สำหรับฟิลด์คงที่${\displaystyle k}$หนึ่ง${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต^{[ 4 ]}เป็น${\displaystyle \mathbb {Z} }$-ปริภูมิเวกเตอร์แบบไล่ระดับ

${\displaystyle A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }A_{p}}$

ติดตั้งด้วยมอร์ฟิซึม${\textstyle m_{i}\colon A^{\otimes i}\to A}$ของปริญญา${\displaystyle 2-i}$สำหรับแต่ละคน${\displaystyle i\geq 1}$ตรงตามเงื่อนไขความ สอดคล้อง : สำหรับทุก${\displaystyle n}$,

${\displaystyle \sum _{j+k+l=n,\,j+1+l=i}(-1)^{jk+l}m_{i}(\mathrm {id} ^{\otimes j}\otimes m_{k}\otimes \mathrm {id} ^{\otimes l})=0}$.

หนึ่ง${\displaystyle A_{\infty }}$-มอร์ฟิซึมของ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต${\displaystyle f:A\to B}$เป็นกลุ่มของมอร์ฟิซึม${\displaystyle f_{i}:A^{\otimes i}\to B}$ของปริญญา${\displaystyle i-1}$โดยต้องเป็นไปตามเงื่อนไขความสอดคล้องกันที่คล้ายคลึงกัน: สำหรับทุก ๆ${\displaystyle n}$,$${\displaystyle \sum _{j+k+l=n,\,j+1+l=i}(-1)^{jk+l}f_{i}(\mathrm {id} ^{\otimes j}\otimes m_{k}\otimes \mathrm {id} ^{\otimes l})=\sum _{i_{1}+\cdots +i_{r}=n}(-1)^{s}m_{r}(f_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes f_{i_{r}})}$$ที่ไหน${\displaystyle s=\sum _{2\leq u\leq r}((1-i_{u})\sum _{i\leq v\leq u}i_{v})}$(ในเงื่อนไขความสอดคล้องทั้งสองแบบ สามารถข้ามเครื่องหมายในผลรวมได้โดยการเลื่อนระดับไปหนึ่งขั้น)

เงื่อนไขความสอดคล้องนั้นเขียนได้ง่ายสำหรับระดับต่ำๆ

มีรูปแบบแผนภาพที่ดีของพีชคณิตซึ่งอธิบายไว้ในAlgebra+Homotopy=Operad ^{[ 5 ]}ซึ่งอธิบายวิธีการคิดเชิงภาพเกี่ยวกับโฮโมโทปีระดับสูงนี้ สัญชาตญาณนี้ถูกสรุปไว้ด้วยการอภิปรายข้างต้นในเชิงพีชคณิต แต่การแสดงภาพก็มีประโยชน์เช่นกัน

เนื่องจากนิยามของ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิตต้องการลำดับการคูณที่สูงกว่าอย่างไม่มีที่สิ้นสุด จึงอาจหวังได้ว่ามีวิธีที่จะบรรจุคำจำกัดความใหม่ในรูปของโครงสร้างเดียวที่มีการดำเนินการจำนวนจำกัด ซึ่งเป็นไปได้ (หลังจากการตั้งค่าเล็กน้อย) โดยการตีความใหม่ของ${\displaystyle m_{i}}$โดยนำเสนอเป็นส่วนประกอบของแผนที่เดียวแทน

กำหนดให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์ (แบบมีระดับ)${\displaystyle V}$โคอัลจีบราเทนเซอร์ลดรูป${\textstyle {\overline {T^{c}}}V}$บน${\displaystyle V}$เป็น${\textstyle \bigoplus _{n\geq 1}V^{\otimes n}}$โดยมีผลคูณร่วม (ที่ไม่สลับที่กันได้)${\displaystyle \Delta _{\overline {T^{c}}}}$ได้มาจากการแยกเทนเซอร์ กล่าวคือ${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{1\leq i<n}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i})|(v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n})}$โดยที่เราเขียนผลคูณเทนเซอร์ภายในของ${\textstyle {\overline {T^{c}}}V}$โดยใช้สัญลักษณ์ผลคูณเทนเซอร์มาตรฐานและผลคูณเทนเซอร์ภายนอกที่ใช้ในการกำหนดโคโปรดักต์ พร้อมขีดแนวตั้งเพื่อความชัดเจน เมื่อกำหนดโคอัลจีบราใดๆ แล้ว${\displaystyle C}$มีการกรองแบบแคนอนิกอยู่${\displaystyle C}$กำหนดโดย${\textstyle F_{k}C=\ker \Delta ^{(k+1)}}$, ที่ไหน${\displaystyle \Delta ^{(2)}=\Delta _{C}}$,${\displaystyle \Delta ^{(n)}=(\mathrm {id} ^{\otimes (n-2)}\otimes \Delta _{C})\circ \Delta ^{(n-1)}}$;${\displaystyle C}$เรียกว่าสมบูรณ์ร่วม ถ้า${\textstyle C=\bigcup _{k}F_{k}C}$โคอัลจีบราเทนเซอร์ลดรูปคือโคอัลจีบราที่สมบูรณ์แบบสากลเหนือ${\displaystyle V}$กล่าวคือ สำหรับโคคอมพลีเมนต์โคอื่นใด${\displaystyle C'}$มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ตามธรรมชาติ ระหว่างแผนที่โคอัลจีบราจาก${\displaystyle C'}$ถึง${\textstyle {\overline {T^{c}}}V}$และแผนที่พื้นที่เวกเตอร์แบบไล่ระดับ${\displaystyle C'\to V}$.

การอนุมานร่วมบนโคอัลจีบรา${\displaystyle C}$เป็น${\displaystyle k}$-แผนที่โมดูล${\displaystyle D:C\to C}$เป็นไปตาม "กฎโค-ไลบ์นิซ"${\displaystyle \Delta _{C}\circ D=(D\otimes \mathrm {id} +\mathrm {id} \otimes D)\circ \Delta _{C}}$ระบบกันสะเทือน${\displaystyle SV}$ของปริภูมิเวกเตอร์แบบไล่ระดับ${\displaystyle V}$คือปริภูมิเวกเตอร์แบบไล่ระดับที่กำหนดโดย${\displaystyle (SV)^{i}=V^{i+1}}$.

จากสัญลักษณ์นี้ เราจะได้ข้อเท็จจริงดังต่อไปนี้: an${\displaystyle A_{\infty }}$โครงสร้างพีชคณิตบนปริภูมิเวกเตอร์แบบแบ่งระดับ${\displaystyle A}$ก็เหมือนกับการอนุมานรหัส${\displaystyle D}$บน${\textstyle {\overline {T^{c}}}(SA)}$ซึ่งเป็นอนุพันธ์ นั่นคือ${\displaystyle D^{2}=0}$เพื่อให้เห็นภาพนี้ โปรดสังเกตว่า${\displaystyle D}$ถูกกำหนดโดยผลรวมกับผลหาร${\textstyle {\overline {T^{c}}}(SA)\to SA}$เนื่องจาก${\textstyle {\overline {T^{c}}}V}$คือ cofree cocomplete coalgebra บน${\displaystyle V}$เราได้รับ${\displaystyle m_{n}}$โดยการแยกส่วนประกอบต่างๆ ออกเป็น${\displaystyle b_{n}:(SA)^{\otimes n}\to SA}$และเปลี่ยนแผนที่จากแผนที่หนึ่งไปยังอีกแผนที่หนึ่ง${\displaystyle A^{\otimes n}}$ถึง${\displaystyle A}$เงื่อนไขที่ว่า${\displaystyle D}$เป็นการอนุมานร่วมที่ให้ผลลัพธ์${\displaystyle D=b_{1}'+b_{2}'+b_{3}'+\cdots }$, กับ${\displaystyle b_{i}'(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{j})=\sum _{a+i+b=j}v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{a}\otimes b_{i}(v_{a+1}\otimes \cdots \otimes v_{a+i})\otimes v_{a+i+1}\otimes \cdots \otimes v_{j}}$และเงื่อนไขที่ว่า${\displaystyle D^{2}=0}$ผลผลิต${\textstyle \sum _{i+j-1=m}b_{i}'(b_{j}'(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m}))=0}$สำหรับทุกคน${\displaystyle m}$หรือเทียบเท่า${\textstyle \sum _{j+k+l=m,j+1+l=i}b_{i}(\mathrm {id} ^{\otimes j}\otimes b_{k}\otimes \mathrm {id} ^{\otimes l})=0}$ซึ่งจะเปลี่ยนกลับไปสู่เงื่อนไขมาตรฐาน (ที่มีเครื่องหมาย) บน${\displaystyle m_{n}}$เนื่องจากกฎเครื่องหมายสำหรับการเลื่อนคอมเพล็กซ์ โคอัลจีบราแบบแบ่งระดับเชิงอนุพันธ์${\textstyle ({\overline {T^{c}}}(SA),D)}$นิยามในลักษณะนี้เรียกว่าโครงสร้างแท่ง^{[ 4 ]}บน${\displaystyle A}$และแสดงไว้${\displaystyle BA}$.

แนวคิดหลายอย่างเขียนออกมาได้ง่ายกว่าหากพิจารณาจาก...${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิตผ่านโครงสร้างแท่งของพวกมัน ตัวอย่างเช่น มอร์ฟิซึม${\displaystyle f:A\to A'}$ของ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิตเทียบเท่ากับมอร์ฟิซึมของโคอัลจีบราแบบแบ่งระดับเชิงอนุพันธ์${\displaystyle Bf:BA\to BA'}$ซึ่งเป็นกึ่งไอโซมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิตเทียบเท่ากับควาซีไอโซมอร์ฟิซึมของโคอัลจีบราเชิงอนุพันธ์แบบแบ่งระดับ และโฮโมโทปีระหว่าง${\displaystyle A_{\infty }}$- มอร์ฟิซึมพีชคณิตเทียบเท่ากับโฮโมโทปีระหว่างมอร์ฟิซึมโคอัลจีบราแบบแบ่งระดับเชิงอนุพันธ์

พีชคณิตแบบสมาคมทุกตัว${\displaystyle (A,\cdot )}$มี${\displaystyle A_{\infty }}$โครงสร้างอนันต์โดยการกำหนด${\displaystyle m_{2}(a,b)=a\cdot b}$และ${\displaystyle m_{i}=0}$สำหรับ${\displaystyle i\neq 2}$. เพราะฉะนั้น${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิตเป็นการขยายแนวคิดของพีชคณิตแบบสมาคม

พีชคณิตเชิงอนุพันธ์ทุกระดับ${\displaystyle (A^{\bullet },d)}$มีโครงสร้างแบบมาตรฐานเช่นเดียวกับ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต^{[ 1 ]}โดยที่${\displaystyle m_{1}=d}$และ${\displaystyle m_{2}}$คือแผนที่การคูณ แผนที่ระดับสูงอื่นๆ ทั้งหมด${\displaystyle m_{i}}$เท่ากับ${\displaystyle 0}$โดยใช้ทฤษฎีโครงสร้างสำหรับแบบจำลองขั้นต่ำ จะมีมาตรฐาน${\displaystyle A_{\infty }}$-โครงสร้างบนพีชคณิตโคฮอโมโลยีแบบแบ่งระดับ${\displaystyle HA^{\bullet }}$ซึ่งรักษา โครงสร้าง กึ่งไอโซมอร์ฟิซึมของพีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบแบ่งระดับดั้งเดิม ตัวอย่างทั่วไปของพีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบแบ่งระดับดังกล่าวมาจากพีชคณิต Koszulที่เกิดขึ้นจากลำดับปกตินี่เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญเพราะช่วยปูทางไปสู่ความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่โฮโมโทปี

${\displaystyle {\text{Ho}}({\text{dga}})\simeq {\text{Ho}}(A_{\infty }{\text{-alg}})}$

ของพีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบแบ่งระดับและ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต

หนึ่งในตัวอย่างที่สร้างแรงบันดาลใจของ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต มาจากการศึกษาปริภูมิ Hเมื่อใดก็ตามที่ปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$คือ H-space ซึ่งเป็นคอมเพล็กซ์ลูกโซ่เอกพจน์ ที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle C_{*}(X)}$มีหลักการ${\displaystyle A_{\infty }}$-โครงสร้างพีชคณิตจากโครงสร้างเป็น H-space ^{[ 3 ]}

พิจารณาพีชคณิตแบบแบ่งระดับ${\displaystyle V^{\bullet }=V_{0}\oplus V_{1}}$เหนือทุ่งนา${\displaystyle k}$ลักษณะเฉพาะ${\displaystyle 0}$ที่ไหน${\displaystyle V_{0}}$ครอบคลุมโดยระดับ${\displaystyle 0}$เวกเตอร์${\displaystyle v_{1},v_{2}}$และ${\displaystyle V_{1}}$ครอบคลุมโดยระดับ${\displaystyle 1}$เวกเตอร์${\displaystyle w}$[ ^{6 ] [ 7 ] แม้ในตัวอย่างง่ายๆ นี้ก็มี สิ่ง}ที่ไม่ธรรมดาอยู่${\displaystyle A_{\infty }}$-โครงสร้างที่ให้ค่าอนุพันธ์ในทุกระดับที่เป็นไปได้ ส่วนหนึ่งเป็นเพราะมีระดับหนึ่ง${\displaystyle 1}$เวกเตอร์ที่กำหนดระดับ${\displaystyle k}$ปริภูมิเวกเตอร์อันดับ${\displaystyle 1}$ใน${\displaystyle (V^{\bullet })^{\otimes k}}$กำหนดนิยามของอนุพันธ์${\displaystyle m_{1}}$โดย

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(v_{0})=w\\m_{1}(v_{1})=w,\end{aligned}}}$

และสำหรับ${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes k}\otimes v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)-k})&=(-1)^{k}s_{d}v_{1}&0\leq k\leq d-2\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)}\otimes v_{2})&=s_{d+1}v_{1}\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-1)})&=s_{d+1}w,\end{aligned}}}$

ที่ไหน${\displaystyle m_{n}=0}$บนแผนที่ใดๆ ที่ไม่ได้ระบุไว้ข้างต้น และ${\displaystyle s_{n}=(-1)^{(n-1)(n-2)/2}}$ในระดับปริญญา${\displaystyle d=2}$ดังนั้นสำหรับแผนที่การคูณ เราจึงมี ${\displaystyle {\begin{aligned}m_{2}(v_{1},v_{1})&=-v_{1}\\m_{2}(v_{1},v_{2})&=v_{1}\\m_{2}(v_{1},w)&=w.\end{aligned}}}$ และใน${\displaystyle d=3}$ความสัมพันธ์ข้างต้นให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{3}(v_{1},v_{1},w)&=v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{1})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{2})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,w)&=-w.\end{aligned}}}$

เมื่อนำสมการเหล่านี้มาเชื่อมโยงกับความล้มเหลวของการเชื่อมโยง จะมีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ ตัวอย่างเช่น เงื่อนไขความสอดคล้องสำหรับ${\displaystyle v_{1},v_{2},w}$จะยกตัวอย่างที่ไม่ธรรมดาซึ่งแสดงให้เห็นว่าสมบัติการสลับที่นั้นไม่เป็นจริงเสมอไป โปรดสังเกตว่าในพีชคณิตโคฮอโมโลยี${\displaystyle H^{*}(V^{\bullet },[m_{2}])}$เรามีแค่ปริญญาเท่านั้น${\displaystyle 0}$เงื่อนไข${\displaystyle v_{1},v_{2}}$เนื่องจาก${\displaystyle w}$ถูกฆ่าโดยความแตกต่าง${\displaystyle m_{1}}$.

หนึ่งในคุณสมบัติที่สำคัญของ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต คือโครงสร้างของมันสามารถถ่ายทอดไปยังวัตถุพีชคณิตอื่นๆ ได้ หากมีสมมติฐานที่ถูกต้อง ตัวอย่างแรกๆ ของคุณสมบัตินี้คือ: กำหนดให้${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต${\displaystyle A^{\bullet }}$และความสมมูลแบบโฮโมโทปีของคอมเพล็กซ์

${\displaystyle f\colon B^{\bullet }\to A^{\bullet }}$,

แล้วก็มี${\displaystyle A_{\infty }}$โครงสร้างพีชคณิตบน${\displaystyle B^{\bullet }}$สืบทอดมาจาก${\displaystyle A^{\bullet }}$และ${\displaystyle f}$สามารถขยายไปสู่มอร์ฟิซึมของ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต มีทฤษฎีบทหลายทฤษฎีในลักษณะนี้ โดยมีสมมติฐานที่แตกต่างกันเกี่ยวกับ${\displaystyle B^{\bullet }}$และ${\displaystyle f}$ซึ่งบางวิธีให้ผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่า เช่น ความเป็นเอกลักษณ์จนถึงระดับโฮโมโทปีสำหรับโครงสร้างบน${\displaystyle B^{\bullet }}$และความเข้มงวดบนแผนที่${\displaystyle f}$[ ^{8 ]​}

หนึ่งในทฤษฎีโครงสร้างที่สำคัญสำหรับ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต คือการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของแบบจำลองขั้นต่ำซึ่งถูกกำหนดไว้ดังนี้${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิตที่แผนที่เชิงอนุพันธ์${\displaystyle m_{1}=0}$มีค่าเป็นศูนย์ โดยพิจารณาพีชคณิตโคฮอโมโลยี${\displaystyle HA^{\bullet }}$ของ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต${\displaystyle A^{\bullet }}$จากความแตกต่าง${\displaystyle m_{1}}$ดังนั้นในฐานะที่เป็นพีชคณิตแบบแบ่งระดับ

${\displaystyle HA^{\bullet }={\frac {{\text{ker}}(m_{1})}{m_{1}(A^{\bullet })}}}$,

พร้อมแผนที่การคูณ${\displaystyle [m_{2}]}$ปรากฏว่าพีชคณิตแบบแบ่งระดับนี้สามารถติดตั้งอุปกรณ์ตามหลักการได้${\displaystyle A_{\infty }}$-โครงสร้าง,

${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )}$,

ซึ่งเป็นเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงกึ่งไอโซมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต^{[ 9 ]}ในความเป็นจริง ข้อความนี้ยิ่งแข็งแกร่งขึ้นไปอีก: มีมาตรฐาน${\displaystyle A_{\infty }}$-มอร์ฟิซึม

${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )\to A^{\bullet }}$,

ซึ่งยกแผนที่เอกลักษณ์ของ${\displaystyle A^{\bullet }}$โปรดทราบว่าค่าผลคูณที่สูงกว่าเหล่านี้ได้มาจาก ผลคูณ ของMassey

กำหนดให้พีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบแบ่งระดับ${\displaystyle (A^{\bullet },d)}$แบบจำลองขั้นต่ำของมันในฐานะ${\displaystyle A_{\infty }}$-พีชคณิต${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )}$สร้างขึ้นโดยใช้ผลิตภัณฑ์ของ Massey นั่นคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{3}(x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\m_{4}(x_{4},x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{4},x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\&\cdots &\end{aligned}}}$

ปรากฏว่าอะไรก็ตาม${\displaystyle A_{\infty }}$โครงสร้างพีชคณิตบน${\displaystyle HA^{\bullet }}$มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับโครงสร้างนี้ เมื่อพิจารณาอีกประการหนึ่ง${\displaystyle A_{\infty }}$-โครงสร้างบน${\displaystyle HA^{\bullet }}$พร้อมแผนที่${\displaystyle m_{i}'}$มีความสัมพันธ์^{[ 10 ]}

${\displaystyle m_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle +\Gamma }$,

ที่ไหน

${\displaystyle \Gamma \in \sum _{j=1}^{n-1}{\text{Im}}(m_{j})}$.

ดังนั้นทั้งหมดนั้น${\displaystyle A_{\infty }}$- การปรับปรุงเพิ่มเติมในพีชคณิตโคฮอโมโลยีมีความสัมพันธ์กัน

ทฤษฎีโครงสร้างอีกประการหนึ่งคือการสร้างพีชคณิตขึ้นใหม่จากพีชคณิตภายนอก โดยกำหนดให้พีชคณิตแบบแบ่งระดับที่เชื่อมต่อกัน

${\displaystyle A=k_{A}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots }$,

มันเป็นพีชคณิตแบบสมาคมตามหลักการ มีพีชคณิตแบบสมาคมที่เรียกว่าพีชคณิต Ext ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{\bullet }(k_{A},k_{A})}$,

โดยการคูณจะใช้ผลคูณแบบโยเนดะดังนั้นจึงมี${\displaystyle A_{\infty }}$-ความคล้ายคลึงกันระหว่าง${\displaystyle (A,0,m_{2},0,\ldots )}$และ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{\bullet }(k_{A},k_{A})}$การระบุลักษณะนี้มีความสำคัญ เพราะเป็นการแสดงให้เห็นว่าหมวดหมู่ที่ได้มา ทั้งหมด เป็นหมวดหมู่ที่ได้มาแบบแอฟฟินซึ่งหมายความว่าพวกมันสม isomorphic กับหมวดหมู่ที่ได้มาของพีชคณิตบางประเภท