื่อความสะดวกในการอธิบาย เราจะละเว้นการกล่าวถึงตัวควบคุม แต่ระเบียบวิธีนี้สามารถรองรับตัวควบคุมทุกประเภทได้ สำหรับสมการข้อจำกัดที่กำหนดโดยตัวควบคุมเหล่านี้ จะต้องมีการกำหนดการฝังตัวแบบโฮโลมอร์ฟิกที่เหมาะสมด้วยเช่นกัน

The method uses an embedding technique by means of a complex parameter s. The first key ingredient in the method lies in requiring the embedding to be holomorphic, that is, that the system of equations for voltages V is turned into a system of equations for functions V(s) in such a way that the new system defines V(s) as holomorphic functions (i.e. complex analytic) of the new complex variable s. The aim is to be able to use the process of analytic continuation which will allow the calculation of V(s) at s=1. Looking at equations (1), a necessary condition for the embedding to be holomorphic is that V^* is replaced under the embedding with V^*(s^*), not V^*(s). This is because complex conjugation itself is not a holomorphic function. On the other hand, it is easy to see that the replacement V^*(s^*) does allow the equations to define a holomorphic function V(s). However, for a given arbitrary embedding, it remains to be proven that V(s) is indeed holomorphic. Taking into account all these considerations, an embedding of this type is proposed:

${\displaystyle \sum _{k}Y_{ik}V_{k}(s)+Y_{i}^{\text{sh}}V_{i}(s)=s{\frac {S_{i}^{*}}{V_{i}^{*}(s^{*})}}}$

1

With this choice, at s=0 the right hand side terms become zero, (provided that the denominator is not zero), this corresponds to the case where all the injections are zero and this case has a well known and simple operational solution: all voltages are equal and all flow intensities are zero. Therefore, this choice for the embedding provides at s=0 a well known operational solution.

Now using classical techniques for variable elimination in polynomial systems^[10] (results from the theory of Resultants and Gröbner basis it can be proven that equations (1) do in fact define V(s) as holomorphic functions. More significantly, they define V(s) as algebraic curves. It is this specific fact, which becomes true because the embedding is holomorphic that guarantees the uniqueness of the result. The solution at s=0 determines uniquely the solution everywhere (except on a finite number of branch cuts), thus getting rid of the multi-valuedness of the load-flow problem.

เทคนิคในการหาค่าสัมประสิทธิ์สำหรับการขยายอนุกรมกำลัง (บนs =0 ) ของแรงดันไฟฟ้าVนั้นค่อนข้างตรงไปตรงมา เมื่อตระหนักว่าสมการ ( 2 ) สามารถใช้เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์เหล่านั้นได้ทีละลำดับ พิจารณาการขยายอนุกรมกำลังสำหรับ${\displaystyle \textstyle V(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a[n]s^{n}}$และ${\displaystyle \textstyle 1/V(s)=\sum _{n=0}^{\infty }b[n]s^{n}}$โดยการแทนค่าลงในสมการ ( 1 ) และระบุพจน์ในแต่ละลำดับในs ⁿจะได้:

${\displaystyle \sum _{k}Y_{ik}a_{k}[n]+Y_{i}^{\text{sh}}a_{i}[n]=S_{i}^{*}b_{i}^{*}[n-1]\qquad (n=0,\ldots ,\infty )}$

2

จากนั้นจึงสามารถแก้ลำดับของระบบเชิงเส้น ( 2 ) ตามลำดับทีละลำดับได้อย่างง่ายดาย โดยเริ่มจากn =0โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์ของการขยายสำหรับVและ1/Vมีความสัมพันธ์กันโดยสูตรการสังเคราะห์แบบง่ายที่ได้มาจากเอกลักษณ์ต่อไปนี้:

เพื่อให้ด้านขวามือใน ( 2 ) สามารถคำนวณได้เสมอจากผลเฉลยของระบบในลำดับก่อนหน้า สังเกตด้วยว่าขั้นตอนทำงานอย่างไรโดยการแก้ระบบเชิงเส้น เท่านั้น ซึ่งเมทริกซ์ยังคงที่

มีการอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับขั้นตอนดังกล่าวไว้ในเอกสารอ้างอิง^{[ 3 ]}

เมื่อคำนวณอนุกรมกำลังที่s = 0ได้ถึงลำดับที่ต้องการแล้ว ปัญหาของการคำนวณอนุกรมกำลังที่s = 1ก็จะกลายเป็นปัญหาของการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ควรเน้นย้ำอย่างยิ่งว่านี่ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องใดๆ กับเทคนิคการต่อยอดแบบโฮโมโทปีโฮโมโทปีมีประสิทธิภาพเนื่องจากใช้เพียงแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องเท่านั้น จึงสามารถนำไปใช้กับระบบไม่เชิงเส้นเรียบทั่วไปได้ แต่ในทางกลับกันก็ไม่ได้ให้วิธีการประมาณฟังก์ชันที่น่าเชื่อถือเสมอไป (เนื่องจากอาศัยวิธีการวนซ้ำ เช่น วิธีนิวตัน-ราฟสัน)

สามารถพิสูจน์ได้^{[ 11 ]}ว่าเส้นโค้งพีชคณิตเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ทั่วโลก ที่สมบูรณ์ นั่นคือ ความรู้เกี่ยวกับการขยายอนุกรมกำลังที่จุดหนึ่ง (ที่เรียกว่าเจิร์มของฟังก์ชัน) จะกำหนดฟังก์ชันได้อย่างไม่ซ้ำกันทุกที่บนระนาบเชิงซ้อน ยกเว้นบน การตัดสาขาจำนวนจำกัดทฤษฎีบทโดเมนสุดขั้วของ Stahl ^{[ 12 ]}ยังยืนยันเพิ่มเติมว่ามีโดเมนสูงสุดสำหรับการต่อขยายเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชัน ซึ่งสอดคล้องกับการเลือกการตัดสาขาที่มี การวัด ความจุลอการิทึม น้อยที่สุด ในกรณีของเส้นโค้งพีชคณิต จำนวนการตัดมีจำกัด ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะค้นหาการต่อขยายสูงสุดโดยการค้นหาการรวมกันของการตัดที่มีความจุน้อยที่สุด สำหรับการปรับปรุงเพิ่มเติม ทฤษฎีบทของ Stahl เกี่ยวกับการลู่เข้าของ Padé Approximants ^{[ 13 ]}ระบุว่า Padé แนวทแยงและเหนือแนวทแยง (หรือเทียบเท่ากับเศษส่วนประมาณต่อเนื่องของอนุกรมกำลัง) ลู่เข้าสู่การต่อเนื่องเชิงวิเคราะห์สูงสุดศูนย์และขั้วของตัวประมาณจะสะสมกันอย่างน่าทึ่งบนเซตของการตัดสาขาที่มีความจุน้อยที่สุด

คุณสมบัติเหล่านี้ทำให้วิธีวิเคราะห์การไหลของกระแสไฟฟ้าสามารถตรวจจับสภาวะแรงดันตกได้อย่างชัดเจน: การประมาณค่าทางพีชคณิตรับประกันได้ว่าจะลู่เข้าสู่คำตอบหากมีอยู่ หรือจะไม่ลู่เข้าหากไม่มีคำตอบ

• การศึกษาการไหลของพลังงาน
• การจำลองระบบไฟฟ้า
• ปัญหาการจัดสรรหน่วยผลิตไฟฟ้าในโรงไฟฟ้า