คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้ได้กับผลลัพธ์ของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในวงแหวนสลับที่Rถ้าRเป็นฟิลด์หรือโดยทั่วไปเป็นโดเมนเชิงอินทิกรัล ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันเฉพาะของสัมประสิทธิ์ของพหุนามสองตัวที่สอดคล้องกับคุณสมบัติเหล่านี้

• ถ้าRเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนS อีกวงหนึ่ง แล้ว${\displaystyle \operatorname {res} _{R}(A,B)=\operatorname {res} _{S}(A,B).}$นั่นคือAและBมีผลลัพธ์เดียวกันเมื่อพิจารณาเป็นพหุนามเหนือRหรือS
• ถ้าd = 0 (นั่นคือ ถ้า${\displaystyle A=a_{0}}$ถ้า (เป็นค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์) แล้ว${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}.}$ในทำนองเดียวกัน ถ้าe = 0แล้ว${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=b_{0}^{d}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (x+a_{1},x+b_{1})=b_{1}-a_{1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (B,A)=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (AB,C)=\operatorname {res} (A,C)\operatorname {res} (B,C)}$

• ผลลัพธ์ของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในโดเมนอินทิกรัลDจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพหุนามทั้งสองมี^ตัวหารร่วมที่ มี ดีกรีเป็นบวกเหนือฟิลด์เศษส่วนของD [ ^{a ]}
• ผลลัพธ์ของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในโดเมนเชิงอินทิกรัลจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพหุนามทั้งสองนั้นมีรากร่วมกันในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์เหล่านั้น
• มีพหุนามPที่มีดีกรีน้อยกว่าeและพหุนามQที่มีดีกรีน้อยกว่าdอยู่จริง โดยที่${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=AP+BQ.}$นี่เป็นการขยายความทั่วไปของเอกลักษณ์ของเบซูต์ไปสู่พหุนามบนวงแหวนสลับที่ใดๆ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลลัพธ์ของพหุนามสองตัวเป็นของไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยพหุนามเหล่านั้น

ให้AและBเป็นพหุนามสองตัวที่มีดีกรีdและe ตามลำดับ โดยมีสัมประสิทธิ์อยู่ในวงแหวนสลับที่Rและ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$โฮ โมมอร์ฟิซึม ของวงแหวน จาก Rไปยังวงแหวนสลับที่S อีกวงหนึ่ง การประยุกต์ใช้${\displaystyle \varphi }$ขยายไปยังสัมประสิทธิ์ของพหุนาม${\displaystyle \varphi }$ไปยังโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนพหุนาม${\displaystyle R[x]\to S[x]}$ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์อีกอย่างหนึ่งว่า${\displaystyle \varphi .}$จากสัญลักษณ์นี้ เราจะได้ว่า:

• ถ้า${\displaystyle \varphi }$รักษาระดับของ AและB ไว้ (นั่นคือ ถ้า${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$และ${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e}$), แล้ว$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• ถ้า${\displaystyle \deg(\varphi (A))<d}$และ${\displaystyle \deg(\varphi (B))<e,}$แล้ว$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=0.}$$
• ถ้า${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$และ${\displaystyle \deg(\varphi (B))=f<e,}$ และสัมประสิทธิ์นำหน้าของAคือ${\displaystyle a_{0}}$แล้ว$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\varphi (a_{0})^{e-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• ถ้า${\displaystyle \deg(\varphi (A))=f<d}$และ${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e,}$ และสัมประสิทธิ์นำหน้าของBคือ${\displaystyle b_{0}}$แล้ว$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=(-1)^{e(d-f)}\varphi (b_{0})^{d-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$

คุณสมบัติเหล่านี้สามารถอนุมานได้ง่ายจากนิยามของผลลัพธ์ในฐานะดีเทอร์มิแนนต์ โดยส่วนใหญ่จะใช้ในสองสถานการณ์ สำหรับการคำนวณผลลัพธ์ของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดยทั่วไปแล้วจะเร็วกว่าหากคำนวณโดยใช้โมดูลัสของ จำนวนเฉพาะหลายตัว แล้วจึงใช้ ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนเพื่อดึงผลลัพธ์ที่ต้องการเมื่อRเป็นวงแหวนพหุนามในตัวแปรอื่นๆ และSเป็นวงแหวนที่ได้จากการกำหนดค่าเฉพาะให้กับตัวแปรบางส่วนหรือทั้งหมดของRคุณสมบัติเหล่านี้อาจกล่าวใหม่ได้ราวกับว่าดีกรีถูกรักษาไว้โดยการกำหนดค่าเฉพาะ ผลลัพธ์ของการกำหนดค่าเฉพาะของพหุนามสองตัวก็คือการกำหนดค่าเฉพาะของผลลัพธ์คุณสมบัตินี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง เช่น สำหรับการแยกส่วนเชิงพีชคณิตทรงกระบอก

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(x+a),B(x+a))=\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(ax),B(ax))=a^{de}\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• ถ้า${\displaystyle A_{r}(x)=x^{d}A(1/x)}$และ${\displaystyle B_{r}(x)=x^{e}B(1/x)}$ถ้า เป็นพหุนามผกผันของAและBตามลำดับ แล้ว$${\displaystyle \operatorname {res} (A_{r},B_{r})=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$$

นั่นหมายความว่าคุณสมบัติของผลลัพธ์ที่เป็นศูนย์นั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงตัวแปรเชิงเส้นและเชิงโปรเจคทีฟ

• ถ้าaและbเป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ (กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรx ) และAและBเป็นไปตามที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว$${\displaystyle \operatorname {res} (aA,bB)=a^{e}b^{d}\operatorname {res} (A,B).}$$
• ถ้าAและBเป็นไปตามที่กล่าวมาข้างต้น และCเป็นพหุนามอีกตัวหนึ่งซึ่งดีกรีของA – CBคือδแล้ว $${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{\delta -d}\operatorname {res} (B,A).}$$

เฉพาะเมื่อ⁠${\displaystyle BC}$และ​​${\displaystyle A}$มีระดับเดียวกันกับ${\displaystyle \delta }$ไม่สามารถอนุมานได้จากดีกรีของพหุนามที่กำหนด หาก Bเป็นพหุนามเอกลักษณ์หรือดีกรีของC < ดีกรีของA – ดีกรีของBแล้ว$${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=\operatorname {res} (B,A),}$$ถ้าf = deg C > deg A – deg B = d – eแล้ว$${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{e+f-d}\operatorname {res} (B,A).}$$

คุณสมบัติเหล่านี้บ่งชี้ว่า ในอัลกอริทึมยุคลิดสำหรับพหุนามและรูปแบบต่างๆ ทั้งหมด ( ลำดับเศษเหลือเทียม ) ผลลัพธ์ของเศษเหลือ (หรือเศษเหลือเทียม) สองตัวที่ต่อเนื่องกัน จะแตกต่างจากผลลัพธ์ของพหุนามเริ่มต้นด้วยตัวประกอบที่คำนวณได้ง่าย ในทางกลับกัน สิ่งนี้ทำให้สามารถอนุมานผลลัพธ์ของพหุนามเริ่มต้นจากค่าของเศษเหลือหรือเศษเหลือเทียมตัวสุดท้ายได้ นี่คือแนวคิดเริ่มต้นของอัลกอริทึมลำดับเศษเหลือเทียมผลลัพธ์ย่อยซึ่งใช้สูตรข้างต้นในการหาพหุนามผลลัพธ์ย่อยเป็นเศษเหลือเทียม และผลลัพธ์เป็นเศษเหลือเทียมที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้าย (โดยที่ผลลัพธ์ไม่เป็นศูนย์) อัลกอริทึมนี้ใช้ได้กับพหุนามบนจำนวนเต็ม หรือโดยทั่วไปแล้วบนโดเมนจำนวนเต็ม โดยไม่มีการหารใดๆ นอกจากการหารที่แน่นอน (นั่นคือ ไม่เกี่ยวข้องกับเศษส่วน) อัลกอริทึมนี้เกี่ยวข้องกับ...${\displaystyle O(de)}$การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ในขณะที่การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ด้วยอัลกอริทึมมาตรฐานนั้นต้องการ${\displaystyle O((d+e)^{3})}$การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาพหุนามสองตัว $${\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}}$$ และ $${\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}}$$ โดยที่ สัมประสิทธิ์ d + e + 2เป็นตัวแปรที่ไม่กำหนดค่า ที่แตกต่างกัน ให้ $${\displaystyle R=\mathbb {Z} [a_{0},\ldots ,a_{d},b_{0},\ldots ,b_{e}]}$$ ให้เป็นวงแหวนพหุนามเหนือจำนวนเต็มที่กำหนดโดยตัวแปรที่ไม่กำหนดเหล่านี้ ผลลัพธ์${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$มักเรียกว่าผลลัพธ์ทั่วไปสำหรับดีกรีdและeโดยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$เป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้โดยสิ้นเชิง
• ถ้า${\displaystyle I}$คืออุดมคติของ${\displaystyle R[x]}$สร้างโดยAและBจากนั้น${\displaystyle I\cap R}$เป็นอุดมคติหลักที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$.

ผลลัพธ์ทั่วไปสำหรับระดับdและeนั้นเป็นเอกพันธุ์ในหลายๆ ด้าน กล่าวโดยละเอียดคือ:

• เป็นเนื้อเดียวกันที่มีดีกรีeใน${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{d}.}$
• เป็นเนื้อเดียวกันที่มีดีกรีdใน${\displaystyle b_{0},\ldots ,b_{e}.}$
• เป็นเอกพันธุ์ดีกรีd + eในตัวแปรทั้งหมด${\displaystyle a_{i}}$และ${\displaystyle b_{j}.}$
• ถ้า${\displaystyle a_{i}}$และ${\displaystyle b_{i}}$หากกำหนดน้ำหนักi (นั่นคือ น้ำหนักของสัมประสิทธิ์แต่ละตัวคือดีกรีของพหุนามสมมาตรพื้นฐาน ) แล้วพหุนามนั้นจะเป็นพหุนามกึ่งเอกพันธุ์ที่มีน้ำหนักรวมde
• ถ้าPและQเป็นพหุนามเอกพันธุ์หลายตัวแปรที่มีดีกรีdและe ตามลำดับ แล้วผลลัพธ์ของพหุนามทั้งสองนี้ที่มีดีกรีdและeเทียบกับตัวแปรx ที่ไม่กำหนดค่าได้ จะถูกแทนด้วย${\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(P,Q)}$ใน§  สัญกรณ์เป็นเอกพันธุ์ของดีกรีdeในตัวแปรไม่แน่นอนอื่นๆ

อนุญาต${\displaystyle I=\langle A,B\rangle }$เป็นไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยพหุนามสองตัวAและBในวงแหวนพหุนาม${\displaystyle R[x],}$ที่ไหน${\displaystyle R=k[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$เป็นวงแหวนพหุนามเหนือฟิลด์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในAและBเป็นโมโนมิกในxแล้ว:

• ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)\in I\cap R}$
• อุดมคติ${\displaystyle I\cap R}$และ${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$กำหนด เซตพีชคณิตเดียวกันนั่นคือทูเปิลของ สมาชิก nตัวในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตจะเป็นศูนย์ร่วมของสมาชิกเหล่านั้น${\displaystyle I\cap R}$ถ้าและเฉพาะเมื่อมันเป็นศูนย์ของ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• อุดมคติ${\displaystyle I\cap R}$มี รากศัพท์เดียวกันกับอุดมคติหลัก${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B).}$นั่นคือ องค์ประกอบของแต่ละองค์ประกอบ${\displaystyle I\cap R}$มีพลังที่เป็นพหุคูณของ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• ปัจจัยที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$แบ่งองค์ประกอบทุกอย่างของ${\displaystyle I\cap R.}$

ข้อความแรกเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของผลลัพธ์ ส่วนข้อความอื่นๆ เป็นผลลัพธ์โดยตรงจากข้อความที่สอง ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ดังต่อไปนี้

เนื่องจากอย่างน้อยหนึ่งในAและBเป็นโมโนนิค ดังนั้นทูเพิลจึงเป็นทูเพิล${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$เป็นศูนย์ของ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$ก็ต่อเมื่อมีอยู่จริงเท่านั้น${\displaystyle \alpha }$โดยที่${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$เป็นศูนย์ร่วมของAและBศูนย์ร่วมดังกล่าวเป็นศูนย์ของทุกองค์ประกอบของ A ด้วยเช่นกัน${\displaystyle I\cap R.}$ในทางกลับกัน ถ้า${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$เป็นศูนย์ร่วมขององค์ประกอบต่างๆ${\displaystyle I\cap R,}$มันเป็นศูนย์ของผลลัพธ์ และมีอยู่จริง${\displaystyle \alpha }$โดยที่${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$เป็นค่าศูนย์ร่วมของAและBดังนั้น${\displaystyle I\cap R}$และ${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$มีค่าศูนย์เหมือนกันทุกประการ

พิจารณาระบบสมการพหุนามสองสมการ $${\displaystyle {\begin{aligned}P(x,y)&=0\\Q(x,y)&=0,\end{aligned}}}$$ โดยที่PและQเป็นพหุนามที่มีดีกรีรวมdและeตามลำดับ แล้ว${\displaystyle R=\operatorname {res} _{y}^{d,e}(P,Q)}$เป็นพหุนามในxซึ่งโดยทั่วไปมีดีกรีde (ตามคุณสมบัติของ§  ความเป็นเอกพันธุ์ ) ค่าหนึ่ง${\displaystyle \alpha }$ของxเป็นรากของRก็ต่อเมื่อมีอยู่จริง${\displaystyle \beta }$ในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ด้วย โดยที่${\displaystyle P(\alpha ,\beta )=Q(\alpha ,\beta )=0}$, หรือ${\displaystyle \deg(P(\alpha ,y))<d}$และ${\displaystyle \deg(Q(\alpha ,y))<e}$(ในกรณีนี้ กล่าวได้ว่าPและQมีรากร่วมกันที่อนันต์)${\displaystyle x=\alpha }$)

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการจึงได้มาจากการคำนวณรากของRและสำหรับแต่ละราก${\displaystyle \alpha ,}$การคำนวณรากร่วมของ${\displaystyle P(\alpha ,y),}$${\displaystyle Q(\alpha ,y),}$และ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q).}$

ทฤษฎีบทของเบซูต์เป็นผลมาจากค่าของ${\displaystyle \deg \left(\operatorname {res} _{y}(P,Q)\right)\leq de}$ผลคูณของดีกรีของPและQอันที่จริง หลังจากการเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้น เราอาจสมมติได้ว่า สำหรับแต่ละรากxของผลลัพธ์ จะมีค่าy เพียงค่าเดียวเท่านั้น ที่ทำให้( x , y )เป็นศูนย์ร่วมของPและQสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าจำนวนศูนย์ร่วมมีค่าอย่างมากที่สุดเท่ากับดีกรีของผลลัพธ์ นั่นคืออย่างมากที่สุดเท่ากับผลคูณของดีกรีของPและQด้วยวิธีการทางเทคนิคบางอย่าง การพิสูจน์นี้อาจขยายออกไปเพื่อแสดงว่า เมื่อนับความซ้ำซ้อนและศูนย์ที่อนันต์ จำนวนศูนย์จะมีค่าเท่ากับผลคูณของดีกรีพอดี

มองเผินๆ แล้วดูเหมือนว่าผลลัพธ์อาจนำไปใช้กับระบบสมการพหุนาม ทั่วไปได้$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\\&\;\;\vdots \\P_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\end{aligned}}}$$ โดยการคำนวณผลลัพธ์ของแต่ละคู่${\displaystyle (P_{i},P_{j})}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle x_{n}}$เพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่ทราบค่าตัวหนึ่ง และทำซ้ำกระบวนการจนกว่าจะได้พหุนามตัวแปรเดียว น่าเสียดายที่วิธีนี้ทำให้เกิดคำตอบปลอมจำนวนมาก ซึ่งยากต่อการกำจัด

วิธีการหนึ่งซึ่งริเริ่มขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 มีหลักการทำงานดังนี้: เพิ่มตัวแปรไม่แน่นอนใหม่k − 1 ตัว${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$และคำนวณ $${\displaystyle \operatorname {res} _{x_{n}}(P_{1},U_{2}P_{2}+\cdots +U_{k}P_{k}).}$$ นี่คือพหุนามใน${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$ซึ่งสัมประสิทธิ์เป็นพหุนามใน${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},}$ซึ่งมีคุณสมบัติที่ว่า${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$จะเป็นศูนย์ร่วมของสัมประสิทธิ์พหุนามเหล่านี้ก็ต่อเมื่อพหุนามเอกตัวแปร${\displaystyle P_{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},x_{n})}$มีรากร่วมกัน ซึ่งอาจอยู่ที่อนันต์กระบวนการนี้สามารถทำซ้ำได้จนกว่าจะพบพหุนามตัวแปรเดียว

เพื่อให้ได้อัลกอริทึมที่ถูกต้อง จำเป็นต้องเพิ่มส่วนเสริมสองอย่างเข้าไปในวิธีการ ประการแรก ในแต่ละขั้นตอน อาจจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้น เพื่อให้ดีกรีของพหุนามในตัวแปรสุดท้ายเท่ากับดีกรีรวมของพหุนามเหล่านั้น ประการที่สอง หากในขั้นตอนใดๆ ผลลัพธ์เป็นศูนย์ นั่นหมายความว่าพหุนามเหล่านั้นมีตัวประกอบร่วม และคำตอบจะแยกออกเป็นสองส่วน คือ ส่วนหนึ่งที่ตัวประกอบร่วมเป็นศูนย์ และอีกส่วนหนึ่งที่ได้จากการดึงตัวประกอบร่วมนี้ออกมาก่อนดำเนินการต่อไป

อัลกอริทึมนี้ซับซ้อนมากและใช้เวลาในการประมวลผล สูงมาก ดังนั้น ความสนใจในอัลกอริทึมนี้จึงส่วนใหญ่เป็นเรื่องทางประวัติศาสตร์

ตัวแยกแยะของพหุนาม ซึ่งเป็นเครื่องมือพื้นฐานในทฤษฎีจำนวนคือ${\displaystyle a_{0}^{-1}(-1)^{n(n-1)/2}\operatorname {res} _{x}(f(x),f'(x))}$, ที่ไหน${\displaystyle a_{0}}$คือสัมประสิทธิ์นำหน้าของ${\displaystyle f(x)}$และ${\displaystyle n}$ระดับของมัน

ถ้า${\displaystyle \alpha }$และ${\displaystyle \beta }$เป็นจำนวนพีชคณิตที่${\displaystyle P(\alpha )=Q(\beta )=0}$, แล้ว${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta }$เป็นรากของผลลัพธ์${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),Q(z-x)),}$และ${\displaystyle \tau =\alpha \beta }$เป็นรากของ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),x^{n}Q(z/x))}$, ที่ไหน${\displaystyle n}$คือระดับของ${\displaystyle Q(y)}$เมื่อรวมกับข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle 1/\beta }$เป็นรากของ${\displaystyle y^{n}Q(1/y)=0}$สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเซตของจำนวนพีชคณิตเป็นฟิลด์

อนุญาต${\displaystyle K(\alpha )}$เป็นส่วนขยายฟิลด์พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ${\displaystyle \alpha ,}$ซึ่งมี${\displaystyle P(x)}$ในฐานะพหุนามขั้นต่ำทุกองค์ประกอบของ${\displaystyle \beta \in K(\alpha )}$อาจเขียนได้ดังนี้${\displaystyle \beta =Q(\alpha ),}$ที่ไหน${\displaystyle Q}$เป็นพหุนาม ดังนั้น${\displaystyle \beta }$เป็นรากของ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),z-Q(x)),}$และผลลัพธ์นี้คือกำลังของพหุนามขั้นต่ำของ${\displaystyle \beta .}$

เมื่อกำหนด เส้นโค้งพีชคณิต ระนาบ สอง เส้น ซึ่งนิยามว่าเป็นรากของพหุนามP ( x , y )และQ ( x , y )แล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะช่วยให้สามารถคำนวณจุดตัดของเส้นโค้งทั้งสองได้ กล่าวคือ รากของเส้นโค้งทั้งสอง${\displaystyle \operatorname {res} _{y}(P,Q)}$คือ พิกัด xของจุดตัดและของเส้นกำกับแนวตั้งร่วม และรากของ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q)}$คือ พิกัด yของจุดตัดและของเส้นกำกับแนวนอนร่วมกัน

เส้นโค้งระนาบเชิงตรรกะสามารถกำหนดได้ด้วยสมการพาราเมตริก$${\displaystyle x={\frac {P(t)}{R(t)}},\qquad y={\frac {Q(t)}{R(t)}},}$$ โดยที่P , QและRเป็นพหุนามสมการโดยปริยายของเส้นโค้งกำหนดโดย $${\displaystyle \operatorname {res} _{t}(xR-P,yR-Q).}$$ ระดับ ของ เส้นโค้งนี้คือระดับสูงสุดของP , QและRซึ่งเท่ากับระดับรวมของผลลัพธ์

ในการอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์สำหรับการคำนวณอนุพันธ์ผกผันของเศษส่วนตรรกยะจะใช้การแยกส่วนเศษส่วนย่อยเพื่อแยกอินทิกรัลออกเป็น "ส่วนตรรกยะ" ซึ่งเป็นผลรวมของเศษส่วนตรรกยะที่มีอนุพันธ์ผกผันเป็นเศษส่วนตรรกยะ และ "ส่วนลอการิทึม" ซึ่งเป็นผลรวมของเศษส่วนตรรกยะในรูปแบบ $${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}},}$$ โดยที่Qเป็นพหุนามที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองและPเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าQอนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันดังกล่าวจำเป็นต้องใช้ลอการิทึมและโดยทั่วไปแล้วจะใช้จำนวนพีชคณิต (รากของQ ) อันที่จริง อนุพันธ์ผกผันคือ $${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{Q(\alpha )=0}{\frac {P(\alpha )}{Q'(\alpha )}}\log(x-\alpha ),}$$ โดยผลรวมจะครอบคลุมรากเชิงซ้อนทั้งหมดของQ

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนจำนวนพีชคณิตที่เกี่ยวข้องในนิพจน์นี้จะเท่ากับดีกรีของQแต่บ่อยครั้งที่สามารถคำนวณนิพจน์ที่มีจำนวนพีชคณิตน้อยกว่าได้ วิธีการของ Lazard –Rioboo– Tragerสร้างนิพจน์ที่มีจำนวนจำนวนพีชคณิตน้อยที่สุด โดยไม่ต้องคำนวณด้วยจำนวนพีชคณิตใดๆ

อนุญาต $${\displaystyle S_{1}(r)S_{2}(r)^{2}\cdots S_{k}(r)^{k}=\operatorname {res} _{r}(rQ'(x)-P(x),Q(x))}$$ เป็นการแยกตัวประกอบแบบไร้ตัวประกอบกำลังสองของผลลัพธ์ที่ปรากฏทางด้านขวา เทรเกอร์พิสูจน์แล้วว่าอนุพันธ์ผกผันคือ $${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{i=1}^{k}\sum _{S_{i}(\alpha )=0}\alpha \log(T_{i}(\alpha ,x)),}$$ โดยที่ผลรวมภายในจะวนไปตามรากของ${\displaystyle S_{i}}$(ถ้า${\displaystyle S_{i}=1}$ผลรวมเป็นศูนย์ เนื่องจากเป็นผลรวมว่างเปล่า ) และ${\displaystyle T_{i}(r,x)}$เป็นพหุนามดีกรีiในxผลงานของลาซาร์ด-ริโอบูคือการพิสูจน์ว่า${\displaystyle T_{i}(r,x)}$คือผลลัพธ์ย่อยของดีกรีiของ${\displaystyle rQ'(x)-P(x)}$และ${\displaystyle Q(x).}$ดังนั้นจึงได้มาโดยไม่ต้องเสียค่าใช้จ่ายใดๆ หากคำนวณผลลัพธ์โดยใช้ลำดับเศษเหลือเทียมของผลลัพธ์ย่อย

แอปพลิเคชันก่อนหน้านี้ทั้งหมด และแอปพลิเคชันอื่นๆ อีกมากมาย แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานในพีชคณิตคอมพิวเตอร์อันที่จริงระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ ส่วนใหญ่ มีการนำการคำนวณผลลัพธ์มาใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

พหุนามเอกพันธุ์ดีกรีdใน ตัวแปร nตัว อาจมีได้มากถึง $${\displaystyle {\binom {n+d-1}{n-1}}={\frac {(n+d-1)!}{(n-1)!\,d!}}}$$ สัมประสิทธิ์; กล่าวได้ว่าเป็นแบบทั่วไปหากสัมประสิทธิ์เหล่านี้เป็นตัวแปรที่ไม่แน่นอนที่แตกต่างกัน

อนุญาต${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$เป็น พหุนามเอกพันธุ์ทั่วไป nตัวใน ตัวแปร n ตัว ซึ่งแต่ละตัวมี ดีกรีต่างกัน${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}.}$โดยรวมแล้ว พวกเขามีส่วนเกี่ยวข้อง $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\binom {n+d_{i}-1}{n-1}}}$$ สัมประสิทธิ์ที่ไม่กำหนดค่า ให้Cเป็นวงแหวนพหุนามเหนือจำนวนเต็ม ในสัมประสิทธิ์ที่ไม่กำหนดค่าเหล่านี้ทั้งหมด พหุนาม${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$จึงเป็นของ${\displaystyle C[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$และผลลัพธ์ (ซึ่งยังไม่ได้กำหนด) นั้นเป็นของC

ระดับแมคออลีย์คือจำนวนเต็ม${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1,}$ซึ่งเป็นพื้นฐานในทฤษฎีของแมคออลีย์ ในการกำหนดผลลัพธ์นั้น จะพิจารณาเมทริกซ์แมคออลีย์ซึ่งเป็นเมทริกซ์บนฐานเอกนามของแผนที่เชิงเส้น C$${\displaystyle (Q_{1},\ldots ,Q_{n})\mapsto Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n},}$$ ซึ่งแต่ละ${\displaystyle Q_{i}}$วิ่งผ่านพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี${\displaystyle D-d_{i},}$และโคโดเมนคือC- โมดูลของพหุ นามเอกพันธุ์ดีกรีD

ถ้าn = 2เมทริกซ์ Macaulay คือเมทริกซ์ Sylvester และเป็นเมทริกซ์จัตุรัสแต่สิ่งนี้จะไม่เป็นจริงอีกต่อไปสำหรับn > 2ดังนั้น แทนที่จะพิจารณาดีเทอร์มิแนนต์ เราจะพิจารณาไมเนอร์ สูงสุดทั้งหมด นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยจัตุรัสที่มีจำนวนแถวเท่ากับเมทริกซ์ Macaulay Macaulay พิสูจน์แล้วว่าC -ideal ที่สร้างขึ้นโดยไมเนอร์หลักเหล่านี้เป็นไอเดียลหลักซึ่งสร้างขึ้นโดยตัวหารร่วมมากของไมเนอร์เหล่านี้ เนื่องจากเรากำลังทำงานกับพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ตัวหารร่วมมากนี้จึงถูกกำหนดขึ้นโดยไม่รวมเครื่องหมายผลลัพธ์ Macaulay ทั่วไปคือตัวหารร่วมมากซึ่งกลายเป็น1เมื่อสำหรับแต่ละiแทนที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของด้วยศูนย์${\displaystyle P_{i},}$ยกเว้นสัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle x_{i}^{d_{i}},}$ซึ่งใช้แทนกันได้

ต่อจากนี้ไป เราจะถือว่าพหุนามเอกพันธุ์${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ของปริญญา${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์kนั่นคือ พวกมันเป็นของฟิลด์นั้น${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$ผลลัพธ์ของพวกมันถูกกำหนดให้เป็นองค์ประกอบของkที่ได้จากการแทนที่สัมประสิทธิ์ที่ไม่กำหนดในผลลัพธ์ทั่วไปด้วยสัมประสิทธิ์จริงของ${\displaystyle P_{i}.}$

คุณสมบัติหลักของผลลัพธ์คือจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$มีศูนย์ร่วมที่ไม่เป็นศูนย์ในส่วนขยายที่ปิดทางพีชคณิตของk

ส่วน "เฉพาะเมื่อ" ในทฤษฎีบทนี้เป็นผลมาจากคุณสมบัติสุดท้ายของย่อหน้าก่อนหน้า และเป็นรูปแบบที่มีประสิทธิภาพของทฤษฎีบท Nullstellensatzแบบโปรเจคทีฟ: ถ้าผลลัพธ์ไม่เป็นศูนย์ แล้ว $${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ^{D}\subseteq \langle P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle ,}$$ ที่ไหน${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1}$คือปริญญาแมคคอลีย์ และ${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$เป็นอุดมคติเอกพันธุ์สูงสุด ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ไม่มีศูนย์ร่วมอื่นใดนอกจากศูนย์ร่วมเฉพาะตัว(0, ..., 0)ของ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$

เนื่องจากการคำนวณผลลัพธ์สามารถลดทอนลงเหลือเพียงการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์และตัวหารร่วมมากของพหุนามจึงมีอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณผลลัพธ์ภายในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด

อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ทั่วไปเป็นพหุนามที่มีดีกรีสูงมาก (เลขชี้กำลังของn ) ซึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปรจำนวนมหาศาล ดังนั้น ในทางปฏิบัติแล้ว การคำนวณผลลัพธ์ทั่วไปนั้นเป็นไปไม่ได้ แม้แต่กับคอมพิวเตอร์ที่ทันสมัย ​​ยกเว้นในกรณีที่n มีค่าน้อยมาก และดีกรีของพหุนามอินพุตมีค่าน้อยมาก ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนเอกนาม ของผลลัพธ์ทั่วไปมีมากจนหากสามารถคำนวณได้ ผลลัพธ์นั้นก็ไม่สามารถจัดเก็บไว้ในหน่วยความจำที่มีอยู่ได้ แม้แต่ในกรณีที่ค่า nและดีกรีของพหุนามอินพุตมีค่าค่อนข้างน้อยก็ตาม

ดังนั้น การคำนวณผลลัพธ์จึงสมเหตุสมผลเฉพาะกับพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ หรือเป็นพหุนามที่มีตัวแปรไม่มากนักในฟิลด์นั้น

ในกรณีของพหุนามอินพุตที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ ค่าที่แน่นอนของผลลัพธ์นั้นแทบจะไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคือการที่ผลลัพธ์นั้นเท่ากับ (หรือไม่) ศูนย์ เนื่องจากผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์ Macaulay ต่ำกว่าจำนวนแถวของเมทริกซ์นั้น การที่ผลลัพธ์นั้นเท่ากับศูนย์สามารถตรวจสอบได้โดยการใช้การกำจัดแบบเกาส์กับเมทริกซ์ Macaulay ซึ่งทำให้มีความซับซ้อนในการคำนวณ${\displaystyle d^{O(n)},}$โดยที่dคือดีกรีสูงสุดของพหุนามอินพุต

อีกกรณีหนึ่งที่การคำนวณผลลัพธ์อาจให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์คือ เมื่อสัมประสิทธิ์ของพหุนามอินพุตเป็นพหุนามในตัวแปรไม่แน่นอนจำนวนน้อย ซึ่งมักเรียกว่าพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ หากไม่เป็นศูนย์ จะกำหนดพื้นผิวในปริภูมิพารามิเตอร์จุดหนึ่งจะอยู่บนพื้นผิวนี้ก็ต่อเมื่อมีค่าของ อยู่${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ซึ่งเมื่อรวมกับพิกัดของจุดแล้ว จะเป็นศูนย์ของพหุนามอินพุต กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลลัพธ์ที่ได้คือผลลัพธ์ของการ " กำจัด " ของ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$จากพหุนามอินพุต

ผลลัพธ์ของแมคออลีย์ (Macaulay's resultant) เป็นวิธีการที่แมคออลีย์เรียกว่า " ผลลัพธ์ ยู " (U-resultant) สำหรับแก้ระบบสมการพหุนาม

กำหนดให้พหุนามเอกพันธุ์จำนวนn − 1 ตัว${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},}$ของปริญญา${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n-1},}$ใน ตัวแปรไม่แน่นอนn ตัว${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$บนฟิลด์kผลลัพธ์Uของพวกมันคือผลลัพธ์ของ พหุนาม nตัว${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},P_{n},}$ที่ไหน $${\displaystyle P_{n}=u_{1}x_{1}+\cdots +u_{n}x_{n}}$$เป็น รูปแบบเชิงเส้น ทั่วไปที่มีสัมประสิทธิ์เป็นตัวแปรที่ไม่กำหนดใหม่${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}.}$สัญกรณ์${\displaystyle u_{i}}$หรือ${\displaystyle U_{i}}$สำหรับสัมประสิทธิ์ทั่วไปเหล่านี้ ถือเป็นแบบดั้งเดิม และเป็นที่มาของคำว่าU -resultant

ผลลัพธ์Uคือพหุนามเอกพันธุ์ใน${\displaystyle k[u_{1},\ldots ,u_{n}].}$จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อศูนย์ร่วมของ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1}}$สร้างเซตพีชคณิตเชิงโปร เจกที ฟที่มีมิติ เป็นบวก (นั่นคือ มีศูนย์เชิงโปรเจกทีฟจำนวนอนันต์เหนือส่วน ขยายปิดเชิงพีชคณิตของk ) ถ้าผลลัพธ์ของUไม่เป็นศูนย์ ระดับของมันคือขอบเขตของเบซูต์${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n-1}.}$ ผลลัพธ์Uสามารถแยกตัวประกอบได้บนส่วนขยายปิดเชิงพีชคณิตของkออกเป็นผลคูณของรูปแบบเชิงเส้น ถ้า${\displaystyle \alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n}}$ถ้าเป็นปัจจัยเชิงเส้นแบบนั้นแล้ว${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$คือพิกัดเอกพันธุ์ของศูนย์ร่วมของ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1}.}$นอกจากนี้ ศูนย์ร่วมทุกตัวสามารถได้มาจากตัวประกอบเชิงเส้นตัวใดตัวหนึ่งเหล่านี้ และความซ้ำซ้อนในฐานะตัวประกอบจะเท่ากับความซ้ำซ้อนของจุดตัดของ${\displaystyle P_{i}}$ณ จุดศูนย์นี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลลัพธ์ Uให้ทฤษฎีบทของเบซูต์ใน รูปแบบที่ชัดเจนโดยสมบูรณ์