พีชคณิตลีโฮโมโทปี

ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งพีชคณิตนามธรรมและโทโพโลยีพีชคณิตลีโฮโมโทปี (หรือพีชคณิต - ) เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดของพีชคณิตลีเกรดเชิงอนุพันธ์กล่าวให้เจาะจงยิ่งขึ้นเอกลักษณ์ของจาโคบีใช้ได้เฉพาะกับโฮโมโทปีเท่านั้น ดังนั้น พีชคณิตลีเกรดเชิงอนุพันธ์จึงสามารถมองได้ว่าเป็นพีชคณิตลีโฮโมโทปีซึ่งเอกลักษณ์ของจาโคบีใช้ได้พอดี พีชคณิตโฮโมโทปีเหล่านี้มีประโยชน์ในการจำแนกปัญหาการเปลี่ยนรูปเหนือลักษณะเฉพาะ 0 ในทฤษฎีการเปลี่ยนรูปเนื่องจากฟังก์ชันการเปลี่ยนรูปถูกจำแนกโดย ชั้น กึ่งไอโซมอร์ฟิซึมของพีชคณิต - ^[¹^]ต่อมา Jonathan Pridham ได้ขยายสิ่งนี้ไปยังลักษณะเฉพาะทั้งหมด^[²^] $L_{\infty }$ $L_{\infty }$

พีชคณิตลีแบบโฮโมโทปีมีการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ตัวอย่างเช่น มีความเชื่อมโยงกับรูปแบบ Batalin–Vilkoviskyในลักษณะเดียวกับพีชคณิตลีแบบแบ่งระดับเชิงอนุพันธ์

คำนิยาม

มีนิยามของพีชคณิตลีโฮโมโทปีอยู่หลายแบบ ซึ่งบางแบบเหมาะสมกับสถานการณ์เฉพาะมากกว่าแบบอื่น นิยามที่ดั้งเดิมที่สุดคือการใช้แผนที่เชิงเส้นหลายตัวแบบสมมาตร แต่ก็ยังมีนิยามทางเรขาคณิตที่กระชับกว่าโดยใช้ภาษาของเรขาคณิตเชิงรูปธรรม โดยในนิยามนี้ จะถือว่าฟิลด์พื้นฐานมีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์

นิยามทางเรขาคณิต

พีชคณิตลีโฮโมโทปีบนปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่ง ระดับ คืออนุพันธ์ต่อเนื่องที่มีอันดับ ซึ่งยกกำลังสองแล้วได้ศูนย์บนแมนิโฟลด์เชิงรูปธรรมในที่นี้คือพีชคณิตสมมาตร ที่สมบูรณ์ คือการแขวนลอยของปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับ และหมายถึงคู่เชิงเส้น โดยทั่วไปแล้ว เราจะอธิบายว่าเป็นพีชคณิตลีโฮโมโทปี และโดยมีอนุพันธ์เป็นตัวแทนของพีชคณิตแบบแบ่งระดับเชิงอนุพันธ์สลับที่ $V=\bigoplus V_{i}$ $m$ $>1$ ${\hat {S}}\Sigma V^{*}$ ${\hat {S}}$ $\Sigma$ $V^{*}$ $(V,m)$ ${\hat {S}}\Sigma V^{*}$ $m$

โดยใช้นิยามของพีชคณิตลีโฮโมโทปีนี้ เราสามารถกำหนดมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลีโฮโมโทปีว่าเป็นมอร์ฟิซึมของพีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบสลับที่ได้ซึ่งแทนพีชคณิตเหล่านั้น และสลับที่ได้กับฟิลด์เวกเตอร์นั่นคือพีชคณิตลีโฮโมโทปีและมอร์ฟิซึมของพวกมันกำหนดหมวดหมู่ $f\colon (V,m_{V})\to (W,m_{W})$ $f\colon {\hat {S}}\Sigma V^{*}\to {\hat {S}}\Sigma W^{*}$ $f\circ m_{V}=m_{W}\circ f$

นิยามผ่านแผนที่เชิงเส้นหลายมิติ

นิยามดั้งเดิมของพีชคณิตลีโฮโมโทปีนั้น คือ การใช้แผนที่เชิงเส้นหลายตัวแบบสมมาตรจำนวนอนันต์ ซึ่งบางครั้งเรียกว่า นิยามผ่านวงเล็บชั้นสูง ควรกล่าวว่านิยามทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน

พีชคณิตLie แบบโฮโมโทปี^{[ 3 ]}บนปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับ คือชุดของแผนที่เชิงเส้นหลายตัวแบบสมมาตรที่มีดีกรีซึ่งบางครั้งเรียกว่าวงเล็บ -ary สำหรับแต่ละยิ่งไปกว่านั้น แผนที่เหล่านี้เป็นไปตามเอกลักษณ์ Jacobi แบบทั่วไป: $V=\bigoplus V_{i}$ $l_{n}\colon V^{\otimes n}\to V$ $n-2$ $n$ $n\in \mathbb {N}$ $l_{n}$

\sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \mathrm {UnShuff} (i,ni)}\chi (\sigma ,v_{1},\dots ,v_{n})(-1)^{i(j-1)}l_{j}(l_{i}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (i)}),v_{\sigma (i+1)},\dots ,v_{\sigma (n)})=0,

สำหรับแต่ละ n ผลรวมภายในจะครอบคลุมการเรียงสับเปลี่ยนที่ไม่เป็นระเบียบ และเป็นลายเซ็นของการเรียงสับเปลี่ยน สูตรข้างต้นมีการตีความที่มีความหมายสำหรับค่าต่ำของ; ตัวอย่างเช่น เมื่อมันบอกว่ากำลังสองเท่ากับศูนย์ (นั่นคือ เป็นอนุพันธ์บน) เมื่อมันบอกว่าเป็นอนุพันธ์ของและเมื่อมันบอกว่าสอดคล้องกับเอกลักษณ์ของ Jacobi จนถึงพจน์ที่แน่นอนของ(นั่นคือ สอดคล้องกับโฮโมโทปี) โปรดสังเกตว่าเมื่อวงเล็บด้านบนสำหรับหายไป นิยามของพีชคณิต Lie ระดับอนุพันธ์บนจะถูกกู้คืน $(i,j)$ $\chi$ $n$ $n=1$ $l_{1}$ $V$ $n=2$ $l_{1}$ $l_{2}$ $n=3$ $l_{2}$ $l_{3}$ $l_{n}$ $n\geq 3$ $V$

โดยใช้วิธีการผ่านแผนที่เชิงเส้นหลายตัว การแปลงรูปของพีชคณิตลีโฮโมโทปีสามารถกำหนดได้โดยชุดของแผนที่เชิงเส้นหลายตัวแบบสมมาตรซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการ $f_{n}\colon V^{\otimes n}\to W$

นิยามผ่านโอเปอราด

นอกจากนี้ยังมีนิยามที่เป็นนามธรรมมากขึ้นของพีชคณิตโฮโมโทปีโดยใช้ทฤษฎีของโอเปอแรดกล่าวคือ พีชคณิตลีโฮโมโทปีเป็นพีชคณิตเหนือโอเปอแรดในหมวดหมู่ของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่เหนือโอเปอแรด $L_{\infty }$

ไอโซมอร์ฟิซึม (กึ่ง) และแบบจำลองขั้นต่ำ

กล่าวได้ว่ามอร์ฟิซึมของพีชคณิตลีโฮโมโทปีเป็นไอโซมอร์ฟิซึม (หรือกึ่งไอโซมอร์ฟิซึม) ถ้าส่วนประกอบเชิงเส้นของมันเป็นไอโซมอร์ฟิซึม (หรือกึ่งไอโซมอร์ฟิซึม) โดยที่อนุพันธ์ของและก็คือส่วนประกอบเชิงเส้นของและนั่นเอง $f\colon V\to W$ $V$ $W$ $m_{V}$ $m_{W}$

กลุ่มพิเศษที่สำคัญของพีชคณิตลีโฮโมโทปีคือ พีชคณิตลีโฮโมโทปี ขั้นต่ำซึ่งมีลักษณะเฉพาะคือส่วนประกอบเชิงเส้นเป็นศูนย์นั่นหมายความว่าไอโซมอร์ฟิซึมกึ่งสมบูรณ์ใดๆ ของพีชคณิตลีโฮโมโทปีขั้นต่ำจะต้องเป็นไอโซมอร์ฟิซึม พีชคณิตลีโฮโมโทปีใดๆ ก็ตามจะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมกึ่งสมบูรณ์กับพีชคณิตขั้นต่ำ ซึ่งจะต้องมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม และจึงเรียกว่าแบบจำลองขั้นต่ำ ของ มัน $l_{1}$

ตัวอย่าง

เนื่องจากพีชคณิต -algebra มีโครงสร้างที่ซับซ้อนมาก การอธิบายแม้แต่กรณีง่ายๆ ก็อาจไม่ใช่เรื่องง่ายในเกือบทุกกรณี โชคดีที่มีกรณีง่ายๆ ที่มาจากพีชคณิต Lie แบบแบ่งระดับเชิงอนุพันธ์ และกรณีที่มาจากตัวอย่างมิติจำกัด $L_{\infty }$

พีชคณิตลีแบบแบ่งระดับเชิงอนุพันธ์

หนึ่งในกลุ่มตัวอย่างของพีชคณิต -algebra ที่เข้าถึงได้ง่าย มาจากการฝังพีชคณิต Lie แบบแบ่งระดับเชิงอนุพันธ์ลงในหมวดหมู่ของพีชคณิต -algebra ซึ่งสามารถอธิบายได้โดยการให้ที่มาโครงสร้างของพีชคณิต Lie และแผนที่อื่นๆ ต่อไป $L_{\infty }$ $L_{\infty }$ $l_{1}$ $l_{2}$ $l_{k}=0$

พีชคณิตL

ในระดับ 0 และ 1

ตัวอย่างที่โดดเด่นอย่างหนึ่งคือพีชคณิต -algebra ซึ่งมีเพียงสองปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐานที่ไม่เป็นศูนย์เท่านั้นจากนั้น เมื่อนำนิยามของพีชคณิต -algebra มาใช้ นั่นหมายความว่ามีแผนที่เชิงเส้น $L_{\infty }$ $V_{0},V_{1}$ $L_{\infty }$

d\colon V_{1}\to V_{0}

,

แผนที่เชิงเส้นคู่

l_{2}\colon V_{i}\times V_{j}\to V_{i+j}

, ที่ไหน,

0\leq i+j\leq 1

และแผนที่สามมิติ

l_{3}\colon V_{0}\times V_{0}\times V_{0}\to V_{1}

ซึ่งตอบสนองเอกลักษณ์จำนวนมาก^{[ 4 ]}^{หน้า 28}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แผนที่บนบ่งบอกว่ามีโครงสร้างพีชคณิตลีจนถึงโฮโมโทปี สิ่งนี้กำหนดโดยอนุพันธ์ของเนื่องจากให้โครงสร้างพีชคณิต - บ่งบอก $l_{2}$ $V_{0}\times V_{0}\to V_{0}$ $l_{3}$ $L_{\infty }$

dl_{3}(a,b,c)=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]

,

แสดงให้เห็นว่าเป็นวงเล็บ Lie ที่สูงกว่า อันที่จริง ผู้เขียนบางคนเขียนแผนที่เป็นดังนั้นสมการก่อนหน้านี้จึงสามารถอ่านได้ว่า $l_{n}$ $[-,\cdots ,-]_{n}:V_{\bullet }\to V_{\bullet }$

d[a,b,c]_{3}=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]

,

แสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของวงเล็บ 3 มิติทำให้วงเล็บ 2 มิติไม่สามารถเป็นโครงสร้างพีชคณิตลีได้ มันเป็นเพียงพีชคณิตลีในระดับโฮโมโทปีเท่านั้น ถ้าเราใช้คอมเพล็กซ์แล้วจะมีโครงสร้างของพีชคณิตลีจากแผนที่เหนี่ยวนำของ $H_{*}(V_{\bullet },d)$ $H_{0}(V_{\bullet },d)$ $[-,-]_{2}$

ในระดับ 0 และ n

ในกรณีนี้ สำหรับไม่มีอนุพันธ์ ดังนั้น จึงเป็นพีชคณิตลีอย่างตรงตัว แต่มีข้อมูลเพิ่มเติมของปริภูมิเวกเตอร์ในระดับดีกรีและวงเล็บที่สูงกว่า $n\geq 2$ $V_{0}$ $V_{n}$ $n$

l_{n+2}\colon \bigoplus ^{n+2}V_{0}\to V_{n}.

ปรากฏว่าวงเล็บที่สูงกว่านี้แท้จริงแล้วคือโคไซเคิลที่สูงกว่าในโคฮอโมโลยีของพีชคณิตลีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราเขียนใหม่เป็นพีชคณิตลีและและการแสดงแทนพีชคณิตลี(ที่กำหนดโดยแผนที่โครงสร้าง) แล้วจะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งของควอดรูเพิล $V_{0}$ ${\mathfrak {g}}$ $V_{n}$ $V$ $\rho$

({\mathfrak {g}},V,\rho ,l_{n+2})

โคไซเคิลอยู่ที่ไหน

l_{n+2}\colon {\mathfrak {g}}^{\otimes n+2}\to V

(n+2)

และพีชคณิตสองเทอมที่มีปริภูมิเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ในระดับและ^[⁴^]^{หน้า 42} โปรดทราบ ว่าสถานการณ์นี้คล้ายคลึงกับความสัมพันธ์ระหว่างโคฮอโมโลยีของกลุ่มและโครงสร้างของกลุ่ม nที่มีกลุ่มโฮโมโทปีสองกลุ่มที่ไม่ธรรมดา สำหรับกรณีของพีชคณิตเทอมเทอมในระดับและมีความสัมพันธ์ที่คล้ายกันระหว่างโคไซเคิลของพีชคณิตลีและวงเล็บที่สูงกว่าดังกล่าว เมื่อพิจารณาครั้งแรก ผลลัพธ์นี้อาจไม่ชัดเจน แต่จะชัดเจนขึ้นหลังจากดูที่คอมเพล็กซ์โฮโมโลยี $L_{\infty }$ $0$ $n$ $L_{\infty }$ $0$ $1$

H_{*}(V_{1}\xrightarrow {d} V_{0})

,

ดังนั้นอนุพันธ์จึงกลายเป็นสิ่งที่ไม่สำคัญซึ่งจะให้พีชคณิตที่เทียบเท่ากัน จากนั้นจึงสามารถวิเคราะห์ได้เหมือนเดิม $L_{\infty }$

ตัวอย่างในระดับ 0 และ 1

ตัวอย่างง่ายๆ ของพีชคณิต Lie-2 คือพีชคณิตโดยที่คือผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ และคือการแสดงแทนแบบไม่ซับซ้อน จากนั้นจะมีวงเล็บที่สูงกว่าซึ่งกำหนดโดยผลคูณจุดของเวกเตอร์ $L_{\infty }$ $V_{0}=(\mathbb {R} ^{3},\times )$ $\times$ $V_{1}=\mathbb {R}$ $l_{3}$

l_{3}(a,b,c)=a\cdot (b\times c).

สามารถตรวจสอบได้ว่าอนุพันธ์ของพีชคณิตนี้เป็นศูนย์เสมอโดยใช้พีชคณิตเชิงเส้นพื้นฐาน^[⁴^]^หน้า 45 $L_{\infty }$

ตัวอย่างมิติจำกัด

การยกตัวอย่างง่ายๆ เพื่อจุดประสงค์ในการศึกษาธรรมชาติของพีชคณิตเป็นปัญหาที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น^[⁵^]เมื่อกำหนดปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับโดยที่มีฐานที่กำหนดโดยเวกเตอร์และมีฐานที่กำหนดโดยเวกเตอร์จะมีโครงสร้างพีชคณิตที่กำหนดโดยกฎต่อไปนี้ $L_{\infty }$ $V=V_{0}\oplus V_{1}$ $V_{0}$ $w$ $V_{1}$ $v_{1},v_{2}$ $L_{\infty }$

{\begin{aligned}&l_{1}(v_{1})=l_{1}(v_{2})=w\\&l_{2}(v_{1}\otimes v_{2})=v_{1},l_{2}(v_{1}\otimes w)=w\\&l_{n}(v_{2}\otimes w^{\otimes n-1})=C_{n}w{\text{ for }}n\geq 3\end{aligned}},

โดยที่. โปรดสังเกตว่าค่าคงที่สองสามค่าแรกคือ $C_{n}=(-1)^{n-1}(n-3)C_{n-1},C_{3}=1$

{\begin{matrix}C_{3}&C_{4}&C_{5}&C_{6}\\1&-1&-2&12\end{matrix}}

เนื่องจากควรมีระดับสัจพจน์จึงบ่งชี้ว่ามีตัวอย่างที่คล้ายกันอื่นๆ สำหรับพีชคณิตลีขั้น สูง ^[⁶^]^[⁷^]ยิ่งไปกว่านั้นโครงสร้างบนปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับซึ่งปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐานเป็นสองมิติได้รับการจำแนกอย่างสมบูรณ์แล้ว^[³^] $l_{1}(w)$ $-1$ $l_{1}(w)=0$ $L_{\infty }$

ดูเพิ่มเติม

ลิงก์ภายนอก

"สัมมนาการเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีการเปลี่ยนรูป"สถาบันคณิตศาสตร์แม็กซ์พลังค์ ปี 2018อภิปรายทฤษฎีการเปลี่ยนรูปในบริบทของพีชคณิต -algebra $L_{\infty }$

[

[

[ 3 ]

[

[

[